bejáratEgyenértékű mátrixok. Tetszőleges lineáris egyenletrendszer megoldása Rendszerek elemi transzformációi
Áttérés új alapra.
Legyen (1) és (2) ugyanannak az X m-dimenziós lineáris térnek két bázisa.
Mivel (1) egy bázis, lehetséges a második bázis vektorait kiterjeszteni rá:
Az at együtthatókból összeállítjuk a mátrixot:
(4) - koordináták mátrix transzformációja az (1) bázisról a (2) bázisra való átmenet során.
Legyen egy vektor, majd (5) és (6).
A (7) reláció azt jelenti
A P mátrix nem degenerált, mert különben lineáris kapcsolat lenne az oszlopai, majd a vektorok között.
Ennek a fordítottja is igaz: bármely nem degenerált mátrix a (8) képletekkel meghatározott koordináta-transzformációs mátrix. Mivel P egy nem degenerált mátrix, akkor van rá egy inverze. A (8) mindkét oldalát megszorozva a következőt kapjuk: (9).
Válasszunk 3 bázist az X lineáris térben: (10), (11), (12).
Hol, pl. (tizenhárom).
Hogy. koordináták szekvenciális transzformációjával a kapott transzformáció mátrixa megegyezik a transzformációs komponensek mátrixainak szorzatával.
Legyen egy lineáris operátor és válasszunk egy bázispárt X-ben: (I) és (II), valamint Y-ben - (III) és (IV).
Az I-III bázispárban lévő A operátor a (14) egyenlőségnek felel meg. Ugyanaz az operátor a II - IV bázispárban megfelel a (15) egyenlőségnek. Hogy. számára ezt az operátortÉs van két mátrixunk és. Kapcsolatot szeretnénk kialakítani közöttük.
Legyen P a koordináta transzformációs mátrix az I-ből III-ba való átmenetben.
Legyen Q a koordináta transzformációs mátrix a II-ből IV-be való átmenetben.
Aztán (16), (17). Ha a (16) és (17) kifejezéseket behelyettesítjük (14)-be, a következőt kapjuk:
Ha ezt az egyenlőséget a (15)-tel hasonlítjuk össze, a következőt kapjuk:
A (19) reláció ugyanazon operátor mátrixát köti össze különböző bázisokon. Abban az esetben, ha az X és Y terek egybeesnek, a III-as bázis szerepét az I, a IV-es bázis szerepét a II játssza, akkor a (19) reláció a következő alakot ölti:.
Bibliográfia:
3.Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. rész II. Az algebra alapjai: egyetemi tankönyv, -M. : Fizikai és matematikai irodalom, 2000, 368 p.
16. számú előadás (II. félév)
Téma: A mátrixok ekvivalenciájának szükséges és elégséges feltétele.
Két mátrix, A és B, azonos méretű hívják egyenértékű ha van két nem degenerált R és S mátrix úgy, hogy (1).
Példa: Két mátrix, amelyek ugyanazon operátornak felelnek meg az X és Y lineáris terekben különböző bázisválasztásokhoz, egyenértékűek.
Nyilvánvaló, hogy az összes azonos méretű mátrix halmazán a fenti definícióval definiált reláció ekvivalenciareláció.
8. tétel: Ahhoz, hogy két azonos méretű téglalap alakú mátrix egyenértékű legyen, szükséges és elegendő, hogy azonos rangúak legyenek.
Bizonyíték:
1. Legyen A és B két olyan mátrix, amelynél van értelme. A szorzat rangja (C mátrix) nem magasabb, mint az egyes tényezők rangja.
Látjuk, hogy a C mátrix k-edik oszlopa az A mátrix oszlopai vektorainak lineáris kombinációja és ez igaz a C mátrix összes oszlopára, azaz. mindenkinek. Hogy. , azaz - a lineáris tér altere.
Mivel és mivel az altér dimenziója kisebb vagy egyenlő a tér dimenziójával, a C mátrix rangja kisebb vagy egyenlő az A mátrix rangjával.
Rögzítsük az i indexet a (2) egyenlőségben, és rendeljünk minden lehetséges értéket k-hez 1-től s-ig. Ekkor a (3) rendszerhez hasonló egyenlőségrendszert kapunk:
A (4) egyenlőségekből látható, hogy i-edik sor A C mátrix a B mátrix sorainak lineáris kombinációja minden i-re, majd a C mátrix sorai által átívelő lineáris hajótestet tartalmazza a B mátrix sorai által átívelő lineáris hajótest, majd ennek a lineáris hajótestnek a mérete. kisebb vagy egyenlő, mint a B mátrix sorvektorai lineáris burkának mérete, ezért a C mátrix rangja kisebb vagy egyenlő, mint a B mátrix rangja.
2. Az A mátrix bal és jobb oldali szorzata egy nem degenerált Q négyzetmátrixszal egyenlő az A mátrix rangjával. (). Azok. a C mátrix rangja megegyezik az A mátrix rangjával.
Bizonyíték: Az (1) ügyben bebizonyosodottak szerint. Mivel a Q mátrix nem degenerált, ezért létezik: és az előző állításban bizonyítottnak megfelelően.
3. Bizonyítsuk be, hogy ha a mátrixok ekvivalensek, akkor azonos rangúak. Definíció szerint A és B ekvivalens, ha van olyan R és S, hogy. Mivel a bal oldali A-t R-vel, a jobb oldali A-t S-vel megszorozva azonos rangú mátrixokat kapunk, amint azt a (2) pont is bizonyítja, A rangja megegyezik B rangjával.
4. Legyen azonos rangú A és B mátrix. Bizonyítsuk be, hogy egyenértékűek. Fontolgat.
Legyen X és Y két olyan lineáris tér, amelyben a bázisok (X bázis) és (Y bázis) vannak kiválasztva. Mint ismeretes, bármely alakú mátrix definiál valamilyen lineáris operátort, amely X-től Y-ig hat.
Mivel r az A mátrix rangja, pontosan r lineárisan független vektor található a vektorok között. Az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy az első r vektorok lineárisan függetlenek. Ezután az összes többi lineárisan kifejeződik rajtuk keresztül, és ezt írhatja:
Új bázist határozunk meg az X térben a következőképpen:. (7)
Az új alap az Y térben a következő:
A vektorok feltétel szerint lineárisan függetlenek. Egészítsük ki néhány vektorral az Y bázisig: (8). Tehát (7) és (8) két új X és Y bázis. Keressük meg az A operátor mátrixát ezekben az alapokban:
Tehát az új bázispárban az A operátor mátrixa a J mátrix. Az A mátrix eredetileg egy tetszőleges téglalap alakú, r rangú mátrix volt. Mivel ugyanannak az operátornak a mátrixai különböző bázisokban ekvivalensek, ez azt mutatja, hogy bármely r rangú téglalap mátrix ekvivalens J-vel. Mivel ekvivalenciarelációról van szó, ez azt mutatja, hogy a mátrix bármely két A és B mátrixa forma és rang r , mivel ekvivalensek a J mátrixszal, ekvivalensek egymással.
Bibliográfia:
1. Voevodin V.V. Lineáris algebra. Szentpétervár: Lan, 2008, 416 p.
2. Beklemishev DV Analitikus geometria és lineáris algebra tantárgy. Moszkva: Fizmatlit, 2006, 304 p.
3.Kostrikin A.I. Bevezetés az algebrába. rész II. Az algebra alapjai: egyetemi tankönyv, -M. : Fizikai és matematikai irodalom, 2000, 368 p.
17. számú előadás (II. félév)
Téma: Sajátértékek és sajátvektorok. Sajátterek. Példák.
Közvetlen célunk annak bizonyítása, hogy bármely mátrix elemi transzformációkkal redukálható néhány szabványos formára. Az ekvivalens mátrixok nyelve hasznos ezen az úton.
Hadd. Azt fogjuk mondani, hogy a mátrix l_ekvivalens (n_ekvivalens vagy ekvivalens) a mátrixhoz, és jelöli (vagy), ha a mátrix véges számú soros (illetve oszlopos vagy soros és oszlopos) elemi transzformációval nyerhető ki a mátrixból. Nyilvánvaló, hogy az n_ekvivalens és n_ekvivalens mátrixok ekvivalensek.
Először is megmutatjuk, hogy bármely mátrix csak sortranszformációval redukálható egy speciális, redukált alakra.
Hadd. Azt mondják, hogy ennek a mátrixnak egy nullától eltérő sora redukált alakú, ha olyan 1-gyel egyenlő elemet tartalmaz, hogy az oszlop összes eleme nullával egyenlő. A megjelölt egysoros elemet a sor vezető elemének nevezzük, és körbe zárjuk. Más szavakkal, a mátrix egy sorának redukált alakja van, ha ez a mátrix az űrlap oszlopát tartalmazza
Például a következő mátrixban
a sornak kicsinyített formája van, mivel. Vegye figyelembe, hogy ebben a példában az elem egyben a sor forgópontja is. A következőkben, ha az adott típusú sorban több olyan elem is van, amely a vezető tulajdonságaival rendelkezik, akkor ezek közül tetszőleges módon csak egyet választunk ki.
Egy mátrixról azt mondjuk, hogy redukált alakja van, ha minden nullától eltérő sora redukált alakkal rendelkezik. Például a mátrix
redukált formája van.
1.3. állítás Minden mátrixhoz létezik egy redukált formájú l_ekvivalens mátrix.
Valóban, ha a mátrix alakja (1.1) és akkor elemi transzformációk végrehajtása után
megkapjuk a mátrixot
amelyben a sor redukált alakja van.
Másodszor, ha a mátrix sorát redukáltuk, akkor az elemi transzformációk (1.20) végrehajtása után a mátrix sora lecsökken. Valóban, az adott óta van olyan oszlop, hogy
de ekkor és ebből következően a transzformációk (1.20) végrehajtása után az oszlop nem változik, i.e. ... Ezért a vonal kicsinyített formában van.
Most már világos, hogy a mátrix minden nullától eltérő sorát a fenti módon váltakozva, véges számú lépés után, egy redukált alakú mátrixot kapunk. Mivel a mátrix megszerzéséhez csak sorelemi transzformációkat használtunk, ez l_ekvivalens a mátrixszal. >
7. példa Szerkesszünk egy redukált formájú mátrixot, amely l_ekvivalens a mátrixszal
Egyenértékű mátrixok
Mint fentebb említettük, egy s-es rendű mátrix mollja az eredeti mátrix bármely kiválasztott s sor és s oszlop metszéspontjában elhelyezkedő elemeiből képzett mátrix determinánsa.
Meghatározás. Az mn rendű mátrixban egy r rendű mollot alapnak nevezünk, ha nem egyenlő nullával, és minden r + 1 és magasabb rendű moll egyenlő nullával, vagy egyáltalán nem létezik, azaz. r egyezik a kisebb m vagy n értékkel.
A mátrix azon oszlopait és sorait, amelyeken az alap-moll található, alapnak is nevezzük.
A mátrixnak több különböző alap-mollja is lehet, azonos sorrendben.
Meghatározás. A mátrix alapmoll sorrendjét a mátrix rangjának nevezzük, és Rg A-val jelöljük.
Az elemi mátrix transzformációk nagyon fontos tulajdonsága, hogy nem változtatják meg a mátrix rangját.
Meghatározás. Az elemi transzformáció eredményeként kapott mátrixokat ekvivalensnek nevezzük.
Meg kell jegyezni, hogy az egyenlő mátrixok és az ekvivalens mátrixok teljesen különböző fogalmak.
Tétel. A mátrixban a lineárisan független oszlopok legnagyobb száma megegyezik a lineárisan független sorok számával.
Mivel az elemi transzformációk nem változtatják meg a mátrix rangját, akkor a mátrix rangjának megtalálásának folyamata jelentősen leegyszerűsíthető.
Példa. Határozza meg a mátrix rangját!
2. Példa: Határozza meg a mátrix rangját.
Ha elemi transzformációkkal nem lehet az eredetivel egyenértékű, de kisebb méretű mátrixot találni, akkor a mátrix rangjának megtalálását a lehető legmagasabb rendű minorok kiszámításával kell kezdeni. A fenti példában ezek a 3. rendű minorok. Ha legalább az egyik nem egyenlő nullával, akkor a mátrix rangja megegyezik ennek a minornak a sorrendjével.
Alapvető moll tétel.
Tétel. Egy tetszőleges A mátrixban minden oszlop (sor) azon oszlopok (sorok) lineáris kombinációja, amelyekben az alap minor található.
Tehát a rang tetszőleges mátrix A egyenlő a mátrixban található lineárisan független sorok (oszlopok) maximális számával.
Ha A négyzetmátrix és det A = 0, akkor legalább az egyik oszlop a többi oszlop lineáris kombinációja. Ugyanez igaz a húrokra is. Ez az állítás a lineáris függés tulajdonságából következik, ahol a determináns nulla.
Tetszőleges lineáris egyenletrendszerek megoldása
Mint fentebb említettük, a mátrix módszer és a Cramer-módszer csak azokra a lineáris egyenletrendszerekre alkalmazható, amelyekben az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával. Ezután tekintsünk tetszőleges lineáris egyenletrendszereket.
Meghatározás. Egy m egyenletrendszer n ismeretlennel Általános nézet a következőképpen van írva:
ahol aij együtthatók és bi konstansok. A rendszer megoldásai n szám, amelyek a rendszerbe behelyettesítve minden egyenletét azonossággá alakítják.
Meghatározás. Ha egy rendszernek legalább egy megoldása van, akkor azt kötésnek nevezzük. Ha a rendszernek nincs egyetlen megoldása, akkor azt inkonzisztensnek nevezzük.
Meghatározás. Egy rendszert határozottnak nevezünk, ha csak egy megoldása van, és határozatlannak, ha egynél több.
Meghatározás. Lineáris egyenletrendszer esetén a mátrix
A =-t a rendszer mátrixának és mátrixának nevezzük
A * = a rendszer kiterjesztett mátrixa
Meghatározás. Ha b1, b2,…, bm = 0, akkor a rendszert homogénnek nevezzük. egy homogén rendszer mindig kompatibilis, hiszen mindig van nulla megoldása.
Elemi rendszerátalakítások
Az elemi átalakítások a következők:
1) Az egyik egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk a másik egyenlet megfelelő részeit, megszorozva ugyanazzal a számmal, amely nem egyenlő nullával.
2) Egyenletek permutációja helyenként.
3) Az egyenletrendszerből való eltávolítása, amelyek minden x azonosságai.
A Kronecker - Capeli tétel (a rendszer kompatibilitási feltétele).
(Leopold Kronecker (1823-1891) német matematikus)
Tétel: Egy rendszer akkor és csak akkor konzisztens (legalább egy megoldása van), ha a rendszermátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával.
Nyilvánvaló, hogy az (1) rendszert így is fel lehet írni.