Likvärdiga matriser. Lösa godtyckliga system av linjära ekvationer Elementära transformationer av system

Övergång till en ny grund.

Låt (1) och (2) vara två baser av samma m-dimensionella linjära rymd X.

Eftersom (1) är en bas är det möjligt att expandera vektorerna för den andra basen över den:

Från koefficienterna vid komponerar vi matrisen:

(4) - matristransformation av koordinater i övergången från bas (1) till bas (2).

Låt en vektor, sedan (5) och (6).

Relation (7) betyder att

Matrisen P är icke-degenererad, eftersom det annars skulle finnas ett linjärt förhållande mellan dess kolumner och sedan mellan vektorerna.

Det omvända är också sant: varje icke degenererad matris är en koordinattransformationsmatris definierad av formler (8). Eftersom P är en icke-degenererad matris, då finns det en invers för den. Om vi ​​multiplicerar båda sidor av (8) med, får vi: (9).

Låt 3 baser väljas i det linjära utrymmet X: (10), (11), (12).

Var, d.v.s. (13).

Den där. med sekventiell transformation av koordinater är matrisen för den resulterande transformationen lika med produkten av matriserna för transformationskomponenterna.

Låt en linjär operator och låt ett baspar väljas i X: (I) och (II), och i Y - (III) och (IV).

Operatören A i ett baspar I - III motsvarar likheten: (14). Samma operator i ett baspar II - IV motsvarar likheten: (15). Den där. för denna operatör Och vi har två matriser och. Vi vill skapa en relation mellan dem.

Låt P vara i övergången från I till III.

Låt Q vara i övergången från II till IV.

Sedan (16), (17). Genom att ersätta uttrycken för och från (16) och (17) med (14), får vi:

Om vi ​​jämför denna jämställdhet med (15), får vi:

Relation (19) kopplar samman matrisen för samma operatör i olika baser. I det fall då utrymmena X och Y sammanfaller, spelas rollen för III-basen av I och IV - av II, då tar relationen (19) formen:.

Bibliografi:

3. Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del II. Grunderna i algebra: en lärobok för universitet, -M. : Fysisk och matematisk litteratur, 2000, 368 sid.

Föreläsning nummer 16 (II termin)

Tema: Ett nödvändigt och tillräckligt villkor för matrisernas likvärdighet.

Två matriser, A och B, samma storlek kallas likvärdig om det finns två icke degenererade matriser R och S så att (1).

Exempel: Två matriser som motsvarar samma operator för olika val av baser i de linjära utrymmena X och Y är ekvivalenta.

Det är tydligt att den relation som definieras på mängden av alla matriser av samma storlek med användning av ovanstående definition är en ekvivalensrelation.

Sats 8: För att två rektangulära matriser av samma storlek ska vara ekvivalenta är det nödvändigt och tillräckligt att de har samma rang.

Bevis:

1. Låt A och B vara två matriser som det är vettigt för. Produktens rangordning (matris C) är inte högre än rangordningen för var och en av faktorerna.

Vi ser att den k:te kolumnen i matrisen C är en linjär kombination av vektorerna för kolumnerna i matrisen A och detta är sant för alla kolumner i matrisen C, dvs. för alla. Den där. , dvs. - delrum av linjärt utrymme.

Eftersom och eftersom dimensionen av delutrymmet är mindre än eller lika med rummets dimension, är rangordningen för matrisen C mindre än eller lika med rangordningen för matrisen A.

Låt oss fixa index i i likheter (2) och tilldela alla möjliga värden till k från 1 till s. Då får vi ett system av likheter som liknar system (3):

Det framgår av jämställdhet (4) att i-te raden av matris C är en linjär kombination av rader av matris B för alla i, och sedan ingår det linjära skrovet som sträcks över av raderna av matris C i det linjära skrovet som sträcks av raderna i matris B, och sedan dimensionen för detta linjära skrov är mindre än eller lika med dimensionen för det linjära skrovet för radvektorerna i matris B, därför är rangordningen för matrisen C mindre än eller lika med rangordningen för matrisen B.

2. Rangordningen av produkten av matrisen A till vänster och till höger av en icke degenererad kvadratmatris Q är lika med rangordningen för matrisen A. (). De där. rangordningen för matrisen C är lika med rangordningen för matrisen A.

Bevis: Enligt vad som styrkts i mål (1). Eftersom matrisen Q är icke-degenererad, så finns det för den: och i enlighet med vad som bevisades i föregående påstående.

3. Låt oss bevisa att om matriser är likvärdiga, så har de samma rangordning. Per definition är A och B ekvivalenta om det finns R och S sådana. Eftersom multiplicering av A till vänster med R och till höger med S ger matriser av samma rang, vilket bevisats i punkt (2), är rangordningen för A lika med rangordningen för B.

4. Låt matriserna A och B ha samma rang. Låt oss bevisa att de är likvärdiga. Överväga.

Låt X och Y vara två linjära utrymmen där baserna (bas X) och (bas Y) är valda. Som bekant definierar vilken matris som helst av formen någon linjär operator som verkar från X till Y.

Eftersom r är rangordningen för matrisen A, finns det exakt r linjärt oberoende vektorer bland vektorerna. Utan förlust av generalitet kan vi anta att de första r-vektorerna är linjärt oberoende. Sedan uttrycks alla andra linjärt genom dem, och du kan skriva:

Vi definierar en ny grund i utrymmet X enligt följande:. (7)

Den nya basen i utrymmet Y är följande:

Vektorer är, efter tillstånd, linjärt oberoende. Låt oss komplettera dem med några vektorer upp till basen Y: (8). Så (7) och (8) är två nya baser X och Y. Låt oss hitta matrisen för operatorn A i dessa baser:

Så i det nya basparet är matrisen för operatorn A matrisen J. Matrisen A var ursprungligen en godtycklig rektangulär matris av formen rang r. Eftersom matriser av samma operator i olika baser är ekvivalenta, visar detta att varje rektangulär matris av formen av rang r är ekvivalent med J. Eftersom vi har att göra med en ekvivalensrelation visar detta att alla två matriser A och B i formen och rang r, som är ekvivalent med matrisen J är ekvivalenta med varandra.

Bibliografi:

1. Voevodin V.V. Linjär algebra. Sankt Petersburg: Lan, 2008, 416 sid.

2. Beklemishev DV Kurs i analytisk geometri och linjär algebra. Moskva: Fizmatlit, 2006, 304 s.

3. Kostrikin A.I. Introduktion till algebra. Del II. Grunderna i algebra: en lärobok för universitet, -M. : Fysisk och matematisk litteratur, 2000, 368 sid.

Föreläsning nummer 17 (II termin)

Tema: Egenvärden och egenvektorer. Egenutrymmen. Exempel.

Begreppen jämlikhet och likvärdighet av matriser påträffas ofta.

Definition 1

Matrisen $ A = \ vänster (a_ (ij) \ höger) _ (m \ gånger n) $ kallas lika med matrisen $ B = \ vänster (b_ (ij) \ höger) _ (k \ gånger l) $ , om deras dimensioner $ (m = k, n = l) $ sammanfaller och motsvarande element i de jämförda matriserna är lika med varandra.

För andra ordningens matriser skrivna i allmän syn, kan matrisernas likhet skrivas på följande sätt:

Exempel 1

Angivna matriser:

1) $ A = \ vänster (\ start (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger), B = \ vänster (\ start ( array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger) $;

2) $ A = \ vänster (\ start (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger), B = \ vänster (\ start ( array) (c) (-3) \\ (2) \ end (array) \ höger) $;

3) $ A = \ vänster (\ börjar (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger), B = \ vänster (\ börjar ( array) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (array) \ höger) $.

Bestäm om matriserna är lika.

1) $ A = \ vänster (\ start (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger), B = \ vänster (\ start ( array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger) $

Matriserna A och B har samma ordning lika med 2 $ \ gånger $ 2. Motsvarande element i de jämförda matriserna är lika, därför är matriserna lika.

2) $ A = \ vänster (\ start (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger), B = \ vänster (\ start ( array) (c) (-3) \\ (2) \ end (array) \ höger) $

Matriserna A och B har olika ordning, lika med 2 $ \ gånger $ 2 respektive 2 $ \ gånger $ 1.

3) $ A = \ vänster (\ börjar (array) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (array) \ höger), B = \ vänster (\ börjar ( array) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (array) \ höger) $

Matriserna A och B har samma ordning lika med 2 $ \ gånger $ 2. Men inte alla motsvarande element i de jämförda matriserna är lika, därför är matriser inte lika.

Definition 2

En elementär transformation av en matris är en sådan transformation som ett resultat av vilken ekvivalensen av matriser bevaras. Med andra ord, en elementär transformation förändrar inte uppsättningen av lösningar för systemet av linjära algebraiska ekvationer (SLAE) som den givna matrisen representerar.

Elementära transformationer av matrissträngar inkluderar:

• multiplicera en rad i en matris med ett tal som inte är noll $ k $ (determinanten för matrisen ökas med $ k $ gånger);
• permutation av två valfria rader i matrisen;
• lägga till element från dess andra rad till elementen i en rad i matrisen.

Detsamma gäller kolumnerna i en matris och kallas elementära kolumntransformationer.

Definition 3

Om vi ​​från matrisen A med hjälp av en elementär transformation har gått över till matrisen B, så kallas den ursprungliga och de resulterande matriserna ekvivalenta. För att indikera ekvivalensen för matriser, använd tecknet "$ \ sim $", till exempel $ A \ sim B $.

Exempel 2

Givet en matris: $ A = \ vänster (\ börjar (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \ end (array) \ höger) $.

Utför elementära transformationer av matrisrader i tur och ordning.

Låt oss byta den första raden och den andra raden i matris A:

Låt oss multiplicera den första raden i matris B med talet 2:

Lägg till den första raden till den andra raden i matrisen:

Definition 4

En stegmatris är en matris som uppfyller följande villkor:

• om det finns en nollrad i matrisen är alla rader under den också noll;
• det första elementet som inte är noll på varje linje som inte är noll måste vara placerat strikt till höger om pivotelementet på linjen ovanför denna.

Exempel 3

Matriser $ A = \ vänster (\ börjar (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \ end (array) \ right) $ och $ B = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \ end (array) \ right) $ är stegmatriser.

Kommentar

Det är möjligt att reducera matrisen till en stegvis form genom att använda ekvivalenta transformationer.

Exempel 4

Givet en matris: $ A = \ vänster (\ börjar (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2 ) & (3) \ end (array) \ höger) $. Reducera matrisen till en stegvis form.

Låt oss byta den första och andra raden av matris A:

Låt oss multiplicera den första raden i matris B med siffran 2 och addera den till den andra raden:

Låt oss multiplicera den första raden i matris C med siffran -1 och addera den till den tredje raden:

Multiplicera den andra raden i D med siffran -2 och lägg till den i den tredje raden:

$ K = \ vänster (\ börjar (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \ end (array) \ right) $ är en stegvis matris.

Likvärdiga matriser

Som nämnts ovan är minor i en matris av ordningen s bestämningsfaktorn för matrisen som bildas av elementen i den ursprungliga matrisen som är belägen i skärningspunkten mellan valfria s rader och s kolumner.

Definition. I en matris av ordningen mn kallas en moll av ordningen r basic om den inte är lika med noll, och alla moll av ordningen r + 1 och högre är lika med noll, eller existerar inte alls, d.v.s. r matchar det minsta av m eller n.

Kolumnerna och raderna i matrisen där den grundläggande birollen är placerad kallas också för grundläggande.

Matrisen kan ha flera olika grundläggande minderåriga med samma ordning.

Definition. Ordningen för grundmoll i en matris kallas matrisens rang och betecknas med Rg A.

En mycket viktig egenskap hos elementära matristransformationer är att de inte ändrar matrisens rangordning.

Definition. De matriser som erhålls som ett resultat av en elementär transformation kallas ekvivalenta.

Det bör noteras att lika matriser och ekvivalenta matriser är helt olika begrepp.

Sats. Det största antalet linjärt oberoende kolumner i en matris är lika med antalet linjärt oberoende rader.

Eftersom elementära transformationer ändrar inte matrisens rangordning, då kan processen att hitta matrisens rangordning förenklas avsevärt.

Exempel. Bestäm rangen på matrisen.

2. Exempel: Bestäm rangen på matrisen.

Om det, med hjälp av elementära transformationer, inte är möjligt att hitta en matris som motsvarar den ursprungliga, utan av en mindre storlek, bör man börja med att hitta matrisens rangordning med att beräkna mindreåriga av högsta möjliga ordning. I exemplet ovan är dessa minderåriga av ordning 3. Om minst en av dem inte är lika med noll, är matrisens rangordning lika med ordningen för denna mindre.

Grundläggande bisats.

Sats. I en godtycklig matris A är varje kolumn (rad) en linjär kombination av de kolumner (rader) där basmoll finns.

Rangen alltså godtycklig matris A är lika med det maximala antalet linjärt oberoende rader (kolumner) i matrisen.

Om A är en kvadratisk matris och det A = 0, så är åtminstone en av kolumnerna en linjär kombination av de andra kolumnerna. Detsamma gäller för strängar. Detta påstående följer av egenskapen linjärt beroende med determinanten lika med noll.

Lösa godtyckliga system av linjära ekvationer

Som nämnts ovan är matrismetoden och Cramers metod endast tillämpliga på de linjära ekvationssystem där antalet okända är lika med antalet ekvationer. Överväg sedan godtyckliga system av linjära ekvationer.

Definition. Systemet av mekvationer med n okända skrivs vanligtvis på följande sätt:

där aij är koefficienter och bi är konstanter. Systemets lösningar är n tal, som, när de substitueras in i systemet, förvandlar var och en av dess ekvationer till en identitet.

Definition. Om ett system har minst en lösning kallas det gemensamt. Om systemet inte har en enda lösning kallas det inkonsekvent.

Definition. Ett system kallas bestämt om det bara har en lösning och obestämt om mer än en.

Definition. För ett system av linjära ekvationer, matrisen

A = kallas systemets matris och matrisen

A * = kallas systemets utökade matris

Definition. Om b1, b2,..., bm = 0, så kallas systemet homogent. ett homogent system är alltid kompatibelt, eftersom har alltid en nolllösning.

Elementära systemtransformationer

Elementära transformationer inkluderar:

1) Lägg till båda sidor av en ekvation motsvarande delar av den andra, multiplicerat med samma tal, inte lika med noll.

2) Permutation av ekvationer på platser.

3) Borttagning från ekvationssystemet som är identiteter för alla x.

Kronecker - Capeli-satsen (kompatibilitetsvillkor för systemet).

(Leopold Kronecker (1823-1891) tysk matematiker)

Sats: Ett system är konsekvent (har minst en lösning) om och bara om rangordningen för systemmatrisen är lika med rangordningen för den utökade matrisen.

Det är uppenbart att system (1) kan skrivas som.

Vårt omedelbara mål är att bevisa att vilken matris som helst kan reduceras till vissa standardformer med hjälp av elementära transformationer. Språket för motsvarande matriser är användbart längs denna väg.

Låt vara. Vi kommer att säga att matrisen l_ekvivalent (n_ekvivalent eller ekvivalent) till matrisen och beteckna (eller) om matrisen kan erhållas från matrisen med ett ändligt antal rader (respektive kolumnära eller rad- och kolumnära) elementära transformationer. Det är tydligt att n_ekvivalenta och n_ekvivalenta matriser är ekvivalenta.

Först kommer vi att visa att vilken matris som helst endast kan reduceras genom radtransformationer till en speciell form som kallas reducerad.

Låt vara. De säger att en rad som inte är noll i denna matris har en reducerad form om den innehåller ett sådant element lika med 1 att alla element i kolumnen, förutom, är lika med noll. Det markerade enlinjeelementet kommer att kallas det ledande elementet på denna linje och omges av en cirkel. Med andra ord, en rad i en matris har en reducerad form om denna matris innehåller en kolumn av formen

Till exempel i följande matris

linjen har den reducerade formen, eftersom. Observera att elementet i det här exemplet också gör anspråk på att vara radens pivot. I det följande, om det finns flera element i raden av den givna typen som har egenskaperna hos den ledande kommer vi att välja endast ett av dem på ett godtyckligt sätt.

En matris sägs ha en reducerad form om var och en av dess rader som inte är noll har en reducerad form. Till exempel matrisen

har den reducerade formen.

Proposition 1.3 För vilken matris som helst finns det en l_ekvivalent matris av reducerad form.

Faktum är att om matrisen har formen (1.1) och sedan efter att ha utfört elementära transformationer i den

vi får matrisen

där linjen har den reducerade formen.

För det andra, om raden i matrisen reducerades, kommer matrisraden att reduceras efter att ha utfört elementära transformationer (1.20). I själva verket, eftersom den givna, det finns en kolumn sådan att

men sedan och följaktligen, efter att ha utfört transformationer (1.20), ändras inte kolumnen, d.v.s. ... Därför har linjen den reducerade formen.

Nu är det klart att genom att omväxlande transformera varje rad som inte är noll i matrisen på ovanstående sätt, efter ett ändligt antal steg, får vi en matris av den reducerade formen. Eftersom endast elementära radtransformationer användes för att erhålla matrisen, är den l_ekvivalent med matrisen. >

Exempel 7. Konstruera en reducerad formmatris, l_ekvivalent med matrisen