Pierwsza harmoniczna szeregu Fouriera. Transformata Fouriera w energoelektronice

Zacznijmy od prostego zarysu, aby przyjrzeć się podstawowym pojęciom, których użyjemy później, aby uzyskać więcej złożone schematy... Na ryc. 7.1 pokazuje napięcie wejściowe V BX.p = 1 V, to jest sinusoida o częstotliwości F= 1 kHz i maksymalna wartość 1 V (r.m.s. V w= √2). Aby zapewnić napięcie wyjściowe, które jest nieliniową funkcją napięcia wejściowego, jako wzmacniacz stosuje się źródło napięcia sterowanego napięciem E (VCO). W tym przykładzie zależność napięcia wyjściowego od napięcia wejściowego wyświetla funkcja

F(x) = 1 + NS + NS².

Ryż. 7.1. Schemat z nieliniowym sprzężeniem napięć wejściowych i wyjściowych

To łącze funkcjonalne jest wyświetlane w poleceniu E przy użyciu współczynników wielomianu. Forma ogólna wielomian:

F(NS) = k 0 + k 1 NS + k 2 NS².

Aby dostać się do zależności naszego przykładu, używamy trzech ostatnich cyfr polecenia wejściowego E. Chcemy przeprowadzić analizę harmonicznych, aby zobaczyć, które harmoniczne są obecne w napięciu wyjściowym, ale najpierw spróbujmy określić, czego powinniśmy się spodziewać.

Przed przystąpieniem do rozwinięcia zależności czasowych Fouriera należy przeprowadzić analizę transjentów (program do analizy transjentów w PSpice).

Dlatego musisz użyć zarówno poleceń TRAN, jak i FOUR. Zazwyczaj analiza stanów nieustalonych jest wykonywana dla pełnego cyklu częstotliwości podstawowej. W tym przykładzie F= 1 kHz; W związku z tym, T=1/F= 1 ms. Analiza harmonicznych odzwierciedla składowe częstotliwości aż do dziewiątej harmonicznej. W większości przypadków powinno to wystarczyć. Jeśli pokażesz wyższe harmoniczne, nie będą one miały większego znaczenia ze względu na kumulację błędów zaokrągleń w wynikach.

Aby dać więcej szczegółowy opis Napięcie wejściowe V BX, używamy formularza grzech opisać źródło. Grzech parametrów ( a, b,z, ...) mieć na myśli: a- składnik stały, b- maksymalna wartość, z- częstotliwość, D- opóźnienie, mi jest współczynnikiem tłumienia i F- faza.

Po umieszczeniu w pliku wejściowym polecenie .FOUR wykonuje analizę harmoniczną, dając rozwinięcie szeregu Fouriera dla wyników analizy proces przejścia... Parametry tego polecenia obejmują częstotliwość podstawową i zmienne, dla których zostanie uzyskana dekompozycja. W tym przykładzie zmienne te są okresowymi funkcjami napięć wejściowych V (1) i wyjściowych V (2). Plik wejściowy:

Vin 10 grzech (0 1 1000); argumenty dla przesunięcia, maksimum i częstotliwości

E 2 0 poli (1) 1,0 1 1 1; ostatnie 3 wartości dla k0, k1, k2

Przeanalizuj, a następnie uzyskaj wykresy V (1) i (V) 2. Upewnij się, że V (1) jest dokładną kopią napięcia wejściowego V BX. Napięcie wyjściowe powinien pokazać komponent prąd stały i fala złożona z maksymalnie 3 V. Z teoretycznego badania szeregu Fouriera możemy wywnioskować, że ten wykres przypomina falę okresową składającą się z podstawowej i drugiej harmonicznej. Zaleca się wydrukowanie kopii tego wykresu do wykorzystania w przyszłości. Na ryc. 7.2 pokazuje te wykresy.

Ryż. 7.2. Wykresy naprężeń v 1 i v 2 dla obwodu na ryc. 7,1

Rozważmy również plik wyjściowy dla tego obwodu (rysunek 7.3), który pokazuje następujące wartości napięć węzłowych: V (1) = 0 V i V (2) = 1 V. Oznacza to, że chociaż sygnał wejściowy nie ma przesunięcia , wyjście napięcia ma przesunięcie V (2) = 1 V.

Na ryc. 7.3 w tabeli składowych szeregu Fouriera dla V (1) nie wszystkie składowe mają wartości rzeczywiste. Zatem wartość składowej stałej powinna teoretycznie być równa zeru, ale analiza daje bardzo małą wartość 3,5E-10, która nie jest dokładnie zerem ze względu na kumulację błędu zaokrąglenia.

analiza Fouriera; Rozkład wielomianu

Vin 10 grzech (0 1 1000); argumentami są przesunięcie, szczyt i częstotliwość

E 2 0 poli (1) 1,0 1 1 1; ostatnie 3 jedynki są dla k0, k1, k2

2 2.000E + 03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E + 01 -9.308E + 01

5 5.000Е + 03 3,134Е-09 3,134Е-09 -9,107Е + 01 -9,107Е + 01

6 6.000E + 03 1.525E-09 1.525E-09 -6,706E + 01 -6,706E + 01

FAZA FOURIERA CZĘSTOTLIWOŚCI HARMONICZNEJ ZNORMALIZOWANA FAZA ZNORMALIZOWANA

NIE (HZ) KOMPONENT KOMPONENT (STOPNI) FAZA (STOPNI)

1 1,000E + 03 1,000E + 00 1,000E + 00 -2,888E-07 0,000E + 00

2 2.000E + 03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E + 01 -9.000E + 01

3 3.000E + 03 7,971E-08 7,971E-08 -1,546E + 02 -1,546E + 02

4 4.000E + 03 5.126E-08 5.126E-08 -1,439E + 02 -1,439E + 02

5 5.000E + 03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E + 02 -1.420E + 02

6 6.000E + 03 3.327E-08 3.327E-08 -1,299E + 02 -1,299E + 02

7 7,000Е + 03 3,606E-08 3,606E-08 -1,268Е + 02 -1,268E + 02

8 8.000E + 03 2.889E-08 2.859E-08 -1,316E + 02 -1,316E + 02

9 9000E + 03 2,584E-08 2,584E-08 -1,189E + 02 -1,189E + 02

CAŁKOWITE ZNIEKSZTAŁCENIA HARMONICZNE = 4,999939E + 01 PROCENT

Ryż. 7.3. Plik wyjściowy z wynikami analizy obwodu na ryc. 7.1

Pierwsza harmoniczna to podstawowa przy F= 1 kHz. Pokazano amplitudę pierwszej harmonicznej szeregu Fouriera i jej fazę 2.4E-7 (również prawie zerową). Jeżeli przyjmiemy, że ten składnik jest wyrażony wzorem

b n grzech ( nx),

to oznacza, że b 1 =1, n= 1, gdzie indeks 1 odpowiada częstotliwości podstawowej. Inne harmoniczne można zignorować, ponieważ ich amplitudy są o wiele rzędów wielkości mniejsze niż podstawowa. Jest to harmoniczna podstawowa, która jest odzwierciedlona na wykresie V (1) w Probe, uzyskano go z danych na rys. 7.3.

Kolejna tabela składowych Fouriera na ryc. 7.3 odnosi się do V (2). Przeglądając różne harmoniczne, zauważ, że składowa DC wynosi 1,5 V. Dlaczego 1,5 V? Składnik k 0 = 1 V daje tylko część tej wartości, podczas gdy pozostałe 0,5 V jest związane z drugą harmoniczną. Teoria pokazuje, że przy zniekształceniu harmonicznym drugiej harmonicznej w napięciu wyjściowym, oprócz samej drugiej harmonicznej o amplitudzie b 2, pojawia się również składowa stała związana ze zniekształceniami w drugiej harmonicznej o wartości b 0 =b 2. Amplituda częstotliwości podstawowej w rozwinięciu wynosi b 1 = 1 V, amplituda drugiej harmonicznej b 2 = 0,5 V, jego kąt fazowy wynosi -90 °. Wyższe harmoniczne są znacznie mniejsze i można je zignorować.

Jako ćwiczenie z syntezy harmonicznej możesz narysować poszczególne harmoniczne i dodać je razem, aby przewidzieć wynik, jaki uzyskasz w Probe for V (2). Pamiętaj, aby wziąć pod uwagę składową stałą i odpowiadające jej amplitudy i fazy dla podstawowej i drugiej harmonicznej. Gdy już wykreślisz wynikowe chybotanie, bez wątpienia będziesz zadowolony, wiedząc, że PSpice może wykonać tę żmudną pracę za Ciebie.

Dodawanie i rozkład harmonicznych

Stwórzmy nowy plik wejściowy odpowiadający rys. 7.4, w którym do schematu na ryc. W wersji 7.1 dodano jeszcze dwa niezależne źródła prądu.

Użyliśmy tylko dwóch źródeł, aby można było uzyskać podstawową i drugą harmoniczną na tym samym wykresie z napięciem wyjściowym. Dodatkowe zasilacze zasilają podłączony równolegle rezystor 1-omowy. Taka zmiana pierwotnego schematu wcale nie jest konieczna, po prostu okazała się wygodna dla danego zestawu parametrów. Nowy plik wejściowy jest rozszerzeniem poprzedniego pliku i wygląda tak:

analiza Fouriera; Rozkład wielomianu

Vin 1 0 sin (0 1 1000); argumenty - offset, amplituda i częstotliwość

E 2 0 poli (1) 1,0 1 1 1; ostatnie 3 rekordy dla k0, k1, k2

i2 0 3 grzech (0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Ryż. 7.4. Schemat analizy dodawania harmonicznych i rozwinięcia szeregu Fouriera

Przed wykonaniem analizy należy szczegółowo zapoznać się z opisami i 1 i i 2. Do syntezy harmonicznej wykorzystuje się wyniki rozwinięcia szeregu Fouriera z poprzedniego problemu. Upewnij się, że rozumiesz znaczenie wszystkich parametrów; następnie uruchom analizę w Probe uzyskując wykresy I (i1), I (i2) i I (r). Chociaż reprezentują prądy, są liczbowo równe napięciu, ponieważ przechodzą przez rezystancję 1 Ohm. Na ryc. 7.5 pokazuje wyniki. Teraz możesz ustalić, że pierwszy wykres to podstawowa harmoniczna, drugi to druga harmoniczna, a trzeci to wynik ich dodania w rezystorze r... Oczywiście możesz otrzymać wykres V (3) zamiast I (r). W tym przypadku oś Y będą oznaczone w kategoriach napięcia, a nie prądu. Upewnij się, że suma pierwszych dwóch krzywych daje trzecią krzywą w różnych punktach w czasie. Aby wykres był bardziej zwarty, użyliśmy przesunięcia 1 V dla podstawowej i 0,5 V dla drugiej harmonicznej. W rzeczywistości podstawowa harmoniczna ma zerowe przesunięcie.

Ryż. 7.5. Podstawowe i drugie harmoniczne oraz wynik ich dodawania

Zniekształcenia drugiej harmonicznej we wzmacniaczach

Kiedy Obszar roboczy wzmacniacz wychodzi poza liniową część charakterystyki, co prowadzi do pewnych zniekształceń. Pierwsze przybliżenie do rzeczywistej krzywej wyjściowej uzyskuje się poprzez uwzględnienie drugiej harmonicznej w modelu, pokazując, że funkcja transjentów łącząca ja jestem oraz ja b(prąd kolektora i bazy) to parabola. Zazwyczaj zniekształcenie jest znacznie mniejsze niż założono w naszym pierwszym przykładzie wprowadzającym, który pokazano na ryc. 7.1. Bardziej precyzyjny wielomian podaje wzór

F(x) = 0,1 + x + 0,2x².

Łatwo jest przekonwertować oryginalny plik wejściowy, aby odzwierciedlić tę sytuację. Polecenie wejściowe dla zależnego źródła mi przyjmie formę:

E 2 0 poli (1) 1,0 0,1 1 0,2; ostatnie trzy wielkości dla k0, k1, k2

a cały plik wejściowy będzie miał postać:

Przeanalizuj i uzyskaj wykresy V (1) i V (2) w Probe. Zobaczysz, że obie fale wyglądają jak prawdziwe fale sinusoidalne. Aby uzyskać dokładniejsze porównanie, usuń wykres V (2) i zamiast tego uzyskaj wykres V (2) –0,1. To zbliży obie krzywe do siebie. Porównując fale, pamiętaj, że V (1) jest tylko sinusoidą, a V (2) jest kombinacją podstawowej i drugiej harmonicznej. W tym przykładzie druga harmoniczna ma znacznie mniejszą amplitudę niż w poprzedniej. Możesz wydrukować wyniki badań pokazane na ryc. 7.6.

Ryż. 7.6. Podstawowe i drugie harmoniczne oraz wynik ich dodawania

Po wyjściu z Probe rozważ plik wyjściowy dla tego przypadku. Napięcie wejściowe V (1) jest dokładnie takie samo jak w poprzednim przykładzie, ale V (2) jest oczywiście inne. Należy zauważyć, że składowa DC napięcia wyjściowego wynosi 0,2 V, a druga harmoniczna przy F= 2 kHz ma amplitudę 0,1 V i kąt fazowy -90 °. Inne harmoniczne są znacznie mniejsze i można je pominąć. Na koniec określ całkowite zniekształcenie harmoniczne, które jest bardzo bliskie 10%, zgodnie z oczekiwaniami. Zniekształcenie drugiej harmonicznej definiuje się jako b 1 /b 2 gdzie b 1 i b 2 - współczynniki odpowiednio przy drugiej i podstawowej harmonicznej. Dane te pokazano na ryc. 7.7.

analiza Fouriera; Zniekształcenia drugiej harmonicznej, wzmacniacz mocy

NAPIĘCIE W WĘZLE NAPIĘCIE W WĘZLE NAPIĘCIE W WĘZLE

SKŁADNIKI FOURIERA ODPOWIEDZI PRZEJŚCIOWEJ V (1)

FAZA FOURIERA CZĘSTOTLIWOŚCI HARMONICZNEJ ZNORMALIZOWANA FAZA ZNORMALIZOWANA

NIE (HZ) KOMPONENT KOMPONENT (STOPNI) FAZA (STOPNI)

1 1,000E + 03 1,000E + 00 1,000E + 00 1,115E-06 0,000E + 00

2 2.000E + 03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E + 01 -9.308E + 01

3 3.000E + 03 7,381E-09 7,381E-09 -9,083E + 01 -9,083E + 01

4 4.000E + 03 4.388E-09 4.388E-09 -8,993E + 01 -8,993E + 01

5 5.000E + 03 3.134E-09 3.134E-09 -9,107E + 01 -9,107E + 01

6 6.000E + 03 1.525E-09 1.525E-09 -6,706E + 01 -6,706E + 01

7 7.000E + 03 1.511E-09 1.511E-09 -1,392E + 02 -1,392E + 02

8 8.000E + 03 1.237E-09 1.237E-09 -3,990E + 01 -3,990E + 01

9 9.000E + 03 7,642E-10 7,642E-10 3,320E + 01 3,320E + 01

CAŁKOWITE ZNIEKSZTAŁCENIA HARMONICZNE = 2,208405E-06 PROCENT

SKŁADNIKI FOURIERA ODPOWIEDZI PRZEJŚCIOWEJ V (2)

FAZA FOURIERA CZĘSTOTLIWOŚCI HARMONICZNEJ ZNORMALIZOWANA FAZA ZNORMALIZOWANA

NIE (HZ) KOMPONENT KOMPONENT (STOPNI) FAZA (STOPNI)

1 3.000E + 03 1.000E + 00 1.000E + 00 7.683E-07 0.000E + 00

2 2.000E + 03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E + 01 -9.000E + 01

3 3.000E + 03 1,756E-08 1,756E-08 -1,336E + 02 -1,336E + 02

4 4000E + 03 1,430E-08 1,430E-08 -1,348E + 02 -1,348E + 02

5 5.000E + 03 9,547E-09 9,547E-09 -1,365E + 02 -1,365E + 02

6 6.000E + 03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E + 02 -1.232E + 02

7 7.000E + 03 6.463E-09 6.463E-09 -1,342E + 02 -1,342E + 02

8 8.000E + 03 5,743E-09 5,743E-09 -9,544E + 01 -9,544E + 01

9 9.000E + 03 6.931E-09 6.931E-09 -1,092E + 02 -1,092E + 02

CAŁKOWITE ZNIEKSZTAŁCENIA HARMONICZNE = 9.999880E + 00 PROCENT

Ryż. 7.7. Wyniki analizy zniekształceń drugiej harmonicznej we wzmacniaczach

Zniekształcenia intermodulacyjne

Używamy prosty schemat(Rysunek 7.8), aby pokazać, w jaki sposób dwie fale sinusoidalne łączą się w urządzeniu nieliniowym przy użyciu częstotliwości, które są dość blisko siebie, a mianowicie F 1 = 1 kHz i F 2 = 1,5 kHz. Mieszanie nieliniowe występuje w źródle VCVS (INUN) zależnym od typu e. Wielomian opisujący relację zawiera więcej elementów niż w poprzednim przykładzie:

F(x) = 1 + x + NS² + x³.

Ryż. 7.8. Obwód demonstracyjny zniekształceń intermodulacyjnych

Prądy, sumując się, tworzą w R = Napięcie 1 Ohm V (1), liczbowo równe prądowi w R. Zatem napięcie wejściowe V (1) może być postrzegane jako napięcie w nieliniowym mikserze. Ponieważ fale sinusoidalne mają różne częstotliwości, ich suma jest złożoną okresową oscylacją o częstotliwości innej niż częstotliwość oryginalnych składowych (częstotliwość dudnień). Plik wejściowy:

Symuluj i wejdź do Probe V (1). Wybierz Plot, X-Axis Settings…, User Defined i ustaw zakres od 0 do 10 ms, aby uzyskać stabilne napięcie wejściowe. Ten wykres pokazano na ryc. 7.9. Aby potwierdzić, że jest to faktycznie suma harmonicznych 1 i 1,5 kHz, wybierz Trace, Fourier, przechodząc od czasu do dziedziny częstotliwości. Teraz zmieńmy granice wzdłuż osi x ustawiając zakres częstotliwości od 4 do 12 kHz. Upewnij się, że parametry osi odpowiadają żądanym częstotliwościom i oczekiwanym amplitudom. W rzeczywistości w F= 1 kHz, napięcie wynosi 0,991 V, a przy F= 1,5 kHz to 0,979 V. Nie zapominaj, że przy tej syntezie jest jakiś błąd akumulacji. Na ryc. 7.10 pokazuje odpowiednią charakterystykę częstotliwościową.

Ryż. 7.9. Napięcie wyjściowe ze zniekształceniami intermodulacyjnymi

Ryż. 7.10. Skład widmowy napięcia wejściowego

Wybierz następnie Trace, End Fourier, aby wrócić do dziedziny czasu, usuń wykres V (1) i uzyskaj wykres wyjścia miksera V (2). Przypomnij sobie, że mikser to INUN z połączeniem wielomianowym podanym przez funkcję F(NS). Zależność od czasu jest wykresem podobnym do V (1), ale po bliższym przyjrzeniu się okaże się, że przebiegi napięcia znacznie się różnią. Pewne wskazówki można uzyskać ze składu harmonicznego tej złożonej wibracji, więc konieczne będzie cofnięcie się do domeny częstotliwości poprzez wybór zakresu wzdłuż osi x 0 do 5 kHz. Zalecamy wydrukowanie widma częstotliwości do dalszych badań. Teoretyczna analiza komponentów FM pozwala przewidzieć i zweryfikować wyniki analizy w PSpice. Należy zauważyć, że występuje składowa DC o wartości 2 V wraz z istotnymi składowymi w zakresie od 0,5 do 4,5 kHz (patrz rysunek 7.11 dla widma częstotliwości).

Ryż. 7.11. Skład widmowy napięcia wyjściowego

Dodawanie harmonicznych

Najprostszym przypadkiem analizy teoretycznej jest przypadek działania harmonicznego w obwodzie składającym się z elementów liniowych, takich jak rezystory, kondensatory i cewki, a jak wiadomo, odpowiedzią jest oscylacja harmoniczna o tej samej częstotliwości sygnału wejściowego. Różne spadki napięcia w obwodzie to również oscylacje harmoniczne o tej samej częstotliwości, różniące się jedynie amplitudą i fazą. Użyjmy prostego diagramu, aby zilustrować niektóre z tych właściwości. Na ryc. 7.12 przedstawia trzy źródła napięcia zasilające obwód zawierający rezystory. R = 1 Ohm i r 1 = R 2 = 0,001 oma. Ostatnie dwa rezystory są wymagane, aby źródła napięcia były niedoskonałe. Korzystając z tego diagramu, możemy pokazać dodawanie fal sinusoidalnych w sondzie. Plik wejściowy:

Dodanie fal sinusoidalnych o tej samej częstotliwości

* Kolejność parametrów w złożonym wyrażeniu dla harmonicznej

* składowe: offset, amplituda, częstotliwość, opóźnienie, tłumienie, faza

v2 2 0 sin (0 1 1kHz 0 0 45); faza = 45 stopni

v3 3 0 sin (0 1 1kHz 0 0 90); faza = 90 stopni

Ryż. 7.12. Układ do dodawania sygnałów harmonicznych o jednej częstotliwości

Przeprowadź symulację iw Probe uzyskaj wykresy v (1), v (2) i v = v (1) + v (2). Otrzymane wykresy pokazują naprężenie v 2 z maksymalnym opóźnieniem około 45° od maksimum v 1, a całkowite napięcie v 1 +v 2 z maksimum znajdującym się pomiędzy ich wartościami maksymalnymi. Upewnij się, że maksimum v 1 = 1 V osiąga się przy 251 μs (90 °), maksimum v 2 = 1 V - przy 131 μs (47,16 °) i maksimum v 1 +v 2 = 1,8381 V - przy 171 μs (61,56 °). Usuń te wykresy i uzyskaj zależności czasowe dla innych kombinacji napięć, na przykład dla v (1), v (3) i v (1) + v (3). W oparciu o twoją zdolność do dodawania wektorów naprężeń, spróbuj przewidzieć wartość amplitudy dla sumy naprężeń, zanim uzyskasz wykresy sondy pokazane na ryc. 7.13.

Ryż. 7.13. Wynik dodawania sygnałów harmonicznych o tej samej częstotliwości

Dodawanie podstawowej i drugiej harmonicznej

w plik wejściowy odpowiadający schematowi na ryc. 7.12 możesz łatwo zmieniać parametry i skład zasilaczy. Kasować v 3 i podwój częstotliwość napięcia! v 2, aby stać się drugą częstotliwością harmoniczną dla v 1 . Oczywiście powstałe chybotanie natychmiast stanie się niesinusoidalne. W rzeczywistości jego kształt będzie zależał od stosunku kątów fazowych v 1 i v 2. Niech w rozważanym przykładzie obie harmoniczne osiągną swoje maksimum jednocześnie. Plik wejściowy dla takiego przypadku:

Dodawanie fal sinusoidalnych; Podstawowe i drugie harmoniczne osiąganie razem

Przeprowadź symulację i uzyskaj wykresy v (1), v (2) i v = v (1) + v (2) w Probe. O ile v 1 i v 2 szczyty w tym samym czasie, wynikowe maksimum oscylacji wynosi 2 V, ale kiedy podstawowa osiąga ujemne maksimum, druga harmoniczna powraca do dodatniego maksimum, a ich suma znika. Oczywiste jest, że całkowita oscylacja ( v 1 +v 2) niesinusoidalny. Wykresy te pokazano na ryc. 7.14.

Ryż. 7.14. Wynik dodawania pierwszej i drugiej harmonicznej

Modulacja amplitudy

Ciekawy wykres przebiegu modulowanego amplitudowo można uzyskać w PSpice za pomocą funkcji mnożenia przebiegów harmonicznych o znacząco różnych częstotliwościach. Na ryc. 7.15 pokazuje schemat symulujący takie urządzenie. Źródło pierwszej harmonicznej to v 1 o częstotliwości 1 kHz. drugie pochodzenie v 2 ma częstotliwość 20 kHz. Mnożenie odbywa się w źródle zależnym e, którym jest VCVS (VCVS). Rezystory są potrzebne, aby uniknąć pływających potencjałów. Plik wejściowy:

e 3 0 poli (2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Ryż. 7.15. Mnożnik modulacji fali sinusoidalnej

Ostatnie pięć wpisów w poleceniu wprowadzania źródła wielomianu: 0 0 0 0 1. Przypomnij sobie, że są to wartości współczynników w terminach k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 i k 4 v 1 v 2. Wszystkie wartości to 0 z wyjątkiem k 4, czyli 1.

Symuluj i uzyskaj wykresy v (1) i v (3) w Probe. Składowa harmoniczna o częstotliwości 20 kHz nie jest celowo wykreślana na ogólnym wykresie, aby nie komplikować zrozumienia procesów. Powstałe oscylacje v (3) mają klasyczną postać oscylacji modulowanej amplitudą. W tym przykładzie obie harmoniczne wejściowe v 1 i v 2 mają amplitudę 1 V. Wykresy pokazano na ryc. 7.16.

Ryż. 7.16. Wynik badania sygnałów z modulacją amplitudy

Bez wychodzenia z sondy dodaj wykres innego napięcia wejściowego v (2) tak, aby wszystkie napięcia były wyświetlane: v (1), v (2) i v (3). Ten wykres zawiera teraz, wraz z dwiema innymi falami, nośnik, co daje pełny obraz. Pobierz wydruk do dalszych badań, a następnie usuń wykres v (2) i wybierz Trace, Fourier. Ustaw wzdłuż osi x granice zakresu od 0 do 30 kHz. Domena częstotliwości wyświetla teraz komponenty o częstotliwościach 1,19 i 21 kHz. Te ostatnie składowe reprezentują wysokie i niskie częstotliwości boczne wytwarzane przez tę modulację. Określ amplitudę każdej z tych fal. Zapamiętaj tożsamość trygonometryczną,

(grzech a) (grzech b) = 0.5,

co wyjaśnia amplitudy 0,5 V dla częstotliwości wstęgi bocznej. Patrz rys. 7.17, który pokazuje widmo częstotliwości. (Znaczniki zostały usunięte, aby uzyskać wyraźniejszy obraz.) Analizuj z różnymi względnymi amplitudami napięcia modulacji v 1, aby zobaczyć, jaki to ma wpływ na głębokość modulacji T... Na przykład kiedy v 1 ma amplitudę 0,8, jaka jest głębokość modulacji i co przypomina powstałe chybotanie?

Ryż. 7.17. Widmo częstotliwości oscylacji modulowanych amplitudowo

Przegląd nowych poleceń PSpice użytych w tym rozdziale

.CZTERY <частота>*<выходные переменные>

Na przykład wpis

pokazuje, że następuje ekspansja Fouriera. Dekompozycji można dokonać dopiero po uzyskaniu zależności czasowej dla stanu ustalonego, otrzymanej z analizy procesu przejściowego. To polecenie musi być obecne w pliku wejściowym:

TRAN <шаг><момент окончания>

Zadania

Analiza harmonicznych daje stałą składową podstawowej harmonicznej i wszystkich harmonicznych do dziewiątej włącznie. Ich amplitudy i fazy są pokazane z wartościami rzeczywistymi i względnymi. W poprzednim przykładzie przeanalizowano V (1) i V (2) oraz ich składowe. Zwykle, aby przeprowadzić analizę harmoniczną, użyj polecenia .SONDA: jednak zamiast tego można również użyć poleceń .WYDRUKOWAĆ lub .WĄTEK.

7.1. Na ryc. 7.18 wielomian dla E ma postać

F(x) = NS + NS².

Ryż. 7.18

Za pomocą v ja, szczyt= 1 V, F= 1 kHz i V = 1 W porównaniu v 0 v ja... Przewidzieć przybliżony skład harmoniczny napięcia wyjściowego; następnie uruchom analizę PSpice, która pokaże skład harmoniczny zarówno napięć wejściowych, jak i wyjściowych. W poleceniu .FOUR użyj napięć V (2, 1) i V (3). Sprawdź plik wyjściowy i określ skład harmoniczny V (3).

7.2. W zadaniu 7.1 użyj Trace, Fourier, aby uzyskać skład harmoniczny V (3). Wyświetlanie V (2,1) i V (3), ustawione wzdłuż osi x granice od 0 do 5 kHz.

7.3. Wykonaj analizę dla zadania 7.1 za pomocą

F(x) = 2 + 0,1x².

Przewidzieć przybliżony skład harmoniczny napięcia wyjściowego; następnie uzyskaj wykresy V (2,1) i V (3), aby sprawdzić dokładność swoich przewidywań.

7.4. Na ryc. 7.4 pokazuje wielomianowe źródło E. Zostało ono zdefiniowane jako

F(NS) = 1 + NS + NS².

Zamień wielomian na

F(NS) = NS + NS²,

i dokonać syntezy i rozkładu przez zmianę i 1 i i 2 tak, aby prąd I (r) był zgodny z kształtem napięcia V (2).

7.5. W sekcji Drugie zniekształcenie harmoniczne we wzmacniaczach tego rozdziału zastąp wielomian następującym:

F(NS) = 0,05 + NS + 0,1NS²,

i analizuj na PSpice zgodnie z sugestią w tekście. Uzyskaj wykres V (1) i (V) 2–0,05, aby porównać składowe AC napięć wejściowych i wyjściowych. Przewiduj składową stałą napięcia wyjściowego, amplitudę i fazę drugiej harmonicznej oraz całkowite zniekształcenie harmoniczne. Przetestuj swoje prognozy, korzystając z wyników sondy i pliku wyjściowego.

7.6. W sekcji Zniekształcenia intermodulacyjne połączyliśmy dwie fale sinusoidalne o różnych częstotliwościach. Wykonaj analizę na częstotliwościach F 1 = 2 kHz i F 2 = 2,5 kHz, pozostawiając wyrażenie na F(NS) bez zmian. Zmodyfikuj polecenie .TRAN zgodnie z zadaniem. Wykonaj kroki w tej samej kolejności, jak w przykładzie tekstowym, aby przetestować swoje przewidywania dotyczące składu harmonicznego napięcia wyjściowego.

7.7. W sekcji „Dodawanie harmonicznych” na ryc. 7.12 pokazuje równoległe gałęzie z trzema źródłami napięcia. Dodawanie harmonicznych było bardziej matematyczne niż fizyczne. Zmodyfikuj obwód tak, aby wszystkie źródła napięcia były połączone szeregowo, a następnie ponownie przeanalizuj. Czy uzyskałeś te same wyniki?

7.8. Wykonaj analizę, aby dodać następujące harmoniczne napięć o tej samej częstotliwości F= 1 kHz:

v 1 = 0,5∠0 ° V, v 2 = 1∠45 ° B i v 23 = 1,5∠90 ° V.

W której:

a) Znajdź maksymalną wartość ( v 1 +v 2), a także moment w czasie i kąt fazowy, w którym osiągnięto maksimum.

b) Powtórz punkt a) dla ( v 1 +v 3).

Używając trybu kursora i wielu wykresów na tym samym ekranie, użyj [ klawisz kontrolny] oraz strzałkami ← i →, aby wybrać, po którym wykresie ma się poruszać kursor.

7.9. Aby zilustrować efekt dodawania harmonicznych o bliskich częstotliwościach, wykonaj analizę jak w Zadaniu 7.8 dla następującego zestawu parametrów: v 1 = 1∠0 ° V, F 1 = 1 kHz, v 1 = 1∠0 ° V, F 2 = 1,2 kHz, v 1 = 1∠0 ° V i F 3 = 1,4 kHz:

a) Pobierz wykresy v 1 , v 2 i ( v 1 +v 2). Znajdź maksymalną wartość ( v 1 +v 2).

b) Pobierz wykresy v 1 , v 3 i ( v 1 +v 3). Znajdź maksymalną wartość ( v 1 +v 3).

7.10. Rozwiąż problem w sekcji modulacji AM, ustawiając v 1 = 1 V przy 1 kHz i zmiana v 1, aby głębokość modulacji wynosiła 0,5. Uruchom analizę PSpice, aby pokazać wyniki.

2.1. Widma sygnały okresowe

Sygnał okresowy (prąd lub napięcie) nazywany jest tym rodzajem działania, gdy przebieg powtarza się po określonym przedziale czasu T, który nazywa się kropką. Najprostsza forma Przebieg okresowy to przebieg harmoniczny lub sinusoida, który charakteryzuje się amplitudą, okresem i fazą początkową. Wszystkie inne sygnały będą nieharmoniczny lub niesinusoidalny... Można wykazać, a praktyka to dowodzi, że jeżeli sygnał wejściowy zasilacza jest okresowy, to wszystkie inne prądy i napięcia w każdej gałęzi (sygnały wyjściowe) również będą okresowe. W takim przypadku przebiegi w różnych gałęziach będą się od siebie różnić.

Istnieje ogólna technika badania okresowych sygnałów nieharmonicznych (wpływów wejściowych i ich reakcji) w obwodzie elektrycznym, która opiera się na dekompozycji sygnałów w szeregu Fouriera. Technika ta polega na tym, że zawsze można wybrać liczbę sygnałów harmonicznych (tj. sinusoidalnych) o takich amplitudach, częstotliwościach i fazach początkowych, których suma algebraiczna rzędnych w dowolnym momencie jest równa rzędnej badanego sygnału niesinusoidalnego. Na przykład napięcie ty na ryc. 2.1. można zastąpić sumą naprężeń, a ponieważ w dowolnym momencie zachodzi identyczna równość: ... Każdy z terminów jest sinusoidą, której częstotliwość drgań jest związana z okresem T relacje całkowite.

Dla rozważanego przykładu mamy okres pierwszej harmonicznej pokrywający się z okresem sygnału nieharmonicznegoT 1 = T, a okres drugiej harmonicznej jest o połowę mniejszyT 2 = T/ 2, tj. wartości chwilowe harmonicznych należy zapisać jako:

Tutaj amplitudy drgań harmonicznych są sobie równe ( ), a początkowe fazy są równe zeru.

Ryż. 2.1. Przykład dodawania pierwszej i drugiej harmonicznej

sygnał nieharmoniczny

W elektrotechnice nazywa się składową harmoniczną, której okres jest równy okresowi sygnału nieharmonicznego pierwszy lub podstawowy harmoniczna sygnału. Wszystkie inne składowe nazywane są składowymi wyższych harmonicznych. Harmoniczna, której częstotliwość jest k razy większa niż pierwsza harmoniczna (a okres jest odpowiednio k razy mniejsza), nazywa się

k - ta harmoniczna. Wyróżnia się również średnią wartość funkcji dla okresu, która nazywa się zero harmoniczny. W ogólnym przypadku szereg Fouriera zapisuje się jako sumę nieskończonej liczby składowych harmonicznych o różnych częstotliwościach:

(2.1)

gdzie k jest liczbą harmonicznej; - częstotliwość kątowa k - tej harmonicznej;

ω 1 = ω = 2 π / T- częstotliwość kątowa pierwszej harmonicznej; - zero harmonicznych.

W przypadku sygnałów o typowych przebiegach w literaturze można znaleźć rozwinięcie szeregu Fouriera. W tabeli 2 przedstawiono dekompozycje dla ośmiu przebiegów sygnałów okresowych. Należy zauważyć, że dekompozycje podane w Tabeli 2 będą miały miejsce, jeśli początek układu współrzędnych zostanie wybrany zgodnie z rysunkami po lewej stronie; kiedy zmieni się początek czasu T początkowe fazy harmonicznych ulegną zmianie, podczas gdy amplitudy harmonicznych pozostaną takie same. W zależności od rodzaju badanego sygnału przez V należy rozumieć albo wartość mierzoną w woltach, jeśli jest to sygnał napięciowy, albo wartość mierzoną w amperach, jeśli jest to sygnał prądowy.

Rozwinięcie funkcji okresowych w szereg Fouriera

Tabela 2

Harmonogram F(T)	Szereg funkcji FourieraF(T)	Notatka
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,2,3,4,5
		k = 1,3,5, ...
		k = 1,2,3,4,5
		S = 1,2,3,4, ..
		k = 1,2,4,6, ..

Sygnały 7 i 8 są formowane z sinusoidy za pomocą obwodów z elementami bramkowymi.

Zbiór składowych harmonicznych, które tworzą sygnał niesinusoidalny, nazywany jest widmem tego sygnału nieharmonicznego. Z tego zestawu harmonicznych są izolowane i rozróżniane amplituda oraz faza widmo. Widmo amplitudowe to zbiór amplitud wszystkich harmonicznych, który jest zwykle przedstawiany na wykresie jako zbiór linii pionowych, których długości są proporcjonalne (w wybranej skali) do wartości amplitud składowych harmonicznych, oraz o miejscu na osi poziomej decyduje częstotliwość (liczba harmoniczna) tej składowej. Widma fazowe są traktowane podobnie jak zbiór początkowych faz wszystkich harmonicznych; są one również rysowane w skali jako zestaw pionowych linii.

Należy zauważyć, że początkowe fazy w elektrotechnice są zwykle mierzone w zakresie od –180 0 do +180 0. Widma składające się z oddzielnych linii są nazywane liniowy lub dyskretny... Linie widmowe są w oddali F poza gdzie F- przedział częstotliwości równy częstotliwości pierwszej harmonicznej F Tak więc dyskretne widma sygnałów okresowych mają składowe widmowe o wielu częstotliwościach - F, 2F, 3F, 4F, 5F itp.

Przykład 2.1. Znajdź widmo amplitudy i fazy dla sygnału prostokątnego, gdy czasy trwania sygnałów dodatnich i ujemnych są równe, a średnia wartość funkcji w tym okresie wynosi zero

ty(T) = V dla 0<T<T/2

ty(T) = -V dla T/2<T<T

W przypadku sygnałów o prostych, często używanych formach wskazane jest znalezienie rozwiązania za pomocą tabel.

Ryż. 2.2. Liniowe widmo amplitudy sygnału prostokątnego

Z rozwinięcia sygnału prostokątnego w szereg Fouriera (patrz Tabele 2 - 1) wynika, że ​​szereg harmoniczny zawiera tylko nieparzyste harmoniczne, podczas gdy amplitudy harmonicznych maleją proporcjonalnie do liczby harmonicznej. Widmo linii amplitud harmonicznych pokazano na rys. 2.2. Podczas wykreślania zakłada się, że amplituda pierwszej harmonicznej (tu napięcia) jest równa jednemu woltowi: B; wtedy amplituda trzeciej harmonicznej będzie B, piąta - B itd. Początkowe fazy wszystkich harmonicznych sygnału są równe zeru, dlatego widmo fazowe ma tylko zerowe rzędne.

Problem został rozwiązany.

Przykład 2.2.Znajdź widmo amplitudy i fazy dla napięcia zmieniającego się zgodnie z prawem: przy - T/4<T<T/4; ty(T) = 0 dla T/4<T<3/4T... Taki sygnał powstaje z sinusoidy poprzez wyeliminowanie (w układzie z elementami bramkowymi) ujemnej części sygnału harmonicznego.

a) b)

Ryż. 2.3. Widmo liniowe sygnału prostowania półfalowego: a) amplituda; b) faza

Dla sygnału prostowania półfalowego napięcia sinusoidalnego (patrz tabele 2 - 8) szereg Fouriera zawiera składową stałą (zerową harmoniczną), pierwszą harmoniczną, a następnie zestaw tylko parzystych harmonicznych, których amplitudy gwałtownie maleją wraz ze wzrostem liczby harmonicznej. Jeśli na przykład przyjmiemy wartość V = 100 B, to mnożąc każdy wyraz przez wspólny dzielnik 2V / π, otrzymamy(2.2)

Widma amplitudowe i fazowe tego sygnału pokazano na rys. 2.3a, b.

Problem został rozwiązany.

Zgodnie z teorią szeregu Fouriera dokładna równość sygnału nieharmonicznego z sumą harmonicznych ma miejsce tylko dla nieskończenie dużej liczby harmonicznych. Obliczanie składowych harmonicznych na komputerze pozwala na analizę dowolnej liczby harmonicznych, o czym decyduje cel obliczeń, dokładność i forma działania nieharmonicznego. Jeśli czas trwania sygnałuT niezależnie od kształtu, znacznie mniej niż okres T, wówczas amplitudy harmonicznych będą się powoli zmniejszać, a dla pełniejszego opisu sygnału konieczne jest uwzględnienie dużej liczby członów szeregu. Cechę tę można prześledzić dla sygnałów przedstawionych w tabelach 2 - 5 i 6, jeśli warunek: τ <<T... Jeżeli sygnał nieharmoniczny ma kształt zbliżony do sinusoidy (np. sygnały 2 i 3 w tabeli 2), to harmoniczne gwałtownie spadają i dla dokładnego opisu sygnału wystarczy ograniczyć się do trzech do pięciu harmonicznych z serii.

W poprzednim rozdziale poznaliśmy inny punkt widzenia na układ oscylacyjny. Widzieliśmy, że w strunie powstają różne naturalne harmoniczne i że każda konkretna wibracja, którą można uzyskać tylko w warunkach początkowych, może być uważana za kombinację kilku jednocześnie oscylujących naturalnych harmonicznych skomponowanych we właściwej proporcji. W przypadku struny stwierdziliśmy, że naturalne harmoniczne mają częstotliwości ω 0, 2ω 0, Зω 0, .... Dlatego najbardziej ogólny ruch struny składa się z oscylacji sinusoidalnych o częstotliwości podstawowej ω 0, następnie drugiej harmonicznej 2ω 0, następnie trzeciej harmonicznej Зω 0 itd. Harmoniczna podstawowa powtarza się w każdym okresie T 1 = 2π / ω 0, druga harmoniczna - każdy okres T 2 = 2π / 2ω 0; to się powtarza także i przez każdy okres T 1 = 2T 2 , tj. po dwa ich okresy. Dokładnie w ten sam sposób przez cały okres T 1 powtarzana jest również trzecia harmoniczna. W tym segmencie występują trzy jego okresy. I znowu rozumiemy, dlaczego uderzona struna przez ten okres T 1 całkowicie powtarza kształt swojego ruchu. Tak powstaje dźwięk muzyczny.

Do tej pory mówiliśmy o ruchu strun. ale dźwięk, który reprezentuje ruch powietrza wywołany ruchem struny, również powinien składać się z tych samych harmonicznych, chociaż tutaj nie możemy już mówić o właściwych harmonicznych powietrza. Ponadto względna siła różnych harmonicznych w powietrzu może być bardzo różna niż w strunie, zwłaszcza jeśli struna jest „połączona” z powietrzem za pomocą „tablicy rezonansowej”. Różne harmoniczne są kojarzone z powietrzem na różne sposoby.

Jeśli dla tonu muzycznego funkcja F(T) reprezentuje ciśnienie powietrza w funkcji czasu (powiedzmy, tak jak na rys. 50.1.6), to można się tego spodziewać F(T) zapisuje się jako sumę kilku prostych funkcji harmonicznych czasu (takich jak cos ω T) dla każdej z różnych częstotliwości harmonicznych. Jeśli okres oscylacji wynosi T, wtedy podstawowa częstotliwość kątowa wyniesie ω = 2π / T, a kolejne harmoniczne wyniosą 2ω, Зω itd.

Tutaj jest niewielka komplikacja. Nie mamy prawa oczekiwać, że dla każdej częstotliwości początkowe fazy będą koniecznie sobie równe. Dlatego musisz używać funkcji takich jak cos (ωt + φ) - Zamiast tego jednak łatwiej jest użyć do każdy częstotliwości są zarówno sinus jak i cosinus. Odwołaj to

a ponieważ φ jest stałą, to każdy oscylacje sinusoidalne o częstotliwości ω można zapisać jako sumę wyrazów, z których jeden zawiera sin ωt, a drugi - cos ωt.

Dochodzimy więc do wniosku, że każdy funkcja okresowa F(T) z kropką T matematycznie można zapisać jako

gdzie ω = 2π / T, a a oraz b - stałe liczbowe wskazujące, z jaką wagą każdy składnik drgań jest wliczany do drgań całkowitych F(T). Ogólnie rzecz biorąc, do naszego wzoru dodaliśmy wyrażenie o zerowej częstotliwości a 0, chociaż zwykle jest to zero dla tonów muzycznych. Jest to po prostu przesunięcie średniego ciśnienia akustycznego (tj. przesunięcie „zerowe”). Dzięki temu określeniu nasza formuła jest odpowiednia na każdą okazję. Równanie (50.2) pokazano schematycznie na FIG. 50.2. Amplitudy funkcji harmonicznych an oraz bn są wybierane według specjalnej zasady. Są one pokazane na rysunku tylko schematycznie, a nie w skali. [Wiersz (50.2) nazywa się w pobliżu Fouriera dla funkcji F(T).]

Powiedzieliśmy, że każdy funkcję okresową można zapisać w ten sposób. Konieczna jest drobna poprawka i podkreślenie, że w takiej serii możliwe jest rozszerzenie dowolnej fali dźwiękowej lub dowolnej funkcji, z którą spotykamy się w fizyce. Matematycy oczywiście mogą wymyślić taką funkcję, że nie da się jej skomponować z prostych harmonicznych (na przykład funkcji, która „zawija” z powrotem, tak że dla niektórych wielkości T ma dwa znaczenia!). O takie funkcje nie musimy się jednak martwić.

Opisy ogólne

Francuski matematyk Fourier (J.B.J. Fourier 1768-1830) wysunął hipotezę dość odważną jak na jego czasy. Zgodnie z tą hipotezą nie ma funkcji, której nie można by rozszerzyć na szereg trygonometryczny. Niestety taki pomysł nie był wówczas traktowany poważnie. I to jest naturalne. Sam Fourier nie mógł dostarczyć przekonujących dowodów i bardzo trudno jest intuicyjnie uwierzyć w hipotezę Fouriera. Szczególnie trudno wyobrazić sobie fakt, że przy dodawaniu prostych funkcji, np. trygonometrycznych, odtwarzane są funkcje zupełnie od nich odmienne. Jeśli jednak przyjmiemy, że hipoteza Fouriera jest poprawna, to sygnał okresowy dowolnego kształtu można rozłożyć na sinusoidy o różnych częstotliwościach lub odwrotnie, poprzez odpowiednie dodanie sinusoid o różnych częstotliwościach można zsyntetyzować sygnał o dowolnym kształcie. Dlatego jeśli ta teoria jest słuszna, to jej rola w przetwarzaniu sygnału może być bardzo duża. W tym rozdziale najpierw spróbujemy zilustrować poprawność hipotezy Fouriera.

Rozważ funkcję

f(t) = 2sin T - grzech 2t

Proste szeregi trygonometryczne

Funkcja jest sumą funkcji trygonometrycznych, innymi słowy jest przedstawiana jako szereg trygonometryczny dwóch wyrazów. Dodaj jeden termin i utwórz nową serię trzech terminów

Dodając ponownie kilka wyrazów, otrzymujemy nowy szereg trygonometryczny składający się z dziesięciu wyrazów:

Współczynniki tego szeregu trygonometrycznego oznaczono jako b k , gdzie k - wszystkie liczby. Jeśli przyjrzysz się uważnie ostatniemu wskaźnikowi, zobaczysz, że współczynniki można opisać następującym wyrażeniem:

Wtedy funkcję f (t) można przedstawić w następujący sposób:

Szanse b k - są to amplitudy sinusoid o częstotliwości kątowej Do. Innymi słowy, ustalają wielkość składowych częstotliwości.

Biorąc pod uwagę przypadek, w którym indeks górny Do jest równy 10, tj. M = 10. Zwiększając wartość m do 100 otrzymujemy funkcję f (t).

Funkcja ta, będąc szeregiem trygonometrycznym, ma kształt zbliżony do sygnału piłokształtnego. I wydaje się, że hipoteza Fouriera jest całkowicie poprawna w odniesieniu do sygnałów fizycznych, z którymi mamy do czynienia. Również w tym przykładzie przebieg nie jest gładki, ale zawiera punkty przerwania. A fakt, że funkcja jest odtwarzalna nawet w punktach załamania, wygląda obiecująco.

Rzeczywiście istnieje wiele zjawisk w świecie fizycznym, które można przedstawić jako sumę wibracji o różnych częstotliwościach. Typowym przykładem tych zjawisk jest światło. Jest to suma fal elektromagnetycznych o długości fali od 8000 do 4000 angstremów (od czerwieni do fioletu). Oczywiście wiesz, że jeśli białe światło przejdzie przez pryzmat, pojawi się widmo siedmiu czystych kolorów. Dzieje się tak, ponieważ współczynnik załamania szkła, z którego wykonany jest pryzmat, zmienia się wraz z długością fali elektromagnetycznej. To jest właśnie dowód na to, że białe światło jest sumą fal świetlnych o różnych długościach. Przepuszczając więc światło przez pryzmat i uzyskując jego widmo, możemy analizować właściwości światła, badając kombinacje kolorów. Podobnie, rozkładając odebrany sygnał na różne składowe częstotliwościowe, możemy dowiedzieć się, jak powstał pierwotny sygnał, jaką ścieżką podążał, czy wreszcie, jakim wpływom zewnętrznym został poddany. Krótko mówiąc, możemy uzyskać informacje, które wyjaśnią pochodzenie sygnału.

Ta metoda analizy nazywa się Analiza spektralna lub Analiza Fouriera.

Rozważ następujący system funkcji ortonormalnych:

Funkcjonować f (t) można rozszerzyć w zakresie tego układu funkcji na odcinku [-π, π] w następujący sposób:

Współczynniki α k,β k, jak pokazano wcześniej, można wyrazić w postaci iloczynów skalarnych:

Ogólnie funkcja f (t) można przedstawić w następujący sposób:

Współczynniki α 0 , α k,β k nazywa się współczynniki Fouriera, a podobna reprezentacja funkcji nazywa się rozbudowa w serii Fouriera. Jest to czasami określane jako ważny rozwinięcie w szereg Fouriera, a współczynniki - rzeczywiste współczynniki Fouriera. Termin „rzeczywisty” został wprowadzony w celu odróżnienia prezentowanego rozszerzenia od rozszerzenia Fouriera w postaci złożonej.

Jak wspomniano wcześniej, dowolną funkcję można rozszerzyć pod względem układu funkcji ortogonalnych, nawet jeśli funkcje z tego układu nie są reprezentowane jako szereg trygonometryczny. Zwykle rozwinięcie szeregu Fouriera oznacza rozwinięcie szeregu trygonometrycznego. Jeżeli współczynniki Fouriera wyrażone są w postaci α 0 , α k,β k otrzymujemy:

Ponieważ dla k = 0 koszt= 1, to stała 0/2 wyraża ogólny pogląd na współczynnik K w k= 0.

W związku (5.1) oscylacja największego okresu, reprezentowana przez sumę sałata t i grzech t nazywa się oscylacją częstotliwości podstawowej lub pierwsza harmoniczna. Oscylacja o okresie równym połowie okresu głównego nazywana jest drugim harmoniczny. Oscylacja z okresem równym 1/3 okresu głównego nazywa się trzecia harmoniczna itp. Jak widać z relacji (5.1) a 0 jest stałą wyrażającą średnią funkcji f (t)... Jeśli funkcja f (t) reprezentuje sygnał elektryczny, to 0 reprezentuje jego stały składnik. W konsekwencji wszystkie inne współczynniki Fouriera wyrażają jego zmienne składowe.

Na ryc. 5.2 pokazuje sygnał i jego rozwinięcie w szeregu Fouriera: na składową stałą i harmoniczne o różnych częstotliwościach. W dziedzinie czasu, gdzie zmienną jest czas, sygnał jest wyrażony funkcją f (t), a w dziedzinie częstotliwości, gdzie zmienną jest częstotliwość, sygnał jest reprezentowany przez współczynniki Fouriera (ak, bk).

Pierwsza harmoniczna jest funkcją okresową z okresem 2 π. Inne harmoniczne również mają okres, który jest wielokrotnością 2 π . Na tej podstawie tworząc sygnał ze składowych szeregu Fouriera, w naturalny sposób otrzymujemy funkcję okresową z okresem 2 π. A jeśli tak jest, to rozwinięcie w szereg Fouriera jest, ściśle rzecz biorąc, sposobem przedstawiania funkcji okresowych.

Rozwińmy sygnał często występującego typu w szeregu Fouriera. Rozważmy na przykład wspomnianą wcześniej krzywą piłokształtną (rysunek 5.3). Sygnał tego kształtu na odcinku - π < t < π I wyraża się funkcją f ( T)= T, więc współczynniki Fouriera można wyrazić w następujący sposób:

Przykład 1.

Szeregowe rozszerzenie Fouriera sygnału piłokształtnego

f (t) = t,

transformata Fouriera jest najczęściej używanym narzędziem do przekształcania dowolnej funkcji czasu w zbiór jej składowych częstotliwościowych na płaszczyźnie liczb zespolonych. Ta transformacja może być zastosowana do funkcji aperiodycznych w celu wyznaczenia ich widm, a w tym przypadku operatora zespolonego s można zastąpić wąsami:

W celu wyznaczenia najciekawszych częstotliwości można wykorzystać całkowanie numeryczne na płaszczyźnie zespolonej.

Rzućmy okiem na kilka przykładów, aby zacząć z zachowaniem się tych całek. Na ryc. 14.6 (po lewej) przedstawia impuls pola jednostki w dziedzinie czasu i jego skład widmowy; pośrodku - impuls o tym samym obszarze, ale o większej amplitudzie, a po prawej - amplituda impulsu jest nieskończona, ale jego powierzchnia jest nadal równa jedności. Zdjęcie po prawej jest szczególnie interesujące, ponieważ widmo impulsu o zerowej szerokości zawiera wszystkie częstotliwości o równych amplitudach.

Ryż. 14.6.

W 1822 r. francuski matematyk J. B. J. Fourier(J.B.J. Fourier) wykazał w swojej pracy o przewodności cieplnej, że każdą funkcję okresową można rozłożyć na składowe początkowe, w tym częstotliwość repetycji i zbiór harmonicznych tej częstotliwości, a każda z harmonicznych ma swoją amplitudę i fazę w odniesieniu do repetycji wskaźnik. Podstawowe wzory stosowane w transformacji Fouriera są następujące:

gdzie L 0 jest składnikiem prądu stałego i A" oraz V"- harmoniczne częstotliwości podstawowej rzędu NS, które są odpowiednio w fazie i nie w fazie z nim. Funkcjonować f (x), zatem jest sumą tych harmonicznych i / 1 0.

W przypadkach, w których f (d) jest symetryczne względem n / 2, tj. f (x) w obszarze od i do 2n = - f (x) w obszarze od 0 do i i nie ma składowej prądu stałego , formuła Fouriera -przekształcenia są uproszczone do:

gdzie NS - 1,3,5, 7....

Wszystkie harmoniczne są sinusoidami, tylko niektóre są w fazie, a niektóre w przeciwfazie z częstotliwością podstawową. Większość przebiegów występujących w energoelektronice można w ten sposób rozłożyć na harmoniczne.

Jeżeli transformata Fouriera zostanie zastosowana do impulsów prostokątnych o czasie trwania 120 °, to harmoniczne będą tworzyć zbiór rzędu k = 6p± 1, gdzie NS- jedna z liczb całkowitych. Amplituda każdej harmonicznej h w stosunku do pierwszego jest związany z jego liczbą przez stosunek h = / k. W tym przypadku pierwsza harmoniczna będzie miała amplitudę 1,1 raza większą niż amplituda sygnału prostokątnego.

Transformacja Fouriera podaje wartość amplitudy dla każdej harmonicznej, ale ponieważ wszystkie są sinusoidalne, wartość skuteczną otrzymuje się, dzieląc odpowiednią amplitudę przez pierwiastek z 2. Wartość skuteczna sygnału złożonego jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadraty wartości skutecznych każdej harmonicznej, w tym pierwszej.

Kiedy mamy do czynienia z powtarzalnymi funkcjami impulsów, warto wziąć pod uwagę cykl pracy. Jeśli powtarzające się impulsy na ryc. 14,7 to rms x w trakcie A, to wartość skuteczna w czasie V będzie równy X (dł./szer.) ( 2. Zatem wartość RMS powtarzających się impulsów jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego wartości współczynnika wypełnienia. Stosując tę ​​zasadę do impulsu prostokątnego 120° (2/3 cyklu pracy) z jednostkową amplitudą, otrzymujemy wartość 2/3 rms 12 = 0,8165.

Ryż. 14.7.

impulsy

Interesujące jest sprawdzenie tego wyniku poprzez zsumowanie harmonicznych odpowiadających wspomnianej sekwencji impulsów prostokątnych. Tabela. 14.2 przedstawia wyniki tego podsumowania. Jak widać, wszystko jest takie samo.

Tabela 14.2. Wyniki sumowania harmonicznych odpowiadających

sygnał okresowy o współczynniku wypełnienia 2/3 i amplitudzie jedności

Dla celów porównawczych możliwe jest zgrupowanie dowolnego zestawu harmonicznych i określenie odpowiadającego mu całkowitego zniekształcenia harmonicznego. W tym przypadku wartość średnią kwadratową sygnału określa wzór

gdzie h jest amplitudą pierwszej (podstawowej) harmonicznej, a h "- amplituda harmonicznych rzędu NS > 1.

Składniki odpowiedzialne za zniekształcenie można zapisać osobno jako

gdzie n> 1. Wtedy

gdzie Fundusz - pierwsza harmoniczna i współczynnik zniekształceń harmonicznych(THD) będzie równe D / Fundusz.

Chociaż analiza prostokątnego ciągu impulsów jest interesująca, rzadko jest używana w świecie rzeczywistym. Efekty przełączania i inne procesy sprawiają, że impulsy prostokątne bardziej przypominają trapezoidalne lub, w przypadku przetworników, z krawędzią natarcia opisaną wyrażeniem 1 - cos (0) i krawędzią spływu opisaną zależnością cos (0), gdzie 0 Zwiększanie czasów narastania i opadania impulsów prostokątnych „zmiękcza” zbiór odpowiednich harmonicznych, tak że amplituda wyższych harmonicznych zmniejsza się proporcjonalnie do (1 / Ar) zamiast (1 /Do) przy niższych częstotliwościach. Podczas wyświetlania zależności tych amplitud od częstotliwości na papierze z podwójną skalą logarytmiczną nachylenie odpowiednich sekcji tego wykresu wynosi -2 i -1. Wraz ze wzrostem reaktancji lub prądu w układzie zmienia się częstotliwość nachylenia zmniejsza się. Najważniejsze z tego wszystkiego jest to, że wyższe harmoniczne są mniej znaczące, niż mogłoby się wydawać.

Chociaż wzrost reaktancja pomaga zredukować harmoniczne wyższego rzędu, co zwykle nie jest możliwe. Bardziej preferowane dla redukcja składowych harmonicznych w pobieranym prądzie to wzrost liczby impulsów podczas prostowania lub konwersji napięcia, osiągany przez przesunięcie fazowe. W odniesieniu do transformatorów temat ten został poruszony w rozdz. 7. Jeżeli przekształtnik lub prostownik tyrystorowy jest zasilany z uzwojeń transformatora połączonych gwiazdą i trójkątem, a wyjścia przekształtnika lub prostownika są połączone szeregowo lub równolegle, uzyskuje się prostowanie 12-zero. Liczby harmoniczne w zestawie są teraz uzyskiwane k = 12NS± 1 zamiast k = 6w ± 1, gdzie NS- jedna z liczb całkowitych. Zamiast harmonicznych rzędu 5 i 7 pojawiają się teraz harmoniczne rzędu 11 i 13, których amplituda jest znacznie mniejsza. Całkiem możliwe jest zastosowanie jeszcze większej liczby pulsacji i na przykład systemy 48 pulsacyjne są stosowane w dużych zasilaczach dla zakładów elektrochemicznych. Ponieważ w dużych prostownikach i przekształtnikach stosowane są zestawy diod lub tyrystorów połączonych równolegle, dodatkowy koszt uzwojeń przesuwnych faz w transformatorze determinuje głównie jego cenę. Na ryc. 14.8 przedstawia zalety obwodu 12-pulsowego nad 6-pulsowym. 11-ta i 13-ta harmoniczna w układzie 12-nullującym mają typową wartość amplitudy około 10% pierwszej harmonicznej. W obwodach o dużej liczbie pulsacji harmoniczne są rzędu k = pn± 1, gdzie r- liczba pulsacji.

Dla zainteresowania, zauważ, że pary zbiorów harmonicznych, które są po prostu przesunięte względem siebie o 30 °, nie znoszą się w schemacie 6-pulsacyjnym. Prądy tych harmonicznych są przesyłane z powrotem przez transformator; stąd wymagane jest dodatkowe przesunięcie fazowe, aby uzyskać możliwość ich wzajemnego zniszczenia.

Nie wszystkie harmoniczne są w fazie z pierwszą. Na przykład w trójfazowym zestawie harmonicznych odpowiadającym sekwencji impulsów o przebiegu prostokątnym 120°, fazy harmonicznych zmieniają się zgodnie z sekwencją -5, +7, -11, +13 itd. jedno- mogą powstawać składowe fazowe, co pociąga za sobą potrojenie harmonicznych przy zerowym przesunięciu fazowym.

Ryż. 14.8.

Transformatory izolacyjne jest często postrzegany jako panaceum na problemy harmoniczne. Transformatory te dodają systemowi pewnej reaktancji, a tym samym pomagają zredukować poziom wyższych harmonicznych, jednak poza tłumieniem prądów o składowej zerowej i odsprzęganiem elektrostatycznym są mało przydatne.