Primer armónico de la serie Fourier. Descomposición de curvas periódicas no sinusoidales en series trigonométricas de Fourier

Inicio\u003e Derecho

CIRCUITOS DE CORRIENTE NO SINUSOIDES

Hasta ahora, hemos estudiado circuitos de corriente sinusoidal, pero la ley de variación de la corriente con el tiempo puede diferir de la sinusoidal. En este caso, tienen lugar circuitos de corriente no sinusoidales. Todas las corrientes no sinusoidales se dividen en tres grupos: periódicas, es decir tener un período T (Figura 6.1, a), no periódica (Figura 6.1, b) y casi periódica, con una envolvente que cambia periódicamente ( T o) y el período de repetición del pulso ( T i) (Figura 6.1, c). Hay tres formas de obtener corrientes no sinusoidales: a) un EMF no sinusoidal actúa en el circuito; b) un EMF sinusoidal actúa en el circuito, pero uno o más elementos del circuito no son lineales; c) un EMF sinusoidal actúa en el circuito, pero los parámetros de uno o más elementos del circuito cambian periódicamente en el tiempo. En la práctica, el método b) se utiliza con mayor frecuencia. Las corrientes no sinusoidales más extendidas se encuentran en dispositivos de ingeniería de radio, automatización, telemecánica y tecnología informática, donde a menudo se encuentran pulsos de las formas más diversas. Las corrientes no sinusoidales también se encuentran en la industria de la energía eléctrica. Consideraremos solo voltajes y corrientes no sinusoidales periódicos que se pueden descomponer en componentes armónicos.

Descomposición de curvas periódicas no sinusoidales en series trigonométricas de Fourier

Los fenómenos que ocurren en circuitos lineales a tensiones y corrientes periódicas no sinusoidales son los más fáciles de calcular y estudiar si las curvas no sinusoidales se descomponen en una serie de Fourier trigonométrica. Se sabe por las matemáticas que la función periódica f (ωt)satisfaciendo las condiciones de Dirichlet, es decir que tiene, en cualquier intervalo de tiempo finito, un número finito de discontinuidades de sólo el primer tipo y un número finito de máximos y mínimos, se puede expandir en una serie de Fourier trigonométrica

f (ωt) \u003d A o +
sinωt +
sin2ωt +
sin3ωt + +
cosωt +
cos2ωt +
cos3ωt + \u003d

UN o +
.

Aquí: UN o - componente constante o armónico cero;
- amplitud del componente seno kth armónico;
- amplitud del coseno kth armónico. Están determinadas por las siguientes fórmulas

Dado que, como sigue del diagrama vectorial (Figura 6.2), obtenemos

.

Los términos incluidos en esta expresión se denominan armónicos. Distinguir entre pares ( k - pares) e impares. El primer armónico se llama fundamental y el resto se llama más alto. La última forma de la serie de Fourier es conveniente cuando necesita conocer el porcentaje de cada armónico. La misma forma de la serie de Fourier se utiliza al calcular circuitos de corriente no sinusoidales. Aunque en teoría la serie de Fourier contiene un número infinitamente grande de términos, generalmente converge rápidamente. y una serie convergente puede expresar una función dada con cualquier grado de precisión. En la práctica, es suficiente tomar una pequeña cantidad de armónicos (3-5) para obtener una precisión de cálculo de varios porcentajes.

Características de la expansión de curvas en serie de Fourier con simetría

1. Las curvas, cuyo valor promedio durante el período es igual a cero, no contienen un componente constante (armónico cero). 2
f (ωt) \u003d - f (ωt + π), entonces se llama simétrico con respecto al eje de abscisas. Este tipo de simetría es fácil de determinar por la forma de la curva: si la desplaza medio período a lo largo del eje de abscisas, refleje y al mismo tiempo se fusionará con la curva original (Figura 6.3), entonces hay simetría. Cuando dicha curva se expande en una serie de Fourier, esta última carece de un componente constante y todos los armónicos pares, ya que no satisfacen la condición f (ωt) \u003d - f (ωt + π).

f (ωt) \u003d sin (ωt + ψ 1 ) + pecado (3ωt + ψ 3 )+
pecado (5ωt + ψ 5 )+···.

3
... Si la función satisface la condición f (ωt) \u003d f (-ωt), entonces se llama simétrico con respecto a la ordenada (par). Este tipo de simetría es fácil de determinar por la forma de la curva: si la curva que se encuentra a la izquierda de la ordenada está reflejada y se fusiona con la curva original, entonces hay simetría (Figura 6.4). Cuando dicha curva se expande en una serie de Fourier, esta última carecerá de los componentes sinusoidales de todos los armónicos ( = f (ωt) \u003d f (-ωt).Por lo tanto, para tales curvas

f (ωt) \u003d A acerca de +
cosωt +
cos2ωt +
cos3ωt + ...

4
... Si la función satisface la condición f (ωt) \u003d - f (-ωt), entonces se llama simétrico con respecto al origen (impar). La presencia de este tipo de simetría es fácil de determinar por la forma de la curva: si la curva que se encuentra a la izquierda del eje de ordenadas se gira con respecto a puntos origen y se fusiona con la curva original, entonces hay simetría (Figura 6.5). Cuando dicha curva se expande en una serie de Fourier, esta última carecerá de los componentes coseno de todos los armónicos (
= 0), ya que no cumplen la condición f (ωt) \u003d - f (-ωt).Por lo tanto, para tales curvas

f (ωt) \u003d
sinωt +
sin2ωt +
sin3ωt +

Si hay alguna simetría en las fórmulas para y puede tomar la integral durante medio período, pero duplicar el resultado, es decir usar expresiones

Hay varios tipos de simetría en curvas al mismo tiempo. Para facilitar la cuestión de los componentes armónicos en este caso, complete la tabla

Tipo de simetría	Expresión analítica
1. Ejes de abscisas	f (ωt) \u003d - f (ωt + π)		Solo extraño
2. Ejes de ordenadas	f (ωt) \u003d f (-ωt)
3. Origen de las coordenadas	f (ωt) \u003d - f (-ωt)
4. Ejes de abscisas y ejes de ordenadas	f (ωt) \u003d - f (ωt + π) \u003d f (-ωt)			Impar
5. Ejes de abscisas y origen	f (ωt) \u003d - f (ωt + π) \u003d - f (-ωt)		Impar

Al expandir la curva en una serie de Fourier, primero se debe averiguar si tiene algún tipo de simetría, cuya presencia permite predecir de antemano qué armónicos estarán en la serie de Fourier y no realizar trabajo innecesario.

Expansión de curvas de la serie grafoanalítica de Fourier

Cuando una curva no sinusoidal viene dada por un gráfico o tabla y no tiene expresión analítica, para determinar sus armónicos se recurre a una descomposición gráfico-analítica. Se basa en reemplazar una integral definida por la suma de un número finito de términos. A tal efecto, el período de funcionamiento f (ωt)forzar norte partes iguales Δ ωt \u003d2π / norte(Figura 6.6). Entonces para el armónico cero

dónde: r - el índice actual (número de sección), tomando valores de 1 a norte; f r (ωt) -valor de la función f (ωt)a ωt \u003d pΔ ωt(ver figura 6.6) . Para la amplitud del componente seno k-Th armónico

Para la amplitud del componente coseno k-Th armónico

aquí pecado pags kωt y porque pags kωt- valores hundirsey coskωta ωt \u003d p... En cálculos prácticos, generalmente se toma norte\u003d 18 (Δ ωt \u003d20˚) o norte\u003d 24 (Δ ωt \u003d15). En la expansión gráfico-analítica de curvas en una serie de Fourier, es aún más importante que en la analítica averiguar si tiene algún tipo de simetría, cuya presencia reduce significativamente la cantidad de trabajo computacional. Entonces, las fórmulas para y en presencia de simetría, toma la forma

Al trazar armónicos en un gráfico general, debe tenerse en cuenta que la escala a lo largo del eje de abscisas para k-Th armónico en kveces más que la primera.

Valores máximos, medios y efectivos de magnitudes no sinusoidales

Los valores periódicos no sinusoidales, además de sus componentes armónicos, se caracterizan por valores máximos, medios y efectivos. Valor máximo UN m es el valor más grande del módulo de la función durante el período (Figura 6.7). El valor promedio del módulo se determina de la siguiente manera

.

Si la curva es simétrica con respecto al eje de abscisas y no cambia de signo durante un medio período, entonces el valor promedio sobre el valor absoluto es igual al valor promedio durante un medio período.

,

además, en este caso, el origen del tiempo debe elegirse para que f (0)= 0. Si la función nunca cambia de signo durante todo el período, entonces su valor medio en valor absoluto es igual al componente constante. En circuitos de corriente no sinusoidal, los valores de la EMF, tensiones o corrientes se entienden como sus valores efectivos, determinados por la fórmula

.

Si la curva se expande en una serie de Fourier, entonces su valor efectivo se puede determinar de la siguiente manera

Expliquemos la recepción del resultado. El producto de sinusoides de diferentes frecuencias ( kω y yo) es una función armónica y la integral durante el período de cualquier función armónica es cero. La integral bajo el signo de la primera suma se determinó en los circuitos de corriente sinusoidal y allí se mostraba su valor. Por lo tanto,

.

De esta expresión se deduce que el valor efectivo de cantidades periódicas no sinusoidales depende solo de los valores efectivos de sus armónicos y no depende de sus fases iniciales. ψ k ... Pongamos un ejemplo. Dejar tu=120
pecado (314 t+ 45˚) -50sin (3314 t-75˚) segundo... Su valor efectivo

Hay casos en los que la media en valor absoluto y los valores efectivos de las cantidades no sinusoidales se pueden calcular en base a la integración de la expresión analítica de la función y luego no es necesario expandir la curva en una serie de Fourier. En la industria de la energía eléctrica, donde las curvas son predominantemente simétricas con respecto al eje de abscisas, se utilizan una serie de coeficientes para caracterizar su forma. Tres de ellos son los más utilizados: factor de cresta k a, relación de aspecto k f y factor de distorsión k y. Se definen así: k a \u003d UN m / UN; /UN Mie; k y \u003d UN 1 /A. Para una sinusoide, tienen los siguientes significados: k a \u003d; k φ \u003d π UN metro / 2UN m ≈1,11; 1.D para una curva rectangular (Figura 6.8, a), los coeficientes son los siguientes: k a \u003d 1; k f \u003d 1; k y \u003d 1,26 /. Para una curva de forma puntiaguda (pico) (Figura 6.8, b), los valores de los coeficientes son los siguientes: k a\u003e y cuanto más alta, más puntiaguda es su forma; k f\u003e 1,11 y cuanto más alta, más pronunciada es la curva; k y<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. Уparece que somos una de las aplicaciones prácticas del factor de distorsión. Las curvas de voltaje de las redes industriales suelen ser diferentes de la sinusoide ideal. En la industria de la energía eléctrica se introduce el concepto de curva casi sinusoidal. Según GOST, el voltaje de las redes industriales se considera casi sinusoidal si la mayor diferencia entre las ordenadas correspondientes de la curva verdadera y su primer armónico no excede el 5% de la amplitud del armónico fundamental (Figura 6.9). La medición de valores no sinusoidales con instrumentos de diferentes sistemas da resultados diferentes. Los voltímetros electrónicos de amplitud miden valores máximos. Los dispositivos magnetoeléctricos reaccionan solo al componente CC de los valores medidos. Los dispositivos magnetoeléctricos con rectificador miden el valor promedio del módulo. Los instrumentos de todos los demás sistemas miden valores rms.

Cálculo de circuitos de corriente no sinusoidales.

Si una o varias fuentes con EMF no sinusoidal actúan en el circuito, entonces su cálculo se divide en tres etapas. 1. Descomposición de fuentes EMF en componentes armónicos. Cómo hacer esto se discutió anteriormente. 2. Aplicación del principio de superposición y cálculo de corrientes y tensiones en el circuito a partir de la acción de cada componente de la EMF por separado. 3. Consideración conjunta (sumatoria) de las soluciones obtenidas en la cláusula 2. La suma de los componentes en forma general suele ser difícil y no siempre necesaria, ya que sobre la base de los componentes armónicos se puede juzgar tanto la forma de la curva como las cantidades básicas que la caracterizan. ACERCA DE
el escenario principal es el segundo. Si un EMF no sinusoidal está representado por una serie de Fourier, entonces dicha fuente puede considerarse como una conexión en serie de una fuente EMF constante y fuentes de EMF sinusoidal con diferentes frecuencias (figura 6.10). Aplicando el principio de superposición y considerando la acción de cada EMF por separado, es posible determinar los componentes de las corrientes en todas las ramas del circuito. Dejar mi o crea yo o, mi 1 - yo 1 , mi 2 - yo 2, etc. Entonces la corriente real yo=yo o + yo 1 +yo 2 +··· . Por lo tanto, el cálculo de un circuito de corriente no sinusoidal se reduce a resolver un problema con un EMF constante y una serie de problemas con EMF sinusoidal. A la hora de solucionar cada uno de estos problemas, es necesario tener en cuenta que para distintas frecuencias las resistencias inductiva y capacitiva no son iguales. La reactancia inductiva es directamente proporcional a la frecuencia, por lo que es para k-Dos armónicos x Lk \u003d kωL=kx L1, es decir para k-Ese armónico está en kveces más que la primera. La capacitancia es inversamente proporcional a la frecuencia, por lo que es para k-Dos armónicos x Сk \u003d 1 / kωС=x C1 / k, es decir para k-Ese armónico está en kveces menos que la primera. La resistencia activa, en principio, también depende de la frecuencia debido al efecto de superficie, sin embargo, con pequeñas secciones transversales de conductores y a bajas frecuencias, el efecto de superficie está prácticamente ausente y se puede asumir que la resistencia activa es la misma para todos los armónicos. Si se aplica un voltaje no sinusoidal directamente al capacitor, entonces para k-Th armónico de corriente

H cuanto mayor sea el número de armónicos, menor será la resistencia de capacitancia. Por lo tanto, incluso si la amplitud del voltaje armónico de orden superior es una pequeña fracción de la amplitud del primer armónico, aún puede causar una corriente comparable o superior a la corriente fundamental. En este sentido, incluso a un voltaje cercano a sinusoidal, la corriente en el capacitor puede resultar ser marcadamente no sinusoidal (Figura 6.11). En este sentido, se dice que la capacitancia enfatiza altas corrientes armónicas. Si se aplica un voltaje no sinusoidal directamente a la inductancia, entonces para k-Th armónico de corriente

.

DESDE
aumentar el orden armónico aumenta la reactancia inductiva. Por tanto, en la corriente que pasa por la inductancia, los armónicos más altos se presentan en menor medida que en la tensión en sus terminales. Incluso con un voltaje marcadamente no sinusoidal, la curva de corriente en la inductancia a menudo se acerca a una sinusoide (figura 6.12). Por lo tanto, se dice que la inductancia acerca la curva de corriente a una sinusoide. Al calcular cada componente armónico de la corriente, es posible utilizar un método complejo y construir diagramas vectoriales, sin embargo, es inaceptable realizar la suma geométrica de vectores y la suma de complejos de voltajes o corrientes de diferentes armónicos. De hecho, los vectores que representan, digamos, las corrientes del primer y tercer armónico giran a diferentes velocidades (Figura 6.13). Por lo tanto, la suma geométrica de estos vectores da el valor instantáneo de su suma solo para ω t\u003d 0 y no tiene sentido en el caso general.

Potencia de corriente no sinusoidal

Además de en circuitos de corriente sinusoidal, hablaremos de las potencias que consume un bipolar pasivo. También se entiende por potencia activa el valor medio de la potencia instantánea durante el período

Deje que el voltaje y la corriente en la entrada de una red de dos terminales estén representados por la serie de Fourier

Sustituir los valores tu y yo en la fórmula R

El resultado se obtuvo teniendo en cuenta el hecho de que la integral durante el período del producto de sinusoides de diferentes frecuencias es cero, y la integral durante el período del producto de sinusoides de la misma frecuencia se determinó en la sección de circuitos de corriente sinusoidal. Por tanto, la potencia activa de la corriente no sinusoidal es igual a la suma de las potencias activas de todos los armónicos. Está claro que R k se puede determinar mediante cualquier fórmula conocida. Por analogía con una corriente sinusoidal, para una no sinusoidal, se introduce el concepto de potencia total como el producto de los valores efectivos de tensión y corriente, es decir, S \u003d UI... Actitud R a S se llama factor de potencia y es igual al coseno de algún ángulo condicional θ , es decir porque θ =P / S... En la práctica, muy a menudo los voltajes y corrientes no sinusoidales se reemplazan por sinusoides equivalentes. En este caso, se deben cumplir dos condiciones: 1) el valor efectivo de la sinusoide equivalente debe ser igual al valor efectivo de la cantidad reemplazada; 2) el ángulo entre las sinusoides equivalentes de voltaje y corriente θ debería ser tal que UIporque θ sería igual a la potencia activa R... Por lo tanto, θ es el ángulo entre la tensión equivalente y las sinusoides actuales. Por lo general, el valor rms de las sinusoides equivalentes está cerca de los valores rms de los armónicos fundamentales. Por analogía con la corriente sinusoidal, para la corriente no sinusoidal, se introduce el concepto de potencia reactiva, definida como la suma de las potencias reactivas de todos los armónicos

Para corriente no sinusoidal en oposición a sinusoidal S 2 ≠PAGS 2 +Q 2. Por lo tanto, aquí se introduce el concepto de potencia de distorsión. T, que caracteriza la diferencia entre las formas de las curvas de voltaje y corriente y se define como

Armónicos más altos en sistemas trifásicos

En sistemas trifásicos, típicamente las curvas de voltaje en las fases B y C reproducen con precisión la curva en la fase A con un tercer período de compensación. Así que si tu A \u003d f (ωt)luego tu B \u003d f (ωt-2π/ 3), un tu C \u003d f (ωt +2π/ 3). Suponga que los voltajes de fase no son sinusoidales y se expanden en una serie de Fourier. Entonces considera k–Th armónico en las tres fases. Dejar tu Ak \u003d U km pecado kωt + ψ k), entonces obtenemos tu Вk \u003d U km pecado kωt + ψ k -k2π/ 3) y tu Ck \u003d U km pecado kωt + ψ k + k2π/ 3). Comparando estas expresiones para diferentes valores k, observamos que para armónicos que son múltiplos de tres ( k=3norte, norte - una serie natural de números, comenzando desde 0) en todas las fases de la tensión en cualquier momento tienen el mismo significado y dirección, es decir forman un sistema de secuencia cero. Cuando k=3n +1, los armónicos forman un sistema de voltaje, cuya secuencia coincide con la secuencia de voltajes reales, es decir, forman un sistema de secuencia directa. Cuando k=3norte-1, los armónicos forman un sistema de voltaje, cuya secuencia es opuesta a la secuencia de voltajes reales, es decir forman un sistema de secuencia inversa. En la práctica, tanto el componente constante como todos los armónicos pares suelen estar ausentes, por lo tanto, en el futuro, nos limitaremos a considerar solo los armónicos impares. Entonces, el armónico más cercano que forma la secuencia inversa es el quinto. En los motores eléctricos, causa el mayor daño, por lo tanto, es con él que luchan sin descanso. Considere las características de la operación de sistemas trifásicos causadas por la presencia de armónicos que son múltiplos de tres. uno ... Al conectar los devanados de un generador o transformador en un triángulo (Figura 6.14), corrientes armónicas que son múltiplos de tres fluyen a través de las ramas de este último, incluso en ausencia de una carga externa. De hecho, la suma algebraica de la EMF de armónicos que son múltiplos de tres ( mi 3 , mi 6, etc.), en el triángulo tiene tres veces el valor, en contraste con los otros armónicos, para los cuales esta suma es igual a cero. Si la resistencia de fase del devanado para el tercer armónico Z 3, entonces la tercera corriente armónica en el circuito triangular será yo 3 =mi 3 /Z 3. Del mismo modo, la sexta corriente armónica yo 6 =mi 6 /Z 6, etc. El valor efectivo de la corriente que fluye a través de los devanados será
... Dado que las resistencias de los devanados del generador son pequeñas, la corriente puede alcanzar valores elevados. Por lo tanto, si hay armónicos en la fase EMF que son múltiplos de tres, los devanados del generador o transformador no están conectados en un triángulo. 2 ... Si conecta los devanados de un generador o transformador en un triángulo abierto (Fig. 6.155, entonces un voltaje actuará en sus terminales, igual a la suma de la EMF de los armónicos, múltiplos de tres, es decir, tu BX \u003d 3 mi 3 m pecado (3 ωt + ψ 3)+3mi 6m pecado (6 ωt + ψ 6)+3mi 9m pecado (9 ωt + ψ 9)+···. Su valor efectivo

.

Por lo general, se usa un delta abierto antes de conectar los devanados del generador en un delta convencional para verificar la posibilidad de una implementación sin problemas de este último. 3. Las tensiones lineales, independientemente del diagrama de conexión del devanado del generador o transformador, no contienen armónicos múltiplos de tres. Cuando se conectan mediante un triángulo, los campos electromagnéticos de fase que contienen armónicos que son múltiplos de tres son compensados \u200b\u200bpor la caída de voltaje en la resistencia de fase interna del generador. De hecho, de acuerdo con la segunda ley de Kirchhoff para el tercero, por ejemplo, armónicos para el circuito de la figura 6.14, podemos escribir U AB3 + yo 3 Z 3 =mi 3, de donde obtenemos U AB3 \u003d 0. Lo mismo ocurre con cualquiera de los armónicos divisibles por tres. Cuando se conecta a una estrella, los voltajes de línea son iguales a la diferencia de la EMF de fase correspondiente. Para armónicos que son múltiplos de tres, al compilar estas diferencias, los EMF de fase se destruyen, ya que forman un sistema de secuencia cero. Así, los componentes de todos los armónicos y su valor efectivo pueden estar presentes en las tensiones de fase. En tensiones de línea, los armónicos múltiplos de tres están ausentes, por lo tanto su valor efectivo. En este sentido, en presencia de armónicos múltiplos de tres, U l / U F<
... 4. En circuitos sin hilo neutro, las corrientes de armónicos múltiplos de tres no pueden cerrarse, ya que forman un sistema de secuencia cero y pueden cerrarse sólo si este último está presente. En este caso, entre los puntos cero del receptor y la fuente, incluso en el caso de una carga simétrica, aparece una tensión igual a la suma de la EMF de armónicos que son múltiplos de tres, lo cual es fácil de verificar mediante la ecuación de la segunda ley de Kirchhoff, teniendo en cuenta que no existen corrientes de estos armónicos. El valor instantáneo de este voltaje tu 0 1 0 =mi 3 m pecado (3 ωt + ψ 3)+mi 6m pecado (6 ωt + ψ 6)+mi 9m pecado (9 ωt + ψ 9)+···. Su valor efectivo
. 5... En un circuito estrella-estrella con hilo neutro (Figura 6.16), este último cerrará corrientes armónicas en múltiplos de tres, incluso en el caso de una carga simétrica, si la EMF de fase contiene los armónicos indicados. Considerando que los armónicos, múltiplos de tres, forman un sistema de secuencia cero, podemos escribir

Descomposición de funciones periódicas no sinusoidales

Definiciones generales

Parte 1. Teoría de los circuitos lineales (continuación)

INGENIERIA ELÉCTRICA

BASES TEÓRICAS

Guía de estudio para estudiantes de especialidades en energía eléctrica

T. Circuitos eléctricos de corriente periódica no sinusoidal

Como saben, en la industria de la energía eléctrica, se adopta una forma sinusoidal como forma estándar para corrientes y voltajes. Sin embargo, en condiciones reales, las formas de las curvas de corrientes y voltajes pueden diferir en cierta medida de las sinusoidales. Las distorsiones de las curvas de estas funciones en los receptores provocan pérdidas de energía adicionales y una disminución de su eficiencia. La forma sinusoidal de la curva de voltaje del generador es uno de los indicadores de la calidad de la energía eléctrica como mercancía.

Son posibles las siguientes razones para la distorsión de la forma de las curvas de corrientes y voltajes en un circuito complejo:

1) la presencia en el circuito eléctrico de elementos no lineales, cuyos parámetros dependen de los valores instantáneos de corriente y voltaje [ R, L, C \u003d f(tu, yo)], (por ejemplo, rectificadores, unidades de soldadura eléctrica, etc.);

2) la presencia en el circuito eléctrico de elementos paramétricos, cuyos parámetros cambian con el tiempo [ R, L, C \u003d f(t)];

3) la fuente de energía eléctrica (generador trifásico), debido a las características de diseño, no puede proporcionar un voltaje de salida sinusoidal ideal;

4) la influencia de los factores anteriores en el complejo.

Los circuitos no lineales y paramétricos se consideran en capítulos separados del curso TOE. Este capítulo examina el comportamiento de los circuitos eléctricos lineales cuando se exponen a fuentes de energía con una forma de curva no sinusoidal.

Se sabe por el curso de matemáticas que cualquier función periódica del tiempo f(t) que satisfacen las condiciones de Dirichlet se puede representar mediante una serie armónica de Fourier:

aquí UN 0 - componente constante, - k-th armónico componente o abreviado kth armónico. El primer armónico se llama fundamental y todos los posteriores se denominan más alto.

Amplitudes de armónicos individuales Y para no dependen de la forma de descomposición de la función f(t) en la serie de Fourier, mientras que las fases iniciales de los armónicos individuales dependen de la elección del origen temporal (origen).

Los armónicos individuales de la serie de Fourier se pueden representar como la suma de los componentes seno y coseno:

Entonces toda la serie de Fourier tomará la forma:

Las relaciones entre los coeficientes de las dos formas de la serie de Fourier son las siguientes:

Si k-th armónico y sus componentes seno y coseno se reemplazan por números complejos, entonces la relación entre los coeficientes de la serie de Fourier se puede representar en forma compleja:

Si se da (o se puede expresar) una función periódica no sinusoidal del tiempo en forma analítica en forma de una ecuación matemática, entonces los coeficientes de la serie de Fourier se determinan mediante las fórmulas conocidas del curso de matemáticas:

En la práctica, la función no sinusoidal investigada f(t) generalmente se establece en forma de diagrama gráfico (gráficamente) (Fig.118) o en forma de tabla de coordenadas de puntos (tabular) en el intervalo de un período (Tabla 1). Para realizar un análisis armónico de dicha función de acuerdo con las ecuaciones anteriores, primero debe reemplazarse con una expresión matemática. Reemplazar una función dada en forma gráfica o tabular por una ecuación matemática se llama aproximación de función.

Las transformaciones de Fourier y Hartley transforman funciones de tiempo en funciones de frecuencia, que contienen información sobre amplitud y fase. A continuación se muestran los gráficos de la función continua gramo(t) y discreto gramo(τ), donde t y τ son tiempos.

Ambas funciones comienzan en cero, alcanzan abruptamente un valor positivo y decaen exponencialmente. Por definición, la transformada de Fourier para una función continua es una integral sobre todo el eje real, F(f), y para una función discreta: la suma de un conjunto finito de muestras, F(ν):

dónde f, ν - valores de frecuencia, norte Es el número de valores de muestra de la función y yo\u003d √ –1 - unidad imaginaria. La representación integral es más adecuada para la investigación teórica y la representación de suma finita es más adecuada para cálculos por computadora. Las transformadas de Hartley integrales y discretas se definen de manera similar:

Aunque la única diferencia de notación entre las definiciones de Fourier y Hartley es la presencia de un factor delante del seno, el hecho de que la transformada de Fourier tenga partes reales e imaginarias hace que las representaciones de estas dos transformaciones sean completamente diferentes. Las transformadas discretas de Fourier y Hartley tienen esencialmente la misma forma que sus contrapartes continuas.

Aunque los gráficos se ven diferentes, la misma información de amplitud y fase se puede derivar de las transformadas de Fourier y Hartley, como se muestra a continuación.

La amplitud de Fourier está determinada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria. La amplitud de Hartley está determinada por la raíz cuadrada de la suma de cuadrados H(–Ν) y H(ν). La fase de Fourier está determinada por la arcangente de la parte imaginaria dividida por la parte real, y la fase de Hartley está determinada por la suma de 45 ° y la arcangente de H(–Ν) dividido por H(ν).

Como saben, en la industria de la energía eléctrica, se adopta una forma sinusoidal como forma estándar para corrientes y voltajes. Sin embargo, en condiciones reales, las formas de las curvas de corrientes y voltajes pueden diferir en cierta medida de las sinusoidales. Las distorsiones de las curvas de estas funciones en los receptores provocan pérdidas de energía adicionales y una disminución de su eficiencia. La forma sinusoidal de la curva de voltaje del generador es uno de los indicadores de la calidad de la energía eléctrica como mercancía.

Son posibles las siguientes razones para la distorsión de la forma de las curvas de corrientes y voltajes en un circuito complejo:

1) la presencia de elementos no lineales en el circuito eléctrico, cuyos parámetros dependen de los valores instantáneos de corriente y voltaje, (por ejemplo, rectificadores, unidades de soldadura eléctrica, etc.);

2) la presencia de elementos paramétricos en el circuito eléctrico, cuyos parámetros cambian con el tiempo;

3) la fuente de energía eléctrica (generador trifásico), debido a las características de diseño, no puede proporcionar un voltaje de salida sinusoidal ideal;

4) la influencia de los factores anteriores en el complejo.

Los circuitos no lineales y paramétricos se consideran en capítulos separados del curso TOE. Este capítulo examina el comportamiento de los circuitos eléctricos lineales cuando se exponen a fuentes de energía con una forma de curva no sinusoidal.

Se sabe por el curso de matemáticas que cualquier función periódica de tiempo f (t) que satisfaga las condiciones de Dirichlet se puede representar mediante una serie armónica de Fourier:

Aquí A0 es el componente constante, Ak * sin (kωt + αk) el k-ésimo componente armónico, o abreviado como el k-ésimo armónico. El primer armónico se llama fundamental y todos los posteriores se denominan más alto.

Las amplitudes de los armónicos individuales Ak no dependen del método de expansión de la función f (t) en la serie de Fourier, mientras que las fases iniciales de los armónicos individuales αk dependen de la elección del origen del tiempo (origen).

Los armónicos individuales de la serie de Fourier se pueden representar como la suma de los componentes seno y coseno:

Entonces toda la serie de Fourier tomará la forma:

Las relaciones entre los coeficientes de las dos formas de la serie de Fourier son las siguientes:

Si el k-ésimo armónico y sus componentes seno y coseno se reemplazan por números complejos, entonces la relación entre los coeficientes de la serie de Fourier se puede representar en forma compleja:

Si se da una función periódica no sinusoidal del tiempo (o se puede expresar) analíticamente en forma de una ecuación matemática, entonces los coeficientes de la serie de Fourier se determinan mediante las fórmulas conocidas del curso de matemáticas:

En la práctica, la función no sinusoidal investigada f (t) generalmente se establece en forma de diagrama gráfico (gráficamente) (figura 46.1) o en forma de tabla de coordenadas de puntos (tabular) en el intervalo de un período (tabla 1). Para realizar un análisis armónico de dicha función utilizando las ecuaciones anteriores, primero debe reemplazarse con una expresión matemática. Reemplazar una función dada en forma gráfica o tabular por una ecuación matemática se llama aproximación de función.

En la actualidad, el análisis armónico de funciones no sinusoidales de tiempo f (t) se realiza, por regla general, en una computadora. En el caso más simple, la aproximación lineal por partes se utiliza para la representación matemática de una función. Para hacer esto, toda la función en el intervalo de un período completo se divide en M \u003d 20-30 secciones para que las secciones individuales estén lo más cerca posible de las líneas rectas (Fig. 1). En algunos tramos, la función se aproxima mediante la ecuación de la recta fm (t) \u003d am + bm * t, donde se determinan los coeficientes de aproximación (am, bm) para cada tramo a través de las coordenadas de sus puntos finales, por ejemplo, para el 1er tramo obtenemos:

El período de la función T se divide en un gran número de pasos de integración N, el paso de integración Δt \u003d h \u003d T / N, el tiempo actual ti \u003d hi, donde i es el número ordinal del paso de integración. Ciertas integrales en las fórmulas de análisis armónico se reemplazan por las sumas correspondientes, su cálculo se realiza en una computadora usando el método de trapecios o rectángulos, por ejemplo:

Para determinar las amplitudes de armónicos superiores con suficiente precisión (δ≤1%), el número de pasos de integración debe ser de al menos 100k, donde k es el número de armónicos.

En tecnología, se utilizan dispositivos especiales llamados analizadores de armónicos para aislar armónicos individuales de tensiones y corrientes no sinusoidales.

Casi cualquier función periódica se puede descomponer en armónicos simples utilizando una serie trigonométrica (serie de Fourier):

F(x) = + (unporque nx + b npecado nx), (*)

Escribamos esta serie como una suma de armónicos simples, asumiendo que los coeficientes son iguales un= Unpecado j n, b n= Unporque j n ... Obtenemos: unporque j n + b npecado j n = Unpecado ( nx+ j n), dónde

Un \u003d, tg j n = . (**)

Entonces la serie (*) en forma de armónicos simples toma la forma f(x) = .

La serie de Fourier representa una función periódica como la suma de un número infinito de sinusoides, pero con frecuencias que tienen un cierto valor discreto.

A veces norte-th armónico se escribe como unporque nx + b npecado nx = Unporque nx – j n), dónde un= Unporque j n , b n= Un pecado j n .

Donde Un y j n están determinadas por las fórmulas (**). Entonces la serie (*) toma la forma

f(x) = .

Definición 9... Operación de representación de función periódica f(x) la serie de Fourier se llama análisis armónico.

La expresión (*) también aparece en otra forma más común:

Posibilidades un, b n determinado por las fórmulas:

magnitud C 0 expresa el valor promedio de la función durante el período y se denomina componente constante, que se calcula mediante la fórmula:

En teoría de vibraciones y análisis espectral, la representación de funciones f(t) en la serie de Fourier se escribe como:

(***)

aquellos. la función periódica está representada por la suma de términos, cada uno de los cuales es una oscilación sinusoidal con una amplitud C n y la fase inicial j n, es decir, la serie de Fourier de una función periódica consta de armónicos individuales con frecuencias que se diferencian entre sí por un número constante. Además, cada armónico tiene una cierta amplitud. Los valores C n y j n debe seleccionarse correctamente para que se mantenga la igualdad (***), es decir, determinada por las fórmulas (**) [ C n = Un].

Reescribimos la serie de Fourier (***) en la forma Dónde w 1 - frecuencia fundamental. De esto podemos concluir: una función periódica compleja f(t) está determinada por el conjunto de cantidades C n y j n .

Definición 10... Conjunto de cantidades C n , es decir, la dependencia de la amplitud de la frecuencia se llama espectro de amplitud de la función o espectro de amplitud.

Definición 11. Conjunto de cantidades j n lleva el nombre espectro de fase.

Cuando simplemente dicen "espectro", se refieren exactamente al espectro de amplitud; en otros casos, hacen las reservas adecuadas. La función periódica tiene espectro discreto (es decir, se puede representar como armónicos individuales).

El espectro de una función periódica se puede mostrar gráficamente. Para esto elegimos las coordenadas C n y w = noroeste uno . El espectro se mostrará en este sistema de coordenadas como un conjunto de puntos discretos, ya que cada valor noroeste 1 coincide con un valor específico Con n. Un gráfico que consta de puntos individuales es inconveniente. Por lo tanto, es habitual representar las amplitudes de los armónicos individuales como segmentos verticales de la longitud adecuada (Fig. 2).

Figura: 2.

Este espectro discreto a menudo se denomina espectro lineal. Es un espectro armónico, es decir consta de líneas espectrales igualmente espaciadas; las frecuencias armónicas están en múltiplos simples. Los armónicos individuales, incluido el primero, pueden estar ausentes, es decir, sus amplitudes pueden ser cero, pero esto no viola la armonicidad del espectro.

Los espectros discretos o lineales pueden pertenecer tanto a funciones periódicas como no periódicas. En el primer caso, el espectro es necesariamente armónico.

La expansión de la serie de Fourier se puede generalizar al caso de una función no periódica. Para ello, es necesario aplicar el paso al límite en Т®∞, considerando la función no periódica como el caso límite de la periódica con un período creciente ilimitado. En lugar de 1 / T introducimos la frecuencia fundamental circular w 1 \u003d 2p / T... Este valor es el intervalo de frecuencia entre armónicos adyacentes, cuyas frecuencias son iguales a 2p norte/T... Si T® ∞, entonces w 1 ® dw y 2p norte/T® wdónde w - frecuencia actual, que cambia continuamente, dw - su incremento. En este caso, la serie de Fourier se transforma en una integral de Fourier, que es una expansión de una función no periódica en un intervalo infinito (–∞; ∞) en oscilaciones armónicas, cuyas frecuencias wcambiar continuamente de 0 a ∞:

Una función no periódica tiene espectros continuos o continuos, es decir, en lugar de puntos individuales, el espectro se muestra como una curva continua. Esto se obtiene como resultado del paso al límite de la serie a la integral de Fourier: los intervalos entre las líneas espectrales individuales se contraen indefinidamente, las líneas se fusionan y, en lugar de puntos discretos, el espectro se representa como una secuencia continua de puntos, es decir. curva continua. Funciones un(w) y segundo(w) dan la ley de distribución de amplitudes y fases iniciales en función de la frecuencia w.