Macierze równoważne. Rozwiązywanie dowolnych układów równań liniowych Elementarne przekształcenia układów

Przejście na nowe podstawy.

Niech (1) i (2) będą dwiema bazami tej samej m-wymiarowej przestrzeni liniowej X.

Ponieważ (1) jest bazą, możliwe jest rozszerzenie na nią wektorów drugiej bazy:

Ze współczynników w składamy macierz:

(4) - macierzowa transformacja współrzędnych w przejściu z bazy (1) do bazy (2).

Niech wektor, a następnie (5) i (6).

Relacja (7) oznacza, że

Macierz P jest niezdegenerowana, ponieważ w przeciwnym razie między jej kolumnami, a następnie między wektorami istniałaby zależność liniowa.

Prawdą jest również odwrotność: każda niezdegenerowana macierz jest macierzą transformacji współrzędnych określoną wzorami (8). Ponieważ P jest macierzą niezdegenerowaną, istnieje dla niej odwrotność. Mnożąc obie strony (8) przez, otrzymujemy: (9).

Wybierzmy 3 bazy w przestrzeni liniowej X: (10), (11), (12).

Gdzie, tj. (13).

To. przy sekwencyjnej transformacji współrzędnych macierz powstałej transformacji jest równa iloczynowi macierzy składowych transformacji.

Niech w X wybrany zostanie operator liniowy i para zasad: (I) i (II), aw Y - (III) i (IV).

Operator A w parze zasad I - III odpowiada równości: (14). Ten sam operator w parze zasad II - IV odpowiada równości: (15). To. dla ten operator I mamy dwie macierze i. Chcemy nawiązać między nimi relację.

Niech P będzie macierzą transformacji współrzędnych w przejściu od I do III.

Niech Q będzie macierzą transformacji współrzędnych w przejściu od II do IV.

Następnie (16), (17). Zastępując wyrażenia od i od (16) i (17) do (14) otrzymujemy:

Porównując tę ​​równość z (15), otrzymujemy:

Relacja (19) łączy macierz tego samego operatora w różnych bazach. W przypadku, gdy przestrzenie X i Y pokrywają się, rolę III bazy odgrywa I, a IV - II, wtedy relacja (19) przyjmuje postać:.

Bibliografia:

3. Kostrikin A.I. Wprowadzenie do algebry. część druga. Podstawy algebry: podręcznik dla uczelni, -M. : Literatura fizyczna i matematyczna, 2000, 368 s.

Wykład nr 16 (II semestr)

Temat: Warunek konieczny i wystarczający równoważności macierzy.

Dwie macierze A i B, ten sam rozmiar są nazywane równowartość jeśli istnieją dwie niezdegenerowane macierze R i S takie, że (1).

Przykład: Dwie macierze odpowiadające temu samemu operatorowi dla różnych wyborów baz w przestrzeniach liniowych X i Y są równoważne.

Jest oczywiste, że relacja zdefiniowana na zbiorze wszystkich macierzy tej samej wielkości przy użyciu powyższej definicji jest relacją równoważności.

Twierdzenie 8: Aby dwie prostokątne macierze tej samej wielkości były równoważne, konieczne i wystarczające jest, aby miały ten sam rząd.

Dowód:

1. Niech A i B będą dwiema macierzami, dla których ma to sens. Ranga produktu (macierz C) nie jest wyższa niż ranga każdego z czynników.

Widzimy, że k-ta kolumna macierzy C jest kombinacją liniową wektorów kolumn macierzy A i dotyczy to wszystkich kolumn macierzy C, tj. dla wszystkich. To. , tj. - podprzestrzeń przestrzeni liniowej.

Ponieważ i ponieważ wymiar podprzestrzeni jest mniejszy lub równy wymiarowi przestrzeni, rząd macierzy C jest mniejszy lub równy rządowi macierzy A.

Ustalmy indeks i w równości (2) i przypiszmy wszystkie możliwe wartości do k od 1 do s. Następnie otrzymujemy układ równości podobny do układu (3):

Z równości (4) widać, że i-ta linia macierzy C jest kombinacją liniową wierszy macierzy B dla wszystkich i, a następnie kadłub liniowy rozpięty przez wiersze macierzy C jest zawarty w kadłubie liniowym rozpiętym przez wiersze macierzy B, a następnie wymiar tego kadłuba liniowego jest mniejszy lub równy wymiarowi kadłuba liniowego wektorów rzędowych macierzy B , dlatego rząd macierzy C jest mniejszy lub równy rządowi macierzy B.

2. Rząd iloczynu macierzy A po lewej i po prawej stronie przez niezdegenerowaną macierz kwadratową Q jest równy rządowi macierzy A. (). Te. rząd macierzy C jest równy rządowi macierzy A.

Dowód: Zgodnie z tym, co udowodniono w przypadku (1). Skoro macierz Q jest niezdegenerowana, to dla niej istnieje: i zgodnie z tym, co zostało udowodnione w poprzednim stwierdzeniu.

3. Udowodnijmy, że jeśli macierze są równoważne, to mają te same rangi. Z definicji A i B są równoważne, jeśli istnieją takie R i S. Ponieważ pomnożenie A po lewej przez R i po prawej przez S daje macierze tej samej rangi, jak wykazano w punkcie (2), ranga A jest równa randze B.

4. Niech macierze A i B tej samej rangi. Udowodnijmy, że są one równoważne. Rozważać.

Niech X i Y będą dwiema przestrzeniami liniowymi, w których wybrane są bazy (podstawa X) i (podstawa Y). Jak wiadomo, dowolna macierz postaci definiuje pewien operator liniowy działający od X do Y.

Ponieważ r jest rządem macierzy A, wśród wektorów jest dokładnie r liniowo niezależnych wektorów. Bez utraty ogólności możemy założyć, że pierwsze r wektory są liniowo niezależne. Następnie wszystkie inne są przez nie wyrażane liniowo i możesz napisać:

Nową bazę w przestrzeni X definiujemy następująco:. (7)

Nowa baza w przestrzeni Y wygląda następująco:

Wektory według warunku są liniowo niezależne. Uzupełnijmy je jakimiś wektorami aż do bazy Y: (8). Zatem (7) i (8) to dwie nowe bazy X i Y. Znajdźmy macierz operatora A w tych bazach:

Tak więc w nowej parze baz macierzą operatora A jest macierz J. Macierz A była pierwotnie dowolną macierzą prostokątną o postaci rang. Ponieważ macierze tego samego operatora w różnych bazach są równoważne, pokazuje to, że każda macierz prostokątna o postaci rzędu r jest równoważna J. Ponieważ mamy do czynienia z relacją równoważności, pokazuje to, że dowolne dwie macierze A i B forma i rząd r , będące odpowiednikami macierzy J, są sobie równoważne.

Bibliografia:

1. Wojewodin W.W. Algebra liniowa. Sankt Petersburg: Łań, 2008, 416 s.

2. Beklemishev DV Kurs geometrii analitycznej i algebry liniowej. Moskwa: Fizmatlit, 2006, 304 s.

3. Kostrikin A.I. Wprowadzenie do algebry. część druga. Podstawy algebry: podręcznik dla uczelni, -M. : Literatura fizyczna i matematyczna, 2000, 368 s.

Wykład nr 17 (II semestr)

Temat: Wartości własne i wektory własne. Przestrzenie własne. Przykłady.

Często spotykane są pojęcia równości i równoważności macierzy.

Definicja 1

Macierz $ A = \ lewo (a_ (ij) \ prawo) _ (m \ razy n) $ jest nazywana macierzą $ B = \ lewo (b_ (ij) \ prawo) _ (k \ razy l) $ , jeżeli ich wymiary $ (m = k, n = l) $ pokrywają się i odpowiadające sobie elementy porównywanych macierzy są sobie równe.

Dla macierzy drugiego rzędu zapisanych w ogólna perspektywa, równość macierzy można zapisać w następujący sposób:

Przykład 1

Podane macierze:

1) $ A = \ left (\ begin (tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (tablica) \ prawo) $;

2) $ A = \ left (\ begin (tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( tablica) (c) (-3) \\ (2) \ end (tablica) \ prawo) $;

3) $ A = \ left (\ begin (tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( tablica) (cc) (2) i (4) \\ (1) i (3) \ koniec (tablica) \ prawo) $.

Sprawdź, czy macierze są równe.

1) $ A = \ left (\ begin (tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right) $

Macierze A i B mają tę samą kolejność równą 2 $ \ razy 2 $. Odpowiednie elementy porównywanych macierzy są równe, a więc macierze są równe.

2) $ A = \ left (\ begin (tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( tablica) (c) (-3) \\ (2) \ end (tablica) \ prawo) $

Macierze A i B mają różne porządki, równe odpowiednio 2 $ \ razy 2 $ i 2 $ \ razy 1 $.

3) $ A = \ left (\ begin (tablica) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ right), B = \ left (\ begin ( tablica) (cc) (2) i (4) \\ (1) i (3) \ end (tablica) \ prawo) $

Macierze A i B mają tę samą kolejność równą 2 $ \ razy 2 $. Jednak nie wszystkie odpowiadające sobie elementy porównywanych macierzy są równe, dlatego macierze nie są równe.

Definicja 2

Przekształcenie elementarne macierzy to takie przekształcenie, w wyniku którego zachowana jest równoważność macierzy. Innymi słowy, przekształcenie elementarne nie zmienia zbioru rozwiązań układu liniowych równań algebraicznych (SLAE), który reprezentuje dana macierz.

Podstawowe przekształcenia ciągów macierzowych obejmują:

• pomnożenie wiersza macierzy przez niezerową liczbę $k $ (wyznacznik macierzy jest zwiększany o $k $ razy);
• permutacja dowolnych dwóch wierszy macierzy;
• dodawanie elementów drugiego wiersza do elementów jednego wiersza macierzy.

To samo dotyczy kolumn macierzy i nazywa się je elementarnymi transformacjami kolumnowymi.

Definicja 3

Jeżeli z macierzy A za pomocą transformacji elementarnej przeszliśmy do macierzy B, to macierze pierwotna i wynikowa nazywamy równoważnymi. Aby wskazać równoważność macierzy, użyj znaku „$ \ sim $”, na przykład $ A \ sim B $.

Przykład 2

Biorąc pod uwagę macierz: $ A = \ left (\ begin (tablica) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) i (3) \ koniec (tablica) \ prawo) $.

Wykonuj po kolei elementarne przekształcenia wierszy macierzy.

Zamieńmy pierwszy wiersz i drugi wiersz macierzy A:

Pomnóżmy pierwszy wiersz macierzy B przez liczbę 2:

Dodaj pierwszy wiersz do drugiego wiersza macierzy:

Definicja 4

Macierz schodkowa to macierz spełniająca następujące warunki:

• jeśli w macierzy jest wiersz zerowy, wszystkie wiersze pod nim również są zerowe;
• pierwszy niezerowy element każdej niezerowej linii musi znajdować się dokładnie na prawo od elementu obrotowego w linii powyżej tej.

Przykład 3

Macierze $ A = \ lewo (\ początek (tablica) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \ end (tablica) \ right) $ i $ B = \ left (\ begin (tablica) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \ end (tablica) \ right) $ to macierze kroków.

Komentarz

Możliwe jest zredukowanie macierzy do postaci schodkowej za pomocą równoważnych przekształceń.

Przykład 4

Biorąc pod uwagę macierz: $ A = \ left (\ begin (tablica) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) i (3) \ koniec (tablica) \ prawo) $. Zredukuj macierz do postaci schodkowej.

Zamieńmy pierwszy i drugi wiersz macierzy A:

Pomnóżmy pierwszy wiersz macierzy B przez liczbę 2 i dodajmy do drugiego wiersza:

Pomnóżmy pierwszy wiersz macierzy C przez liczbę -1 i dodajmy do trzeciego wiersza:

Pomnóż drugi rząd litery D przez liczbę -2 i dodaj go do trzeciego rzędu:

$ K = \ lewo (\ początek (tablica) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \ end (array) \ right) $ to macierz schodkowa.

Macierze równoważne

Jak wspomniano powyżej, minor macierzy rzędu s jest wyznacznikiem macierzy utworzonej z elementów pierwotnej macierzy znajdujących się na przecięciu dowolnych wybranych s wierszy i s kolumn.

Definicja. W macierzy rzędu mn, podrzędny rzędu r nazywamy podstawowym, jeśli nie jest równy zeru, a wszystkie podrzędne rzędu r+1 i wyższe są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, tj. r odpowiada mniejszej liczbie m lub n.

Kolumny i wiersze macierzy, na których znajduje się podstawowy minor, nazywane są również podstawowymi.

Macierz może mieć kilka różnych podstawowych elementów drugorzędnych o tej samej kolejności.

Definicja. Rząd podstawowego mola macierzystego nazywany jest rzędem macierzy i jest oznaczony przez Rg A.

Bardzo ważną właściwością elementarnych przekształceń macierzy jest to, że nie zmieniają one rangi macierzy.

Definicja. Macierze uzyskane w wyniku przekształcenia elementarnego nazywane są równoważnymi.

Należy zauważyć, że macierze równe i macierze równoważne to zupełnie różne pojęcia.

Twierdzenie. Największa liczba liniowo niezależnych kolumn w macierzy jest równa liczbie liniowo niezależnych wierszy.

Ponieważ przekształcenia elementarne nie zmieniają rangi macierzy, to proces znajdowania rangi macierzy można znacznie uprościć.

Przykład. Określ rangę macierzy.

2. Przykład: Określ rangę macierzy.

Jeżeli za pomocą przekształceń elementarnych nie można znaleźć macierzy równoważnej pierwotnej, ale o mniejszym rozmiarze, to znalezienie rzędu macierzy należy rozpocząć od obliczenia minorów najwyższego możliwego rzędu. W powyższym przykładzie są to drugorzędne rzędu 3. Jeżeli przynajmniej jeden z nich nie jest równy zero, to ranga macierzy jest równa rządowi tej drugorzędnej.

Podstawowe drobne twierdzenie.

Twierdzenie. W dowolnej macierzy A każda kolumna (wiersz) jest liniową kombinacją kolumn (wierszy), w których znajduje się podstawa minor.

Więc ranga dowolna macierz A jest równe maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy (kolumn) w macierzy.

Jeśli A jest macierzą kwadratową i det A = 0, to przynajmniej jedna z kolumn jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. To samo dotyczy ciągów. Stwierdzenie to wynika z własności zależności liniowej z wyznacznikiem równym zero.

Rozwiązywanie dowolnych układów równań liniowych

Jak wspomniano powyżej, metoda macierzowa i metoda Cramera mają zastosowanie tylko do tych układów równań liniowych, w których liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Następnie rozważ dowolne układy równań liniowych.

Definicja. Układ m równań z n niewiadomymi jest ogólnie zapisany w następujący sposób:

gdzie aij to współczynniki, a bi to stałe. Rozwiązaniami systemu są n liczb, które podstawione do systemu zamieniają każde z jego równań w tożsamość.

Definicja. Jeśli system ma co najmniej jedno rozwiązanie, nazywa się to połączeniem. Jeśli system nie ma jednego rozwiązania, nazywa się to niespójnym.

Definicja. System nazywany jest określonym, jeśli ma tylko jedno rozwiązanie, a nieokreślonym, jeśli ma więcej niż jedno.

Definicja. Dla układu równań liniowych macierz

A = nazywamy macierzą układu, a macierz

A * = zwana rozszerzoną macierzą systemu

Definicja. Jeśli b1, b2,…, bm = 0, to układ nazywamy jednorodnym. jednorodny system jest zawsze kompatybilny, ponieważ zawsze ma zerowe rozwiązanie.

Podstawowe transformacje systemowe

Transformacje elementarne obejmują:

1) Dodanie po obu stronach jednego równania odpowiednich części drugiego, pomnożonych przez tę samą liczbę, nierówną zeru.

2) Permutacje równań w miejscach.

3) Usunięcie z układu równań, które są tożsamościami dla wszystkich x.

Twierdzenie Kroneckera - Capeli (warunek zgodności dla systemu).

(Leopold Kronecker (1823-1891) niemiecki matematyk)

Twierdzenie: System jest zgodny (ma co najmniej jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ranga macierzy systemu jest równa randze macierzy rozszerzonej.

Jest oczywiste, że system (1) można zapisać jako.

Naszym bezpośrednim celem jest udowodnienie, że dowolną macierz można zredukować do pewnych standardowych form za pomocą przekształceń elementarnych. Na tej ścieżce przydatny jest język macierzy równoważnych.

Zostawiać. Powiemy, że macierz l_ekwiwalent (n_ekwiwalent lub ekwiwalent) do macierzy i oznaczymy (lub) czy macierz można uzyskać z macierzy przy użyciu skończonej liczby wierszy (odpowiednio kolumnowych lub wierszowych i kolumnowych) przekształceń elementarnych. Jasne jest, że macierze n_równoważników i n_równoważników są równoważne.

Najpierw pokażemy, że każdą macierz można zredukować tylko przez przekształcenia wierszy do specjalnej postaci zwanej zredukowaną.

Zostawiać. Mówią, że niezerowy wiersz tej macierzy ma formę zredukowaną, jeśli zawiera taki element równy 1, że wszystkie elementy kolumny, inne niż, są równe zero. Zaznaczony pojedynczy element liniowy zostanie nazwany elementem wiodącym tej linii i zamknięty w okręgu. Innymi słowy, wiersz macierzy ma formę zredukowaną, jeśli ta macierz zawiera kolumnę postaci

Na przykład w poniższej macierzy

linia ma zredukowaną formę, ponieważ. Zauważ, że w tym przykładzie element twierdzi również, że jest osią wiersza. W dalszej kolejności, jeśli w linii danego typu znajduje się kilka elementów, które mają właściwości wiodącego, to wybierzemy w dowolny sposób tylko jeden z nich.

Mówi się, że macierz ma formę zredukowaną, jeśli każdy z jej niezerowych wierszy ma formę zredukowaną. Na przykład macierz

ma formę zredukowaną.

Twierdzenie 1.3 Dla każdej macierzy istnieje macierz l_równoważna w postaci zredukowanej.

Rzeczywiście, jeśli macierz ma postać (1.1) i to po wykonaniu w niej elementarnych przekształceń

otrzymujemy macierz

w którym linia ma formę zredukowaną.

Po drugie, jeśli wiersz w macierzy został zmniejszony, to po wykonaniu przekształceń elementarnych (1.20) wiersz macierzy zostanie zmniejszony. Rzeczywiście, od podanej jest kolumna taka, że

ale wtedy, a co za tym idzie, po przeprowadzeniu transformacji (1.20), kolumna się nie zmienia, tj. ... Dlatego linia ma zredukowaną formę.

Teraz jest jasne, że przekształcając naprzemiennie każdy niezerowy wiersz macierzy w powyższy sposób, po skończonej liczbie kroków otrzymujemy macierz w postaci zredukowanej. Ponieważ do uzyskania macierzy użyto tylko przekształceń elementarnych wierszy, jest ona równoważna macierzy. >

Przykład 7. Skonstruuj macierz postaci zredukowanej, l_równoważnik macierzy