تمثيل الإشارات الدورية بواسطة سلسلة فورييه. التمثيل الطيفي للإشارات القطعية

في القرن الماضي ، كان إيفان برنولي وليونارد أويلر ثم جان بابتيست فورييه أول من استخدم تمثيل الدوال الدورية بواسطة السلاسل المثلثية. تمت دراسة وجهة النظر هذه بتفصيل كافٍ في دورات أخرى ، لذلك فإننا نتذكر فقط العلاقات والتعريفات الأساسية.

كما هو مذكور أعلاه ، أي وظيفة دورية ش (ر) التي من أجلها المساواة ش (ر) = ش (تي + تي) ، أين T = 1 / F = 2p / W ، يمكن تمثيلها بسلسلة فورييه:

يمكن فك كل مصطلح في هذه السلسلة باستخدام صيغة جيب التمام للفرق بين زاويتين ويتم تمثيلهما في صورة شرطين:

,

أين: A n = C n cosφ n ، B n = C n sinφ n ، وبالتالي ، أ

احتمال ا ن و خمارة حسب صيغ أويلر:

;
.

في ن = 0 :

أ ب 0 = 0.

احتمال ا ن و خمارة ، هي القيم المتوسطة لمنتج الدالة ش (ر) والتذبذبات التوافقية مع التردد nw في فترة زمنية تي ... نحن نعلم بالفعل (القسم 2.5) أن هذه وظائف ارتباط تبادلي تحدد مقياس علاقتها. لذلك ، المعاملات ا ن و ب ن تبين لنا "كم" الجيوب الأنفية أو جيب التمام بتردد nW الواردة في هذه الوظيفة ش (ر) ، الموسعة في سلسلة فورييه.

وبالتالي ، يمكننا تمثيل الوظيفة الدورية ش (ر) كمجموع من الاهتزازات التوافقية ، حيث تكون الأرقام ج ن هي السعات والأرقام φ ن - المراحل. عادة في الأدب يسمى طيف الاتساع ، و - طيف الأطوار. غالبًا ما يتم اعتبار طيف الاتساع فقط ، والذي يتم تصويره كخطوط تقع عند نقاط nW على محور التردد ولها ارتفاع مطابق للرقم ج ن ... ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أنه من أجل الحصول على المراسلات الفردية بين الوظيفة الزمنية ش (ر) وطيفه ، من الضروري استخدام طيف الاتساع وطيف الطور. يمكن رؤية هذا من مثل هذا المثال البسيط. سيكون للإشارات نفس طيف الاتساع ، لكن أنواع مختلفة تمامًا من الوظائف الزمنية.

لا يمكن أن يكون للطيف المنفصل وظيفة دورية فقط. على سبيل المثال ، الإشارة: ليست دورية ، ولكن لها طيف منفصل يتكون من خطين طيفيين. أيضًا ، لن تكون هناك إشارة دورية بشكل صارم تتكون من سلسلة من النبضات الراديوية (نبضات ذات تعبئة عالية التردد) ، تكون فيها فترة التكرار ثابتة ، ولكن المرحلة الأولية لملء التردد العالي تتغير من نبضة إلى نبضة وفقًا لبعض القانون. تسمى هذه الإشارات بشكل دوري تقريبًا. كما سنرى لاحقًا ، لديهم أيضًا طيفًا منفصلاً. التحقيق في الطبيعة الفيزيائية لأطياف هذه الإشارات ، سنقوم بتنفيذها بنفس الطريقة التي يتم بها بالنسبة للإشارات الدورية.

يمكن تمثيل إشارة دورية من أي شكل مع فترة T كمجموع

التذبذبات التوافقية ذات السعات المختلفة والمراحل الأولية ، والتي تكون تردداتها من مضاعفات التردد الأساسي. يسمى تناغم هذا التردد الأساسي أو الأول ، ويسمى الباقي - التوافقيات الأعلى.

الشكل المثلثي لسلسلة فورييه:

,

أين
- مكون ثابت

- اتساع مكونات جيب التمام ؛

- اتساع المكونات الجيبية.

حتى إشارة (
) لديه جيب التمام فقط ، وغريب (
- المصطلحات الجيبية فقط.

الشكل المثلثي المكافئ لسلسلة فورييه أكثر ملاءمة:

,

أين
- مكون ثابت

- اتساع التوافقي n للإشارة. يُطلق على مجموع اتساع المكونات التوافقية اسم طيف الاتساع ؛

- المرحلة الأولية من التوافقي n للإشارة. تسمى مجموعة مراحل المكونات التوافقية طيف الطور.

1. طيف تسلسل دوري للنبضات المستطيلة. اعتماد الطيف على فترة تكرار النبض ومدته. عرض الطيف. سلسلة فورييه pppi

دعونا نحسب السعة وأطياف الطور لـ AEFI الذي له سعة
، المدة الزمنية ، الفترة التالية وتقع بشكل متماثل حول الأصل (الإشارة دالة زوجية).

الشكل 5.1 - مخطط توقيت AEFI.

يمكن تسجيل إشارة في فترة زمنية واحدة:

العمليات الحسابية:

,

سلسلة فورييه لـ PPPI هي:

الشكل 5.2 - الرسم التخطيطي الطيفي للاتساع الخاص بـ AEFI.

الشكل 5.3 - الرسم التخطيطي الطيفي للطور AEFI.

طيف AEFI خطي (منفصل) (يمثله مجموعة من الخطوط الطيفية الفردية) ، متناسق (الخطوط الطيفية على نفس المسافة من بعضها البعض ω 1) ، متناقص (اتساع التوافقيات تتناقص مع زيادة العدد) ، له بتلة هيكل (عرض كل فص هو 2π /) ، غير محدود (فاصل التردد الذي توجد فيه الخطوط الطيفية لانهائي) ؛

في دورة عمل عدد صحيح ، لا توجد في الطيف مكونات التردد ذات الترددات المضاعفة لدورة العمل (تتطابق تردداتها مع أصفار غلاف طيف الاتساع) ؛

مع زيادة دورة العمل ، تقل سعة جميع المكونات التوافقية. علاوة على ذلك ، إذا كان مرتبطًا بزيادة في فترة التكرار T ، يصبح الطيف أكثر كثافة (1 ينقص) ، مع انخفاض في مدة النبضة τ - يصبح عرض كل فص أكبر ؛

نطاق التردد الذي يحتوي على 95٪ من طاقة الإشارة (يساوي عرض أول فصين من الغلاف) يؤخذ على أنه عرض طيف AEFI:

أو
;

جميع التوافقيات الموجودة في فص مغلف واحد لها نفس المرحلة ، تساوي 0 أو.

1. استخدام تحويل فورييه لتحليل طيف الإشارات غير الدورية. طيف نبضة مستطيلة واحدة. تحويلات فورييه المتكاملة

تكون إشارات الاتصال دائمًا محدودة في الوقت وبالتالي فهي ليست دورية. من بين الإشارات غير الدورية ، فإن النبضات المفردة (SS) هي الأكثر أهمية. يمكن اعتبار OI كحالة مقيدة للتسلسل الدوري للبقول (PPI) مع مدة مع فترة لا متناهية من التكرار
.

الشكل 6.1 - PPI و OI.

يمكن تمثيل الإشارة غير الدورية كمجموع لعدد لا نهائي من التذبذبات القريبة بشكل لا نهائي في التردد مع اتساعات صغيرة متلاشية. طيف OI مستمر ويتم تقديمه بواسطة تكاملات فورييه:

-
(1) - تحويل فورييه المباشر. يسمح لك بالعثور التحليلي على الوظيفة الطيفية لشكل إشارة معين ؛

-
(2) - معكوس تحويل فورييه. يسمح لك بالعثور التحليلي على الشكل لوظيفة طيفية معينة للإشارة.

شكل معقد من تحويل فورييه المتكامل(2) يعطي تمثيلاً طيفيًا على الوجهين (له ترددات سالبة) لإشارة غير دورية
كمجموع الاهتزازات التوافقية
ذات سعة معقدة متناهية الصغر
التي تملأ تردداتها باستمرار محور التردد بأكمله.

الكثافة الطيفية المعقدة للإشارة هي دالة معقدة للتردد ، تحمل في الوقت نفسه معلومات حول كل من الاتساع ومرحلة التوافقيات الأولية.

يُطلق على معامل الكثافة الطيفية الكثافة الطيفية للاستطالات. يمكن اعتباره استجابة التردد للطيف المستمر لإشارة غير دورية.

حجة الكثافة الطيفية
تسمى الكثافة الطيفية للمراحل. يمكن اعتباره خاصية تردد الطور للطيف المستمر لإشارة غير دورية.

دعنا نحول الصيغة (2):

الشكل المثلثي لتحويل فورييه المتكامليعطي تمثيلًا طيفيًا أحادي الاتجاه (ليس له ترددات سلبية) لإشارة غير دورية:

.

الدورات الدراسية في التحليل الرياضي

الموضوع: حساب المجاميع الجزئية والخصائص الطيفية لسلسلة فورييه لدالة صريحة

وظيفة fourier الطيف

1- نموذج العملية الفيزيائية

حل مشكلة مع الحسابات النظرية

مثال على حل المشكلة

مثال على حل مشكلة في بيئة Matlab R2009a

فهرس

1- نموذج العملية الفيزيائية

نموذج رياضي يمكن أن تكون إشارة الراديو بمثابة بعض وظائف الوقت F(ر) . يمكن أن تكون هذه الوظيفة حقيقية أو معقدة ، أحادية البعد أو متعددة الأبعاد ، حتمية أو عشوائية (إشارات صاخبة). في الهندسة الراديوية ، يصف النموذج الرياضي نفسه بنجاح متساوٍ التيار ، والجهد ، وشدة المجال الكهربائي ، إلخ.

ضع في اعتبارك إشارات حتمية أحادية البعد حقيقية

عادةً ما تُعتبر مجموعات الوظائف (الإشارات) مسافات معيارية وظيفية خطية ، يتم فيها تقديم المفاهيم والبديهيات التالية:

) يتم استيفاء جميع بديهيات الفضاء الخطي ؛

) يتم تعريف حاصل الضرب القياسي لإشارتين حقيقيتين على النحو التالي:

) تُسمى إشارتان متعامدتان إذا كان حاصل ضربهما النقطي يساوي صفرًا ؛

) يشكل نظام الإشارات المتعامدة أساس إحداثيات لا نهائي من الأبعاد ، والذي يمكن استخدامه لتحليل أي إشارة دورية تنتمي إلى الفضاء الخطي ؛

من بين الأنظمة المختلفة للوظائف المتعامدة التي يمكن استخدامها لتحليل الإشارة ، الأكثر شيوعًا هو نظام الوظائف التوافقية (الجيبية وجيب التمام):

يسمى تمثيل إشارة دورية معينة كمجموع التذبذبات التوافقية ذات الترددات المختلفة التمثيل الطيفي للإشارة. تشكل المكونات التوافقية الفردية للإشارة طيفها. من وجهة نظر رياضية ، فإن التمثيل الطيفي يعادل توسع دالة دورية (إشارة) في سلسلة فورييه.

ترجع أهمية التحلل الطيفي للوظائف في هندسة الراديو إلى عدد من الأسباب:

) بساطة دراسة خصائص الإشارة لأن مفهومة جيدا الوظائف التوافقية.

) القدرة على توليد إشارة عشوائية ، لأن تقنية توليد الإشارات التوافقية بسيطة للغاية ؛

) بساطة إرسال واستقبال إشارة عبر قناة راديو ، tk. التذبذب التوافقي هو الوظيفة الزمنية الوحيدة التي تحتفظ بشكلها عند المرور عبر أي دائرة خطية. تظل الإشارة عند خرج الدائرة متناسقة مع نفس التردد ، فقط السعة والمرحلة الأولية لتغير التذبذب ؛

) يسمح تحلل الإشارة إلى الجيب وجيب التمام باستخدام طريقة رمزية تم تطويرها لتحليل انتقال التذبذبات التوافقية عبر الدوائر الخطية.

كنموذج للعملية الفيزيائية ، ضع في اعتبارك مخطط كهربية القلب للقلب.

2- حل المشكلة بالحسابات النظرية

الهدف 1:

دعونا نصف ، بمساعدة سلسلة فورييه ، نبضة متكررة بشكل دوري في منطقة مخطط القلب الكهربائي ، ما يسمى بمركب QRS.

يمكن تعريف مجمع QRS من خلال الوظيفة الخطية متعددة التعريف التالية

أين

يمكن أن تستمر هذه الوظيفة بشكل دوري مع فترة تي = 2 لتر.

سلسلة فورييه للوظائف:

التعريف 1: الوظيفة تسمى متعدد التعريف مستمرعلى المقطع [أ ، ب] ، إذا كان مستمرًا في جميع نقاط هذا المقطع ، باستثناء عدد محدود من النقاط التي توجد عندها حدوده المحدودة من جانب واحد.

التعريف 2:الوظيفة تسمى على نحو سلسفي جزء ما إذا كان هو ومشتقاته متواصلين.

النظرية 1 (اختبار ديريتشليت): سلسلة فورييه لدالة متعددة التعريفات على فترة زمنية F (x) يتقارب عند كل نقطة من الاستمرارية مع قيمة الوظيفة عند هذه النقطة والقيمة عند كل نقطة من نقاط عدم الاستمرارية.

وظيفتنا تفي بشروط النظرية.

بالنسبة لدالة معينة ، نحصل على المعاملات التالية لسلسلة فورييه:

شكل معقد من سلسلة فورييه

لتمثيل المتسلسلة في شكل معقد ، نستخدم صيغ أويلر:

دعونا نقدم التدوين:

ثم يمكن إعادة كتابة السلسلة كـ

بالإضافة إلى ذلك ، يمكن الحصول على معاملات سلسلة فورييه المعقدة مباشرة عن طريق حسابها بالصيغة

نكتب في صورة معقدة سلسلة فورييه لدالة معينة

الخصائص الطيفية للسلسلة

تعبير في سلسلة فورييه يسمى نال متناسق.ومن المعروف أن

أين أو

,

يتم تسمية المجاميع وفقًا لذلك السعة وطيف الطوروظيفة دورية.

يتم تصوير الأطياف بيانياً على أنها مقاطع طول مرسومة بشكل عمودي على المحور الذي يتم رسم القيمة عليه ن= 1،2 ... أو.

يسمى التمثيل الرسومي للطيف المقابل مخطط السعة أو الطور. في الممارسة العملية ، غالبًا ما يستخدم طيف الاتساع.

.مثال على حل المشكلة

المهمة 2: ضع في اعتبارك مثالًا محددًا لمشكلة للنموذج المختار للعملية الفيزيائية.

نقوم بتوسيع هذه الوظيفة لتشمل محور العدد بالكامل ، نحصل على الوظيفة الدورية F(x) مع الفترة T = 2 ل= 18 (الشكل 1.).

أرز. 1. رسم بياني لدالة مستمرة بشكل دوري

لنحسب معاملات فورييه للدالة المعطاة.

دعنا نكتب المبالغ الجزئية للسلسلة:

أرز. 2. قطع مجاميع جزئية من سلسلة فورييه

مع النمو نقطع مجاميع جزئية عند نقاط الاستمرارية تقترب من مخطط الدالة F(x) ... عند نقاط الفاصل ، قيم نهج المجاميع الجزئية .

دعونا نبني مخططات السعة والطور.

نظرا لربع.

طاولة

4. مثال على حل مشكلة في بيئة Matlab R2009a

الهدف 3:كمثال ، ضع في اعتبارك كامل فترات العلاقات العامة و QT.

أرز

لهذه الوظيفة ، قم ببناء الرسوم البيانية للمجاميع الجزئية ، وكذلك مخططات السعة والطور.

لنأخذ قيمًا محددة للمعلمات لمهمتنا:

برنامج نصي لبناء الرسوم البيانية والمخططات المطلوبة.

يتيح لك البرنامج النصي حل عدد من المشكلات المماثلة عن طريق اختيار معلمات وإحداثيات النقاط Q و R و S.

النسبة المئوية لحساب النماذج الجزئية والخصائص الطيفية للسلسلة الأربع للتعبير عن

٪ التحليل الطيفي L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase = 18 ؛ = 6 ؛ I2 = 10 ؛ س = 11 ، Qy = -2 ؛ ص = 12 ؛ ص = 17 ؛ S = 13 ؛ سي = -4 ؛ I3 = 15 ؛ I4 = 20 ؛ I5 = 26 ؛ = 2 ؛ T = 3 ؛ ExprNum = 9 ؛ = 250 ؛ = 30 ؛ = 0 ؛ العلم == 0 = 1 ؛ (ك<15)

k = القائمة ("تغيير المعلمات" ، ...

sprintf ("Parameter1 P =٪ g"، P)، ... ("Parameter2 I1 =٪ g"، I1)، ... ("Parameter3 I2 =٪ g"، I2)، ... ("Parameter4 Qx =٪ g "، Q)، ... (" Parameter5 Qy =٪ g "، Qy)، ... (" Parameter6 Rx =٪ g "، R)، ... (" Parameter7 Ry =٪ g "، Ry)، ... ("Parameter8 Sx =٪ g"، S)، ... ("Parameter9 Sy =٪ g"، Sy)، ... ("Parameter10 I3 =٪ g"، I3)، .. . ("Parameter11 I4 =٪ g"، I4)، ... ("Parameter12 T =٪ g"، T)، ... ("Parameter13 I5 =٪ g"، I5)، ... ("Parameter13 Ns =٪ g "، Ns)، ...

"متابعة") ؛ k == 1 ، = input () ؛

endk == 2 ، = المدخلات () ؛

endk == 3 ، = المدخلات () ؛

endk == 4، = input () ؛

endk == 5، = input () ؛

endk == 6 ، = المدخلات () ؛

endk == 7 ، = المدخلات () ؛

"قيمة Sx الجديدة ="]) ؛

endk == 9 ، = المدخلات () ؛

endk == 10 ، = المدخلات () ؛

endk == 11 ، = المدخلات () ؛

endk == 12، = input () ؛

النهاية == 13 ، = الإدخال ()

النهاية == 14، = الإدخال ()

٪ تطبيق المعلمات = Qy / (Q-I2) ؛

v = Qy * I2 / (I2-Q) ؛ = (Ry-Qy) / (RQ) ؛ = (Qy * RQ * Ry) / (RQ) ؛ = (Sy-Ry) / (SR) ؛ = (Ry * SR * Sy) / (SR) ؛ = Sy / (S-I3) ؛ = I3 * Sy / (I3-S) ؛ = 2 * L / N ؛ = 0: Ts: 2 * L ؛ = الطول (t ) ؛ = أصفار (1 ، خافت) ؛ = أرضية (I1 * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((I2-I1) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((Q-I2) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((RQ) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((SR) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((I3-S) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((I4-I3) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية ((I5-I4) * N / 2 / L) +1 ؛ = أرضية (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1 ؛ i = 1: u1 (i) = P * sin (pi * t (i) / I1) ؛ i = u1: u2 (i) = 0 ؛ i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v؛ i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b؛ i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d؛ i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r ؛ i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0 ؛ i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)) ؛ (t ، y ، "LineWidth" ، 2) ، الشبكة ، المجموعة ( gca ، "FontName" ، "Arial Cyr" ، "FontSize" ، 16) ؛

العنوان ("مخطط العملية") ؛ xlabel ("الوقت (الأوقات)") ؛ ylabel ("Y (t)") ؛

٪ مؤامرة المبلغ الجزئي n

ن = 0 ؛ ي = 1: ExprNum = j ؛ j1 = رباعي (@ f ، 0 ، I1) ؛ 2 = a0 + quad (f ، I1 ، I2) ؛ 3 = a0 + رباعي (f ، I2 ، Q ) ؛ 4 = a0 + quad (f، Q، R) ؛ 5 = a0 + quad (f، R، S)؛ 6 = a0 + quad (f، S، I3)؛ 7 = a0 + quad ( f، I3، I4)؛ 8 = a0 + quad (f، I4، I5)؛ 9 = a0 + quad (f، I5، 2 * L)؛ = a0 / L؛ = الأصفار (1، Ns) ؛ = الأصفار (1 ، Ns) ؛ i = 1: Ns = i ؛ j = 1: ExprNum = j ؛ j1 (i) = رباعي (f ، 0 ، I1) ؛ (i) = رباعي (g ، 0، I1)؛ 2 (i) = an (i) + quad (f، I1، I2)؛ (i) = bn (i) + quad (g، I1، I2)؛ 3 (i) = an (i) + quad (f، I2، Q) ؛ (i) = bn (i) + quad (g، I2، Q)؛ 4 (i) = an (i) + quad (f، Q ، R) ؛ (i) = bn (i) + quad (g ، Q ، R) ؛ 5 (i) = an (i) + quad (@ f ، R ، S) ؛ (i) = bn (i ) + رباعي (g ، R ، S) ؛ 6 (i) = an (i) + quad (f ، S ، I3) ؛ (i) = bn (i) + quad (g ، S ، I3) ؛ 7 (i) = an (i) + quad (f، I3، I4)؛ (i) = bn (i) + quad (g، I3، I4)؛ 8 (i) = an (i) + رباعي (@ f، I4، I5)؛ (i) = bn (i) + quad (g، I4، I5)؛ 9 (i) = an (i) + quad (f، I5، 2 * L) ؛ (i) = bn (i) + quad (g ، I5 ، 2 * L) ؛ (i) = an (i) / L ؛ (i) = bn (i) / L ؛ = t ؛ = الأصفار (1 ، الطول (س)) ؛ = fn + a0 / 2 ؛ i = 1: Ns = i ؛ = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L) ؛ (t ، y ، x ، fn ، "LineWidth" ، 2) ، الشبكة ، المجموعة (gca ، "FontName" ، "Arial Cyr" ، "FontSize" ، 16) ؛

العنوان ("الرسم البياني للإشارة والجمع الجزئي") ؛ xlabel ("الوقت (الأوقات)") ؛ ylabel (sprintf ("Sn (t)")) ؛

٪ رسم مخطط السعة = الأصفار (1 ، Ns) ؛

wn = pi / L ؛ = wn: wn: wn * Ns ؛ i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2) ؛ (Gn ، A ، ". ") ، الشبكة ، المجموعة (gca ،" FontName "،" Arial Cyr "،" FontSize "، 16) ؛ (" مخطط سعة الإشارة ") ؛ xlabel ("n") ؛ ylabel ("An") ؛

٪ إنشاء مخطط الطور للإشارة = الأصفار (1 ، Ns) ؛

من أجل i = 1: Ns (an (i)> 0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) ؛ ((an (i))<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) + pi ؛ ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2 ؛ ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>، تقدم - ");

قائمةالمؤلفات

1. Fikhtengolts ، G.M. مسار حساب التفاضل والتكامل: في 3 مجلدات ، موسكو ، 1997.3 مجلدات.

Vodnev ، VT ، Naumovich ، AF ، Naumovich ، NF ، الصيغ الرياضية الأساسية. مينسك ، 1998

خاركيفيتش أ.أ. الأطياف والتحليل. موسكو ، 1958

لازاريف ، يو.اف ، بدايات البرمجة في بيئة ماتلاب. كييف 2003.

ديميدوفيتش ، ب. مجموعة مسائل وتمارين في التحليل الرياضي ، م. ، 1988.

في كثير من الحالات ، تكون مهمة الحصول على (حساب) طيف الإشارة على النحو التالي. يوجد ADC ، والذي يحول بمعدل أخذ العينات Fd إشارة مستمرة تصل إلى مدخلاتها خلال الوقت T إلى عينات رقمية - قطع N. علاوة على ذلك ، يتم تغذية مجموعة العينات في برنامج معين ينتج N / 2 من بعض القيم العددية (المبرمج الذي انسحبت من الإنترنتكتب برنامجًا يدعي أنه يقوم بتحويل فورييه).

للتحقق مما إذا كان البرنامج يعمل بشكل صحيح ، دعنا نشكل مجموعة من العينات كمجموع اثنين من sinusoids sin (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) ونضعه في البرنامج . رسم البرنامج ما يلي:

الشكل 1 الرسم البياني للدالة الزمنية للإشارة

الشكل 2 مخطط طيف الإشارة

يحتوي الرسم البياني للطيف على عودتين (مدروجات) من 5 هرتز بسعة 0.5 فولت و 10 هرتز - بسعة 1 فولت ، كل شيء كما في صيغة الإشارة الأصلية. كل شيء على ما يرام ، ومبرمج أحسنت! البرنامج يعمل بشكل صحيح.

هذا يعني أننا إذا قمنا بتغذية إشارة حقيقية من خليط من شبيبتين جيبيتين إلى إدخال ADC ، فسنحصل على طيف مشابه ، يتكون من اثنين من التوافقيات.

توتال لدينا حقيقةالإشارة المقاسة ، دائم 5 ثوان، ADC رقمنة ، وهذا هو ، المقدمة منفصلهتهم ، لديها منفصلة غير دوريةنطاق.

من وجهة نظر رياضية ، كم عدد الأخطاء في هذه العبارة؟

قرر الرؤساء الآن أننا قررنا أن 5 ثوانٍ طويلة جدًا ، فلنقيس الإشارة في 0.5 ثانية.



الشكل 3 رسم بياني للدالة sin (10 * 2 * pi * x) + 0.5 * sin (5 * 2 * pi * x) في فترة قياس تبلغ 0.5 ثانية

الشكل 4 الطيف الوظيفي

يبدو أن هناك خطأ ما! يتم رسم التوافقي 10 هرتز بشكل طبيعي ، وبدلاً من عصا 5 هرتز ، ظهرت بعض التوافقيات غير المفهومة. نحن ننظر على الإنترنت ، ماذا وكيف ...

في ، يقولون أنه يجب إضافة الأصفار إلى نهاية العينة وسيتم رسم الطيف بشكل طبيعي.

الشكل 5 انتهينا من الأصفار حتى 5 ثوان

الشكل 6 استقبل الطيف

لا يزال ليس على ما كان عليه في 5 ثوان. سيتعين علينا التعامل مع النظرية. اذهب إلى ويكيبيديا- مصدر المعرفة.

2. الوظيفة المستمرة وتمثيلها بواسطة سلسلة فورييه

رياضياً ، إشارتنا التي تبلغ مدتها T ثانية هي دالة f (x) محددة في الفاصل الزمني (0 ، T) (X في هذه الحالة هي الوقت). يمكن دائمًا تمثيل هذه الوظيفة كمجموع من الوظائف التوافقية (الجيوب أو جيب التمام) بالشكل:

(1) حيث:

K - عدد التابع المثلثي (عدد المكون التوافقي ، عدد التوافقي)
T - المقطع الذي يتم فيه تحديد الوظيفة (مدة الإشارة)
Ak هي سعة المكون التوافقي k ،
θk هي المرحلة الأولية للمكوِّن التوافقي k

ماذا يعني "تمثيل دالة كمجموع لسلسلة"؟ هذا يعني أنه بإضافة قيم المكونات التوافقية لسلسلة فورييه عند كل نقطة ، نحصل على قيمة الدالة عند هذه النقطة.

(بشكل أكثر دقة ، فإن انحراف الجذر التربيعي للمتسلسلة عن الدالة f (x) سيميل إلى الصفر ، ولكن على الرغم من تقارب الجذر التربيعي ، فإن سلسلة فورييه للدالة ، بشكل عام ، ليست ملزمة بـ اقترب منه باتجاه توجيهي. راجع https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)

يمكن كتابة هذه السلسلة أيضًا على النحو التالي:

(2),
حيث ، السعة المعقدة k-th.

يتم التعبير عن العلاقة بين المعاملين (1) و (3) بالصيغ التالية:

لاحظ أن كل هذه التمثيلات الثلاثة لسلسلة فورييه متكافئة تمامًا. في بعض الأحيان ، عند العمل مع سلسلة فورييه ، يكون من الأنسب استخدام الأسس للحجة التخيلية بدلاً من الجيب وجيب التمام ، أي استخدام تحويل فورييه في شكل معقد. ولكن من الملائم لنا استخدام الصيغة (1) ، حيث يتم تقديم سلسلة فورييه كمجموع موجات جيب التمام ذات السعات والمراحل المقابلة. على أي حال ، من الخطأ القول أن نتيجة تحويل فورييه للإشارة الحقيقية ستكون السعات المعقدة للتوافقيات. كما يقول Wiki بشكل صحيح ، "تحويل فورييه (ℱ) هو عملية تعين وظيفة واحدة لمتغير حقيقي إلى وظيفة أخرى ، أيضًا متغير حقيقي."

المجموع:
الأساس الرياضي للتحليل الطيفي للإشارات هو تحويل فورييه.

يسمح لك تحويل فورييه بتمثيل الوظيفة المستمرة f (x) (إشارة) ، المحددة في المقطع (0 ، T) كمجموع عدد لا حصر له (سلسلة لا نهائية) من الدوال المثلثية (الجيوب و \ أو جيب التمام) مع بعض السعات والمراحل ، تعتبر أيضًا في المقطع (0 ، T). تسمى هذه السلسلة سلسلة فورييه.

دعنا نلاحظ بعض النقاط الأخرى ، المطلوب فهمها للتطبيق الصحيح لتحويل فورييه لتحليل الإشارة. إذا أخذنا في الاعتبار سلسلة فورييه (مجموع الجيوب الأنفية) على المحور X بأكمله ، فيمكننا أن نرى أنه خارج المقطع (0 ، T) ، ستكرر الوظيفة التي تمثلها سلسلة فورييه وظيفتنا بشكل دوري.

على سبيل المثال ، في الرسم البياني في الشكل 7 ، يتم تحديد الوظيفة الأصلية على المقطع (-T \ 2 ، + T \ 2) ، وتمثل سلسلة فورييه وظيفة دورية محددة على المحور x بأكمله.

هذا لأن الجيوب نفسها هي وظائف دورية ، وبالتالي ، سيكون مجموعها دالة دورية.

شكل 7 تمثيل دالة أصلية غير دورية بواسطة سلسلة فورييه

هكذا:

وظيفتنا الأصلية متصلة ، وغير دورية ، ومحددة في جزء من الطول T.
طيف هذه الوظيفة منفصل ، أي يتم تقديمه في شكل سلسلة لا نهائية من المكونات التوافقية - سلسلة فورييه.
في الواقع ، تحدد سلسلة فورييه وظيفة دورية معينة تتزامن مع وظيفتنا على المقطع (0 ، تي) ، ولكن بالنسبة لنا هذه الدورية ليست ضرورية.

فترات المكونات التوافقية هي مضاعفات قيمة المقطع (0 ، T) ، حيث يتم تعريف الوظيفة الأصلية f (x). بمعنى آخر ، فترات التوافقيات هي مضاعفات مدة قياس الإشارة. على سبيل المثال ، فترة التوافقي الأول لسلسلة فورييه تساوي الفاصل الزمني T ، حيث يتم تعريف الدالة f (x). فترة التوافقي الثاني لسلسلة فورييه تساوي الفترة T / 2. وهلم جرا (انظر الشكل 8).

الشكل 8 فترات (ترددات) المكونات التوافقية لسلسلة فورييه (هنا T = 2π)

وفقًا لذلك ، فإن ترددات المكونات التوافقية هي مضاعفات 1 / T. أي أن ترددات المكونات التوافقية Fk تساوي Fk = k \ T ، حيث k تتراوح من 0 إلى ، على سبيل المثال k = 0 F0 = 0 ؛ ك = 1 F1 = 1 \ T ؛ ك = 2 F2 = 2 \ T ؛ ل = 3 F3 = 3 \ T ؛ ... Fk = k \ T (عند تردد صفري - مكون ثابت).

دع وظيفتنا الأصلية تكون إشارة مسجلة لـ T = 1 ثانية. ثم ستكون فترة التوافقي الأول مساوية لمدة إشارتنا T1 = T = 1 ثانية وتردد التوافقي هو 1 هرتز. ستساوي الفترة التوافقية الثانية مدة الإشارة مقسومة على 2 (T2 = T / 2 = 0.5 ثانية) ويكون التردد 2 هرتز. بالنسبة إلى التوافقي الثالث ، T3 = T / 3 ثوانٍ والتردد 3 هرتز. إلخ.

الخطوة بين التوافقيات في هذه الحالة هي 1 هرتز.

وبالتالي ، يمكن أن تتحلل إشارة مدتها ثانية واحدة إلى مكونات توافقية (للحصول على طيف) باستبانة تردد تبلغ 1 هرتز.
لزيادة الدقة بمقدار مرتين إلى 0.5 هرتز ، من الضروري زيادة مدة القياس بمقدار مرتين - حتى ثانيتين. يمكن أن تتحلل إشارة مدتها 10 ثوانٍ إلى مكونات توافقية (للحصول على طيف) باستبانة تردد تبلغ 0.1 هرتز. لا توجد طريقة أخرى لزيادة دقة التردد.

هناك طريقة لزيادة مدة الإشارة بشكل مصطنع عن طريق إضافة أصفار إلى مجموعة العينة. لكنها لا تزيد من دقة التردد الحقيقي.

3. الإشارات المنفصلة وتحويل فورييه المنفصل

مع تطور التكنولوجيا الرقمية ، تغيرت أيضًا طرق تخزين بيانات القياس (الإشارات). إذا كان من الممكن تسجيل الإشارة في وقت سابق على مسجل شريط وتخزينها على شريط في شكل تناظري ، يتم الآن تحويل الإشارات رقميًا وتخزينها في ملفات في ذاكرة الكمبيوتر كمجموعة من الأرقام (التهم).

المخطط النموذجي لقياس الإشارة ورقمنتها هو كما يلي.

الشكل 9 رسم تخطيطي لقناة القياس

تصل الإشارة من محول طاقة القياس إلى ADC لفترة زمنية T. يتم نقل عينات الإشارة (العينة) التي تم الحصول عليها خلال الوقت T إلى الكمبيوتر وتخزينها في الذاكرة.

الشكل 10 إشارة رقمية - عدد N عينات تم الحصول عليها خلال الوقت T.

ما هي متطلبات معلمات رقمنة الإشارة؟ يُطلق على الجهاز الذي يحول إشارة الإدخال التناظرية إلى رمز منفصل (إشارة رقمية) اسم المحول التناظري إلى الرقمي (ADC) (Wiki).

أحد المعلمات الرئيسية لـ ADC هو الحد الأقصى لمعدل أخذ العينات (أو معدل أخذ العينات ، معدل العينة باللغة الإنجليزية) - معدل أخذ العينات للإشارة المستمرة في الوقت المناسب أثناء أخذ العينات. تقاس بالهرتز. ((ويكي))

وفقًا لنظرية Kotelnikov ، إذا كانت الإشارة المستمرة لها طيف محدود بالتردد Fmax ، فيمكن إعادة بنائها بالكامل وبشكل لا لبس فيه من عيناتها المنفصلة المأخوذة على فترات زمنية ، بمعنى آخر. بتردد Fd ≥ 2 * Fmax ، حيث Fd هو تردد أخذ العينات ؛ Fmax هو الحد الأقصى لتردد طيف الإشارة. بمعنى آخر ، يجب أن يكون تردد أخذ عينات الإشارة (تردد أخذ عينات ADC) أعلى مرتين على الأقل من الحد الأقصى لتردد الإشارة التي نريد قياسها.

وماذا سيحدث إذا أخذنا عينات بتردد أقل مما تتطلبه نظرية Kotelnikov؟

في هذه الحالة ، يحدث تأثير "التعرج" (المعروف أيضًا باسم تأثير اصطرابي ، تأثير تموج في النسيج) ، حيث تتحول الإشارة عالية التردد ، بعد الرقمنة ، إلى إشارة منخفضة التردد ، وهي في الواقع غير موجودة. في التين. 11 موجة جيبية حمراء عالية التردد هي إشارة حقيقية. إن الجيوب الأنفية الزرقاء ذات التردد المنخفض هي إشارة وهمية تنشأ بسبب حقيقة أنه خلال فترة أخذ العينات يتمكن من اجتياز أكثر من نصف فترة إشارة عالية التردد.

أرز. 11. ظهور إشارة خاطئة ذات تردد منخفض مع ارتفاع معدل أخذ العينات بشكل غير كافٍ

لتجنب تأثير التعرج ، يتم تثبيت مرشح خاص مضاد للتعرج أمام ADC - مرشح تمرير منخفض (مرشح تمرير منخفض) ، والذي يمرر ترددات أقل من نصف تردد أخذ العينات لـ ADC ، ويقطع الترددات الأعلى.

من أجل حساب طيف الإشارة من عيناتها المنفصلة ، يتم استخدام تحويل فورييه المنفصل (DFT). لاحظ مرة أخرى أن طيف الإشارة المنفصلة "بحكم التعريف" مقيد بالتردد Fmax ، أي أقل من نصف تردد أخذ العينات Fd. لذلك ، يمكن تمثيل طيف الإشارة المنفصلة بمجموع عدد محدود من التوافقيات ، على عكس المجموع اللانهائي لسلسلة فورييه للإشارة المستمرة ، والتي يمكن أن يكون طيفها غير محدود. وفقًا لنظرية Kotelnikov ، يجب أن يكون الحد الأقصى لتردد التوافقي بحيث يحتوي على حسابين على الأقل ، وبالتالي فإن عدد التوافقيات يساوي نصف عدد عينات الإشارة المنفصلة. بمعنى ، إذا كانت هناك عينات N في العينة ، فسيكون عدد التوافقيات في الطيف مساويًا لـ N / 2.

فكر الآن في تحويل فورييه المنفصل (DFT).

مقارنة مع سلسلة فورييه

نرى أنها تتطابق ، باستثناء أن الوقت في DFT منفصل وأن عدد التوافقيات يقتصر على N / 2 ، وهو نصف عدد التهم.

تتم كتابة صيغ DFT في متغيرات عدد صحيح بلا أبعاد k ، s ، حيث k هي عدد عينات الإشارة ، s هي أعداد المكونات الطيفية.
توضح قيمة s عدد التذبذبات التوافقية الكلية في الفترة T (مدة قياس الإشارة). يتم استخدام تحويل فورييه المنفصل للعثور على اتساع ومراحل التوافقيات عدديًا ، أي "على الحاسوب"

العودة إلى النتائج في البداية. كما ذكرنا سابقًا ، عند توسيع دالة غير دورية (إشارتنا) في سلسلة فورييه ، فإن سلسلة فورييه الناتجة تتوافق فعليًا مع وظيفة دورية بفترة زمنية T. (الشكل 12).

الشكل 12 دالة دورية f (x) بفترة T0 ، مع فترة قياس T> T0

كما يتضح من الشكل 12 ، فإن الدالة f (x) دورية بفترة T0. ومع ذلك ، نظرًا لحقيقة أن مدة عينة القياس T لا تتزامن مع فترة الوظيفة T0 ، فإن الوظيفة التي تم الحصول عليها كسلسلة فورييه لها انقطاع عند النقطة T. ونتيجة لذلك ، فإن طيف هذه الوظيفة سوف تحتوي على عدد كبير من التوافقيات عالية التردد. إذا تزامنت مدة عينة القياس T مع فترة الوظيفة T0 ، فعندئذٍ في الطيف الذي تم الحصول عليه بعد تحويل فورييه ، سيكون التوافقي الأول فقط (الجيبية مع فترة تساوي مدة العينة) موجودًا ، حيث الدالة f (x) شبيهة بالجيوب.

بعبارة أخرى ، برنامج DFT "لا يعرف" أن إشارتنا هي "قطعة من الجيب الجيبي" ، لكنه يحاول تمثيل وظيفة دورية كسلسلة ، والتي لها انقطاع بسبب عدم تناسق القطع الفردية من الجيب.

نتيجة لذلك ، تظهر التوافقيات في الطيف ، والتي يجب أن تلخص شكل الوظيفة ، بما في ذلك هذا الانقطاع.

وبالتالي ، من أجل الحصول على طيف "صحيح" للإشارة ، وهو مجموع العديد من أشباه الجيوب بفترات مختلفة ، من الضروري أن يتناسب عدد صحيح من فترات كل جيب في فترة قياس الإشارة. في الممارسة العملية ، يمكن استيفاء هذا الشرط لمدة طويلة بما فيه الكفاية لقياس الإشارة.

شكل 13 مثال على وظيفة وطيف إشارة الخطأ الحركي لعلبة التروس

مع مدة أقصر ، ستبدو الصورة "أسوأ":

شكل 14 مثال على وظيفة إشارة اهتزاز الدوار والطيف

من الناحية العملية ، قد يكون من الصعب فهم مكان "المكونات الحقيقية" وأين توجد "القطع الأثرية" الناتجة عن الفترات المتعددة للمكونات ومدة أخذ عينات الإشارة أو "القفزات والانقطاعات" في شكل الموجة. بطبيعة الحال ، فإن الكلمات "المكونات الحقيقية" و "المصنوعات اليدوية" ليست عبثًا في الاقتباسات. إن وجود العديد من التوافقيات على الرسم البياني للطيف لا يعني أن إشارتنا في الواقع "تتكون منها". يشبه التفكير في أن الرقم 7 "يتكون" من الرقمين 3 و 4. يمكن تمثيل الرقم 7 على أنه مجموع العددين 3 و 4 - هذا صحيح.

لذا فإن إشارتنا ... أو بالأحرى ليست "إشارتنا" ، ولكن يمكن تمثيل الوظيفة الدورية المكونة من تكرار الإشارة (العينة) كمجموع من التوافقيات (الجيوب الأنفية) مع اتساع ومراحل معينة. ولكن في العديد من الحالات المهمة للممارسة (انظر الأشكال أعلاه) ، من الممكن حقًا ربط التوافقيات التي تم الحصول عليها في الطيف بالعمليات الحقيقية ذات الطبيعة الدورية والتي تساهم بشكل كبير في شكل الإشارة.

بعض النتائج

1. الإشارة الحقيقية المقاسة ، المدة T sec ، المُرقمنة بواسطة ADC ، أي ممثلة بمجموعة من العينات المنفصلة (N قطعة) ، لها طيف منفصل غير دوري ، ممثلة بمجموعة من التوافقيات (N / 2 pieces) ).

2. تمثل الإشارة مجموعة من القيم الحقيقية ويمثل طيفها مجموعة من القيم الحقيقية. الترددات التوافقية موجبة. حقيقة أن علماء الرياضيات يجدون أنه من الأنسب تمثيل الطيف في شكل معقد باستخدام ترددات سالبة لا تعني أن "هذا صحيح" و "يجب القيام بذلك دائمًا".

3. يتم تحديد الإشارة المقاسة في الفاصل الزمني T فقط في الفترة الزمنية T. ماذا كان قبل أن نبدأ في قياس الإشارة ، وماذا سيحدث بعد ذلك - هذا غير معروف للعلم. وفي حالتنا ، هذا ليس مثيرًا للاهتمام. يعطي DFT لإشارة محدودة الزمن طيفها "الحقيقي" ، بمعنى أنه ، في ظل ظروف معينة ، يسمح بحساب اتساع وتواتر مكوناتها.

المواد المستعملة والمواد المفيدة الأخرى.

يتم استدعاء الإشارة دوريةإذا تكرر شكله دوريًا في الوقت المناسب. تتم كتابة الإشارة الدورية بشكل عام على النحو التالي:

ها هي فترة الإشارة. يمكن أن تكون الإشارات الدورية بسيطة أو معقدة.

من أجل التمثيل الرياضي للإشارات الدورية مع فترة ، غالبًا ما تستخدم هذه السلسلة ، حيث يتم اختيار التذبذبات التوافقية (الجيبية وجيب التمام) للترددات المتعددة كوظائف أساسية:

أين . هو التردد الزاوي الأساسي لتسلسل الوظائف. مع وظائف الأساس التوافقي ، نحصل من هذه السلسلة على سلسلة فورييه ، والتي يمكن كتابتها في أبسط الحالات بالشكل التالي:

حيث المعاملات

يمكن أن نرى من سلسلة فورييه أنه ، في الحالة العامة ، تحتوي الإشارة الدورية على مكون ثابت ومجموعة من التذبذبات التوافقية للتردد الأساسي وتوافقياته مع الترددات. يتميز كل تذبذب توافقي لسلسلة فورييه بسعة ومرحلة أولية.

مخطط طيفي وطيف للإشارة الدورية.

إذا تم تقديم أي إشارة كمجموع التذبذبات التوافقية بترددات مختلفة ، فهذا يعني ذلك التحلل الطيفي الإشارة.

مخطط طيفيالإشارة هي تمثيل رسومي لمعاملات سلسلة فورييه لهذه الإشارة. هناك مخططات السعة والطور. لإنشاء هذه المخططات ، يتم رسم الترددات التوافقية على مقياس معين على طول المحور الأفقي ، ويتم رسم اتساعها ومراحلها على طول المحور الرأسي. علاوة على ذلك ، يمكن أن تأخذ اتساعات التوافقيات القيم الإيجابية فقط ، المراحل - القيم الإيجابية والسلبية في الفاصل الزمني.

المخططات الطيفية للإشارة الدورية:

أ) - السعة. ب) - المرحلة.

طيف الإشارةعبارة عن مجموعة من المكونات التوافقية ذات القيم المحددة للترددات والسعات والمراحل الأولية ، والتي تشكل معًا إشارة. في الممارسة العملية ، تسمى المخططات الطيفية بشكل أكثر إيجازًا - طيف السعة, طيف الطور... يظهر الاهتمام الأكبر في مخطط طيف السعة. يمكن استخدامه لتقدير النسبة المئوية للتوافقيات في الطيف.

تلعب الخصائص الطيفية دورًا مهمًا في تكنولوجيا الاتصالات. من خلال معرفة طيف الإشارة ، يمكنك حساب النطاق الترددي للمكبرات والمرشحات والكابلات وعقد قنوات الاتصال الأخرى وتعيينه بشكل صحيح. تعد معرفة أطياف الإشارة ضرورية لبناء أنظمة متعددة القنوات مع تعدد إرسال بتقسيم التردد. بدون معرفة طيف التداخل ، من الصعب اتخاذ تدابير لقمعه.

من هذا المنطلق يمكننا أن نستنتج أنه يجب معرفة الطيف من أجل تنفيذ إرسال غير مشوه للإشارة عبر قناة الاتصال ، لضمان فصل الإشارة وتخفيف التداخل.

لمراقبة أطياف الإشارات ، هناك أجهزة تسمى محللات الطيف... إنها تسمح بمراقبة وقياس معلمات المكونات الفردية للطيف للإشارة الدورية ، وكذلك قياس الكثافة الطيفية للإشارة المستمرة.