EntradaRepresentación en serie de Fourier de señales periódicas. Representación espectral de señales deterministas
En el siglo pasado, Ivan Bernoulli, Leonhard Euler y luego Jean-Baptiste Fourier fueron los primeros en utilizar la representación de funciones periódicas mediante series trigonométricas. Esta representación se estudia con suficiente detalle en otros cursos, por lo que recordamos solo las principales relaciones y definiciones.
Como se señaló anteriormente, cualquier función periódica Utah) , para lo cual la igualdad tu(t)=u(t+T) , donde T=1/F=2p/W , se puede representar mediante una serie de Fourier:
Cada término de esta serie puede expandirse usando la fórmula del coseno para la diferencia de dos ángulos y representarse como dos términos:
,
donde: A n \u003d C n cosφ n, B n \u003d C n sinφ n
, entonces 
, pero 
Impares Un Y Posada están determinadas por las fórmulas de Euler:
; 
.
En n=0 :
pero B0=0.
Impares Un Y Posada , son los valores medios del producto de la función Utah) y oscilación armónica con frecuencia noroeste en un intervalo de duración T . Ya sabemos (Sección 2.5) que estas son funciones de correlación cruzada que determinan la medida de su relación. Por lo tanto, los coeficientes Un Y segundo norte muéstranos "cuántas" ondas sinusoidales o coseno con una frecuencia noroeste contenido en esta función Utah) , expandido en una serie de Fourier.
Así, podemos representar una función periódica Utah)
como una suma de vibraciones armónicas, donde los números C norte
son amplitudes, y los números φ norte
- etapas. Generalmente en la literatura 
se llama el espectro de amplitud, y 
- espectro de fase. A menudo, solo se considera el espectro de amplitudes, que se representa como líneas ubicadas en puntos noroeste
en el eje de frecuencias y con una altura correspondiente al número C norte
. Sin embargo, debe recordarse que para obtener una correspondencia biunívoca entre la función de tiempo Utah)
y su espectro, es necesario utilizar tanto el espectro de amplitudes como el espectro de fases. Esto se puede ver en un ejemplo tan simple. Las señales y tendrán el mismo rango de amplitudes, pero un tipo completamente diferente de funciones de tiempo.
El espectro discreto puede tener no solo una función periódica. Por ejemplo, la señal: no es periódica, pero tiene un espectro discreto que consta de dos líneas espectrales. Asimismo, no existirá una señal estrictamente periódica consistente en una secuencia de radiopulsos (pulsos con relleno de alta frecuencia), en la que el periodo de repetición sea constante, sino que la fase inicial del relleno de alta frecuencia varíe de pulso a pulso según a alguna ley. Tales señales se llaman casi periódicas. Como veremos más adelante, también tienen un espectro discreto. Estudiaremos la naturaleza física de los espectros de tales señales de la misma forma que las periódicas.
Una señal periódica de cualquier forma con un período T se puede representar como una suma
oscilaciones armónicas con diferentes amplitudes y fases iniciales, cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia fundamental. El armónico de esta frecuencia se llama fundamental o primero, el resto, los armónicos superiores.
Forma trigonométrica de la serie de Fourier:
,
donde 
- componente constante;
- amplitudes de los componentes del coseno;
- amplitudes de componentes sinusoidales.
Señal par ( 
) solo tiene coseno e impar ( 
- sólo términos sinusoidales.
Más conveniente es la forma trigonométrica equivalente de la serie de Fourier:
,
donde 
- componente constante;
- amplitud del n-ésimo armónico de la señal. El conjunto de amplitudes de los componentes armónicos se denomina espectro de amplitudes;
- fase inicial del n-ésimo armónico de la señal. El conjunto de fases de los componentes armónicos se denomina espectro de fase.
Espectro de una secuencia periódica de pulsos rectangulares. Dependencia del espectro en el período de repetición del pulso y su duración. Ancho de espectro. Expansión de la serie de Fourier pppi
Calculemos los espectros de amplitud y fase del PPTR con la amplitud 
, duración 
, período 
y ubicado simétricamente con respecto al origen (la señal es una función par).
Figura 5.1 - Diagrama de tiempo del FPFI.
La señal en el intervalo de un período se puede escribir:
Cálculos:
,
La serie de Fourier para PPPI tiene la forma:.
Figura 5.2 - Diagrama espectral de amplitud de APPI.
Figura 5.3 - Diagrama espectral de fase de la APP.
El espectro del PPPR es lineal (discreto) (representado por un conjunto de líneas espectrales separadas), armónico (las líneas espectrales están a la misma distancia entre sí ω 1), decreciente (las amplitudes armónicas disminuyen al aumentar el número), tiene un pétalo estructura (el ancho de cada pétalo es 2π/ τ), ilimitada (el intervalo de frecuencia en el que se ubican las líneas espectrales es infinito);
Para ciclos de trabajo enteros, no hay componentes de frecuencia con frecuencias que sean múltiplos del ciclo de trabajo en el espectro (sus frecuencias coinciden con los ceros de la envolvente del espectro de amplitud);
A medida que aumenta el ciclo de trabajo, disminuyen las amplitudes de todos los componentes armónicos. Además, si está asociado con un aumento en el período de repetición T, entonces el espectro se vuelve más denso (ω 1 disminuye), con una disminución en la duración del pulso τ, el ancho de cada pétalo se vuelve más grande;
El intervalo de frecuencia que contiene el 95% de la energía de la señal se toma como el ancho del espectro FPTR (igual al ancho de los dos primeros lóbulos de la envolvente):
o 
;
Todos los armónicos que están en el mismo lóbulo de envolvente tienen las mismas fases, igual a 0 o π.
Uso de la transformada de Fourier para analizar el espectro de señales no periódicas. Espectro de un solo pulso rectangular. Transformadas integrales de Fourier
Las señales de comunicación siempre están limitadas en el tiempo y por lo tanto no son periódicas. Entre las señales no periódicas, los pulsos únicos (SP) son los de mayor interés. RP puede considerarse como un caso límite de un tren de pulso periódico (PPS) con una duración 
con un período infinitamente largo de su repetición 
.
Figura 6.1 - PPI y OI.
Una señal no periódica se puede representar como la suma de un número infinitamente grande de oscilaciones de frecuencia infinitamente cercanas con amplitudes muy pequeñas. El espectro RI es continuo y lo introducen las integrales de Fourier:
-
(1) - transformada directa de Fourier. Le permite encontrar analíticamente la función espectral para una forma de señal dada;
-
(2) - transformada inversa de Fourier. Le permite encontrar analíticamente la forma de una función espectral dada de la señal.
Forma compleja de la transformada integral de Fourier(2) da una representación espectral de dos caras (con frecuencias negativas) de una señal no periódica 
como una suma de vibraciones armónicas 
con amplitudes complejas infinitamente pequeñas 
, cuyas frecuencias llenan continuamente todo el eje de frecuencias.
La densidad espectral compleja de una señal es una función compleja de la frecuencia, que transmite simultáneamente información sobre la amplitud y la fase de los armónicos elementales.
El módulo de la densidad espectral se denomina densidad espectral de las amplitudes. Se puede considerar como la respuesta en frecuencia del espectro continuo de una señal no periódica.
Argumento de densidad espectral 
se llama la densidad espectral de las fases. Puede considerarse como la PFC del espectro continuo de una señal no periódica.
Transformemos la fórmula (2):
Forma trigonométrica de la transformada integral de Fourier da una representación espectral unilateral (sin frecuencias negativas) de una señal no periódica:
.
Curso de cálculo
Tema: Cálculo de sumas parciales y características espectrales de la serie de Fourier para una función explícita
función de espectro de Fourier de señal
1. Modelo del proceso físico
Solución del problema con cálculos teóricos
Ejemplo de solucion de problema
Un ejemplo de resolución de un problema en el entorno Matlab R2009a
Bibliografía
1. Modelo del proceso físico
modelo matemático alguna función del tiempo puede servir como una señal de radio F(t) . Esta función puede ser real o compleja, unidimensional o multidimensional, determinista o aleatoria (señales ruidosas). En ingeniería de radio, el mismo modelo matemático describe la corriente, el voltaje, la fuerza del campo eléctrico, etc. con igual éxito.
Considere señales deterministas unidimensionales reales
Los conjuntos de funciones (señales) se suelen considerar como espacios normados funcionales lineales, en los que se introducen los siguientes conceptos y axiomas:
) se cumplen todos los axiomas del espacio lineal;
) el producto escalar de dos señales reales se define como sigue:
) dos señales se llaman ortogonales si su producto escalar es cero;
) el sistema de señales ortogonales forma una base de coordenadas de dimensión infinita en la que cualquier señal periódica perteneciente al espacio lineal puede expandirse;
Entre los diversos sistemas de funciones ortogonales en los que se puede descomponer la señal, el más común es el sistema de funciones armónicas (seno y coseno):
La representación de alguna señal periódica como una suma de oscilaciones armónicas con diferentes frecuencias se denomina representación espectral de la señal. Los componentes armónicos individuales de una señal forman su espectro. Desde un punto de vista matemático, la representación espectral es equivalente a la expansión de una función periódica (señal) en una serie de Fourier.
La importancia de la descomposición espectral de funciones en la ingeniería de radio se debe a una serie de razones:
) facilidad para estudiar las propiedades de la señal, porque las funciones armónicas están bien estudiadas;
) la posibilidad de generar una señal arbitraria, porque la técnica para generar señales armónicas es bastante simple;
) facilidad de transmisión y recepción de una señal a través de un canal de radio, tk. la oscilación armónica es la única función del tiempo que conserva su forma al pasar por cualquier circuito lineal. La señal a la salida del circuito permanece armónica con la misma frecuencia, solo cambian la amplitud y la fase inicial de la oscilación;
) la descomposición de la señal en senos y cosenos permite utilizar un método simbólico desarrollado para analizar la transmisión de oscilaciones armónicas a través de circuitos lineales.
Como modelo del proceso físico, considere el electrocardiograma del corazón.
2. Resolviendo el problema con cálculos teóricos
Tarea 1:
Describamos, utilizando series de Fourier, un impulso que se repite periódicamente en la sección del electrocardiograma, el llamado complejo QRS.
El complejo QRS se puede definir mediante la siguiente función lineal por partes
Donde
Esta función se puede continuar periódicamente con un período T=2l.
Serie de funciones de Fourier:
Definición 1: La función se llama continuo por partes en el segmento [a, b] si es continuo en todos los puntos de este segmento, excepto por un número finito de puntos en los que existen sus límites unilaterales finitos.
Definición 2: La función se llama por partes suave en algún intervalo si él y su derivada son continuos a trozos.
Teorema 1 (prueba de Dirichlet): Serie de Fourier de una función suave por partes en un segmento F(X) converge en cada punto de continuidad al valor de la función en ese punto y al valor en cada punto de discontinuidad.
Nuestra función satisface las condiciones del teorema.
Para una función dada, obtenemos los siguientes coeficientes de la serie de Fourier:
Forma compleja de la serie de Fourier
Para representar la serie en forma compleja, usamos las fórmulas de Euler:
Introduzcamos la notación:
Entonces la serie se puede reescribir como
Además, los coeficientes de la serie compleja de Fourier también se pueden obtener directamente calculándolos mediante la fórmula
Escribamos en forma compleja la serie de Fourier de la función dada
Características espectrales de la serie.
Expresión 
en la serie de Fourier se llama nortearmónico. Se sabe que
donde o
, 
Agregados, llamados respectivamente espectro de amplitud y fase función periódica.
Gráficamente, los espectros se muestran como segmentos de longitud dibujados perpendicularmente al eje en el que se traza el valor norte= 1,2 ... o .
Una representación gráfica del espectro correspondiente se denomina diagrama de amplitud o de fase. En la práctica, el espectro de amplitud es el más utilizado.
.Ejemplo de resolución de problemas
Tarea 2: Considere un ejemplo específico de un problema para el modelo seleccionado de un proceso físico.
Continuamos esta función a todo el eje real, obtenemos una función periódica F(X)
con periodo T=2 yo=18 (Fig. 1.).
Arroz. 1. Gráfica de una función periódicamente continuada
Calculemos los coeficientes de Fourier de la función dada.
Escribimos las sumas parciales de la serie:
Arroz. 2. Gráficas de sumas parciales de la serie de Fourier
Con crecimiento norte las gráficas de sumas parciales en puntos de continuidad se acercan a la gráfica de la función F(X)
. En los puntos de discontinuidad, los valores de las sumas parciales se aproximan 
.
Construyamos los diagramas de amplitud y fase.
considerando una cuarta parte.
mesa
4. Un ejemplo de resolución de un problema en el entorno Matlab R2009a Tarea 3: Como ejemplo, considere los intervalos PR y QT completos. Arroz Para esta función, trace gráficos de sumas parciales, así como diagramas de amplitud y fase. Tomemos valores de parámetros específicos para nuestra tarea: Script para construir los gráficos y cuadros requeridos. El script le permite resolver una serie de problemas similares eligiendo los parámetros y las coordenadas de los puntos Q, R, S. % CÁLCULO DE SUMAS PARCIALES Y CARACTERÍSTICAS ESPECTRALES DE LA SERIE DE FOURIER PARA EL EXPLÍCITO %Análisis espectral.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase=18;=6; I2=10; Q=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; S=13; Si=-4; I3=15; I4=20; I5=26;=2; T=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;bandera == 0=1;(k<15) k = menu("Cambiar parametros", ... sprintf (" Parámetro1 P = %g", P),...(" Parámetro2 I1 = %g", I1),...(" Parámetro3 I2 = %g", I2),...(" Parámetro4 Qx = %g", Q),...(" Parámetro5 Qy = %g", Qy),...(" Parámetro6 Rx = %g", R),...(" Parámetro7 Ry = %g", Ry),...(" Parámetro8 Sx = %g", S),...(" Parámetro9 Sy = %g", Sy),...(" Parámetro10 I3 = %g", I3),.. .(" Parámetro11 I4= %g", I4),...(" Parámetro12 T = %g", T),...(" Parámetro13 I5 = %g", I5),...(" Parámetro13 Ns = %g", Ns),... "Continuar");k==1,=entrada(); endk==2,= entrada(); endk==3,= entrada(); endk==4,= entrada(); endk==5,= entrada(); endk==6,= entrada(); endk==7,= entrada(); " Nuevo valor Sx= "]); endk==9,= entrada(); endk==10,= entrada(); endk==11,= entrada(); endk==12,= entrada(); endk==13,= entrada() endk==14,= entrada() %Aplicar parámetros=Qy/(Q-I2); v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(RQ);=(Qy*RQ*Ry)/(RQ);=(Sy-Ry)/(SR);=(Ry *SR*Sy)/(SR);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=longitud(t );=ceros(1,Dim);=piso(I1*N/2/L)+1;=piso((I2-I1)*N/2/L)+1;=piso((Q-I2) *N/2/L)+1;=piso((RQ)*N/2/L)+1;= piso((SR)*N/2/L)+1;= piso((I3-S) *N/2/L)+1;= piso((I4-I3)*N/2/L)+1;= piso((I5-I4)*N/2/L)+1;= piso(( 2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0; i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;i=(u5 +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1 ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+ u4 +u3+u2+u1)(i)=T*sen(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set( gca ,"Nombre de fuente","Arial Cyr","Tamaño de fuente",16); title("Gráfico de proceso"); xlabel("Tiempo(s)"); ylabel("Y(t)"); Gráfico de suma parcial %n n=0;j=1:ExprNum=j;j1=cuádruple(@f, 0, I1);2=a0+cuádruple(@f, I1, I2);3=a0+cuádruple(@f, I2, Q );4=a0+cuadrante(@f, Q, R);5=a0+cuadrante(@f, R, S);6=a0+cuadrante(@f, S, I3);7=a0+cuadrante( @f, I3, I4);8=a0+cuádruple(@f, I4, I5);9=a0+cuádruple(@f, I5, 2*L);=a0/L;=ceros(1,Ns) ;=ceros(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=cuádruple(@f, 0, I1);(i)=cuádruple(@g, 0 , I1);2(i)=an(i)+cuádruple(@f, I1, I2);(i)=bn(i)+cuádruple(@g, I1, I2);3(i)=an( i)+cuádruple(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+cuádruple(@g, I2, Q);4(i)=an(i)+cuádruple(@f, Q, R );(i)=bn(i)+cuádruple(@g, Q, R);5(i)=an(i)+cuádruple(@f, R, S);(i)=bn(i)+ cuádruple(@g, R, S);6(i)=an(i)+cuádruple(@f, S, I3);(i)=bn(i)+cuádruple(@g, S, I3);7 (i)=an(i)+quad(@f, I3, I4);(i)=bn(i)+quad(@g, I3, I4);8(i)=an(i)+quad( @f, I4, I5);(i)=bn(i)+cuádruple(@g, I4, I5);9(i)=an(i)+cuádruple(@f, I5, 2*L);( i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=ceros(1, longitud(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi *x/L);(t,y,x,fn,"LineWidth",2), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16); title("Gráfico de señal y suma parcial"); xlabel("Tiempo(s)"); ylabel(sprintf("Sn(t)")); %Plot Amplitude Plot=ceros(1, Ns); wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=raíz cuadrada(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Diagrama de amplitud de la señal"); xlabel("n"); ylabel("Un"); %Trazar diagrama de fase de señal=ceros(1, Ns); for i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i)<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."),
grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала");
xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить
работу-<3>, Continuar - 1. Fikhtengolts, G.M. Curso de cálculo diferencial e integral: en 3 tomos, M., 1997. 3 tomos. Vodnev, V. T., Naumovich, A. F., Naumovich, N. F., Fórmulas matemáticas básicas. Minsk, 1998 Kharkevich, A.A., Espectros y análisis. Moscú, 1958 Lazarev, Yu. F., Inicios de la programación en el entorno MatLAB. Kiev 2003. Demidovich, B. P. Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático, M., 1988.
Listaliteratura
Para verificar si el programa funciona correctamente, formaremos una matriz de lecturas como la suma de dos sinusoides sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) y la deslizaremos en el programa. El programa dibujó lo siguiente:
fig.1 Gráfico de la función temporal de la señal
fig.2 Gráfico de espectro de señal
En el gráfico de espectro hay dos palos (armónicos) de 5 Hz con una amplitud de 0,5 V y 10 Hz, con una amplitud de 1 V, todo como en la fórmula de la señal original. ¡Todo está bien, programador bien hecho! El programa está funcionando correctamente.
Esto significa que si aplicamos una señal real de una mezcla de dos sinusoides a la entrada del ADC, obtendremos un espectro similar que consta de dos armónicos.
Total, nuestro verdadero señal medida, duración 5 seg, digitalizado por el ADC, es decir representado discreto cuenta, tiene discreto no periódico rango.
Desde un punto de vista matemático, ¿cuántos errores hay en esta frase?
Ahora que las autoridades han decidido, decidimos que 5 segundos es demasiado tiempo, midamos la señal en 0,5 segundos.
fig.3 Gráfico de la función sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) para un período de medición de 0,5 s
fig.4 Espectro de funciones
¡Algo no está bien! El armónico de 10 Hz se dibuja normalmente, pero en lugar de un palo de 5 Hz, aparecieron varios armónicos incomprensibles. Buscamos en Internet, qué y cómo...
En, dicen que se deben agregar ceros al final de la muestra y el espectro se dibujará normal.
fig.5 Ceros terminados hasta 5 segundos
fig.6 Obtuvimos el espectro
Todavía no es lo que era a los 5 segundos. Tienes que lidiar con la teoría. Vamos a Wikipedia- fuente de conocimiento.
2. Una función continua y su representación por una serie de Fourier
Matemáticamente, nuestra señal con una duración de T segundos es una determinada función f(x) dada en el intervalo (0, T) (X en este caso es el tiempo). Tal función siempre se puede representar como una suma de funciones armónicas (seno o coseno) de la forma:
(1), donde:
K - número de función trigonométrica (número de componente armónico, número armónico)
T - segmento donde se define la función (duración de la señal)
Ak - amplitud del k-ésimo componente armónico,
θk - fase inicial del k-ésimo componente armónico
¿Qué significa "representar una función como la suma de una serie"? Esto quiere decir que sumando los valores de las componentes armónicas de la serie de Fourier en cada punto, obtendremos el valor de nuestra función en ese punto.
(Más estrictamente, la desviación estándar de la serie de la función f(x) tenderá a cero, pero a pesar de la convergencia de la raíz cuadrática media, la serie de Fourier de la función, en general, no se requiere que converja puntualmente a ella. Consulte https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series.)
Esta serie también se puede escribir como:
(2),
donde , k-ésima amplitud del complejo.
La relación entre los coeficientes (1) y (3) se expresa mediante las siguientes fórmulas:
Tenga en cuenta que todas estas tres representaciones de la serie de Fourier son completamente equivalentes. A veces, cuando se trabaja con series de Fourier, es más conveniente utilizar los exponentes del argumento imaginario en lugar de senos y cosenos, es decir, utilizar la transformada de Fourier en forma compleja. Pero nos conviene usar la fórmula (1), donde la serie de Fourier se representa como una suma de ondas cosenos con las correspondientes amplitudes y fases. En cualquier caso, es incorrecto decir que el resultado de la transformada de Fourier de la señal real serán las amplitudes complejas de los armónicos. Como dice correctamente la wiki, "La transformada de Fourier (ℱ) es una operación que asigna una función de una variable real a otra función, también de una variable real".
Total:
La base matemática del análisis espectral de señales es la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier nos permite representar una función continua f(x) (señal) definida sobre el segmento (0, T) como la suma de un número infinito (serie infinita) de funciones trigonométricas (seno y/o coseno) con ciertas amplitudes y fases, también consideradas en el segmento (0, T). Tal serie se llama serie de Fourier.
Señalamos algunos puntos más, cuya comprensión es necesaria para la correcta aplicación de la transformada de Fourier al análisis de señales. Si consideramos la serie de Fourier (la suma de las sinusoides) en todo el eje X, podemos ver que fuera del segmento (0, T), la función representada por la serie de Fourier repetirá periódicamente nuestra función.
Por ejemplo, en el gráfico de la Fig. 7, la función original está definida en el segmento (-T \ 2, + T \ 2), y la serie de Fourier representa una función periódica definida en todo el eje x.
Esto se debe a que las sinusoides mismas son funciones periódicas, respectivamente, y su suma será una función periódica.
fig.7 Representación de una función original no periódica por una serie de Fourier
De este modo:
Nuestra función original es continua, no periódica, definida en algún intervalo de longitud T.
El espectro de esta función es discreto, es decir, se presenta como una serie infinita de componentes armónicos, la serie de Fourier.
De hecho, una cierta función periódica está definida por la serie de Fourier, que coincide con la nuestra en el segmento (0, T), pero esta periodicidad no es esencial para nosotros.
Los periodos de las componentes armónicas son múltiplos del segmento (0, T) sobre el que se define la función original f(x). En otras palabras, los períodos armónicos son múltiplos de la duración de la medición de la señal. Por ejemplo, el período del primer armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T en el que se define la función f(x). El periodo del segundo armónico de la serie de Fourier es igual al intervalo T/2. Y así sucesivamente (ver Fig. 8).
fig.8 Períodos (frecuencias) de los componentes armónicos de la serie de Fourier (aquí T=2π)
En consecuencia, las frecuencias de los componentes armónicos son múltiplos de 1/T. Es decir, las frecuencias de los componentes armónicos Fk son iguales a Fk= k\T, donde k varía de 0 a ∞, por ejemplo, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (a frecuencia cero - componente constante).
Sea nuestra función original una señal registrada durante T=1 seg. Entonces el periodo del primer armónico será igual a la duración de nuestra señal T1=T=1 seg y la frecuencia del armónico es de 1 Hz. El periodo del segundo armónico será igual a la duración de la señal dividida por 2 (T2=T/2=0.5 seg) y la frecuencia es de 2 Hz. Para el tercer armónico T3=T/3 seg y la frecuencia es de 3 Hz. Etc
El paso entre armónicos en este caso es de 1 Hz.
Así, una señal con una duración de 1 segundo se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 1 Hz.
Para aumentar la resolución 2 veces a 0,5 Hz, es necesario aumentar la duración de la medición 2 veces, hasta 2 segundos. Una señal con una duración de 10 segundos se puede descomponer en componentes armónicos (para obtener un espectro) con una resolución de frecuencia de 0,1 Hz. No hay otras formas de aumentar la resolución de frecuencia.
Existe una manera de aumentar artificialmente la duración de la señal agregando ceros a la matriz de muestras. Pero no aumenta la resolución de frecuencia real.
3. Señales discretas y transformada de Fourier discreta
Con el desarrollo de la tecnología digital, las formas de almacenar los datos de medición (señales) también han cambiado. Si antes la señal podía grabarse en una grabadora y almacenarse en cinta en forma analógica, ahora las señales se digitalizan y almacenan en archivos en la memoria de la computadora como un conjunto de números (conteos).El esquema habitual para medir y digitalizar una señal es el siguiente.
fig.9 Esquema del canal de medición
La señal del transductor de medición llega al ADC durante un período de tiempo T. Las muestras de señal (muestra) obtenidas durante el tiempo T se transfieren a la computadora y se almacenan en la memoria.
fig.10 Señal digitalizada - N lecturas recibidas en el tiempo T
¿Cuáles son los requisitos para los parámetros de digitalización de señales? Un dispositivo que convierte una señal analógica de entrada en un código discreto (señal digital) se denomina convertidor de analógico a digital (ADC, English Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).
Uno de los principales parámetros del ADC es la frecuencia de muestreo máxima (o frecuencia de muestreo, frecuencia de muestreo en inglés): la frecuencia de toma de muestras de una señal continua en el tiempo durante su muestreo. Medido en hercios. ((Wiki))
De acuerdo con el teorema de Kotelnikov, si una señal continua tiene un espectro limitado por la frecuencia Fmax, entonces puede restaurarse de forma completa y única a partir de sus muestras discretas tomadas a intervalos de tiempo. 
, es decir. con frecuencia Fd ≥ 2*Fmax, donde Fd - frecuencia de muestreo; Fmax - frecuencia máxima del espectro de la señal. En otras palabras, la tasa de muestreo de la señal (ADC sample rate) debe ser al menos 2 veces la frecuencia máxima de la señal que queremos medir.
¿Y qué pasará si tomamos lecturas con una frecuencia más baja que la requerida por el teorema de Kotelnikov?
En este caso, se produce el efecto de "aliasing" (también conocido como efecto estroboscópico, efecto muaré), en el que una señal de alta frecuencia después de la digitalización se convierte en una señal de baja frecuencia que en realidad no existe. En la fig. 11 ondas sinusoidales rojas de alta frecuencia son la señal real. La onda sinusoidal azul de baja frecuencia es una señal ficticia que resulta del hecho de que más de la mitad de un período de una señal de alta frecuencia tiene tiempo de pasar durante el tiempo de muestreo.
Arroz. 11. La aparición de una señal falsa de baja frecuencia cuando la tasa de muestreo no es lo suficientemente alta
Para evitar el efecto de aliasing, se coloca un filtro anti-aliasing especial frente al ADC - LPF (filtro de paso bajo), que pasa las frecuencias por debajo de la mitad de la frecuencia de muestreo del ADC y elimina las frecuencias más altas.
Para calcular el espectro de una señal a partir de sus muestras discretas, se utiliza la transformada discreta de Fourier (DFT). Observamos una vez más que el espectro de una señal discreta está "por definición" limitado por la frecuencia Fmax, que es menos de la mitad de la frecuencia de muestreo Fd. Por lo tanto, el espectro de una señal discreta se puede representar por la suma de un número finito de armónicos, en contraste con la suma infinita de la serie de Fourier de una señal continua, cuyo espectro puede ser ilimitado. Según el teorema de Kotelnikov, la frecuencia armónica máxima debe ser tal que tenga al menos dos muestras, por lo que el número de armónicos es igual a la mitad del número de muestras de la señal discreta. Es decir, si hay N muestras en la muestra, entonces el número de armónicos en el espectro será igual a N/2.
Considere ahora la transformada discreta de Fourier (DFT).
Comparando con la serie de Fourier
Vemos que coinciden, excepto que el tiempo en la DFT es discreto y el número de armónicos está limitado a N/2, la mitad del número de muestras.
Las fórmulas DFT están escritas en variables enteras adimensionales k, s, donde k son los números de muestras de señal, s son los números de componentes espectrales.
El valor de s muestra el número de oscilaciones completas del armónico en el período T (la duración de la medición de la señal). La transformada discreta de Fourier se utiliza para encontrar numéricamente las amplitudes y fases de los armónicos, es decir, "en la computadora"
Volviendo a los resultados obtenidos al principio. Como se mencionó anteriormente, al expandir una función no periódica (nuestra señal) en una serie de Fourier, la serie de Fourier resultante en realidad corresponde a una función periódica con un período T. (Fig. 12).
fig.12 Función periódica f(x) con período Т0, con período de medición Т>T0
Como se puede ver en la Fig. 12, la función f(x) es periódica con período Т0. Sin embargo, debido a que la duración de la muestra de medida T no coincide con el periodo de la función T0, la función obtenida como serie de Fourier tiene una discontinuidad en el punto T. Como resultado, el espectro de esta función será contienen un gran número de armónicos de alta frecuencia. Si la duración de la muestra de medida T coincidiera con el periodo de la función T0, entonces sólo el primer armónico (una sinusoide con un periodo igual a la duración de la muestra) estaría presente en el espectro obtenido tras la transformada de Fourier, ya que la función f (x) es una sinusoide.
En otras palabras, el programa DFT "no sabe" que nuestra señal es una "parte de una onda sinusoidal", pero está tratando de representar una función periódica como una serie, que tiene una brecha debido a la inconsistencia de las partes individuales de la onda sinusoidal.
Como resultado, aparecen armónicos en el espectro, que en total deberían representar la forma de la función, incluida esta discontinuidad.
Así, para obtener el espectro "correcto" de la señal, que es la suma de varias sinusoides con diferentes periodos, es necesario que en el periodo de medida de la señal quepa un número entero de periodos de cada sinusoide. En la práctica, esta condición puede cumplirse durante una duración suficientemente larga de la medición de la señal.
Fig.13 Ejemplo de la función y espectro de la señal del error cinemático de la caja de cambios
Con una duración más corta, la imagen se verá "peor":
Fig.14 Un ejemplo de la función y el espectro de la señal de vibración del rotor
En la práctica, puede ser difícil entender dónde están los "componentes reales" y dónde están los "artefactos" causados por la no multiplicidad de los períodos de los componentes y la duración de la muestra de la señal o los "saltos y rupturas" de la forma de onda Por supuesto, las palabras "componentes reales" y "artefactos" no se citan en vano. La presencia de muchos armónicos en el gráfico de espectro no significa que nuestra señal en realidad "conste" de ellos. Es como pensar que el número 7 "consiste" en los números 3 y 4. El número 7 se puede representar como la suma de los números 3 y 4; esto es correcto.
Así es nuestra señal… o mejor dicho, ni siquiera “nuestra señal”, sino que una función periódica compilada repitiendo nuestra señal (muestreo) se puede representar como una suma de armónicos (sinusoides) con ciertas amplitudes y fases. Pero en muchos casos importantes para la práctica (véanse las figuras anteriores), es posible relacionar los armónicos obtenidos en el espectro con procesos reales que son de naturaleza cíclica y contribuyen significativamente a la forma de la señal.
algunos resultados
1. La señal real medida, de duración T seg, digitalizada por el ADC, es decir, representada por un conjunto de muestras discretas (N piezas), tiene un espectro discreto no periódico, representado por un conjunto de armónicos (N/2 piezas ).2. La señal está representada por un conjunto de valores reales y su espectro está representado por un conjunto de valores reales. Las frecuencias armónicas son positivas. El hecho de que a los matemáticos les resulte más conveniente representar el espectro de forma compleja utilizando frecuencias negativas no significa que “sea correcto” y que “siempre se deba hacer así”.
3. La señal medida en el intervalo de tiempo T se determina solo en el intervalo de tiempo T. Lo que sucedió antes de que comenzáramos a medir la señal y lo que sucederá después de eso, esto es desconocido para la ciencia. Y en nuestro caso, no es interesante. La DFT de una señal de tiempo limitado da su espectro "real", en el sentido de que, bajo ciertas condiciones, permite calcular la amplitud y frecuencia de sus componentes.
Materiales usados y otros materiales útiles.
La señal se llama periódico, si su forma se repite cíclicamente en el tiempo. Una señal periódica generalmente se escribe de la siguiente manera:
Aquí está el período de la señal. Las señales periódicas pueden ser tanto simples como complejas.
Para la representación matemática de señales periódicas con periodo, se suele utilizar esta serie, en la que se eligen como funciones base oscilaciones armónicas (sinusoidales y cosenos) de múltiples frecuencias:
donde . - frecuencia angular fundamental de la secuencia de funciones. Con funciones de base armónica, de esta serie se obtiene una serie de Fourier, que en el caso más sencillo se puede escribir de la siguiente forma:
donde coeficientes
Se puede ver de la serie de Fourier que, en el caso general, una señal periódica contiene un componente constante y un conjunto de oscilaciones armónicas de la frecuencia fundamental y sus armónicos con frecuencias. Cada oscilación armónica de la serie de Fourier se caracteriza por su amplitud y fase inicial.
Diagrama espectral y espectro de una señal periódica..
Si cualquier señal se presenta como una suma de oscilaciones armónicas con diferentes frecuencias, entonces esto significa que descomposición espectral señal.
Diagrama espectral Se denomina señal a una representación gráfica de los coeficientes de la serie de Fourier de esta señal. Hay diagramas de amplitud y fase. Para construir estos diagramas, en una cierta escala, las frecuencias armónicas se trazan a lo largo del eje horizontal y sus amplitudes y fases se trazan a lo largo del eje vertical. Además, las amplitudes de los armónicos solo pueden tomar valores positivos, las fases, tanto valores positivos como negativos en el intervalo.
Diagramas espectrales de una señal periódica:
a) - amplitud; b) - fase.
Espectro de señal- este es un conjunto de componentes armónicos con valores específicos de frecuencias, amplitudes y fases iniciales, que forman una señal en total. En la práctica, los diagramas espectrales se llaman más brevemente: espectro de amplitud, espectro de fase. El mayor interés se muestra en el diagrama espectral de amplitud. Se puede utilizar para estimar el porcentaje de armónicos en el espectro.
Las características espectrales en la tecnología de telecomunicaciones juegan un papel importante. Al conocer el espectro de la señal, puede calcular y configurar correctamente el ancho de banda de los amplificadores, filtros, cables y otros nodos de los canales de comunicación. El conocimiento de los espectros de señales es necesario para construir sistemas multicanal con división de frecuencia de canales. Sin conocer el espectro de interferencia, es difícil tomar medidas para suprimirlo.
De esto podemos concluir que se debe conocer el espectro para la implementación de la transmisión de señales sin distorsiones a través de un canal de comunicación, para garantizar la separación de señales y la mitigación de interferencias.
Para observar los espectros de las señales, existen dispositivos llamados analizadores de espectro. Permiten observar y medir los parámetros de componentes individuales del espectro de una señal periódica, así como medir la densidad espectral de una señal continua.