Fourier serisi ile periyodik sinyallerin temsili. Deterministik sinyallerin spektral temsili

Geçen yüzyılda, Ivan Bernoulli, Leonard Euler ve ardından Jean-Baptiste Fourier, periyodik fonksiyonların trigonometrik serilerle temsilini kullanan ilk kişilerdi. Bu görüş diğer derslerde yeterince ayrıntılı olarak incelenir, bu nedenle sadece temel ilişkileri ve tanımları hatırlıyoruz.

Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir periyodik fonksiyon sen (t) hangi eşitlik için u (t) = u (t + T) , nerede T = 1 / F = 2p / W , bir Fourier serisi ile temsil edilebilir:

Bu dizideki her terim, iki açı arasındaki fark için kosinüs formülü kullanılarak genişletilebilir ve iki terim olarak temsil edilebilir:

,

nerede: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , Bu yüzden , a

oranlar Bir ve Han Euler formülleri ile belirlenir:

;
.

NS n = 0 :

a 0 = 0.

oranlar Bir ve Han , fonksiyonun çarpımının ortalama değerleridir sen (t) ve frekanslı harmonik salınımlar nw bir süre aralığında T ... Bunların ilişkilerinin ölçüsünü belirleyen çapraz korelasyon fonksiyonları olduğunu zaten biliyoruz (Kısım 2.5). Bu nedenle, katsayılar Bir ve ben bize frekansla "kaç" sinüzoid veya kosinüs göster KB bu fonksiyonda yer alan sen (t) , bir Fourier serisinde genişletildi.

Böylece periyodik fonksiyonu temsil edebiliriz. sen (t) sayıların harmonik titreşimlerin toplamı olarak C n genlikler ve sayılar φ n - aşamalar. Genellikle edebiyatta genlik spektrumu olarak adlandırılır ve - fazların spektrumu. Genellikle sadece noktalarda bulunan çizgiler olarak gösterilen genlik spektrumu dikkate alınır. KB frekans ekseninde ve sayıya karşılık gelen bir yüksekliğe sahip C n ... Ancak unutulmamalıdır ki, zamansal fonksiyon arasında bire bir bir yazışma elde etmek için sen (t) ve onun spektrumu için, hem genlik spektrumunu hem de faz spektrumunu kullanmak gereklidir. Bu çok basit bir örnekten görülebilir. Sinyaller aynı genlik spektrumuna sahip olacak, ancak tamamen farklı türde zamansal fonksiyonlara sahip olacaktır.

Ayrık bir spektrum sadece periyodik bir fonksiyona sahip olmayabilir. Örneğin, sinyal: periyodik değildir, ancak iki spektral çizgiden oluşan ayrı bir spektruma sahiptir. Ayrıca, tekrarlama süresinin sabit olduğu bir dizi radyo darbesinden (yüksek frekanslı dolgulu darbeler) oluşan kesinlikle periyodik bir sinyal olmayacaktır, ancak yüksek frekanslı doldurmanın ilk aşaması, darbeden darbeye göre değişir. bazı yasalara. Bu tür sinyallere neredeyse periyodik denir. Daha sonra göreceğimiz gibi, ayrı bir spektrumları da var. Bu tür sinyallerin spektrumlarının fiziksel doğasının araştırılması, periyodik olanlarla aynı şekilde yapılacaktır.

T periyoduna sahip herhangi bir şekle sahip periyodik bir sinyal, bir toplam olarak temsil edilebilir.

frekansları temel frekansın katları olan farklı genliklere ve başlangıç ​​fazlarına sahip harmonik salınımlar. Bu frekansın harmoniğine temel veya ilk, geri kalanı - daha yüksek harmonikler denir.

Fourier serisinin trigonometrik formu:

,

nerede
- sabit bileşen;

- kosinüs bileşenlerinin genlikleri;

- sinüzoidal bileşenlerin genlikleri.

Çift sinyal (
) sadece kosinüs ve tek (
- sadece sinüzoidal terimler.

Fourier serisinin eşdeğer trigonometrik formu daha uygundur:

,

nerede
- sabit bileşen;

- sinyalin n'inci harmoniğinin genliği. Harmonik bileşenlerin genliklerinin toplamına genlik spektrumu denir;

- sinyalin n'inci harmoniğinin ilk aşaması. Harmonik bileşenlerin faz kümesine faz spektrumu denir.

1. Periyodik bir dikdörtgen darbe dizisinin spektrumu. Spektrumun darbe tekrarlama periyoduna ve sürelerine bağımlılığı. Spektrum genişliği. Fourier serisi pppi

Genliğe sahip AEFI'nin genliğini ve faz spektrumlarını hesaplayalım.
, süre , takip eden dönem ve orijine göre simetrik olarak yerleştirilir (sinyal eşit bir fonksiyondur).

Şekil 5.1 - AEFI zamanlama şeması.

Bir periyot aralığında bir sinyal kaydedilebilir:

Hesaplamalar:

,

PPPI için Fourier serisi:

Şekil 5.2 - AEFI'nin genlik spektral diyagramı.

Şekil 5.3 - AEFI'nin faz spektral diyagramı.

AEFI spektrumu doğrusaldır (ayrık) (bir dizi bireysel spektral çizgi ile temsil edilir), harmonik (spektral çizgiler birbirinden aynı uzaklıkta ω 1), azalan (harmoniklerin genlikleri artan sayı ile azalır), bir taç yaprağı vardır yapı (her lobun genişliği 2π / τ), sınırsız (spektral çizgilerin bulunduğu frekans aralığı sonsuzdur);

Tamsayı görev döngüsünde, görev döngüsünün katları olan frekanslara sahip frekans bileşenleri spektrumda yoktur (frekansları, genlik spektrum zarfının sıfırları ile çakışır);

Artan görev döngüsü ile tüm harmonik bileşenlerin genlikleri azalır. Ayrıca, tekrarlama periyodu T'deki bir artışla ilişkilendirilirse, o zaman spektrum daha yoğun hale gelir (ω 1 azalır), darbe süresinde bir azalma ile τ - her lobun genişliği büyür;

Sinyal enerjisinin %95'ini (zarfın ilk iki lobunun genişliğine eşit) içeren frekans aralığı, AEFI spektrumunun genişliği olarak alınır:

veya
;

Bir zarf lobunda bulunan tüm harmonikler, 0 veya π'ye eşit olan aynı faza sahiptir.

1. Periyodik Olmayan Sinyallerin Spektrum Analizi için Fourier Dönüşümünün Kullanılması. Tek bir dikdörtgen darbenin spektrumu. İntegral Fourier Dönüşümleri

İletişim sinyalleri her zaman zamanla sınırlıdır ve bu nedenle periyodik değildir. Periyodik olmayan sinyaller arasında, tek impulslar (SS) en çok ilgi çekenlerdir. OI, bir süreye sahip periyodik bir darbe dizisinin (PPI) sınırlayıcı bir durumu olarak düşünülebilir. sonsuz büyük bir tekrarlama periyodu ile
.

Şekil 6.1 - ÜFE ve OI.

Periyodik olmayan bir sinyal, frekansta sonsuz derecede yakın ve yok olacak kadar küçük genlikler ile sonsuz sayıda salınımların toplamı olarak temsil edilebilir. OI spektrumu süreklidir ve Fourier integralleri tarafından tanıtılır:

-
(1) - doğrudan Fourier dönüşümü. Belirli bir sinyal şekli için spektral fonksiyonu analitik olarak bulmanızı sağlar;

-
(2) - ters Fourier dönüşümü. Sinyalin belirli bir spektral fonksiyonu için şekli analitik olarak bulmanızı sağlar.

İntegral Fourier dönüşümünün karmaşık biçimi(2) periyodik olmayan bir sinyalin (negatif frekanslara sahip) iki taraflı bir spektral temsilini verir
harmonik titreşimlerin toplamı olarak
sonsuz küçük karmaşık genliklerle
frekansları sürekli olarak tüm frekans eksenini dolduran.

Bir sinyalin karmaşık spektral yoğunluğu, frekansın karmaşık bir fonksiyonudur ve aynı anda temel harmoniklerin hem genliği hem de fazı hakkında bilgi taşır.

Spektral yoğunluğun modülüne, genliklerin spektral yoğunluğu denir. Periyodik olmayan bir sinyalin sürekli spektrumunun frekans yanıtı olarak düşünülebilir.

Spektral yoğunluk argümanı
fazların spektral yoğunluğu denir. Periyodik olmayan bir sinyalin sürekli spektrumunun faz-frekans özelliği olarak düşünülebilir.

Formül (2)'yi dönüştürelim:

İntegral Fourier dönüşümünün trigonometrik formu periyodik olmayan bir sinyalin (negatif frekansa sahip olmayan) tek yönlü bir spektral gösterimini verir:

.

Matematiksel Analizde Kurs

Konu: Açık bir fonksiyon için Fourier serisinin kısmi toplamlarının ve spektral özelliklerinin hesaplanması

sinyal spektrumu fourier işlevi

1. Fiziksel sürecin modeli

Teorik hesaplamalarla bir problemin çözümü

Problem çözme örneği

Matlab R2009a ortamında bir problem çözme örneği

bibliyografya

1. Fiziksel sürecin modeli

Matematiksel model bir radyo sinyali zamanın bir fonksiyonu olarak hizmet edebilir F(T) . Bu fonksiyon gerçek veya karmaşık, tek boyutlu veya çok boyutlu, deterministik veya rastgele (gürültülü sinyaller) olabilir. Radyo mühendisliğinde aynı matematiksel model, akımı, voltajı, elektrik alan gücünü vb. eşit başarıyla tanımlar.

Gerçek tek boyutlu deterministik sinyalleri düşünün

Fonksiyon kümeleri (sinyaller) genellikle aşağıdaki kavramların ve aksiyomların tanıtıldığı doğrusal fonksiyonel normlu uzaylar olarak kabul edilir:

) lineer uzayın tüm aksiyomları sağlanır;

) iki gerçek sinyalin nokta çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır:

) iki sinyal, nokta çarpımı sıfıra eşitse ortogonal olarak adlandırılır;

) dikey sinyaller sistemi, doğrusal uzaya ait herhangi bir periyodik sinyali ayrıştırmak için kullanılabilen sonsuz boyutlu bir koordinat temeli oluşturur;

Sinyali ayrıştırmak için kullanılabilecek çeşitli ortogonal fonksiyon sistemleri arasında en yaygın olanı harmonik (sinüzoidal ve kosinüs) fonksiyonlar sistemidir:

Belirli bir periyodik sinyalin, farklı frekanslardaki harmonik salınımların toplamı olarak temsiline, sinyalin spektral gösterimi denir. Sinyalin bireysel harmonik bileşenleri, spektrumunu oluşturur. Matematiksel bir bakış açısından, spektral temsil, bir Fourier serisindeki periyodik bir fonksiyonun (sinyal) genişlemesine eşdeğerdir.

Radyo mühendisliğinde fonksiyonların spektral ayrışmasının önemi birkaç nedenden kaynaklanmaktadır:

) sinyalin özelliklerini incelemenin basitliği, çünkü harmonik fonksiyonlar iyi anlaşılmıştır;

) keyfi bir sinyal üretme yeteneği, çünkü harmonik sinyaller üretme tekniği oldukça basittir;

) radyo kanalı üzerinden bir sinyalin iletilmesi ve alınması kolaylığı, tk. harmonik salınım, herhangi bir lineer devreden geçerken şeklini koruyan zamanın tek işlevidir. Devrenin çıkışındaki sinyal aynı frekansta harmonik kalır, sadece salınımın genliği ve ilk fazı değişir;

) sinyalin sinüslere ve kosinüslere ayrıştırılması, harmonik salınımların lineer devreler yoluyla iletimini analiz etmek için geliştirilmiş sembolik bir yöntemin kullanılmasına izin verir.

Fiziksel sürecin bir modeli olarak kalbin elektrokardiyogramını düşünün.

2.Teorik hesaplamalarla problemin çözümü

Hedef 1:

Fourier serisinin yardımıyla, QRS kompleksi olarak adlandırılan elektrokardiyogram alanında periyodik olarak tekrarlanan bir dürtü tanımlayalım.

QRS kompleksi aşağıdaki parçalı doğrusal fonksiyon ile tanımlanabilir

Nereye

Bu işlev, belirli bir süre ile periyodik olarak devam ettirilebilir. T = 2l.

Fourier fonksiyon serisi:

tanım 1: Fonksiyon çağrılır parçalı sürekli[a, b] segmentinde, sonlu tek taraflı sınırlarının bulunduğu sonlu sayıda nokta dışında, bu segmentin tüm noktalarında sürekli ise.

Tanım 2: fonksiyon denir parça parça pürüzsüz bazı segmentlerde o ve türevi parçalı sürekli ise.

Teorem 1 (Dirichlet testi): Bir aralıkta parçalı düzgün bir fonksiyonun Fourier serisi F (x) fonksiyonun bu noktadaki değerine ve her bir süreksizlik noktasındaki değere sürekliliğin her noktasında yakınsar.

Fonksiyonumuz teoremin şartlarını sağlıyor.

Belirli bir fonksiyon için Fourier serisinin aşağıdaki katsayılarını elde ederiz:

Fourier serisinin karmaşık formu

Seriyi karmaşık biçimde temsil etmek için Euler formüllerini kullanırız:

Notasyonu tanıtalım:

Daha sonra dizi şu şekilde yeniden yazılabilir:

Ek olarak, karmaşık Fourier serilerinin katsayıları, formülle hesaplanarak doğrudan elde edilebilir.

Belirli bir fonksiyonun Fourier serisini karmaşık biçimde yazıyoruz

Serinin spektral özellikleri

İfade Fourier serisinde denir nth harmonik. olduğu biliniyor

nerede veya

,

Agregalar buna göre adlandırılır genlik ve faz spektrumu periyodik fonksiyon.

Spektrumlar, değerin çizildiği eksene dik olarak çizilen uzunluk parçaları olarak grafiksel olarak gösterilir. n= 1,2 ... veya.

Karşılık gelen spektrumun grafiksel temsiline, genlik veya faz diyagramı denir. Uygulamada, genlik spektrumu en sık kullanılır.

.Sorun çözme örneği

Görev 2: Fiziksel bir sürecin seçilen modeli için belirli bir problem örneğini düşünün.

Bu işlevi tüm sayı eksenine genişletiriz, periyodik işlevi elde ederiz. F(x) T = 2 periyodu ile ben= 18 (Şek. 1.).

Pirinç. 1. Periyodik olarak devam eden bir fonksiyonun grafiği

Verilen fonksiyonun Fourier katsayılarını hesaplayalım.

Serinin kısmi toplamlarını yazalım:

Pirinç. 2. Fourier serisinin kısmi toplamlarının grafikleri

büyüme ile n süreklilik noktalarındaki kısmi toplamların çizimleri bir fonksiyonun grafiğine yaklaşır F(x) ... Kırılma noktalarında kısmi toplamlar yaklaşımının değerleri .

Genlik ve faz diyagramlarını oluşturalım.

çeyrek verildi.

tablo

4. Matlab R2009a ortamında bir problem çözme örneği

Hedef 3:Örnek olarak, tüm PR ve QT aralıklarını düşünün.

Pirinç

Bu işlev için, genlik ve faz diyagramlarının yanı sıra kısmi toplamların grafiklerini oluşturun.

Görevimiz için parametrelerin belirli değerlerini alalım:

Gerekli grafikleri ve çizelgeleri oluşturmak için bir komut dosyası.

Komut dosyası, Q, R, S noktalarının parametrelerini ve koordinatlarını seçerek bir dizi benzer sorunu çözmenize olanak tanır.

EXPRESS İÇİN FOURIER SERİSİNİN KISMİ TOPLAMLARININ VE SPEKRAL ÖZELLİKLERİNİN HESAPLANMASI %

% Spektral analiz L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry SynCase = 18; = 6; I2 = 10; S = 11; Qy = -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Sy = -4; I3 = 15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T = 3; ExprNum = 9; = 250; = 30; = 0; bayrak == 0 = 1; (k<15)

k = menü ("Parametrelerin değiştirilmesi", ...

sprintf ("Parametre1 P =% g", P), ... ("Parametre2 I1 =% g", I1), ... ("Parametre3 I2 =% g", I2), ... ("Parametre4 Qx =% g ", Q), ... (" Parametre5 Qy =% g ", Qy), ... (" Parametre6 Rx =% g ", R), ... (" Parametre7 Ry =% g ", Ry), ... ("Parametre8 Sx =% g", S), ... ("Parametre9 Sy =% g", Sy), ... ("Parametre10 I3 =% g", I3), .. . ("Parametre11 I4 =% g", I4), ... ("Parametre12 T =% g", T), ... ("Parametre13 I5 =% g", I5), ... ("Parametre13 Ns =% g ", Ns), ...

"Devam"); ​​k == 1, = giriş ();

bitiş == 2, = giriş ();

bitiş == 3, = giriş ();

bitiş == 4, = giriş ();

bitiş == 5, = giriş ();

bitiş == 6, = giriş ();

bitiş == 7, = giriş ();

"Yeni Sx değeri ="]);

bitiş == 9, = giriş ();

bitiş == 10, = giriş ();

bitiş == 11, = giriş ();

bitiş == 12, = giriş ();

endk == 13, = giriş ()

bitiş == 14, = giriş ()

% Parametre uygulaması = Qy / (Q-I2);

v = Qy * I2 / (I2-Q); = (Ry-Qy) / (RQ); = (Qy * RQ * Ry) / (RQ); = (Sy-Ry) / (SR); = (Ry) * SR * Sy) / (SR); = Sy / (S-I3); = I3 * Sy / (I3-S); = 2 * L / N; = 0: Ts: 2 * L; = uzunluk (t ); = sıfırlar (1, Dim); = kat (I1 * N / 2 / L) +1; = kat ((I2-I1) * N / 2 / L) +1; = kat ((Q-I2) * N / 2 / L) +1; = kat ((RQ) * N / 2 / L) +1; = kat ((SR) * N / 2 / L) +1; = kat ((I3-S) * N / 2 / L) +1; = kat ((I4-I3) * N / 2 / L) +1; = kat ((I5-I4) * N / 2 / L) +1; = kat (( 2 * L-I4) * N / 2 / L) +1; i = 1: u1 (i) = P * günah (pi * t (i) / I1); i = u1: u2 (i) = 0; i = (u2 + u1) :( u3 + u2 + u1) (i) = w * t (i) + v; i = (u3 + u2 + u1): (u4 + u3 + u2 + u1) (i) = a * t (i) + b; i = (u4 + u3 + u2 + u1): (u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = c * t (i) + d; i = (u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = q * t (i) + r; i = (u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1 ): (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = 0; i = (u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1): (u8 + u7 + u6 + u5 + u4 + u3 + u2 + u1) (i) = T * günah (pi * (t (i) -I4) / (I5-I4)); (t, y, "LineWidth", 2), grid, set ( gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

başlık ("Süreç şeması"); xlabel ("Zaman(lar)"); ylabel ("Y(t)");

% Kısmi toplam arsa n

n = 0; j = 1: ExprNum = j; j1 = dörtlü (@f, 0, I1); 2 = a0 + dörtlü (@f, I1, I2); 3 = a0 + dörtlü (@f, I2, Q ); 4 = a0 + dörtlü (@f, Q, R); 5 = a0 + dörtlü (@f, R, S); 6 = a0 + dörtlü (@f, S, I3); 7 = a0 + dörtlü ( @f, I3, I4)); 8 = a0 + dörtlü (@f, I4, I5); 9 = a0 + dörtlü (@f, I5, 2 ​​* L); = a0 / L; = sıfırlar (1, Ns) ; = sıfırlar (1, Ns); i = 1: Ns = i; j = 1: ExprNum = j; j1 (i) = dörtlü (@f, 0, I1); (i) = dörtlü (@g , 0 , I1); 2 (i) = bir (i) + dörtlü (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + dörtlü (@g, I1, I2); 3 (i) = bir ( i) + dörtlü (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + dörtlü (@g, I2, Q); 4 (i) = bir (i) + dörtlü (@f, Q , R ); (i) = bn (i) + dörtlü (@g, Q, R); 5 (i) = bir (i) + dörtlü (@f, R, S); (i) = bn (i) ) + dörtlü (@g, R, S); 6 (i) = bir (i) + dörtlü (@f, S, I3); (i) = bn (i) + dörtlü (@g, S, I3) ; 7 (i) = bir (i) + dörtlü (@f, I3, I4); (i) = bn (i) + dörtlü (@g, I3, I4); 8 (i) = bir (i) + dörtlü ( @f, I4, I5); (i) = bn (i) + dörtlü (@g, I4, I5); 9 (i) = bir (i) + dörtlü (@f, I5, 2 ​​* L); ( i) = bn (i) + dörtlü (@g, I5, 2 ​​* L); (i) = bir (i) / L; (i) = bn (i) / L; = t ; = sıfırlar (1, uzunluk (x)); = fn + a0 / 2; i = 1: Ns = i; = fn + an (i) * cos (n * pi * x / L) + bn (i) * günah (n * pi * x / L); (t, y, x, fn, "LineWidth", 2), grid, set (gca, "FontName", "Arial Cyr", "FontSize", 16);

başlık ("Sinyal ve kısmi toplam grafiği"); xlabel ("Zaman(lar)"); ylabel (sprintf ("Sn (t)"));

% Genlik diyagramı çizme = sıfırlar (1, Ns);

wn = pi / L; = wn: wn: wn * Ns; i = 1: Ns (i) = sqrt (an (i). ^ 2 + bn (i). ^ 2); (Gn, A, ". "), grid, set (gca," FontName "," Arial Cyr "," FontSize ", 16); (" Sinyalin genlik diyagramı "); xlabel ("n"); ylabel ("Bir");

% Sinyalin faz diyagramının yapısı = sıfırlar (1, Ns);

i = 1: Ns (bir (i)> 0) (i) = atan (bn (i) / bir (i)); (((i)<0)&&(bn(i))>0) (i) = atan (bn (i) / bir (i)) + pi; ((bir (i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0) (i) = pi / 2; ((an (i) == 0) && (bn (i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, ilerlemek - ");

ListeEdebiyat

1. Fikhtengolts, G.M. Diferansiyel ve integral hesabın seyri: 3 ciltte, Moskova, 1997.3 cilt.

Vodnev, V.T., Naumovich, A.F., Naumovich, N.F., Temel matematiksel formüller. Minsk, 1998

Kharkevich A.A. Spektrumları ve Analizi. Moskova, 1958

Lazarev, Yu. F., MatLAB ortamında programlamanın başlangıcı. Kiev 2003.

Demidovich, B.P. Matematiksel analizde problemlerin toplanması ve alıştırmalar, M., 1988.

Çoğu durumda, sinyal spektrumunu elde etme (hesaplama) görevi aşağıdaki gibidir. Örnekleme oranı Fd ile T süresi boyunca girişine gelen sürekli bir sinyali dijital numunelere - N adete dönüştüren bir ADC vardır. Ayrıca, numune dizisi, bazı sayısal değerlerin N / 2'sini veren belirli bir programa beslenir (bir programcı internetten çekildi bir program yazdı, Fourier dönüşümünü yaptığını iddia ediyor).

Programın doğru çalışıp çalışmadığını kontrol etmek için iki sinüsoid sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) toplamı şeklinde bir örnek dizisi oluşturalım ve programın içine kaydıralım. . Program şunları çizdi:

Şekil 1 Sinyalin zaman fonksiyonunun grafiği

Şekil 2 Sinyal spektrum grafiği

Spektrum grafiği, 0,5 V ve 10 Hz genliğe sahip 5 Hz'lik iki çubuğa (harmonik) sahiptir - 1 V genliğe sahip, her şey orijinal sinyalin formülündeki gibidir. Her şey yolunda, aferin programcı! Program düzgün çalışıyor.

Bu, iki sinüzoid karışımından ADC girişine gerçek bir sinyal beslersek, iki harmonikten oluşan benzer bir spektrum elde edeceğimiz anlamına gelir.

toplam, bizim gerçekölçülen sinyal, 5 saniye süren, sayısallaştırılmış ADC, yani sunulan ayrık sayar, vardır ayrık periyodik olmayan spektrum.

Matematiksel bir bakış açısından, bu ifadede kaç tane hata var?

Şimdi patronlar 5 saniyenin çok uzun olduğuna karar verdiğimize karar verdi, hadi sinyali 0,5 saniyede ölçelim.



Şekil 3 0,5 saniyelik bir ölçüm süresinde sin (10 * 2 * pi * x) + 0,5 * sin (5 * 2 * pi * x) fonksiyonunun grafiği

Şekil 4 Fonksiyon spektrumu

Bir şeyler yanlış gibi görünüyor! 10 Hz'lik harmonik normal olarak çizilir ve 5 Hz'lik çubuk yerine anlaşılmaz bazı harmonikler ortaya çıktı. İnternete bakıyoruz, ne ve nasıl ...

Numunenin sonuna sıfırların eklenmesi gerektiğini ve spektrumun normal çizileceğini söylüyorlar.

Şekil 5 Sıfırları 5 saniyeye kadar bitirdik

Şekil 6 Spektrum alındı

Hala 5 saniyedeki gibi değil. Teoriyle uğraşmamız gerekecek. git Vikipedi- bilgi kaynağı.

2. Sürekli fonksiyon ve Fourier serisi ile temsili

Matematiksel olarak, T saniye süreli sinyalimiz (0, T) aralığında tanımlanan bir f (x) fonksiyonudur (bu durumda X, zamandır). Böyle bir fonksiyon her zaman şu şekildeki harmonik fonksiyonların (sinüzoidler veya kosinüsler) toplamı olarak temsil edilebilir:

(1), burada:

K - trigonometrik fonksiyon sayısı (harmonik bileşen sayısı, harmonik sayısı)
T - fonksiyonun tanımlandığı segment (sinyal süresi)
Ak, kth harmonik bileşenin genliğidir,
θk, kth harmonik bileşeninin başlangıç ​​aşamasıdır.

"Bir işlevi bir dizinin toplamı olarak temsil etmek" ne anlama gelir? Bu, Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin değerlerini her noktada ekleyerek, bu noktada fonksiyonumuzun değerini elde ettiğimiz anlamına gelir.

(Daha kesin olarak, serinin f(x) fonksiyonundan karekök-ortalama sapması sıfır olma eğiliminde olacaktır, ancak ortalama karekök yakınsamasına rağmen, fonksiyonun Fourier serisi, genel olarak konuşursak, ona noktasal olarak yaklaşın. Bkz. https://ru.wikipedia.org/ wiki / Fourier_Row.)

Bu seri şu şekilde de yazılabilir:

(2),
nerede, k-inci karmaşık genlik.

(1) ve (3) katsayıları arasındaki ilişki aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

Fourier serisinin tüm bu üç gösteriminin tamamen eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bazen Fourier serileri ile çalışırken sinüsler ve kosinüsler yerine hayali argümanın üslerini kullanmak, yani Fourier dönüşümünü karmaşık biçimde kullanmak daha uygundur. Ancak, Fourier serisinin karşılık gelen genlikler ve fazlar ile kosinüs dalgalarının bir toplamı olarak sunulduğu (1) formülünü kullanmak bizim için uygundur. Her durumda, gerçek bir sinyalin Fourier dönüşümünün sonucunun harmoniklerin karmaşık genlikleri olacağını söylemek yanlış olur. Wiki'nin doğru bir şekilde söylediği gibi, "Fourier dönüşümü (ℱ), bir işlevi gerçek bir değişkene başka bir işleve, aynı zamanda gerçek bir değişkene atayan bir işlemdir."

Toplam:
Sinyallerin spektral analizinin matematiksel temeli Fourier dönüşümüdür.

Fourier dönüşümü, segmentte (0, T) tanımlanan sürekli f (x) (sinyal) fonksiyonunu, belirli değerlerle sonsuz sayıda (sonsuz seri) trigonometrik fonksiyonların (sinüzoidler ve \ veya kosinüsler) toplamı olarak temsil etmenizi sağlar. (0, T) segmentinde de dikkate alınan genlikler ve fazlar. Böyle bir seriye Fourier serisi denir.

Fourier dönüşümünün sinyal analizine doğru uygulanması için anlaşılması gereken bazı noktalara daha değinelim. Fourier serisini (sinüzoidlerin toplamı) tüm X ekseni üzerinde düşünürsek, o zaman (0, T) segmentinin dışında Fourier serisi tarafından temsil edilen fonksiyonun periyodik olarak fonksiyonumuzu tekrarlayacağını görebiliriz.

Örneğin, Şekil 7'deki grafikte, orijinal fonksiyon (-T \ 2, + T \ 2) segmentinde tanımlanmıştır ve Fourier serisi, tüm x ekseni üzerinde tanımlanan periyodik bir fonksiyonu temsil eder.

Bunun nedeni, sinüzoidlerin kendilerinin periyodik fonksiyonlar olmaları ve buna göre toplamlarının periyodik bir fonksiyon olmasıdır.

Şekil 7 Periyodik olmayan bir orijinal fonksiyonun Fourier serisi ile temsili

Böylece:

Orijinal fonksiyonumuz süreklidir, periyodik değildir ve T uzunluğundaki bazı segmentlerde tanımlanmıştır.
Bu fonksiyonun spektrumu ayrıktır, yani sonsuz bir harmonik bileşen serisi - Fourier serisi şeklinde sunulur.
Aslında, Fourier serisi (0, T) segmentinde bizimkiyle örtüşen belirli bir periyodik fonksiyonu tanımlar, ancak bizim için bu periyodiklik esas değildir.

Harmonik bileşenlerin periyotları, orijinal f (x) fonksiyonunun tanımlandığı segment (0, T) değerinin katlarıdır. Başka bir deyişle, harmoniklerin periyotları, sinyal ölçüm süresinin katlarıdır. Örneğin, Fourier serisinin birinci harmoniğinin periyodu, f(x) fonksiyonunun tanımlandığı T aralığına eşittir. Fourier serisinin ikinci harmoniğinin periyodu T / 2 aralığına eşittir. Ve böyle devam eder (bkz. şek. 8).

Şekil 8 Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin periyotları (frekansları) (burada T = 2π)

Buna göre harmonik bileşenlerin frekansları 1/T'nin katlarıdır. Yani, Fk harmonik bileşenlerinin frekansları Fk = k \ T'ye eşittir, burada k 0 ile ∞ arasında değişir, örneğin k = 0 F0 = 0; k = 1 F1 = 1 \ T; k = 2 F2 = 2 \ T; k = 3 F3 = 3 \ T; ... Fk = k \ T (sıfır frekansta - sabit bileşen).

Orijinal fonksiyonumuz T = 1 sn için kaydedilmiş bir sinyal olsun. O zaman ilk harmoniğin periyodu T1 = T = 1 sn sinyalimizin süresine eşit olacak ve harmoniğin frekansı 1 Hz olacaktır. İkinci harmonik periyot, sinyal süresinin 2'ye bölünmesine (T2 = T / 2 = 0,5 sn) eşit olacaktır ve frekans 2 Hz'dir. Üçüncü harmonik için T3 = T / 3 sn ve frekans 3 Hz'dir. Vesaire.

Bu durumda harmonikler arasındaki adım 1 Hz'dir.

Böylece, 1 saniye süreli bir sinyal, 1 Hz frekans çözünürlüğü ile harmonik bileşenlere (bir spektrum elde etmek için) ayrıştırılabilir.
Çözünürlüğü 2 kat 0,5 Hz'e çıkarmak için ölçüm süresini 2 kat - 2 saniyeye kadar artırmak gerekir. 10 saniyelik bir sinyal, 0.1 Hz frekans çözünürlüğü ile harmonik bileşenlere (bir spektrum elde etmek için) ayrıştırılabilir. Frekans çözünürlüğünü arttırmanın başka bir yolu yoktur.

Örnek diziye sıfır ekleyerek sinyal süresini yapay olarak artırmanın bir yolu vardır. Ancak gerçek frekans çözünürlüğünü artırmaz.

3. Ayrık sinyaller ve ayrık Fourier dönüşümü

Dijital teknolojinin gelişmesiyle birlikte ölçüm verilerinin (sinyallerin) saklanması yöntemleri de değişti. Daha önce sinyal bir teyp kaydediciye kaydedilebiliyor ve analog biçimde teybe kaydedilebiliyorsa, şimdi sinyaller sayısallaştırılır ve bilgisayarın belleğindeki dosyalarda bir dizi sayı (sayı) olarak saklanır.

Bir sinyali ölçmek ve sayısallaştırmak için tipik bir şema aşağıdaki gibidir.

Şekil 9 Ölçüm kanalının şeması

Ölçüm dönüştürücüsünden gelen sinyal, T süresi boyunca ADC'ye gelir. T süresi boyunca elde edilen sinyalin (örnek) örnekleri bilgisayara aktarılır ve bellekte saklanır.

Şekil 10 Sayısallaştırılmış sinyal - T süresi boyunca elde edilen N numune

Sinyal sayısallaştırma parametreleri için gereksinimler nelerdir? Giriş analog sinyalini ayrı bir koda (dijital sinyal) dönüştüren bir cihaza analogdan dijitale dönüştürücü (ADC) (Wiki) denir.

ADC'nin ana parametrelerinden biri, maksimum örnekleme hızıdır (veya örnekleme hızı, İngiliz örnekleme hızı) - örnekleme sırasında sürekli bir sinyalin örnekleme hızı. Hertz cinsinden ölçülür. ((Wiki))

Kotelnikov teoremine göre, eğer sürekli bir sinyal Fmax frekansı ile sınırlı bir spektruma sahipse, zaman aralıklarında alınan ayrık örneklerinden tamamen ve açık bir şekilde yeniden oluşturulabilir. , yani Fd ≥ 2 * Fmax frekansıyla, burada Fd örnekleme frekansıdır; Fmax, sinyal spektrumunun maksimum frekansıdır. Yani sinyal örnekleme frekansı (ADC örnekleme frekansı), ölçmek istediğimiz sinyalin maksimum frekansının en az 2 katı olmalıdır.

Kotelnikov teoreminin gerektirdiğinden daha düşük frekanslı örnekler alırsak ne olur?

Bu durumda, sayısallaştırmadan sonra yüksek frekanslı bir sinyalin aslında var olmayan düşük frekanslı bir sinyale dönüştüğü "aliasing" (diğer bir deyişle stroboskopik etki, moiré etkisi) etkisi meydana gelir. İncirde. 11 yüksek frekanslı kırmızı sinüs dalgası gerçek bir sinyaldir. Daha düşük bir frekansın mavi sinüzoidi, örnekleme süresi boyunca yüksek frekanslı sinyalin yarısından fazlasını geçmeyi başarması nedeniyle ortaya çıkan sahte bir sinyaldir.

Pirinç. 11. Yetersiz yüksek örnekleme hızı ile düşük frekanslı yanlış bir sinyalin görünümü

Örtüşme etkisinden kaçınmak için, ADC'nin önüne özel bir örtüşme önleyici filtre takılır - düşük geçişli bir filtre (düşük geçişli filtre), bu ADC'nin örnekleme frekansının yarısının altındaki frekansları geçirir ve daha yüksek frekansları keser.

Ayrık örneklerinden sinyalin spektrumunu hesaplamak için ayrık Fourier dönüşümü (DFT) kullanılır. Ayrık sinyalin spektrumunun "tanım gereği" Fmax frekansıyla, örnekleme frekansının Fd yarısından azıyla sınırlı olduğuna tekrar dikkat edin. Bu nedenle, ayrı bir sinyalin spektrumu, spektrumu sınırsız olabilen sürekli bir sinyalin Fourier serisinin sonsuz toplamının aksine, sonlu sayıda harmoniğin toplamı ile temsil edilebilir. Kotelnikov teoremine göre, bir harmoniğin maksimum frekansı, en az iki sayıya sahip olacak şekilde olmalıdır, bu nedenle harmonik sayısı, ayrı bir sinyalin örnek sayısının yarısına eşittir. Yani, numunede N numune varsa, spektrumdaki harmonik sayısı N / 2'ye eşit olacaktır.

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünü (DFT) düşünün.

Fourier serisi ile karşılaştırma

DFT'deki zamanın kesikli olması ve harmoniklerin sayısının N / 2 ile sınırlı olması dışında, sayıların yarısı kadar çakıştıklarını görüyoruz.

DFT formülleri, boyutsuz tamsayı değişkenleri k, s olarak yazılır; burada k, sinyal örneklerinin sayılarıdır, s, spektral bileşenlerin sayılarıdır.
s değeri, T periyodundaki (sinyal ölçüm süresi) toplam harmonik salınımların sayısını gösterir. Harmoniklerin genliklerini ve fazlarını sayısal olarak bulmak için Ayrık Fourier dönüşümü kullanılır. "bilgisayarda"

Baştaki sonuçlara geri dönelim. Yukarıda bahsedildiği gibi, bir Fourier serisinde periyodik olmayan bir fonksiyonu (bizim sinyalimizi) genişletirken, ortaya çıkan Fourier serisi aslında T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyona karşılık gelir (Şekil 12).

Şekil 12 Periyodik fonksiyon f (x), T0 periyodu ile T> T0 ölçüm periyodu ile

Şekil 12'de görülebileceği gibi, f(x) fonksiyonu T0 periyodu ile periyodiktir. Ancak, T ölçüm örneğinin süresinin T0 fonksiyonunun periyodu ile çakışmaması nedeniyle Fourier serisi olarak elde edilen fonksiyon T noktasında bir süreksizliğe sahiptir. Sonuç olarak, bu fonksiyonun spektrumu çok sayıda yüksek frekanslı harmonik içerir. T ölçüm örneğinin süresi, T0 fonksiyonunun periyodu ile çakışıyorsa, o zaman Fourier dönüşümünden sonra elde edilen spektrumda, sadece ilk harmonik (örnek süresine eşit bir periyoda sahip sinüzoid) mevcut olacaktır, çünkü f (x) fonksiyonu bir sinüzoiddir.

Başka bir deyişle, DFT programı, sinyalimizin bir "sinüzoid parçası" olduğunu "bilmiyor", ancak bir sinüzoidin tek tek parçalarının tutarsızlığı nedeniyle süreksizliği olan bir seri olarak periyodik bir işlevi temsil etmeye çalışıyor.

Sonuç olarak, spektrumda, bu süreksizlik de dahil olmak üzere fonksiyonun şeklini özetlemesi gereken harmonikler ortaya çıkar.

Bu nedenle, farklı periyotlara sahip birkaç sinüzoidin toplamı olan bir sinyalin "doğru" spektrumunu elde etmek için, sinyal ölçüm periyoduna her sinüzoidin tam sayıda periyodunun uyması gereklidir. Pratikte bu koşul, yeterince uzun bir sinyal ölçüm süresi için karşılanabilir.

Şekil 13 Şanzımanın kinematik hatası sinyalinin bir fonksiyon ve spektrumu örneği

Daha kısa bir süre ile resim "daha kötü" görünecektir:

Şekil 14 Rotor titreşim sinyal fonksiyonu ve spektrum örneği

Pratikte, "gerçek bileşenlerin" nerede olduğunu ve bileşenlerin periyotlarının ve sinyal örnekleme süresinin birden fazla olmamasından veya "atlamalar ve kırılmalardan" kaynaklanan "eserlerin" nerede olduğunu anlamak zor olabilir. "dalga formunun. Elbette "gerçek bileşenler" ve "eserler" kelimeleri tırnak içinde boşuna değildir. Spektrum grafiğinde birçok harmoniğin varlığı, sinyalimizin gerçekte onlardan "olduğu" anlamına gelmez. 7 sayısının 3 ve 4 sayılarından "olduğunu" düşünmek gibidir. 7 sayısı 3 ve 4 sayılarının toplamı olarak gösterilebilir - bu doğrudur.

Yani bizim sinyalimiz ... veya daha doğrusu "sinyamiz" bile değil, sinyalimizi (örnek) tekrarlayarak oluşan periyodik bir fonksiyon, belirli genlik ve fazlar ile harmoniklerin (sinüzoidler) toplamı olarak temsil edilebilir. Ancak uygulama için önemli olan birçok durumda (yukarıdaki şekillere bakınız), spektrumda elde edilen harmonikleri döngüsel bir yapıya sahip olan ve sinyal şekline önemli katkı sağlayan gerçek süreçlerle ilişkilendirmek gerçekten mümkündür.

Bazı sonuçlar

1. Gerçek ölçülen sinyal, süre T sn, ADC tarafından sayısallaştırılır, yani bir dizi ayrık numune (N adet) ile temsil edilir, bir dizi harmonik (N / 2 adet) ile temsil edilen ayrı bir periyodik olmayan spektruma sahiptir. ).

2. Sinyal, bir dizi gerçek değerle temsil edilir ve spektrumu, bir dizi gerçek değerle temsil edilir. Harmonik frekanslar pozitiftir. Matematikçilerin, spektrumu negatif frekanslar kullanarak karmaşık bir biçimde temsil etmeyi daha uygun bulmaları, "bunun doğru olduğu" ve "bunun her zaman yapılması gerektiği" anlamına gelmez.

3. T zaman aralığında ölçülen sinyal sadece T zaman aralığında belirlenir. Sinyali ölçmeye başlamadan önce ne vardı ve bundan sonra ne olacak - bu bilim tarafından bilinmiyor. Ve bizim durumumuzda, ilginç değil. Zaman sınırlı bir sinyalin DFT'si, belirli koşullar altında bileşenlerinin genliğinin ve frekansının hesaplanmasına izin vermesi anlamında "gerçek" spektrumunu verir.

Kullanılmış malzemeler ve diğer faydalı malzemeler.

sinyal denir periyodikşekli zaman içinde döngüsel olarak tekrarlanırsa. Periyodik bir sinyal genellikle şu şekilde yazılır:

İşte sinyal periyodu. Periyodik sinyaller basit veya karmaşık olabilir.

Periyotlu periyodik sinyallerin matematiksel temsili için, bu seri, temel fonksiyonlar olarak çoklu frekansların harmonik (sinüzoidal ve kosinüs) salınımlarının seçildiği sıklıkla kullanılır:

nerede . fonksiyon dizisinin temel açısal frekansıdır. Harmonik temel fonksiyonlarla, bu seriden, en basit durumda aşağıdaki biçimde yazılabilen bir Fourier serisi elde ederiz:

katsayılar nerede

Fourier serisinden, genel durumda, periyodik bir sinyalin sabit bir bileşen ve temel frekansın bir dizi harmonik salınımları ve frekanslarla harmonikleri içerdiği görülebilir. Fourier serisinin her harmonik salınımı bir genlik ve bir başlangıç ​​fazı ile karakterize edilir.

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı ve spektrumu.

Herhangi bir sinyal, farklı frekanslara sahip harmonik salınımların toplamı olarak sunulursa, bu şu anlama gelir: spektral ayrışma sinyal.

spektral diyagram sinyal, bu sinyalin Fourier serisinin katsayılarının grafiksel bir temsilidir. Genlik ve faz diyagramları vardır. Bu diyagramları oluşturmak için, harmonik frekanslar yatay eksen boyunca belirli bir ölçekte, genlikleri ve fazları ise dikey eksen boyunca çizilir. Ayrıca, harmoniklerin genlikleri yalnızca pozitif değerler alabilir, fazlar - aralıkta hem pozitif hem de negatif değerler.

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramları:

a) - genlik; b) - faz.

sinyal spektrumu birlikte bir sinyal oluşturan belirli frekans, genlik ve başlangıç ​​faz değerlerine sahip bir dizi harmonik bileşendir. Uygulamada, spektral diyagramlara daha kısaca denir - genlik spektrumu, faz spektrumu... En büyük ilgi, genlik spektral diyagramında gösterilir. Spektrumdaki harmoniklerin yüzdesini tahmin etmek için kullanılabilir.

Spektral özellikler telekomünikasyon teknolojisinde önemli bir rol oynamaktadır. Sinyal spektrumunu bilerek, amplifikatörlerin, filtrelerin, kabloların ve diğer iletişim kanalları düğümlerinin bant genişliğini doğru bir şekilde hesaplayabilir ve ayarlayabilirsiniz. Frekans bölmeli çoğullamalı çok kanallı sistemler oluşturmak için sinyal spektrumları bilgisi gereklidir. Girişim spektrumu bilgisi olmadan, onu bastırmak için önlemler almak zordur.

Bundan, iletişim kanalı üzerinden bozulmamış sinyal iletimi gerçekleştirmek, sinyal ayrımını sağlamak ve paraziti azaltmak için spektrumun bilinmesi gerektiği sonucuna varabiliriz.

Sinyallerin spektrumlarını gözlemlemek için denilen cihazlar vardır. spektrum analizörleri... Periyodik bir sinyalin spektrumunun tek tek bileşenlerinin parametrelerinin gözlemlenmesine ve ölçülmesine ve ayrıca sürekli bir sinyalin spektral yoğunluğunun ölçülmesine izin verirler.