Определение предела функции многих переменных. §2 Предел функции двух переменных
6.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
R n – метрическое пространство:
для M 0 (x , x ,…, x ) и M (х 1 , х 2 , …, х n ) (М 0 , М ) = .
n
=
2: для
M
0
(x
0 ,
y
0),
M
(x
,
y
)
(М
0 ,
М
)
=
.
Окрестность точки M 0 U (M 0) = – внутренние точки круга радиуса с центром в M 0 .
6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.
f : R n R задана в некоторой окрестности точки M 0 , кроме, может быть, самой точки M 0 .
Определение. Число А называется пределом функции
f (x 1 , x 2 , …, x n ) в точкеM 0 , если >0 >0 M (0 < (М 0 , М ) < | f (M ) – A |< ).
Формы
записи:
n
= 2:
Это двойной предел .
На языке окрестностей точек:
>0 >0 M (x , y ) (M U (M 0 )\ M 0 f (x , y ) U (А )).
(M может приближаться к М 0 по любому пути).
Повторные
пределы:
и
.
(M приближается к М 0 соответственно по горизонтали и по вертикали).
Теорема о связи двойного и повторных пределов.
Если
двойной предел
и
пределы
,
,
то
повторные пределы
,
и
равны двойному.
Замечание 1. Обратное утверждение не верно.
Пример
.
f
(x
,
y
)
=
,
.
Однако двойной предел
=
не существует, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает и «далекие » от нуля значения, например, если x = y , то f (x , y ) = 0,5.
Замечание 2. Даже если А R : f (x , y ) А
при движении M к M 0 по любой прямой, двойной предел может не существовать.
Пример.
f
(x
,
y
)
=
,M
0
(0, 0). M
(x
,
y
)
M
0
(0, 0)
Вывод: предел (двойной) не существует.
Пример нахождения предела.
f
(x
,
y
)
=
, M
0
(0, 0).
Покажем, что число 0 есть предел функции в точке M 0 .
=
,
– расстояние
между точками М
и M
0 .(воспользовались неравенством
,
которое
следует из неравенств
)
Зададим
> 0 и пусть
= 2.
<
6.1.2. Непрерывность функции нескольких переменных.
Определение.
f
(x
,
y
)
непрерывна в точке M
0
(x
0 ,
y
0),
если она определена в некоторой U
(M
0)
и
,т.
е.>0
>0
M
(0 < (М
0 ,
М
)
<
|
f
(M
)
– f
(M
0)|<
).
Замечание. Функция может меняться непрерывно вдоль одних направлений, проходящих через точку М 0 , а вдоль других направлений или путей другой формы иметь разрывы. Если это так, она разрывна в точке М 0 .
6.1.3. Свойства предела функции нескольких переменных. Свойства функций, непрерывных в точке.
Имеет место единственность предела ;
функция, имеющая конечный предел в точке М 0 , ограничена в некоторой окрестности этой точки ; выполняются порядковые и алгебраические свойства предела,
предельный переход сохраняет знаки равенства и нестрогих неравенств .
Если функция непрерывна в точке М 0 и f (М 0 ) 0 , то знак значений f (М ) сохраняется в некоторой U (M 0).
Сумма, произведение, частное (знаменатель 0) непрерывных функций также непрерывные функции , непрерывна сложная функция , составленная из непрерывных.
6.1.4. Свойства функций, непрерывных на связном замкнутом ограниченном множестве. n = 1, 2 и 3.
Определение 1. Множество называется связным , если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и некоторую соединяющую их непрерывную кривую.
Определение
2.
Множество
в R
n
называется ограниченным
,
если оно содержится в некотором «шаре»
.
n
= 1
n
= 2
n = 3 .
Примеры связных замкнутых ограниченных множеств .
R 1 = R : отрезок [a , b ];
R 2: отрезок АВ любой непрерывной кривой с концами в точках А и В ;
замкнутая непрерывная кривая;
круг
;
Определение 3. f : R n R непрерывна на связном замкнутом множестве R n , если M 0
.
Теорема. Множество значений непрерывной функции
f : R n R на замкнутом ограниченном связном множестве представляет собой отрезок [ m , M ] , здесь m - наименьшее , а M - наибольшее ее значения в точках множества.
Таким образом, на любом замкнутом ограниченном связном множестве в R n непрерывная функция ограничена, принимает свои наименьшее, наибольшее, а также все промежуточные значения.
" |
Определение функции нескольких переменных. Основные понятия.
Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных . z=f(x,y,)
Область определения функции z - совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.
Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.
График функции двух переменных - множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)
Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию < r
Область определения и область значений функции нескольких переменных. График функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x, y) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f (x, y) →А при (x, y) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)
какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k ,y k ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f (x, y) – A | < ε (3)
для всех (x, y) , удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ. (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x, y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x, y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x, y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что и ):
(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда | f (x, y) | < ε, если < δ).
из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид
).
Число А называется пределом функции f(M) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство | f(M) – А | < ε.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M) и f 2 (M) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:
в)
Непрерывность функции нескольких переменных
По определению функция f (x, y) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x, y) в этой точке равен ее значению в ней:
(1)
Условие непрерывности f в точке (х 0 , у 0) можно записать в эквивалентной форме:
(1")
т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.
Можно ввести приращение Δи функции и = f (x, y) в точке (x, y) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов
Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y)
и на этом языке определить непрерывность f в (x, y) : функция f непрерывна в точке (x, y) , если
(1"")
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 ,у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x, y) = с от переменных x,y . Она непрерывна по этим переменным, потому что
| f (x, y) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.
Следующими по сложности являются функции f (x, y) = х и f (x, y) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x, y) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x, y) = х приводит в соответствие каждой точке (x, y) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x, y) может быть доказана так:
| f (х + Δх , у + Δу) – f (x, y) | = | f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.
Если производить над функциями x, y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x, y . На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x, y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек (x, y) R 2 .
Отношение P/Q двух многочленов от (x, y) есть рациональная функция от (x,y) , очевидно, непрерывная всюду на R 2 , за исключением точек (x, y) , где Q(x, y) = 0.
Р (x, y) = х 3 – у 2 + х 2 у – 4
может быть примером многочлена от (x, y) третьей степени, а функция
Р (x, y) = х 4 – 2х 2 у 2 + у 4
есть пример многочлена от (x, y) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f (x, y, z) непрерывна в точке (x 0 , y 0 , z 0 ) пространства R 3 (точек (x, y, z) ), а функции
x = φ (u, v), y = ψ (u, v), z = χ (u, v)
непрерывны в точке (u 0 , v 0 ) пространства R 2 (точек (u, v) ). Пусть, кроме того,
x 0 = φ (u 0 , v 0 ), y 0 = ψ (u 0 , v 0 ), z 0 = χ (u 0 , v 0 ) .
Тогда функция F (u, v) = f [ φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) ] непрерывна (по
(u, v) ) в точке (u 0 , v 0 ) .
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f (x, y) , непрерывная в точке (х 0 , у 0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0 , у 0) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0).
По определению функция f (x) = f (x 1 , ..., х п) непрерывна в точке х 0 =(х 0 1 , ..., х 0 п) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:
(2)
Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:
(2")
т.е. функция f (x) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 +h) от h в точке h = 0.
Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = (h 1 , ..., h п) ,
Δ h f (х 0 ) = f (х 0 + h) – f (х 0 )
и на его языке определить непрерывность f в х 0: функция f непрерывна в х 0 , если
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f (x) и φ (x) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δ h f (х 0 ) называют также полным приращением функцииf в точке х 0 .
В пространстве R n точек х = (x 1 , ..., х п) зададим множество точек G .
По определению х 0 = (х 0 1 , ..., х 0 п) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .
Множество G R n называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х 1 = φ 1 (t) , ..., х п = φ п (t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в R n , соединяющую точки х 1 = (х 1 1 , ..., х 1 п) и х 2 = (х 2 1 , ..., х 2 п) , где х 1 1 = φ 1 (а) , ..., х 1 п = φ п (а) , х 2 1 = φ 1 (b) , ..., х 2 п = φ п (b) . Букву t называют параметром кривой.
Рассмотрим плоскость и систему Oxy декартовых прямоугольных координат на ней (можно рассматривать и другие системы координат).
Из аналитической геометрии знаем, что каждой упорядоченной паре чисел (x, y) можно сопоставить единственную точкуM плоскости и наоборот, каждой точкеM плоскости соответствует единственная пара чисел.
Поэтому в дальнейшем, говоря о точке, мы будем часто подразумевать соответствующую ей пару чисел (x, y) и наоборот.
Определение 1.2 Множество пар чисел (x, y) , удовлетворяющих неравенствам, называется прямоугольником (открытым).
На плоскости он изобразится прямоугольником (рис. 1.2) со сторонами, параллельными осям координат, и с центром в точке M 0 (x 0 y 0 ) .
Прямоугольник принято обозначать следующим символом:
Введем важное для дальнейшего изложения понятие: окрестность точки.
Определение 1.3 Прямоугольной δ -окрестностью (дельта-окрестностью ) точкиM 0 (x 0 y 0 ) называется прямоугольник
с центром в точке M 0 и с одинаковыми по длине сторонами2δ .
Определение 1.4 Круговой δ - окрестностью точкиM 0 (x 0 y 0 ) называется круг радиусаδ с центром в точкеM 0 , т. е. множество точекM(xy) , координаты которых удовлетворяют неравенству:
Можно ввести понятия окрестностей и других видов, но для целей математического анализа технических задач, в основном, используются лишь прямоугольные и круговые окрестности.
Введём следующее понятие предела функции двух переменных.
Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой областиζ иM 0 (x 0 y 0 ) - точка, лежащая внутри или на границе этой области.
Определение 1.5Конечное число A называетсяпределом функции f (x, y) при
если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное числоδ , что неравенство
выполняется для всех точек М(х,у) из областиζ , отличных отM 0 (x 0 y 0 ) , координаты которых удовлетворяют неравенствам:
Смысл этого определения состоит в том, что значения функции f (х, у) как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точкиМ 0 .
Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М 0 . Можно было бы рассматривать круговые окрестности точкиМ 0 и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенства
во всех точках М(х,у) областиζ , отличных отМ 0 и удовлетворяющих условию:
Расстояние между точками М иМ 0 .
Употребительны следующие обозначения предела:
Учитывая определение предела функции двух переменных, можно перенести основные теоремы о пределах для функций одной переменной на функции двух переменных.
Например, теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
§3 Непрерывность функции двух переменных
Пусть функция z = f (x ,y) определена в точкеM 0 (x 0 y 0 ) и её окрестности.
Определение 1.6 Функция называется непрерывной в точке M 0 (x 0 y 0 ) , если
Если функция f (x ,y) непрерывна в точкеM 0 (x 0 y 0 ) , то
Поскольку
То есть, если функция f (x ,y) непрерывна в точкеM 0 (x 0 y 0 ) , то бесконечно малым приращениям аргументов в этой области соответствует бесконечно малое приращениеΔz функцииz .
Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна
Функцию, непрерывную в каждой точке области, называют непрерывной в области. Для непрерывных функций двух переменных, так же, как и для функции одной переменной, непрерывной на отрезке, справедливы основополагающие теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши.
Справка: Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 - 1897) - немецкий математик. Бернард Больцано (1781 - 1848) - чешский математик и философ. Огюстен Луи Коши (1789 - 1857) - французский математик, президент французской Академии наук (1844 - 1857).
Пример 1.4. Исследовать на непрерывность функцию
Данная функция определена при всех значениях переменных x иy , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.
Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.
Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.
Пример 1.5. Исследовать на непрерывность функцию z=tg(x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величиныπ/2 , т.е. исключая точки, где
При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функциейx и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).
Кафедра: Высшая математика
Реферат
по дисциплине «Высшая математика»
Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»
Тольятти, 2008
Введение
Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных
Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .
Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают
z = f (x , y ).
Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .
Так, для функции z = x 2 + 3xy
при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,
при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,
при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.
Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :
u = F (x , y , z ).
Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .
Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz
при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,
при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,
при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.
Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается
u = f (x , y , z , …, t ).
Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.
Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0).
Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.
Функция двух переменных z = f (x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.
Функцию трех переменных u = F (x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f (x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0), равный числу А , обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f (x , y ) →А при (x , y ) → (х 0 , у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0) последовательность точек (x k , y k ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f (x , y ) – A | < ε(3)
для всех (x , y ) , удовлетворяющих неравенствам
< δ. (4)Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ω х , ω у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f (х 0 + t ω х , y 0 + t ω у ),если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0 = 0, у 0 = 0. Имеем (учесть, что
и ):(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f (x , y ) | < ε, если
< δ).из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид
).Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию
(х 4 + у 2 ≠ 0).Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х → 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2
иБудем писать
, если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0 , у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что|f (x , y ) | > N ,
коль скоро 0 <
< δ.Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:
(5)Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство