Matrices equivalentes. Resolver sistemas arbitrarios de ecuaciones lineales Transformaciones elementales de sistemas

Transición a una nueva base.

Sean (1) y (2) dos bases del mismo espacio lineal X de dimensión m.

Dado que (1) es una base, es posible expandir los vectores de la segunda base sobre ella:

A partir de los coeficientes en, componimos la matriz:

(4) - transformación matricial de coordenadas en la transición de la base (1) a la base (2).

Sea un vector, luego (5) y (6).

La relación (7) significa que

La matriz P es no degenerada, ya que de lo contrario habría una relación lineal entre sus columnas y luego entre los vectores.

Lo contrario también es cierto: cualquier matriz no degenerada es una matriz de transformación de coordenadas definida por las fórmulas (8). Porque P es una matriz no degenerada, entonces hay una inversa para ella. Multiplicando ambos lados de (8) por, obtenemos: (9).

Sean 3 bases elegidas en el espacio lineal X: (10), (11), (12).

Donde, es decir (13).

Ese. con transformación secuencial de coordenadas, la matriz de la transformación resultante es igual al producto de las matrices de los componentes de la transformación.

Sea un operador lineal y un par de bases elegidas en X: (I) y (II), y en Y - (III) y (IV).

El operador A en un par de bases I - III corresponde a la igualdad: (14). El mismo operador en un par de bases II - IV corresponde a la igualdad: (15). Ese. por este operador Y tenemos dos matrices y. Queremos establecer una relación entre ellos.

Sea P la matriz de transformación de coordenadas en la transición de I a III.

Sea Q la matriz de transformación de coordenadas en la transición de II a IV.

Luego (16), (17). Sustituyendo las expresiones para y de (16) y (17) en (14), obtenemos:

Comparando esta igualdad con (15), obtenemos:

La relación (19) conecta la matriz del mismo operador en diferentes bases. En el caso de que los espacios X e Y coincidan, el papel de la base III lo desempeña I, y IV - el II, entonces la relación (19) toma la forma :.

Bibliografía:

3.Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. Parte II. Fundamentos de álgebra: un libro de texto para universidades, -M. : Literatura física y matemática, 2000, 368 p.

Conferencia número 16 (II semestre)

Tema: Una condición necesaria y suficiente para la equivalencia de matrices.

Dos matrices, A y B, el mismo tamaño son llamados equivalente si hay dos matrices no degeneradas R y S tales que (1).

Ejemplo: Dos matrices correspondientes al mismo operador para diferentes elecciones de bases en los espacios lineales X e Y son equivalentes.

Está claro que la relación definida en el conjunto de todas las matrices del mismo tamaño utilizando la definición anterior es una relación de equivalencia.

Teorema 8: Para que dos matrices rectangulares del mismo tamaño sean equivalentes, es necesario y suficiente que sean del mismo rango.

Prueba:

1. Sean A y B dos matrices para las que tiene sentido. El rango del producto (matriz C) no es superior al rango de cada uno de los factores.

Vemos que la k-ésima columna de la matriz C es una combinación lineal de los vectores de las columnas de la matriz A y esto es cierto para todas las columnas de la matriz C, es decir para todos. Ese. , es decir. - subespacio del espacio lineal.

Dado que y dado que la dimensión del subespacio es menor o igual que la dimensión del espacio, el rango de la matriz C es menor o igual que el rango de la matriz A.

Fijemos el índice i en igualdades (2) y asignemos todos los valores posibles a k desde 1 as. Entonces obtenemos un sistema de igualdades similar al sistema (3):

De las igualdades (4) se ve que i-ésima línea de la matriz C es una combinación lineal de filas de la matriz B para todo i, y luego el casco lineal atravesado por las filas de la matriz C está contenido en el casco lineal atravesado por las filas de la matriz B, y luego la dimensión de este casco lineal es menor o igual que la dimensión del casco lineal de los vectores de filas de la matriz B, por lo tanto, el rango de la matriz C es menor o igual que el rango de la matriz B.

2. El rango del producto de la matriz A a la izquierda y a la derecha por una matriz cuadrada no degenerada Q es igual al rango de la matriz A. (). Aquellos. el rango de la matriz C es igual al rango de la matriz A.

Prueba: Según lo probado en el caso (1). Dado que la matriz Q no es degenerada, entonces para ella existe: y de acuerdo con lo que se demostró en el enunciado anterior.

3. Demostremos que si las matrices son equivalentes, entonces tienen los mismos rangos. Por definición, A y B son equivalentes si hay R y S tales que. Dado que multiplicar A a la izquierda por R y a la derecha por S produce matrices del mismo rango, como se demostró en el ítem (2), el rango de A es igual al rango de B.

4. Sean las matrices A y B del mismo rango. Demostremos que son equivalentes. Considerar.

Sean X e Y dos espacios lineales en los que se eligen las bases (base X) y (base Y). Como se sabe, cualquier matriz de la forma define algún operador lineal que actúa de X a Y.

Dado que r es el rango de la matriz A, existen exactamente r vectores linealmente independientes entre los vectores. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que los primeros r vectores son linealmente independientes. Luego, todos los demás se expresan linealmente a través de ellos, y puede escribir:

Definimos una nueva base en el espacio X de la siguiente manera :. (7)

La nueva base en el espacio Y es la siguiente:

Los vectores, por condición, son linealmente independientes. Complementémoslos con algunos vectores hasta la base Y: (8). Entonces (7) y (8) son dos nuevas bases X e Y. Encontremos la matriz del operador A en estas bases:

Entonces, en el nuevo par de bases, la matriz del operador A es la matriz J. La matriz A era originalmente una matriz rectangular arbitraria de la forma, rango r. Dado que las matrices del mismo operador en diferentes bases son equivalentes, esto muestra que cualquier matriz rectangular de la forma de rango r es equivalente a J. Dado que estamos tratando con una relación de equivalencia, esto muestra que cualesquiera dos matrices A y B de la forma y rango r, siendo equivalentes a la matriz J son equivalentes entre sí.

Bibliografía:

1. Voevodin V.V. Álgebra lineal. San Petersburgo: Lan, 2008, 416 p.

2. Beklemishev DV Curso de geometría analítica y álgebra lineal. Moscú: Fizmatlit, 2006, 304 p.

3.Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. Parte II. Fundamentos de álgebra: un libro de texto para universidades, -M. : Literatura física y matemática, 2000, 368 p.

Conferencia número 17 (II semestre)

Tema: Autovalores y autovectores. Eigenspaces. Ejemplos.

Los conceptos de igualdad y equivalencia de matrices se encuentran a menudo.

Definición 1

La matriz $ A = \ left (a_ (ij) \ right) _ (m \ times n) $ se llama igual a la matriz $ B = \ left (b_ (ij) \ right) _ (k \ times l) $ , si sus dimensiones $ (m = k, n = l) $ coinciden y los elementos correspondientes de las matrices comparadas son iguales entre sí.

Para matrices de segundo orden escritas en vista general, la igualdad de las matrices se puede escribir de la siguiente manera:

Ejemplo 1

Matrices dadas:

1) $ A = \ left (\ begin (matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right), B = \ left (\ begin ( matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right) $;

2) $ A = \ left (\ begin (matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right), B = \ left (\ begin ( matriz) (c) (-3) \\ (2) \ end (matriz) \ derecha) $;

3) $ A = \ left (\ begin (matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right), B = \ left (\ begin ( matriz) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (matriz) \ right) $.

Determina si las matrices son iguales.

1) $ A = \ left (\ begin (matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right), B = \ left (\ begin ( matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right) $

Las matrices A y B tienen el mismo orden igual a 2 $ \ veces $ 2. Los elementos correspondientes de las matrices comparadas son iguales, por lo tanto, las matrices son iguales.

2) $ A = \ left (\ begin (matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right), B = \ left (\ begin ( matriz) (c) (-3) \\ (2) \ end (matriz) \ derecha) $

Las matrices A y B tienen órdenes diferentes, iguales a 2 $ \ veces $ 2 y 2 $ \ veces $ 1, respectivamente.

3) $ A = \ left (\ begin (matriz) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ end (matriz) \ right), B = \ left (\ begin ( matriz) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ end (matriz) \ right) $

Las matrices A y B tienen el mismo orden igual a 2 $ \ veces $ 2. Sin embargo, no todos los elementos correspondientes de las matrices comparadas son iguales, por lo tanto, las matrices no son iguales.

Definición 2

Una transformación elemental de una matriz es una transformación como resultado de la cual se conserva la equivalencia de matrices. En otras palabras, una transformación elemental no cambia el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) que representa la matriz dada.

Las transformaciones elementales de cadenas de matrices incluyen:

• multiplicar una fila de una matriz por un número distinto de cero $ k $ (el determinante de la matriz se incrementa en $ k $ veces);
• permutación de dos filas cualesquiera de la matriz;
• agregando elementos de su otra fila a los elementos de una fila de la matriz.

Lo mismo se aplica a las columnas de una matriz y se denomina transformaciones de columnas elementales.

Definición 3

Si de la matriz A mediante una transformación elemental hemos pasado a la matriz B, entonces la matriz original y la resultante se denominan equivalentes. Para indicar la equivalencia de matrices, use el signo "$ \ sim $", por ejemplo, $ A \ sim B $.

Ejemplo 2

Dada una matriz: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ end (matriz) \ right) $.

Realice transformaciones elementales de filas de matriz por turno.

Intercambiemos la primera fila y la segunda fila de la matriz A:

Multipliquemos la primera fila de la matriz B por el número 2:

Agregue la primera fila a la segunda fila de la matriz:

Definición 4

Una matriz escalonada es una matriz que satisface las siguientes condiciones:

• si hay una fila cero en la matriz, todas las filas debajo de ella también son cero;
• el primer elemento distinto de cero de cada línea distinta de cero debe estar ubicado estrictamente a la derecha del elemento pivote en la línea por encima de éste.

Ejemplo 3

Matrices $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \ end (matriz) \ right) $ y $ B = \ left (\ begin (matriz) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \ end (array) \ right) $ son matrices escalonadas.

Comentario

Es posible reducir la matriz a una forma escalonada utilizando transformaciones equivalentes.

Ejemplo 4

Dada una matriz: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ end (matriz) \ right) $. Reducir la matriz a una forma escalonada.

Intercambiemos la primera y segunda filas de la matriz A:

Multipliquemos la primera fila de la matriz B por el número 2 y sumemos a la segunda fila:

Multipliquemos la primera fila de la matriz C por el número -1 y sumemos a la tercera fila:

Multiplica la segunda fila de D por el número -2 y súmalo a la tercera fila:

$ K = \ left (\ begin (array) (ccc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \ end (array) \ right) $ es una matriz escalonada.

Matrices equivalentes

Como se mencionó anteriormente, el menor de una matriz de orden s es el determinante de la matriz formada a partir de los elementos de la matriz original ubicados en la intersección de cualquiera de las filas y columnas seleccionadas.

Definición. En una matriz de orden mn, un menor de orden r se llama básico si no es igual a cero, y todos los menores de orden r + 1 y superiores son iguales a cero, o no existen en absoluto, es decir. r coincide con el menor de m o n.

Las columnas y filas de la matriz en la que se ubica el menor básico también se denominan básicas.

La matriz puede tener varios menores básicos diferentes con el mismo orden.

Definición. El orden del menor básico de una matriz se llama rango de la matriz y se denota por Rg A.

Una propiedad muy importante de las transformaciones de matrices elementales es que no cambian el rango de la matriz.

Definición. Las matrices obtenidas como resultado de una transformación elemental se denominan equivalentes.

Cabe señalar que las matrices iguales y las matrices equivalentes son conceptos completamente diferentes.

Teorema. El mayor número de columnas linealmente independientes en una matriz es igual al número de filas linealmente independientes.

Porque Las transformaciones elementales no cambian el rango de la matriz, entonces el proceso de encontrar el rango de la matriz se puede simplificar significativamente.

Ejemplo. Determina el rango de la matriz.

2. Ejemplo: Determine el rango de la matriz.

Si, usando transformaciones elementales, no es posible encontrar una matriz equivalente a la original, pero de menor tamaño, entonces encontrar el rango de la matriz debe comenzar con el cálculo de los menores del orden más alto posible. En el ejemplo anterior, estos son menores de orden 3. Si al menos uno de ellos no es igual a cero, entonces el rango de la matriz es igual al orden de este menor.

Teorema menor básico.

Teorema. En una matriz A arbitraria, cada columna (fila) es una combinación lineal de las columnas (filas) en las que se encuentra la base menor.

Entonces el rango matriz arbitraria A es igual al número máximo de filas (columnas) linealmente independientes en la matriz.

Si A es una matriz cuadrada y det A = 0, entonces al menos una de las columnas es una combinación lineal de las otras columnas. Lo mismo ocurre con las cadenas. Esta afirmación se deriva de la propiedad de la dependencia lineal con el determinante igual a cero.

Resolver sistemas arbitrarios de ecuaciones lineales

Como se mencionó anteriormente, el método matricial y el método de Cramer son aplicables solo a aquellos sistemas de ecuaciones lineales en los que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. A continuación, considere sistemas arbitrarios de ecuaciones lineales.

Definición. El sistema de m ecuaciones con n incógnitas generalmente se escribe de la siguiente manera:

donde aij son coeficientes y bi son constantes. Las soluciones del sistema son n números que, cuando se sustituyen en el sistema, convierten cada una de sus ecuaciones en una identidad.

Definición. Si un sistema tiene al menos una solución, entonces se llama conjunto. Si el sistema no tiene una única solución, entonces se llama inconsistente.

Definición. Un sistema se llama definido si tiene solo una solución e indefinido si tiene más de una.

Definición. Para un sistema de ecuaciones lineales, la matriz

A = se llama matriz del sistema, y ​​la matriz

A * = llamada matriz extendida del sistema

Definición. Si b1, b2,…, bm = 0, entonces el sistema se llama homogéneo. un sistema homogéneo es siempre compatible, ya que siempre tiene una solución cero.

Transformaciones de sistemas elementales

Las transformaciones elementales incluyen:

1) Sumando a ambos lados de una ecuación las partes correspondientes de la otra, multiplicado por el mismo número, distinto de cero.

2) Permutación de ecuaciones en lugares.

3) Eliminación del sistema de ecuaciones que son identidades para todo x.

El teorema de Kronecker-Capeli (condición de compatibilidad del sistema).

(Leopold Kronecker (1823-1891) matemático alemán)

Teorema: Un sistema es consistente (tiene al menos una solución) si y solo si el rango de la matriz del sistema es igual al rango de la matriz extendida.

Es obvio que el sistema (1) se puede escribir como.

Nuestro objetivo inmediato es demostrar que cualquier matriz se puede reducir a algunas formas estándar mediante transformaciones elementales. El lenguaje de matrices equivalentes es útil en este camino.

Permitir. Diremos que la matriz l_equivalente (n_equivalente o equivalente) a la matriz y denotaremos (o) si la matriz se puede obtener de la matriz utilizando un número finito de transformaciones elementales de fila (respectivamente, en columnas o en filas y en columnas). Está claro que las matrices n_equivalentes y n_equivalentes son equivalentes.

Primero, mostraremos que cualquier matriz solo puede reducirse mediante transformaciones de fila a una forma especial llamada reducida.

Permitir. Dicen que una fila distinta de cero de esta matriz tiene una forma reducida si contiene un elemento igual a 1 que todos los elementos de la columna, distintos de, son iguales a cero. El elemento de línea única marcado se denominará el elemento principal de esta línea y se incluirá en un círculo. En otras palabras, una fila de una matriz tiene una forma reducida si esta matriz contiene una columna de la forma

Por ejemplo, en la siguiente matriz

la línea tiene la forma reducida, ya que. Tenga en cuenta que en este ejemplo, el elemento también afirma ser el pivote de la fila. En lo que sigue, si hay varios elementos en la línea del tipo dado que tienen las propiedades del principal, seleccionaremos solo uno de ellos de manera arbitraria.

Se dice que una matriz tiene una forma reducida si cada una de sus filas distintas de cero tiene una forma reducida. Por ejemplo, la matriz

tiene la forma reducida.

Proposición 1.3 Para cualquier matriz, existe una matriz l_equivalente de forma reducida.

De hecho, si la matriz tiene la forma (1.1) y, luego de realizar transformaciones elementales en ella

obtenemos la matriz

en que la línea tiene la forma reducida.

En segundo lugar, si se redujo la fila de la matriz, luego de realizar las transformaciones elementales (1.20), la fila de la matriz se reducirá. De hecho, desde el dado, hay una columna tal que

pero luego y, en consecuencia, después de realizar las transformaciones (1.20), la columna no cambia, es decir ... Por tanto, la línea tiene la forma reducida.

Ahora está claro que al transformar alternativamente cada fila distinta de cero de la matriz de la manera anterior, después de un número finito de pasos, obtenemos una matriz de forma reducida. Dado que solo se usaron transformaciones elementales de fila para obtener la matriz, es l_equivalente a la matriz. >

Ejemplo 7. Construya una matriz de forma reducida, l_equivalente a la matriz