EntradaFundamentos de la teoría del estado tensional. El concepto de estrés.
Conociendo las componentes de tensión en cualquier punto de la placa en condiciones de estado de tensión plano o de deformación plana, se pueden encontrar a partir de las ecuaciones estáticas de tensión en cualquier plano (plataforma) inclinado con respecto a los ejes x e y, pasando por este punto perpendicular a la placa. Denotemos por P un cierto punto en la placa estresada y supongamos que se conocen los componentes de la tensión (Fig. 12). A una pequeña distancia de P, dibujamos un plano paralelo al eje de modo que este plano, junto con los planos coordenados, corte un prisma triangular muy pequeño de la placa. Dado que las tensiones cambian continuamente en todo el volumen del cuerpo, entonces como. A medida que el tamaño del elemento cortado disminuye, la tensión que actúa en el sitio tenderá a la tensión en el área paralela que pasa por el punto R.
Al considerar las condiciones de equilibrio de un prisma triangular pequeño, las fuerzas volumétricas pueden despreciarse como cantidades de un orden superior de pequeñez. De manera similar, si el elemento cortado es muy pequeño, podemos ignorar las variaciones de tensión a lo largo de los bordes y suponer que las tensiones están distribuidas uniformemente. Luego, las fuerzas que actúan sobre el prisma triangular se pueden determinar multiplicando los componentes de la tensión por el área de las caras. Sea la dirección de la normal al plano y los cosenos de los ángulos entre la normal y los ejes xey se denotan de la siguiente manera:
Entonces, si A denota el área de la cara del elemento, entonces las áreas de las otras dos caras serán .
Si denotamos por X y los componentes de tensión que actúan sobre la cara, entonces las condiciones de equilibrio del elemento prismático conducen a las siguientes relaciones:
Por tanto, las componentes de la tensión en cualquier área determinada por los cosenos directores se pueden encontrar fácilmente a partir de las relaciones (12) si se conocen las tres componentes de la tensión en el punto P.
Denotemos por a el ángulo entre la normal al sitio y el eje x, de modo que luego de las relaciones (12) para las componentes normal y tangencial de las tensiones en el sitio obtenemos las fórmulas:
Obviamente, el ángulo se puede elegir de tal manera que el esfuerzo cortante en el sitio sea cero. Para este caso obtenemos
A partir de esta ecuación se pueden encontrar dos direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales las tensiones tangenciales en las áreas correspondientes son iguales a cero. Estas direcciones se denominan principales y las tensiones normales correspondientes se denominan tensiones normales principales.
Si tomamos las direcciones de los ejes x e y como direcciones principales, entonces el componente es igual a cero y las fórmulas (13) toman una forma más simple.
El cambio en los componentes de tensión a y dependiendo del ángulo a se puede representar fácilmente gráficamente en forma de diagrama en coordenadas a y. Cada orientación del sitio corresponde a un punto de este diagrama, cuyas coordenadas representan los valores. de las tensiones que actúan en este sitio. Un diagrama de este tipo se muestra en la Fig. 13. Para áreas perpendiculares a las direcciones principales, obtenemos los puntos A y B con abscisas, respectivamente. Ahora puedes
Demuestre que los componentes de la tensión para cualquier área determinada por el ángulo a (Fig. 12) estarán representados por las coordenadas de un cierto punto en el círculo cuyo diámetro es el segmento A B. Para encontrar este punto, basta con medir desde el punto A en la misma dirección en la que se mide el ángulo a en la Fig. 12, arco correspondiente al ángulo . Para las coordenadas del punto D construidas de esta manera a partir de la Fig. obtenemos 13
La comparación con las fórmulas (13) muestra que las coordenadas del punto D dan valores numéricos de los componentes de la tensión en el sitio determinado por el ángulo a. Para alinear el signo del componente tangente, asumiremos que los valores positivos se colocan hacia arriba (Fig.13, a), y consideraremos que las tensiones tangenciales son positivas cuando dan un momento que actúa en el sentido de las agujas del reloj. como es el caso de las caras del elemento (Fig. 13, b). Las tensiones cortantes en sentido contrario, que actúan por ejemplo sobre las caras de un elemento, se consideran negativas.
Cambiaremos la orientación de la plataforma girándola alrededor de un eje perpendicular al plano (Fig. 12) en el sentido de las agujas del reloj de modo que el ángulo a cambie de 0 al punto D en la Fig. 13 se moverá de A a B. Por tanto, la mitad inferior del círculo determina el cambio de voltaje para todos los valores de a dentro de estos límites. A su vez, la parte superior del círculo da tensiones para el intervalo
Continuando el radio hasta el punto (Fig. 13), es decir, tomando el ángulo igual a , obtenemos tensiones en el área perpendicular al área (Fig. 12). De esto se puede ver que las tensiones cortantes en dos áreas mutuamente perpendiculares son numéricamente iguales entre sí, como se demostró anteriormente. En cuanto a las tensiones normales, vemos desde
Calcule que, es decir, la suma de las tensiones normales que actúan sobre dos áreas mutuamente perpendiculares, cuando el ángulo a cambia, permanece constante.
La tensión cortante máxima mmax viene dada en el diagrama (Fig. 13) por la ordenada máxima del círculo, es decir, igual al radio del círculo. Desde aquí
Actúa sobre un sitio correspondiente, es decir, sobre un sitio cuya normal biseca el ángulo entre las dos direcciones principales.
El diagrama correspondiente también se puede construir para el caso en que uno o ambos esfuerzos principales sean negativos, es decir, para el caso de compresión. Sólo es necesario situar la magnitud de la tensión de compresión hacia las abscisas negativas. En la figura. 14, a muestra un diagrama para el caso en que ambos voltajes principales sean negativos, en la Fig. 14b muestra un diagrama para el caso de corte puro.
De la Fig. 13 y 14 está claro que la tensión en cualquier punto se puede descomponer en dos partes. Uno de ellos es la tensión (o compresión) biaxial, cuyos dos componentes son iguales entre sí y están determinados en magnitud por la abscisa del centro del círculo de Mohr.
La otra parte es corte puro con esfuerzo cortante, cuya magnitud viene dada por el radio del círculo. Cuando se superponen varios estados de tensión planos, se pueden sumar tensiones (o compresiones) uniformes entre sí algebraicamente. Al superponer estados cortantes puros, es necesario tener en cuenta las direcciones de los planos sobre los que actúan los correspondientes esfuerzos cortantes. Se puede demostrar que al superponer dos estados de esfuerzo cortante puro, para los cuales los planos de esfuerzo cortante máximo forman un ángulo entre sí, el sistema resultante se reducirá a otro caso de corte puro. Por ejemplo, fig. En la Figura 15 se muestra cómo determinar la tensión producida por dos estados de cortante puro con valores de tensiones tangenciales y sobre un área, cuya posición está determinada por el ángulo. El primero de estos estados se refiere a planos (Fig. 15,). a), y el segundo a planos inclinados a planos
El voltaje es un vector y, como cualquier vector, puede representarse mediante componentes normales (con respecto al sitio) y tangenciales (figura 2.3). Denotaremos la componente normal del vector tensión como tangente. Los estudios experimentales han establecido que la influencia de las tensiones normales y tangenciales sobre la resistencia de un material es diferente y, por tanto, en el futuro siempre será necesario considerar por separado los componentes del vector de tensiones.
Arroz. 2.3. Esfuerzos normales y cortantes en el sitio.
Arroz. 2.4. Esfuerzo cortante al cortar un perno
Cuando se estira el perno (ver Fig. 2.2), la tensión normal actúa en la sección transversal.
Cuando el perno opera para cortarse (figura 2.4), debe surgir una fuerza en la sección P que equilibre la fuerza.
De las condiciones de equilibrio se deduce que
De hecho, la última relación determina una cierta tensión promedio sobre la sección, que a veces se utiliza para estimaciones aproximadas de resistencia. En la figura. La Figura 2.4 muestra la vista del perno después de la exposición a fuerzas significativas. Comenzó la destrucción del perno y la mitad se desplazó con respecto a la otra: se produjo una deformación por corte o por corte.
Ejemplos de determinación de tensiones en elementos estructurales.
Examinemos los ejemplos más simples en los que la suposición de una distribución uniforme de tensiones puede considerarse prácticamente aceptable. En tales casos, los valores de tensión se determinan mediante el método de secciones a partir de ecuaciones estáticas (ecuaciones de equilibrio).
Torsión de un eje redondo de paredes delgadas.
Un eje (tubo) redondo de paredes delgadas transmite el par (por ejemplo, del motor de un avión a la hélice). Es necesario determinar las tensiones en la sección transversal del eje (Fig. 2.5, a). Dibujemos el plano de sección P perpendicular al eje del eje y consideremos el equilibrio de la parte cortada (Fig. 2.5, b).
Arroz. 2.5. Torsión de un eje redondo de paredes delgadas.
A partir de la condición de simetría axial, teniendo en cuenta el pequeño espesor de la pared, se puede suponer que las tensiones en todos los puntos de la sección transversal son las mismas.
Estrictamente hablando, esta suposición es válida sólo para espesores de pared muy pequeños, pero en cálculos prácticos se utiliza si el espesor de pared
donde es el radio promedio de la sección.
Las fuerzas externas aplicadas a la parte cortada del eje se reducen solo al par y, por lo tanto, no debería haber tensiones normales en la sección transversal. El par se equilibra mediante tensiones tangenciales, cuyo momento es igual a
De la última relación encontramos el esfuerzo cortante en la sección del eje:
Tensiones en un recipiente cilíndrico de paredes delgadas (tubería).
La presión actúa en un recipiente cilíndrico de paredes delgadas (fig. 2.6, a).
Dibujemos una sección por el plano P, perpendicular al eje de la carcasa cilíndrica, y consideremos el equilibrio de la parte cortada. La presión que actúa sobre la tapa del recipiente crea un aumento.
Esta fuerza está equilibrada por las fuerzas que surgen en la sección transversal del caparazón, y la intensidad de estas fuerzas (tensión) será igual a
Se supone que el espesor de la carcasa 5 es pequeño en comparación con el radio promedio; se considera que las tensiones están distribuidas uniformemente en todos los puntos de la sección transversal (Fig. 2.6, b).
Sin embargo, el material de la tubería se ve afectado no sólo por tensiones en la dirección longitudinal, sino también por tensiones circunferenciales (o circulares) en la dirección perpendicular. Para identificarlos, seleccionamos un anillo de longitud I en dos secciones (Fig. 2.7), y luego dibujamos una sección diametral que separa la mitad del anillo.
En la figura. 2.7, a muestra las tensiones en las superficies de la sección transversal. La presión actúa sobre la superficie interior del radio de la tubería.
Arroz. 2.8. Grieta en una carcasa cilíndrica bajo la acción de una presión interna destructiva.
Como ya se sabe, las cargas externas concentradas (es decir, aplicadas en un punto) realmente no existen. Representan el equivalente estático de una carga distribuida.
De manera similar, las fuerzas y momentos internos concentrados que caracterizan la interacción entre partes individuales de un elemento (o entre elementos estructurales individuales) también son solo el equivalente estático de las fuerzas internas distribuidas sobre el área de la sección transversal.
Estas fuerzas, así como las cargas externas distribuidas sobre la superficie, se caracterizan por su intensidad, que es igual a
¿Dónde es la resultante de las fuerzas internas en un área muy pequeña de la sección dibujada (Fig. 7.1, a)?
Descompongamos la fuerza en dos componentes: tangente EN y normal, de las cuales la primera se ubica en el plano de sección y la segunda es perpendicular a este plano.
La intensidad de las fuerzas tangenciales en el punto de la sección transversal considerado se llama tensión cortante y se denota (tau), y la intensidad de las fuerzas normales se llama tensión normal y se denota (sigma). Las tensiones se expresan mediante las fórmulas.
Las tensiones tienen dimensiones, etc.
La tensión normal y cortante son componentes de la tensión total en el punto considerado a lo largo de una sección determinada (Fig. 7.1, b). Es obvio que
La tensión normal en un punto dado a lo largo de una determinada sección caracteriza la intensidad de las fuerzas de separación o compresión de partículas de un elemento estructural ubicado a ambos lados de esta sección, y la tensión cortante es la intensidad de las fuerzas que desplazan estas partículas en el plano de la sección considerada. Las magnitudes de los esfuerzos ay en cada punto del elemento dependen de la dirección de la sección trazada a través de este punto.
El conjunto de tensiones que actúan a lo largo de varias áreas que pasan por el punto considerado representa el estado de tensión en este punto.
Las tensiones normales y tangenciales son muy importantes en la resistencia de los materiales, ya que la resistencia de una estructura depende de sus valores.
Los esfuerzos normales y tangenciales en cada sección transversal de la viga están relacionados por ciertas relaciones con las fuerzas internas que actúan en esta sección. Para obtener tales dependencias, considere un área elemental de la sección transversal F de una viga con tensiones normales a y tangenciales que actúan a lo largo de esta área (figura 8.1). Descompongamos las tensiones en componentes paralelas a los ejes y, respectivamente. Sobre la plataforma actúan fuerzas elementales paralelas a los ejes, respectivamente. Las proyecciones de todas las fuerzas elementales (que actúan en todos los sitios elementales de la sección F) sobre los ejes y sus momentos con respecto a estos ejes están determinados por las expresiones.
La tensión es una medida numérica de la distribución de fuerzas internas a lo largo de un plano de sección transversal. Se utiliza en el estudio y determinación de esfuerzos internos de cualquier estructura.
Seleccionemos un área en el plano de sección. DA; una fuerza interna actuará a lo largo de esta área DR. Magnitud de la relación DR/DA=p promedio se llama voltaje promedio en el sitio DA. Tensión verdadera en un punto A lo conseguiremos apuntando DA a cero
Las tensiones normales ocurren cuando las partículas de un material tienden a alejarse unas de otras o, por el contrario, a acercarse. Las tensiones tangenciales están asociadas con el desplazamiento de partículas a lo largo del plano de la sección considerada.
Es obvio que 
. La tensión tangencial, a su vez, se puede expandir a lo largo de las direcciones del eje. incógnita Y y (τ zх, τ zу). La dimensión de la tensión es N/m 2 (Pa).
17. El concepto de estrés. Esfuerzos normales y cortantes.
Factores de potencia internos. Método de sección. Diagramas. Expresión de factores de fuerzas internas mediante tensiones normales y tangenciales.
Factores de potencia internos
Durante la deformación de una viga bajo carga, la disposición relativa de las partículas elementales del cuerpo cambia, como resultado de lo cual surgen fuerzas internas en ella.
Por su naturaleza, las fuerzas internas representan la interacción de las partículas de un cuerpo, asegurando su integridad y compatibilidad de deformaciones.
Para determinar numéricamente la magnitud de las fuerzas internas se utiliza el método de secciones.
Método de sección se reduce a cuatro pasos:
1. Corte (mentalmente) el cuerpo con un plano en el lugar donde necesita determinar las fuerzas internas (Fig. 7);
Arroz. 7
2. Se descarta cualquier parte cortada del cuerpo (preferiblemente la más compleja) y su acción sobre la parte restante se reemplaza por fuerzas internas para que la parte restante en estudio esté en equilibrio (Fig. 8);
Arroz. 8
3. El sistema de fuerzas se lleva a un punto (como regla general, al centro de gravedad de la sección) y el vector principal y el momento principal del sistema de fuerzas internas se proyectan sobre la normal al plano (eje). y los principales ejes centrales del tramo (y).
Las fuerzas resultantes (N, Qy, Qz) (Fig. 9) y los momentos (Mk, My, Mz) se denominan factores de fuerza internos en la sección.
Arroz. 9
Se aceptan los siguientes nombres para factores de fuerza internos:
-fuerza longitudinal o axial;
Y - fuerzas cortantes;
-esfuerzo de torsión;
Y - momentos de flexión.
4. Encuentre factores de fuerza interna componiendo seis ecuaciones de equilibrio estático para la parte considerada del cuerpo disecado.
Diagrama(fr. puro- dibujo): un tipo especial de gráfico que muestra la distribución de la carga sobre un objeto. Por ejemplo, para una varilla, se toma el eje de simetría longitudinal como dominio de definición y se elaboran diagramas de fuerzas, tensiones y diversas deformaciones según la abscisa.
El cálculo de diagramas de tensiones es una tarea básica de una disciplina como la resistencia de los materiales. En particular, sólo con la ayuda de un diagrama es posible determinar la carga máxima permitida sobre el material.
Construir el diagrama de ordenadas M en cualquier sección de la varilla.
debe realizar las dos operaciones siguientes.
1. Usando la ecuación de equilibrio ∑M(izquierda)= 0 para la intersección izquierda
partes del sistema de varillas (o ∑M(derecha) = 0 para la parte derecha) calcular
Valor numérico del momento flector en la sección.
2. Trazar el valor numérico encontrado en forma de ordenada perpendicular al eje de la varilla. desde el lado de la fibra estirada de la varilla. .
El valor numérico del momento flector en la sección es igual al valor numérico de la suma algebraica de los momentos. con todas nuestras fuerzas, actuando sobre el sistema de varillas a cada lado de la sección, tomado con respecto a un punto en el eje de la sección.
El componente que se encuentra en la sección en un área determinada se denota por y se llama tensión cortante.
La tensión normal dirigida fuera de la sección se considera positiva y la dirigida hacia la sección se considera negativa.
Las tensiones normales surgen cuando, bajo la influencia de fuerzas externas, las partículas ubicadas a ambos lados de la sección tienden a alejarse unas de otras o acercarse entre sí. Los esfuerzos cortantes surgen cuando las partículas tienden a moverse entre sí en el plano de la sección.
La tensión tangencial se puede descomponer a lo largo de los ejes de coordenadas en dos componentes y (Fig. c) El primer índice muestra qué eje es perpendicular a la sección, el segundo, paralelo a qué eje actúa la tensión. Si la dirección del esfuerzo cortante no es importante en los cálculos, se indica sin subíndices.
6. Tensión en un punto. Esfuerzo cortante total, normal. Dimensiones de voltaje.
La tensión es una medida de la distribución de fuerzas internas sobre una sección.
Dónde 
- fuerza interna revelada en el sitio 
.
voltaje completo 
.
Tensión normal: la proyección del vector de tensión total sobre la normal se denota por σ. 
, donde E es el módulo de elasticidad del primer tipo, ε es la deformación lineal. La tensión normal es causada únicamente por un cambio en la longitud de las fibras, la dirección de su acción y el ángulo de las fibras transversales y longitudinales no se distorsiona.
Esfuerzo cortante: componentes de la tensión en el plano de la sección. 
, Dónde 
(para un material isotrópico) – módulo de corte (módulo de elasticidad del segundo tipo), μ – relación de Poisson (=0,3), γ – ángulo de corte.
7. Ley de Hooke para un estado de tensión uniaxial en un punto y ley de Hooke para corte puro. Módulos elásticos de primer y segundo tipo, su significado físico, significado matemático e interpretación gráfica. Relación de Poisson.
- Ley de Hooke para un estado tensional uniaxial en un punto.
E – coeficiente de proporcionalidad (módulo de elasticidad del primer tipo). El módulo de elasticidad es una constante física del material y se determina experimentalmente. El valor de E se mide en las mismas unidades que σ, es decir en kg/cm2.
- Ley de Hooke para el desplazamiento.
G – módulo de corte (módulo de elasticidad del segundo tipo). La dimensión del módulo G es la misma que la del módulo E, es decir kg/cm2. 
.
μ – Relación de Poisson (coeficiente de proporcionalidad). 
. Cantidad adimensional que caracteriza las propiedades de un material y se determina experimentalmente y se encuentra en el rango de 0,25 a 0,35 y no puede exceder 0,5 (para un material isotrópico).
8. Tensión central (compresión) de una viga recta. Determinación de esfuerzos longitudinales internos mediante el método de secciones. Regla de signos para fuerzas longitudinales internas. Dé ejemplos de cálculo de fuerzas longitudinales internas.
La viga experimenta un estado de tensión central (compresión) si surgen fuerzas longitudinales centrales N z en sus secciones transversales (es decir, una fuerza interna, cuya línea de acción se dirige a lo largo del eje z), y los 5 factores de fuerza restantes son iguales a cero (Q x = Q y =M x =M y =M z =0).
Regla de signos para N z: fuerza de tracción verdadera – “+”, fuerza de compresión verdadera – “-”.
9. Tensión central (compresión) de una viga recta. Planteamiento y solución del problema de determinación de tensiones en las secciones transversales de una viga. Tres lados del problema.
Ajuste: Una viga recta hecha de un material homogéneo, estirada (comprimida) por fuerzas longitudinales centrales N. Determine la tensión que surge en las secciones transversales de la viga, la deformación y el desplazamiento de las secciones transversales de la viga dependiendo de las coordenadas de estas. secciones.
10. Tensión central (compresión) de una viga recta. Determinación de deformaciones y desplazamientos. La rigidez de la viga en tensión (compresión). Dé ejemplos de cálculos relevantes.
Para conocer la tensión central (compresión) de una viga recta, consulte la pregunta 8.
.
Con tensión central (compresión) de la viga en la dirección transversal, solo surge en la sección la tensión normal σ z, constante en todos los puntos de la sección transversal e igual a N z / F. 
, donde EF es la rigidez de la viga en tensión (compresión). Cuanto mayor es la rigidez de la viga, menos se deforman los cordones bajo la misma fuerza. 1/(EF) – distensibilidad de la viga en tensión (compresión).
11. Tensión central (compresión) de una viga recta. Sistemas estáticamente indeterminados. Desentrañar la indeterminación estática. Influencia de la temperatura y factores de instalación. Dé ejemplos de cálculos relevantes.
Para conocer la tensión central (compresión) de una viga recta, consulte la pregunta 8.
Si el número de ecuaciones estáticas linealmente independientes es menor que el número de incógnitas incluidas en el sistema de estas ecuaciones, entonces la tarea de determinar estas incógnitas se vuelve estáticamente indeterminable. 
(Por más que una parte se alargue, la segunda parte se encogerá).
Las condiciones normales son 20º C. 
.f(σ,ε,tº,t)=0 – relación funcional entre 4 parámetros.
12. Estudio experimental de las propiedades mecánicas de materiales sometidos a tensión (compresión). Principio de Saint-Venant. Ejemplo de diagrama de tracción. Descarga y recarga. Endurecimiento. Características mecánicas básicas, de resistencia y deformación del material.
Las propiedades mecánicas de los materiales se calculan mediante máquinas de ensayo, que pueden ser de palanca o hidráulicas. En una máquina de palanca, la fuerza se crea mediante una carga que actúa sobre la muestra a través de un sistema de palancas, y en una máquina hidráulica, mediante presión hidráulica.
Principio de Saint-Venant: la naturaleza de la distribución de tensiones en secciones transversales suficientemente alejadas (casi a distancias iguales al tamaño transversal característico de la varilla) del lugar de aplicación de las cargas, fuerzas longitudinales, no depende del método de aplicación de estas. fuerzas, si tienen el mismo equivalente estático. Sin embargo, en la zona de aplicación de cargas, la ley de distribución de tensiones puede diferir notablemente de la ley de distribución en secciones bastante distantes.
Si la muestra de prueba se descarga sin causar destrucción, entonces durante el proceso de descarga la relación entre la fuerza P y el alargamiento Δl la muestra recibirá un alargamiento residual.
Si la muestra se cargó en una sección donde se observa la ley de Hooke y luego se descargó, entonces el alargamiento será puramente elástico. Al volver a cargar, la descarga intermedia desaparecerá.
El endurecimiento en frío (endurecimiento) es el fenómeno de aumentar las propiedades elásticas de un material como resultado de una deformación plástica preliminar.
El límite proporcional es la tensión más alta a la que un material sigue la ley de Hooke.
El límite elástico es la tensión más alta hasta la cual el material no recibe deformación residual.
El límite elástico es la tensión a la que la deformación aumenta sin un aumento notable en la carga.
La resistencia a la tracción es la tensión máxima que una muestra puede soportar sin romperse.
13. Límites de fluencia físicos y condicionales de los materiales al probar muestras de tracción, resistencia a la tracción. Esfuerzos permisibles al calcular la resistencia de una viga estirada (comprimida) centralmente. Factores de seguridad estándar y reales. Da ejemplos numéricos.
En los casos en los que no hay un límite elástico claramente definido en el diagrama, el límite elástico se toma convencionalmente como el valor de tensión en el que la deformación residual ε descansa = 0,002 o 0,2%. En algunos casos se establece el límite ε resto = 0,5%.
máx|σ z |=[σ]. 
,n>1(!) – factor de seguridad estándar.
- factor de seguridad real.n>1(!).
14. Tensión central (compresión) de una viga recta. Cálculos de resistencia y rigidez. Condición de fuerza. Condición de rigidez. Tres tipos de problemas a la hora de calcular la fuerza.
Para conocer la tensión central (compresión) de una viga recta, consulte la pregunta 8.
máx|σz | estiramiento ≤[σ] estiramiento;max|σ z | compresión ≤[σ] compresión.
15. Ley de Hooke generalizada para un estado tensional triaxial en un punto. Deformación volumétrica relativa. Relación de Poisson y sus valores límite para un material isotrópico homogéneo.
,
,
. Sumando estas ecuaciones obtenemos la expresión para la deformación volumétrica: 
. Esta expresión le permite determinar el valor límite de la relación de Poisson para cualquier material isotrópico. Consideremos el caso en el que σ x =σ y =σ z =р. En este caso: 
. Para p positivo, el valor de θ también debe ser positivo; para p negativo, el cambio de volumen será negativo. Esto sólo es posible cuando μ≤1/2. Por tanto, el valor del índice de Poisson para un material isotrópico no puede exceder de 0,5.
16. La relación entre las tres constantes elásticas de un material isotrópico (sin derivar la fórmula).
,
,
.
17. Estudio del estado tensión-deformación en los puntos de una viga recta estirada (comprimida) centralmente. Ley de emparejamiento de tensiones tangenciales.
,
.
- ley de emparejamiento de tensiones tangenciales.
18. Tensión central (compresión) de una viga de material elástico lineal. Energía potencial de deformación elástica de una viga y su conexión con el trabajo de las fuerzas longitudinales externas aplicadas a la viga.
A=U+K. (Como resultado del trabajo, se acumula la energía potencial de un cuerpo deformado; además, el trabajo se utiliza para acelerar la masa del cuerpo, es decir, se convierte en energía cinética).
Si la tensión central (compresión) de una viga hecha de un material linealmente elástico se realiza muy lentamente, entonces la velocidad de movimiento del centro de masa del cuerpo será muy pequeña. Este proceso de carga se llama estático. El cuerpo está en estado de equilibrio en cualquier momento. En este caso, A=U, y el trabajo de las fuerzas externas se convierte completamente en energía potencial de deformación. 
,
,
.
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