Representation av periodiska signaler genom en Fourier-serie. Spektral representation av deterministiska signaler

Under förra seklet var Ivan Bernoulli, Leonard Euler och sedan Jean-Baptiste Fourier de första som använde representationen av periodiska funktioner med trigonometriska serier. Denna uppfattning studeras tillräckligt ingående i andra kurser, så vi minns bara de grundläggande sambanden och definitionerna.

Som noterats ovan, vilken periodisk funktion som helst u (t) för vilken jämställdheten u (t) = u (t + T) , var T = 1 / F = 2p / W , kan representeras av en Fourier-serie:

Varje term i denna serie kan utökas med hjälp av cosinusformeln för skillnaden mellan två vinklar och representeras som två termer:

,

var: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , alltså , a

Odds Ett och Värdshus bestäms av Eulers formler:

;
.

På n = 0 :

a B 0 = 0.

Odds Ett och Värdshus , är medelvärdena för produkten av funktionen u (t) och harmoniska svängningar med frekvens nw på ett varaktighetsintervall T ... Vi vet redan (avsnitt 2.5) att dessa är korskorrelationsfunktioner som bestämmer måttet på deras samband. Därför koefficienterna Ett och B n visa oss "hur många" sinus eller cosinus med frekvens nW som ingår i denna funktion u (t) , utökad i en Fourier-serie.

Således kan vi representera den periodiska funktionen u (t) som en summa av harmoniska vibrationer, där siffrorna C n är amplituderna och talen φ n - faser. Oftast i litteraturen kallas spektrumet av amplituder, och - spektrumet av faser. Ofta beaktas bara spektrumet av amplituder, vilket avbildas som linjer placerade vid punkter nW på frekvensaxeln och har en höjd som motsvarar talet C n ... Det bör dock komma ihåg att för att få en en-till-en överensstämmelse mellan den tidsmässiga funktionen u (t) och dess spektrum är det nödvändigt att använda både amplitudspektrum och fasspektrum. Detta kan ses från ett så enkelt exempel. Signalerna kommer att ha samma amplitudspektrum, men helt olika typer av tidsfunktioner.

Ett diskret spektrum kan inte bara ha en periodisk funktion. Till exempel är signal: inte periodisk, utan har ett diskret spektrum som består av två spektrallinjer. Det kommer inte heller att finnas en strikt periodisk signal som består av en sekvens av radiopulser (pulser med högfrekvent fyllning), där repetitionsperioden är konstant, utan den inledande fasen av högfrekvent fyllning ändras från puls till puls enligt till någon lag. Sådana signaler kallas nästan periodiska. Som vi kommer att se senare har de också ett diskret spektrum. Undersökning av den fysiska naturen hos spektra för sådana signaler kommer vi att utföra på samma sätt som för periodiska.

En periodisk signal av vilken form som helst med en period T kan representeras som en summa

harmoniska svängningar med olika amplituder och initiala faser, vars frekvenser är multiplar av grundfrekvensen. Övertonen av denna frekvens kallas den grundläggande eller första, resten - de högre övertonerna.

Trigonometrisk form av Fourier-serien:

,

var
- konstant komponent;

- amplituderna för cosinuskomponenterna;

- amplituderna för de sinusformade komponenterna.

Jämn signal (
) har bara cosinus och udda (
- endast sinusformade termer.

Den ekvivalenta trigonometriska formen av Fourier-serien är mer bekväm:

,

var
- konstant komponent;

- amplituden för signalens n:te överton. Sammantaget av amplituderna för de övertonskomponenter kallas amplitudspektrum;

- den initiala fasen av den n:te övertonen av signalen. Uppsättningen av faser av harmoniska komponenter kallas fasspektrum.

1. Spektrum av en periodisk sekvens av rektangulära pulser. Spektrumets beroende av pulsrepetitionsperioden och deras varaktighet. Spektrumbredd. Fourier-serien pppi

Låt oss beräkna amplituden och fasspektra för AEFI som har en amplitud
, varaktighet , följande period och placerad symmetriskt kring origo (signal är en jämn funktion).

Figur 5.1 - AEFI-tidsdiagram.

En signal med ett intervall på en period kan spelas in:

Beräkningar:

,

Fourier-serien för PPPI är:

Figur 5.2 - Amplitudspektraldiagram för AEFI.

Figur 5.3 - Fasspektraldiagram för AEFI.

AEFI-spektrumet är linjärt (diskret) (representeras av en uppsättning individuella spektrallinjer), övertoner (spektrallinjer är på samma avstånd från varandra ω 1), avtagande (amplituderna för övertoner minskar med ökande antal), har ett kronblad struktur (bredden på varje lob är 2π / τ), obegränsad (frekvensintervallet i vilket spektrallinjerna är belägna är oändligt);

Vid heltalsdriftscykel saknas frekvenskomponenter med frekvenser som är multipler av arbetscykeln i spektrumet (deras frekvenser sammanfaller med nollorna i amplitudspektrumenveloppen);

Med ökande arbetscykel minskar amplituderna för alla övertonskomponenter. Dessutom, om det är associerat med en ökning av repetitionsperioden T, blir spektrumet tätare (ω 1 minskar), med en minskning av pulslängden τ - bredden på varje lob blir större;

Frekvensområdet som innehåller 95 % av signalenergin (lika med bredden på de två första loberna av enveloppen) tas som bredden på AEFI-spektrumet:

eller
;

Alla övertoner som finns i en envelopplob har samma fas, lika med antingen 0 eller π.

1. Använda Fourier Transform för spektrumanalys av icke-periodiska signaler. Spektrum av en enda rektangulär puls. Integral Fourier-transformer

Kommunikationssignaler är alltid begränsade i tid och är därför inte periodiska. Bland icke-periodiska signaler är enkelimpulser (SS) av största intresse. OI kan betraktas som ett begränsande fall av en periodisk sekvens av pulser (PPI) med en varaktighet med en oändligt lång period av deras upprepning
.

Figur 6.1 - PPI och OI.

En icke-periodisk signal kan representeras som summan av ett oändligt stort antal svängningar oändligt nära i frekvens med försvinnande små amplituder. OI-spektrumet är kontinuerligt och introduceras av Fourier-integralerna:

-
(1) - direkt Fouriertransform. Låter dig analytiskt hitta spektralfunktionen för en given signalform;

-
(2) - invers Fouriertransform. Låter dig analytiskt hitta formen för en given spektral funktion hos signalen.

Komplex form av integral Fouriertransform(2) ger en tvåsidig spektral representation (med negativa frekvenser) av en icke-periodisk signal
som en summa av harmoniska vibrationer
med oändligt små komplexa amplituder
vars frekvenser kontinuerligt fyller hela frekvensaxeln.

Den komplexa spektrala tätheten hos en signal är en komplex funktion av frekvens, som samtidigt bär information om både amplituden och fasen för elementära övertoner.

Modulen för den spektrala tätheten kallas amplitudernas spektrala täthet. Det kan betraktas som frekvenssvaret för det kontinuerliga spektrumet av en icke-periodisk signal.

Spektraldensitetsargument
kallas fasernas spektraltäthet. Det kan betraktas som fas-frekvenskarakteristiken för det kontinuerliga spektrumet av en icke-periodisk signal.

Låt oss omvandla formeln (2):

Trigonometrisk form av integral Fouriertransform ger en enkelriktad spektral representation (som inte har några negativa frekvenser) av en icke-periodisk signal:

.

Kurser i matematisk analys

Ämne: Beräkning av delsummor och spektrala egenskaper hos Fourierserien för en explicit funktion

signalspektrum fourierfunktion

1. Modell av den fysiska processen

Lösning av ett problem med teoretiska beräkningar

Ett exempel på att lösa problemet

Ett exempel på att lösa ett problem i Matlab R2009a-miljön

Bibliografi

1. Modell av den fysiska processen

Matematisk modell en radiosignal kan fungera som en funktion av tiden f(t) . Denna funktion kan vara verklig eller komplex, endimensionell eller flerdimensionell, deterministisk eller slumpmässig (brusiga signaler). Inom radioteknik beskriver samma matematiska modell med lika stor framgång ström, spänning, elektrisk fältstyrka, etc.

Betrakta verkliga endimensionella deterministiska signaler

Uppsättningar av funktioner (signaler) betraktas vanligtvis som linjära funktionella normerade utrymmen, där följande begrepp och axiom introduceras:

) alla axiomen för det linjära rummet är uppfyllda;

) prickprodukten av två reella signaler definieras enligt följande:

) två signaler kallas ortogonala om deras punktprodukt är lika med noll;

) systemet med ortogonala signaler bildar en oändlig dimensionell koordinatbas, som kan användas för att bryta ned vilken periodisk signal som helst som hör till det linjära rummet;

Bland de olika systemen med ortogonala funktioner som kan användas för att sönderdela signalen är det vanligaste systemet med harmoniska (sinusformade och cosinus) funktioner:

Representationen av en viss periodisk signal som summan av övertonssvängningar med olika frekvenser kallas den spektrala representationen av signalen. De individuella övertonskomponenterna i signalen bildar dess spektrum. Ur en matematisk synvinkel är den spektrala representationen ekvivalent med expansionen av en periodisk funktion (signal) i en Fourierserie.

Betydelsen av den spektrala nedbrytningen av funktioner i radioteknik beror på ett antal skäl:

) enkelhet att studera egenskaperna hos signalen, eftersom harmoniska funktioner är väl förstådda;

) förmågan att generera en godtycklig signal, eftersom tekniken för att generera harmoniska signaler är ganska enkel;

) enkel överföring och mottagning av en signal över radiokanalen, tk. harmonisk svängning är den enda funktionen av tiden som behåller sin form när den passerar genom någon linjär krets. Signalen vid kretsens utgång förblir harmonisk med samma frekvens, endast amplituden och den initiala fasen av oscillationen ändras;

) sönderdelningen av signalen till sinus och cosinus tillåter användning av en symbolisk metod utvecklad för att analysera överföringen av övertonssvängningar genom linjära kretsar.

Som en modell av den fysiska processen, betrakta hjärtats elektrokardiogram.

2. Lösning av problemet med teoretiska beräkningar

Mål 1:

Låt oss beskriva, med hjälp av Fourier-serien, en periodiskt upprepad impuls i området för elektrokardiogrammet, det så kallade QRS-komplexet.

QRS-komplexet kan definieras av följande bitvis linjär funktion

Var

Denna funktion kan fortsätta periodvis med en period T = 2 1.

Fourierserie av funktioner:

Definition 1: Funktionen kallas styckvis kontinuerlig på segmentet [a, b], om det är kontinuerligt i alla punkter i detta segment, förutom ett ändligt antal punkter där dess ändliga ensidiga gränser finns.

Definition 2: Funktionen kallas bitvis slät på något segment om det och dess derivata är styckvis kontinuerliga.

Sats 1 (Dirichlet-test): Fourierserie av en styckvis jämn funktion på ett intervall f (x) konvergerar vid varje punkt av kontinuitet till värdet av funktionen vid denna punkt och till värdet vid varje punkt av diskontinuitet.

Vår funktion uppfyller villkoren för satsen.

För en given funktion får vi följande koefficienter för Fourierserien:

Komplex form av Fourier-serien

För att representera serien i komplex form använder vi Eulers formler:

Låt oss presentera notationen:

Då kan serien skrivas om som

Dessutom kan koefficienterna för den komplexa Fourier-serien erhållas direkt genom att beräkna dem med formeln

Vi skriver i komplex form Fourierserien för en given funktion

Spektrala egenskaper hos serien

Uttryck i Fourier-serien kallas nden harmoniska. Det är känt att

var eller

,

Aggregat namnges därefter amplitud och fasspektrum periodisk funktion.

Spektra är grafiskt avbildade som längdsegment ritade vinkelrätt mot axeln på vilken värdet plottas n= 1,2 ... eller.

En grafisk representation av motsvarande spektrum kallas ett amplitud- eller fasdiagram. I praktiken används oftast amplitudspektrumet.

.Ett exempel på att lösa problemet

Uppgift 2: Betrakta ett specifikt exempel på ett problem för den valda modellen av en fysisk process.

Vi utökar denna funktion till hela talaxeln, vi får den periodiska funktionen f(x) med period T = 2 l= 18 (fig. 1).

Ris. 1. Graf över en periodiskt fortsatt funktion

Låt oss beräkna Fourierkoefficienterna för den givna funktionen.

Låt oss skriva ned delsummorna för serien:

Ris. 2. Plots av delsummor av Fourier-serien

Med tillväxt n plotter av delsummor vid kontinuitetspunkter närmar sig plotten av en funktion f(x) ... Vid brytpunkter närmar sig värdena för delsummorna .

Låt oss bygga amplitud- och fasdiagram.

ges en fjärdedel.

tabell

4. Ett exempel på att lösa ett problem i Matlab R2009a-miljön

Mål 3: Som ett exempel, betrakta hela PR- och QT-intervallen.

Ris

För denna funktion, bygg grafer av delsummor, samt amplitud- och fasdiagram.

Låt oss ta specifika värden på parametrarna för vår uppgift:

Ett skript för att bygga de nödvändiga graferna och diagrammen.

Skriptet låter dig lösa ett antal liknande problem genom att välja parametrar och koordinater för punkterna Q, R, S.

% BERÄKNING AV DELSUMMOR OCH SPEKTRALKARAKTERISTIKA FÖR FOURIER-SERIEN FÖR EXPRESS

% Spektralanalys L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase = 18; = 6; I2 = 10; Q = 11; Qy = -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Sy = -4; I3 = 15; I4 = 20; 15 = 26, = 2; T = 3; ExprNum = 9; = 250; = 30; = 0; flagga == 0 = 1; (k<15)

k = meny ("Ändra parametrar", ...

sprintf ("Parameter1 P =% g", P), ... ("Parameter2 I1 =% g", I1), ... ("Parameter3 I2 =% g", I2), ... ("Parameter4 Qx =% g ", Q), ... (" Parameter5 Qy =% g ", Qy), ... (" Parameter6 Rx =% g ", R), ... (" Parameter7 Ry =% g ", Ry), ... ("Parameter8 Sx =% g", S), ... ("Parameter9 Sy =% g", Sy), ... ("Parameter10 I3 =% g", I3), .. ("Parameter11 I4 =% g", I4), ... ("Parameter12 T =% g", T), ... ("Parameter13 I5 =% g", I5), ... ("Parameter13 Ns =% g ", Ns), ...

"Fortsätt"); k == 1, = input ();

endk == 2, = input ();

endk == 3, = input ();

endk == 4, = input ();

endk == 5, = input ();

endk == 6, = input ();

endk == 7, = input ();

"Nytt Sx-värde ="]);

endk == 9, = input ();

endk == 10, = input ();

endk == 11, = input ();

endk == 12, = input ();

endk == 13, = input ()

endk == 14, = input ()

% Tillämpning av parametrar = Qy / (Q-I2);

v = Qy * I2 / (I2-Q); = (Ry-Qy) / (RQ); = (Qy * RQ * Ry) / (RQ); = (Sy-Ry) / (SR); = (Ry * SR * Sy) / (SR); = Sy / (S-I3); = I3 * Sy / (I3-S); = 2 * L / N; = 0: Ts: 2 * L; = längd (t ); = nollor (1, Dim); = golv (I1 * N / 2 / L) +1; = golv ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; = golv ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; = våning ((RQ) * N / 2 / L) +1; = våning ((SR) * N / 2 / L) +1; = våning ((I3-S) * N / 2 / L) +1; = golv ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; = golv ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; = golv (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1; i = 1: u1 (i) = P * sin (pi * t (i) / I1); i = u1: u2 (i) = 0; i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v; i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b; i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d; i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r; i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0; i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * sin (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), grid, set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

titel ("Processdiagram"); xlabel ("Tid (s)"); ylabel ("Y (t)");

% Delsumma tomt n

n = 0; j = 1: ExprNum = j; j1 = quad (@f, 0, I1); 2 = a0 + quad (@f, I1, I2); 3 = a0 + quad (@f, I2, Q 4 = a0 + quad (@f, Q, R); 5 = a0 + quad (@f, R, S); 6 = a0 + quad (@f, S, I3); 7 = a0 + quad (@ @f, I3, I4); 8 = a0 + quad (@f, I4, I5); 9 = a0 + quad (@f, I5, 2 ​​​​* L); = a0 / L; = nollor (1, Ns); = nollor (1, Ns); i = 1: Ns = i; j = 1: ExprNum = j; j1 (i) = quad (@f, 0, I1); (i) = quad (@g) , 0, I1); 2 (i) = an (i) + quad (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) = an (i) + quad (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4 (i) = an (i) + quad (@f, Q) (i) = bn (i) + quad (@g, Q, R); 5 (i) = an (i) + quad (@f, R, S); (i) = bn (i) ) + quad (@g, R, S); 6 (i) = an (i) + quad (@f, S, I3); (i) = bn (i) + quad (@g, S, I3) 7 (i) = an (i) + quad (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + quad (@g, I3, I4); 8 (i) = an (i) + quad ( @f, I4, I5); (i) = bn (i) + quad (@g, I4, I5); 9 (i) = an (i) + quad (@f, I5, 2 ​​​​* L); (i) = bn (i) + quad (@g, I5, 2 ​​​​* L); (i) = an (i) / L; (i) = bn (i) / L; = t ; = nollor (1, längd (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * sin (n * pi * x / L); (t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

titel ("Signal- och delsummagraf"); xlabel ("Tid (s)"); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Rita ett amplituddiagram = nollor (1, Ns);

wn = pi / L; = wn: wn: wn * Ns; i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Amplituddiagram för signalen "); xlabel ("n"); ylabel ("An");

% Konstruktion av fasdiagrammet för signalen = nollor (1, Ns);

för i = 1: Ns (an (i)> 0) (i) = atan (bn (i) / an (i)); ((an (i)<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / an (i)) + pi; ((an (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2; ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, Fortsätt - ");

Listalitteratur

1. Fikhtengolts, G.M. Förloppet för differential- och integralkalkyl: i 3 volymer, Moskva, 1997.3 volymer.

Vodnev, V.T., Naumovich, A.F., Naumovich, N.F., Grundläggande matematiska formler. Minsk, 1998

Kharkevich A.A. Spectra and Analysis. Moskva, 1958

Lazarev, Yu. F., Början av programmering i MatLAB-miljön. Kiev 2003.

Demidovich, B.P. Samling av problem och övningar i matematisk analys, M., 1988.

I många fall är uppgiften att erhålla (beräkna) signalspektrat enligt följande. Det finns en ADC, som med en samplingshastighet Fd omvandlar en kontinuerlig signal som anländer till dess ingång under tiden T till digitala sampel - N bitar. Vidare matas uppsättningen av sampel in i ett visst program som matar ut N/2 av vissa numeriska värden (en programmerare som dras från internet skrev ett program, hävdar att det gör Fourier-transformen).

För att kontrollera om programmet fungerar korrekt, låt oss bilda en array av sampel som summan av två sinusoider sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) och skjuta in den i programmet . Programmet drog följande:

Fig. 1 Grafen över signalens tidsfunktion

Fig. 2 Signalspektrumgraf

Spektrumgrafen har två pinnar (övertoner) på 5 Hz med en amplitud på 0,5 V och 10 Hz - med en amplitud på 1 V är allt som i formeln för den ursprungliga signalen. Allt är bra, bra jobbat programmerare! Programmet fungerar korrekt.

Detta betyder att om vi matar en riktig signal från en blandning av två sinusoider till ADC-ingången, så kommer vi att få ett liknande spektrum, bestående av två övertoner.

Totalt, vår verklig uppmätt signal, varar 5 sek, digitaliserad ADC, det vill säga presenterad diskret räknar, har diskret icke-periodisk spektrum.

Ur en matematisk synvinkel, hur många misstag finns det i den här frasen?

Nu beslutade cheferna att vi bestämde att 5 sekunder är för långt, låt oss mäta signalen på 0,5 sekunder.



Fig. 3 Graf över funktionen sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) vid en mätperiod på 0,5 sek.

Fig. 4 Funktionsspektrum

Något verkar vara fel! 10 Hz övertonen ritas normalt, och istället för 5 Hz-staven dök det upp några obegripliga övertoner. Vi tittar på Internet, vad och hur ...

I säger de att nollor måste läggas till i slutet av provet och spektrumet kommer att ritas normalt.

Fig. 5 Vi avslutade nollor upp till 5 sek

Fig. 6 Mottog spektrumet

Fortfarande inte vad det var vid 5 sekunder. Vi måste ta itu med teorin. Gå till Wikipedia- källa till kunskap.

2. Kontinuerlig funktion och dess representation av Fourier-serien

Matematiskt är vår signal med en varaktighet på T sekunder en funktion f (x) definierad på intervallet (0, T) (X i detta fall är tid). En sådan funktion kan alltid representeras som summan av harmoniska funktioner (sinus eller cosinus) av formen:

(1), där:

K - antal trigonometriska funktioner (antal övertonskomponenter, antal övertoner)
T - segmentet där funktionen är definierad (signalens varaktighet)
Ak är amplituden för den k:te övertonskomponenten,
θk är den inledande fasen av den k:te övertonskomponenten

Vad innebär det att "representera en funktion som summan av en serie"? Detta innebär att genom att lägga till värdena för de harmoniska komponenterna i Fourier-serien vid varje punkt, får vi värdet på vår funktion vid denna punkt.

(Mer strikt kommer seriens rot-medelkvadratavvikelse från funktionen f (x) att tendera till noll, men trots rot-medelkvadratkonvergensen är Fourier-serien för funktionen generellt sett inte skyldig att konvergera till det punktvis. Se https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)

Denna serie kan också skrivas som:

(2),
där k-te komplex amplitud.

Förhållandet mellan koefficienterna (1) och (3) uttrycks med följande formler:

Observera att alla dessa tre representationer av Fourier-serien är helt likvärdiga. Ibland, när man arbetar med Fourier-serier, är det bekvämare att använda exponenter för det imaginära argumentet istället för sinus och cosinus, det vill säga att använda Fourier-transformen i komplex form. Men det är bekvämt för oss att använda formel (1), där Fourierserien presenteras som summan av cosinusvågor med motsvarande amplituder och faser. I vilket fall som helst är det felaktigt att säga att resultatet av Fouriertransformeringen av en verklig signal kommer att vara övertonernas komplexa amplituder. Som Wiki korrekt säger, "Fouriertransformen (ℱ) är en operation som tilldelar en funktion till en reell variabel till en annan funktion, också en reell variabel."

Total:
Den matematiska grunden för spektralanalys av signaler är Fouriertransformen.

Fouriertransformen låter dig representera den kontinuerliga funktionen f (x) (signal), definierad på segmentet (0, T) som summan av ett oändligt antal (oändliga serier) av trigonometriska funktioner (sinusoider och \ eller cosinus) med vissa amplituder och faser, även beaktade på segmentet (0, T). En sådan serie kallas Fourierserie.

Låt oss notera några fler punkter, vars förståelse krävs för korrekt tillämpning av Fouriertransformen på signalanalys. Om vi ​​betraktar Fourierserien (summan av sinusoider) på hela X-axeln, så kan vi se att utanför segmentet (0, T), kommer funktionen som representeras av Fourierserien periodiskt att upprepa vår funktion.

Till exempel, i grafen i fig. 7, är den ursprungliga funktionen definierad på segmentet (-T \ 2, + T \ 2), och Fourier-serien representerar en periodisk funktion definierad på hela x-axeln.

Detta beror på att sinusoider i sig är periodiska funktioner, och följaktligen kommer deras summa att vara en periodisk funktion.

Fig. 7 Representation av en icke-periodisk originalfunktion av Fourier-serien

Således:

Vår ursprungliga funktion är kontinuerlig, icke-periodisk, definierad på något segment av längden T.
Spektrumet för denna funktion är diskret, det vill säga det presenteras i form av en oändlig serie av harmoniska komponenter - Fourier-serien.
Faktum är att Fourierserien definierar en viss periodisk funktion som sammanfaller med vår på segmentet (0, T), men för oss är denna periodicitet inte väsentlig.

Perioderna för de övertonskomponenter är multiplar av värdet på segmentet (0, T), på vilket den ursprungliga funktionen f (x) är definierad. Med andra ord är övertonernas perioder multiplar av varaktigheten av signalmätningen. Till exempel är perioden för den första övertonen i Fourierserien lika med intervallet T, på vilket funktionen f (x) definieras. Perioden för den andra övertonen i Fourier-serien är lika med intervallet T / 2. Och så vidare (se fig. 8).

Fig. 8 Perioder (frekvenser) för harmoniska komponenter i Fourierserien (här T = 2π)

Följaktligen är frekvenserna för de harmoniska komponenterna multiplar av 1 / T. Det vill säga, frekvenserna för de övertonskomponenter Fk är lika med Fk ​​= k \ T, där k sträcker sig från 0 till ∞, till exempel k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = k \ T (vid noll frekvens - konstant komponent).

Låt vår ursprungliga funktion vara en signal registrerad för T = 1 sek. Då blir perioden för den första övertonen lika med varaktigheten för vår signal T1 = T = 1 sek och övertonens frekvens är 1 Hz. Den andra övertonsperioden kommer att vara lika med signalens varaktighet dividerat med 2 (T2 = T / 2 = 0,5 sek) och frekvensen är 2 Hz. För den tredje övertonen är T3 = T / 3 sek och frekvensen är 3 Hz. Etc.

Steget mellan övertoner är i detta fall 1 Hz.

Således kan en signal med en varaktighet på 1 sek brytas upp i övertonskomponenter (för att erhålla ett spektrum) med en frekvensupplösning på 1 Hz.
För att öka upplösningen med 2 gånger till 0,5 Hz är det nödvändigt att öka mättiden med 2 gånger - upp till 2 sek. En signal med en varaktighet på 10 sekunder kan delas upp i övertonskomponenter (för att erhålla ett spektrum) med en frekvensupplösning på 0,1 Hz. Det finns inget annat sätt att öka frekvensupplösningen.

Det finns ett sätt att på konstgjord väg öka signalens varaktighet genom att lägga till nollor till sampelmatrisen. Men det ökar inte den verkliga frekvensupplösningen.

3. Diskreta signaler och diskret Fouriertransform

Med utvecklingen av digital teknik har även metoderna för att lagra mätdata (signaler) förändrats. Om signalen tidigare kunde spelas in på en bandspelare och lagras på band i analog form, digitaliseras nu signalerna och lagras i filer i datorns minne i form av en uppsättning siffror (räkneverk).

Ett typiskt schema för att mäta och digitalisera en signal är som följer.

Fig. 9 Diagram över mätkanalen

Signalen från mätomvandlaren anländer till ADC:n under en tidsperiod T. Samplingen av signalen (samplet) som erhålls under tiden T överförs till datorn och lagras i minnet.

Fig. 10 Digitaliserad signal - N sampel erhållna under tiden T

Vilka är kraven på parametrarna för signaldigitalisering? En enhet som omvandlar en analog insignal till en diskret kod (digital signal) kallas en analog-till-digital-omvandlare (ADC) (Wiki).

En av huvudparametrarna för ADC är den maximala samplingshastigheten (eller samplingshastigheten, engelska samplingshastigheten) - samplingshastigheten för en kontinuerlig signal i tiden under dess sampling. Mätt i hertz. ((Wiki))

Enligt Kotelnikovs sats, om en kontinuerlig signal har ett spektrum begränsat av frekvensen Fmax, kan den helt och otvetydigt rekonstrueras från dess diskreta sampel tagna med tidsintervall , dvs. med en frekvens på Fd ≥ 2 * Fmax, där Fd är samplingsfrekvensen; Fmax är den maximala frekvensen för signalspektrat. Med andra ord måste signalsamplingsfrekvensen (ADC samplingsfrekvens) vara minst 2 gånger högre än den maximala frekvensen för signalen som vi vill mäta.

Och vad händer om vi tar prover med en lägre frekvens än vad Kotelnikovs sats kräver?

I det här fallet uppstår effekten av "aliasing" (alias stroboskopisk effekt, moiréeffekt), där en högfrekvent signal efter digitalisering förvandlas till en lågfrekvent signal, som faktiskt inte existerar. I fig. 11 högfrekvent röd sinusvåg är en riktig signal. Den blå sinusformen för en lägre frekvens är en dummysignal som uppstår på grund av att den under samplingstiden lyckas passera mer än en halv period av högfrekvenssignalen.

Ris. 11. Uppkomsten av en falsk signal med låg frekvens med otillräckligt hög samplingsfrekvens

För att undvika effekten av aliasing installeras ett speciellt anti-aliasing-filter framför ADC - ett lågpassfilter (lågpassfilter), som passerar frekvenser under halva samplingsfrekvensen för ADC:n och skär högre frekvenser.

För att beräkna spektrumet för signalen från dess diskreta sampel, används den diskreta Fouriertransformen (DFT). Observera återigen att spektrumet för den diskreta signalen är "per definition" begränsat av frekvensen Fmax, mindre än hälften av samplingsfrekvensen Fd. Därför kan spektrumet för en diskret signal representeras av summan av ett ändligt antal övertoner, i motsats till den oändliga summan för Fourierserien av en kontinuerlig signal, vars spektrum kan vara obegränsat. Enligt Kotelnikov-satsen ska den maximala frekvensen för en överton vara sådan att den har minst två räkningar, så antalet övertoner är lika med hälften av antalet sampel av en diskret signal. Det vill säga, om det finns N sampel i samplet, kommer antalet övertoner i spektrumet att vara lika med N/2.

Betrakta nu den diskreta Fouriertransformen (DFT).

Jämför med Fourier-serien

Vi ser att de sammanfaller, förutom att tiden i DFT är diskret och antalet övertoner är begränsat till N/2, vilket är hälften av antalet räkningar.

DFT-formler skrivs i dimensionslösa heltalsvariabler k, s, där k är antalet signalsampel, s är antalet spektrala komponenter.
Värdet på s visar antalet totala övertonssvängningar vid perioden T (längden på signalmätningen). Diskret Fouriertransform används för att hitta amplituder och faser för övertoner numeriskt, dvs. "på datorn"

Återgår till resultaten i början. Som nämnts ovan, när man expanderar en icke-periodisk funktion (vår signal) i en Fourier-serie, motsvarar den resulterande Fourier-serien faktiskt en periodisk funktion med en period T. (Fig. 12).

Fig. 12 Periodisk funktion f (x) med en period T0, med en mätperiod T> T0

Som kan ses i fig. 12 är funktionen f(x) periodisk med en period TO. På grund av det faktum att varaktigheten för mätprovet T inte sammanfaller med perioden för funktionen T0, har funktionen som erhålls som en Fourier-serie en diskontinuitet vid punkten T. Som ett resultat kommer spektrumet för denna funktion att innehåller ett stort antal högfrekventa övertoner. Om varaktigheten av mätsamplet T sammanföll med perioden för funktionen T0, skulle endast den första övertonen (sinusformad med en period lika med varaktigheten av samplingen) vara närvarande i spektrumet som erhålls efter Fouriertransformen, eftersom funktion f (x) är en sinusform.

Med andra ord, DFT-programmet "vet inte" att vår signal är en "bit av en sinusoid", men försöker representera en periodisk funktion som en serie, som har en diskontinuitet på grund av inkonsekvensen av enskilda delar av en sinusoid.

Som ett resultat uppträder övertoner i spektrumet, vilket bör sammanfatta funktionens form, inklusive denna diskontinuitet.

För att erhålla ett "korrekt" spektrum av en signal, som är summan av flera sinusoider med olika perioder, är det således nödvändigt att ett helt antal perioder av varje sinusoid passar in i signalmätperioden. I praktiken kan detta villkor uppfyllas under en tillräckligt lång signalmätningsvaraktighet.

Fig. 13 Ett exempel på en funktion och ett spektrum av signalen för växellådans kinematiska fel

Med en kortare varaktighet kommer bilden att se "sämre" ut:

Fig. 14 Exempel på rotorvibrationssignalfunktion och spektrum

I praktiken kan det vara svårt att förstå var de "riktiga komponenterna" finns och var är "artefakterna" som orsakas av komponenternas multipla perioder och varaktigheten av signalsamplingen eller "hopp och avbrott" i vågformen. Naturligtvis är orden "riktiga komponenter" och "artefakter" inte förgäves inom citattecken. Närvaron av många övertoner på spektrumgrafen betyder inte att vår signal i verkligheten "består" av dem. Det är som att tro att siffran 7 "består" av siffrorna 3 och 4. Siffran 7 kan representeras som summan av siffrorna 3 och 4 - det är korrekt.

Så vår signal ... eller snarare inte ens "vår signal", utan en periodisk funktion som består av att repetera vår signal (sampel) kan representeras som en summa av övertoner (sinusformar) med vissa amplituder och faser. Men i många fall som är viktiga för praktiken (se figurerna ovan) är det verkligen möjligt att associera de övertoner som erhålls i spektrumet med verkliga processer som har en cyklisk karaktär och som ger ett betydande bidrag till signalformen.

Några resultat

1. Den verkliga uppmätta signalen, varaktighet T sek, digitaliserad av ADC, det vill säga representerad av en uppsättning diskreta sampel (N stycken), har ett diskret icke-periodiskt spektrum, representerat av en uppsättning övertoner (N / 2 stycken) ).

2. Signalen representeras av en uppsättning verkliga värden och dess spektrum representeras av en uppsättning verkliga värden. Harmoniska frekvenser är positiva. Det faktum att matematiker tycker att det är bekvämare att representera spektrumet i en komplex form med hjälp av negativa frekvenser betyder inte att "detta är korrekt" och "det här bör alltid göras."

3. Signalen som mäts vid tidsintervallet T bestäms endast vid tidsintervallet T. Vad som var innan vi började mäta signalen, och vad som kommer att hända efter det - detta är okänt för vetenskapen. Och i vårt fall är det inte intressant. DFT för en tidsbegränsad signal ger dess "sanna" spektrum, i den meningen att den, under vissa förhållanden, tillåter att amplituden och frekvensen för dess komponenter beräknas.

Begagnade material och andra användbara material.

Signalen anropas periodisk om dess form upprepas cykliskt i tiden. En periodisk signal skrivs vanligtvis på följande sätt:

Här är signalperioden. Periodiska signaler kan vara enkla eller komplexa.

För den matematiska representationen av periodiska signaler med en period används ofta denna serie, där harmoniska (sinusformade och cosinusformade) oscillationer av flera frekvenser väljs som basfunktioner:

var . är den grundläggande vinkelfrekvensen för sekvensen av funktioner. Med harmoniska basfunktioner får vi från denna serie en Fourierserie, som i det enklaste fallet kan skrivas i följande form:

där koefficienterna

Från Fourier-serien kan man se att i det allmänna fallet innehåller en periodisk signal en konstant komponent och en uppsättning harmoniska svängningar av grundfrekvensen och dess övertoner med frekvenser. Varje harmonisk svängning i Fourier-serien kännetecknas av en amplitud och en initial fas.

Spektraldiagram och spektrum av en periodisk signal.

Om någon signal presenteras som summan av övertonssvängningar med olika frekvenser, betyder detta det spektral nedbrytning signal.

Spektraldiagram signal är en grafisk representation av koefficienterna för Fourier-serien för denna signal. Det finns amplitud- och fasdiagram. För att konstruera dessa diagram plottas övertonsfrekvenserna på en viss skala längs den horisontella axeln, och deras amplituder och faser plottas längs den vertikala axeln. Dessutom kan övertonernas amplituder endast ta positiva värden, faserna - både positiva och negativa värden i intervallet.

Spektraldiagram av en periodisk signal:

a) - amplitud; b) - fas.

Signalspektrumär en uppsättning harmoniska komponenter med specifika värden på frekvenser, amplituder och initiala faser, som tillsammans bildar en signal. I praktiken kallas spektraldiagram mer kortfattat - amplitudspektrum, fasspektrum... Det största intresset visas i amplitudspektraldiagrammet. Den kan användas för att uppskatta procentandelen övertoner i spektrumet.

Spektrala egenskaper spelar en viktig roll inom telekommunikationsteknik. Genom att känna till signalspektrumet kan du korrekt beräkna och ställa in bandbredden för förstärkare, filter, kablar och andra noder för kommunikationskanaler. Kunskap om signalspektra är nödvändigt för att bygga flerkanalssystem med frekvensdelningsmultiplex. Utan kunskap om interferensspektrat är det svårt att vidta åtgärder för att undertrycka det.

Av detta kan vi dra slutsatsen att spektrumet måste vara känt för att utföra oförvrängd signalöverföring över kommunikationskanalen, för att säkerställa signalseparation och för att dämpa störningar.

För att observera spektra av signaler, det finns enheter som kallas spektrumanalysatorer... De tillåter observation och mätning av parametrarna för enskilda komponenter i spektrumet av en periodisk signal, såväl som mätning av spektraldensiteten för en kontinuerlig signal.