Harmoniczne Fouriera. Szereg Fouriera

Fourier i Hartley przekształcają funkcje czasu w funkcje częstotliwości, zawierające informacje o amplitudzie i fazie. Poniżej znajdują się wykresy funkcji ciągłej sol(t) i dyskretne sol(τ), gdzie t a τ to czasy.

Obie funkcje zaczynają się od zera, gwałtownie osiągają wartość dodatnią i maleją wykładniczo. Z definicji transformata Fouriera dla funkcji ciągłej jest całką po całej rzeczywistej osi, fa(fa), a dla funkcji dyskretnej - suma po skończonym zbiorze próbek, fa(ν):

gdzie fa, ν - wartości częstotliwości, n Jest liczbą próbkowanych wartości funkcji, a ja\u003d √ –1 - jednostka urojona. Reprezentacja całkowa jest bardziej odpowiednia do badań teoretycznych, a reprezentacja sumy skończonej jest bardziej odpowiednia do obliczeń komputerowych. Całkowe i dyskretne transformaty Hartleya są definiowane w podobny sposób:

Chociaż jedyną różnicą w zapisie między definicjami Fouriera i Hartleya jest obecność czynnika przed sinusem, fakt, że transformata Fouriera ma zarówno część rzeczywistą, jak i urojoną, sprawia, że \u200b\u200breprezentacje tych dwóch transformacji są zupełnie inne. Dyskretne transformacje Fourier i Hartley mają zasadniczo tę samą postać, co ich ciągłe odpowiedniki.

Chociaż wykresy wyglądają inaczej, te same informacje o amplitudzie i fazie można uzyskać z transformacji Fouriera i Hartleya, jak pokazano poniżej.

Amplituda Fouriera jest określona przez pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów części rzeczywistej i urojonej. Amplituda Hartleya jest określona przez pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów H.(–Ν) i H.(ν). Faza Fouriera jest określona przez arcus tangens części urojonej podzielony przez część rzeczywistą, a faza Hartleya jest określona przez sumę 45 ° i arcus tangens H.(–Ν) podzielone przez H.(ν).

Rozkład okresowych funkcji niesinusoidalnych

Ogólne definicje

Część 1. Teoria obwodów liniowych (ciąg dalszy)

INŻYNIERIA ELEKTRYCZNA

PODSTAWY TEORETYCZNE

Instruktaż dla studentów kierunków elektroenergetycznych

T. Obwody elektryczne okresowego prądu niesinusoidalnego

Jak wiadomo, w elektroenergetyce jako standardową postać prądów i napięć przyjmuje się postać sinusoidalną. Jednak w rzeczywistych warunkach kształty krzywych prądów i napięć mogą w pewnym stopniu różnić się od sinusoidalnych. Zniekształcenia krzywych tych funkcji w odbiornikach prowadzą do dodatkowych strat energii i spadku ich sprawności. Sinusoidalny kształt krzywej napięcia generatora jest jednym ze wskaźników jakości energii elektrycznej jako towaru.

Możliwe są następujące przyczyny zniekształcenia kształtu krzywych prądów i napięć w złożonym obwodzie:

1) obecność w obwodzie elektrycznym elementów nieliniowych, których parametry zależą od chwilowych wartości prądu i napięcia [ R, L, C \u003d f(u, ja)] (na przykład prostowniki, spawarki elektryczne itp.);

2) obecność w obwodzie elektrycznym elementów parametrycznych, których parametry zmieniają się w czasie [ R, L, C \u003d f(t)];

3) źródło energii elektrycznej (generator trójfazowy) ze względu na cechy konstrukcyjne nie może zapewnić idealnego sinusoidalnego napięcia wyjściowego;

4) wpływ powyższych czynników na kompleks.

Obwody nieliniowe i parametryczne są omawiane w oddzielnych rozdziałach kursu TOE. W tym rozdziale przeanalizowano zachowanie liniowych obwodów elektrycznych poddanych działaniu źródeł energii o niesinusoidalnym kształcie krzywej.

Z kursu matematyki wiadomo, że dowolna okresowa funkcja czasu fa(t) spełniające warunki Dirichleta można przedstawić za pomocą harmonicznego szeregu Fouriera:

Tutaj I 0 - składowa stała, - k-ta składowa harmoniczna lub w skrócie kharmoniczna. Pierwsza harmoniczna nazywana jest podstawową, a wszystkie kolejne - najwyższą.

Amplitudy poszczególnych harmonicznych I do nie zależą od sposobu dekompozycji funkcji fa(t) w szeregu Fouriera, podczas gdy początkowe fazy poszczególnych harmonicznych zależą od wyboru początku (początku) czasu.

Poszczególne harmoniczne szeregu Fouriera można przedstawić jako sumę składowych sinus i cosinus:

Wtedy cały szereg Fouriera przybierze postać:

Zależności między współczynnikami obu postaci szeregu Fouriera są następujące:

Jeśli k-ta harmoniczna oraz jej składowe sinus i cosinus zastępujemy liczbami zespolonymi, wtedy zależność między współczynnikami szeregu Fouriera można przedstawić w postaci złożonej:

Jeżeli okresowa niesinusoidalna funkcja czasu jest dana (lub może być wyrażona) analitycznie w postaci równania matematycznego, to współczynniki szeregu Fouriera wyznaczają wzory znane z matematyki:

W praktyce badana funkcja niesinusoidalna fa(t) zwykle przyjmuje postać diagramu graficznego (graficznie) (ryc. 118) lub w postaci tabeli współrzędnych punktów (tabelaryczna) w przedziale jednego okresu (tab.1). Aby przeprowadzić analizę harmoniczną takiej funkcji przy użyciu powyższych równań, należy ją najpierw zastąpić wyrażeniem matematycznym. Zastąpienie funkcji podanej w formie graficznej lub tabelarycznej równaniem matematycznym nazywa się przybliżeniem funkcji.

Strona główna\u003e Prawo

OBWODY PRĄDU BEZINUSOIDALNEGO

Do tej pory badaliśmy obwody prądu sinusoidalnego, jednak prawo zmiany prądu w czasie może różnić się od sinusoidalnego. W takim przypadku występują niesinusoidalne obwody prądowe. Wszystkie prądy niesinusoidalne są podzielone na trzy grupy: okresowe, tj. mając okres T (Rysunek 6.1, a), nieokresowy (Rysunek 6.1, b) i prawie okresowy, z okresowo zmieniającą się obwiednią ( T o) i okres impulsowania ( T i) (Rysunek 6.1, c). Istnieją trzy sposoby uzyskiwania prądów niesinusoidalnych: a) niesinusoidalne pole elektromagnetyczne działa w obwodzie; b) w obwodzie działa sinusoidalna siła elektromagnetyczna, ale jeden lub więcej elementów obwodu jest nieliniowych; c) w obwodzie działa sinusoidalna siła elektromagnetyczna, ale parametry jednego lub większej liczby elementów obwodu zmieniają się okresowo w czasie. W praktyce najczęściej stosowana jest metoda b). Najbardziej rozpowszechnione prądy niesinusoidalne występują w inżynierii radiowej, automatyzacji, telemechanice i technologii komputerowej, gdzie często spotyka się impulsy o najróżniejszych kształtach. Prądy niesinusoidalne występują również w elektroenergetyce. Rozważymy tylko okresowe niesinusoidalne napięcia i prądy, które można rozłożyć na składowe harmoniczne.

Rozkład okresowych krzywych niesinusoidalnych w trygonometrycznych szeregach Fouriera

Zjawiska zachodzące w obwodach liniowych przy okresowych niesinusoidalnych napięciach i prądach są najłatwiejsze do obliczenia i zbadania, jeśli krzywe niesinusoidalne są ułożone w szereg trygonometryczny Fouriera. Z matematyki wiadomo, że funkcja okresowa f (ωt)spełniające warunki Dirichleta, tj. mając w dowolnym skończonym przedziale czasu skończoną liczbę nieciągłości tylko pierwszego rodzaju oraz skończoną liczbę maksimów i minimów, można rozszerzyć do trygonometrycznego szeregu Fouriera

f (ωt) \u003d A o +
sinωt +
sin2ωt +
sin3ωt + +
cosωt +
cos2ωt +
cos3ωt + \u003d

ZA o +
.

Tutaj: ZA o - składowa stała lub zerowa harmoniczna;
- amplituda składowej sinusoidalnej kharmoniczne;
- amplituda cosinusa kharmoniczna. Określają je następujące wzory

Skąd, jak wynika ze schematu wektorowego (rysunek 6.2), otrzymujemy

.

Terminy zawarte w tym wyrażeniu nazywane są harmonicznymi. Rozróżnij parzyste ( k - parzyste) i nieparzyste harmoniczne. Pierwsza harmoniczna nazywana jest podstawową, a pozostałe - najwyższą. Ostatnia forma szeregu Fouriera jest wygodna, gdy trzeba znać procent każdej harmonicznej. Ta sama postać szeregu Fouriera jest używana do obliczania niesinusoidalnych obwodów prądowych. Chociaż teoretycznie szereg Fouriera zawiera nieskończenie dużą liczbę terminów, zwykle szybko się zbiegają. a zbieżny szereg może wyrazić daną funkcję z dowolnym stopniem dokładności. W praktyce wystarczy wziąć niewielką liczbę harmonicznych (3-5), aby uzyskać kilkuprocentową dokładność obliczeń.

Cechy rozwinięcia krzywych szeregu Fouriera z symetrią

1. Krzywe, których średnia wartość w okresie jest równa zero, nie zawierają składowej stałej (zerowej harmonicznej). 2
f (ωt) \u003d - f (ωt + π), wtedy nazywa się to symetrycznym względem osi odciętych. Ten typ symetrii można łatwo określić na podstawie kształtu krzywej: jeśli przesuniesz ją o pół okresu wzdłuż osi odciętych, odbijesz ją i jednocześnie połączy się z oryginalną krzywą (rysunek 6.3), to symetria. Gdy taka krzywa jest rozszerzana w szeregu Fouriera, ten ostatni nie ma stałej składowej i wszystkich parzystych harmonicznych, ponieważ nie spełniają warunku f (ωt) \u003d - f (ωt + π).

f (ωt) \u003d sin (ωt + ψ 1 ) + sin (3ωt + ψ 3 )+
sin (5ωt + ψ 5 )+···.

3
... Jeśli funkcja spełnia warunek f (ωt) \u003d f (-ωt), wtedy nazywa się to symetrycznym względem rzędnej (parzystej). Ten typ symetrii jest łatwy do określenia na podstawie kształtu krzywej: jeśli krzywa leżąca na lewo od rzędnej jest lustrzana i łączy się z pierwotną krzywą, wówczas występuje symetria (rysunek 6.4). Kiedy taka krzywa jest rozszerzana w szereg Fouriera, ten ostatni będzie pozbawiony składowych sinusowych wszystkich harmonicznych ( = f (ωt) \u003d f (-ωt).Dlatego dla takich krzywych

f (ωt) \u003d A o +
cosωt +
cos2ωt +
cos3ωt + ...

4
... Jeśli funkcja spełnia warunek f (ωt) \u003d - f (-ωt), wtedy nazywa się to symetrycznym względem pochodzenia (nieparzyste). Obecność tego typu symetrii można łatwo określić na podstawie kształtu krzywej: jeśli krzywa leżąca na lewo od osi rzędnych jest obrócona względem zwrotnica początek i łączy się z oryginalną krzywą, a następnie pojawia się symetria (rysunek 6.5). Kiedy taka krzywa jest rozszerzana w szereg Fouriera, ten ostatni będzie pozbawiony składników cosinusowych wszystkich harmonicznych (
= 0), ponieważ nie spełniają warunku f (ωt) \u003d - f (-ωt).Dlatego dla takich krzywych

f (ωt) \u003d
sinωt +
sin2ωt +
sin3ωt +

Jeśli we wzorach na i możesz wziąć całkę za pół okresu, ale podwoić wynik, tj. używaj wyrażeń

Istnieje jednocześnie kilka typów symetrii w krzywych. Aby ułatwić pytanie o składowe harmoniczne w tym przypadku, wypełnij tabelę

Typ symetrii	Wyrażenie analityczne
1. Osie odciętych	f (ωt) \u003d - f (ωt + π)		Tylko dziwne
2. Osie rzędnych	f (ωt) \u003d f (-ωt)
3. Pochodzenie współrzędnych	f (ωt) \u003d - f (-ωt)
4. Osie odciętych i osie rzędnych	f (ωt) \u003d - f (ωt + π) \u003d f (-ωt)			Dziwny
5. Osie odciętych i pochodzenia	f (ωt) \u003d - f (ωt + π) \u003d - f (-ωt)		Dziwny

Rozszerzając krzywą w szeregu Fouriera, należy najpierw sprawdzić, czy ma on jakąś symetrię, której obecność pozwala przewidzieć z góry, które harmoniczne będą w szeregu Fouriera i nie wykonywać zbędnej pracy.

Graficzno-analityczne rozwinięcie krzywych szeregu Fouriera

Kiedy krzywa niesinusoidalna jest dana przez wykres lub tabelę i nie ma wyrażenia analitycznego, aby określić jej harmoniczne, uciekamy się do rozkładu analitycznego grafu. Polega na zastąpieniu całki oznaczonej sumą skończonej liczby wyrazów. W tym celu okres pełnienia funkcji f (ωt)włamać się do n równe części Δ ωt \u003d2π / n(Rysunek 6.6). Następnie dla zerowej harmonicznej

gdzie: r - aktualny indeks (numer sekcji), przyjmujący wartości od 1 do n; fa r (ωt) -wartość funkcji f (ωt)w ωt \u003d pΔ ωt(patrz rysunek 6.6) . Dla amplitudy składowej sinusoidalnej k-Ta harmoniczna

Dla amplitudy składowej cosinusowej k-Ta harmoniczna

Tutaj grzech p kωt i sałata p kωt- wartości sinkωti coskωtw ωt \u003d p... W praktycznych obliczeniach zwykle jest to brane n\u003d 18 (Δ ωt \u003d20˚) lub n\u003d 24 (Δ ωt \u003dpiętnaście). W rozszerzeniu graficzno-analitycznym krzywych w szeregu Fouriera jeszcze ważniejsze niż w analitycznym jest stwierdzenie, czy ma on jakąś symetrię, której obecność znacznie zmniejsza objętość. praca komputerowa... Więc formuły dla i w obecności symetrii przyjmij formę

Podczas rysowania harmonicznych na ogólnym wykresie należy pamiętać, że skala wzdłuż osi odciętych dla k-Ta harmoniczna w krazy więcej niż za pierwszym razem.

Maksymalne, średnie i efektywne wartości wielkości niesinusoidalnych

Okresowe wartości niesinusoidalne, oprócz składowych harmonicznych, charakteryzują się wartościami maksymalnymi, średnimi i skutecznymi. Maksymalna wartość I m to największa wartość modułu funkcji w okresie (rysunek 6.7). Średnia wartość modulo jest zdefiniowana w następujący sposób

.

Jeżeli krzywa jest symetryczna względem osi odciętych i nie zmienia znaku w półokresie, wówczas wartość uśredniona w wartości bezwzględnej jest równa średniej wartości z półokresu

,

ponadto w tym przypadku należy tak wybrać pochodzenie czasu f (0)= 0. Jeżeli funkcja nigdy nie zmienia znaku przez cały okres, to jej wartość średnia w wartości bezwzględnej jest równa składowej stałej. W obwodach prądu niesinusoidalnego wartości SEM, napięć lub prądów rozumie się jako ich wartości efektywne, określone wzorem

.

Jeśli krzywa zostanie rozszerzona w szereg Fouriera, to jej efektywną wartość można określić w następujący sposób

Wyjaśnijmy, w jaki sposób uzyskuje się wynik. Iloczyn sinusoid o różnych częstotliwościach ( kω i iω) jest funkcją harmoniczną, a całka po okresie z dowolnej funkcji harmonicznej wynosi zero. Całkę pod znakiem pierwszej sumy wyznaczono w obwodach prądu sinusoidalnego i tam pokazano jej wartość. W związku z tym,

.

Z tego wyrażenia wynika, że \u200b\u200befektywna wartość okresowych wielkości niesinusoidalnych zależy tylko od efektywnych wartości jego harmonicznych i nie zależy od ich początkowych faz ψ k ... Podajmy przykład. Zostawiać u=120
grzech (314 t+ 45˚) -50sin (3 314 t-75˚) b... Jego skuteczna wartość

Zdarzają się przypadki, gdy średnią w wartości bezwzględnej i wartości efektywne wielkości niesinusoidalnych można obliczyć na podstawie całkowania analitycznego wyrażenia funkcji i wtedy nie ma potrzeby rozszerzania krzywej w szereg Fouriera. W energetyce, gdzie krzywe są przeważnie symetryczne względem osi odciętych, do scharakteryzowania ich kształtu stosuje się szereg współczynników. Trzy z nich są najczęściej używane: współczynnik szczytu k a, współczynnik kształtu k fi współczynnik zniekształcenia k i. Są zdefiniowane w następujący sposób: k a \u003d ZA m / ZA; /ZA Poślubić; k i \u003d ZA 1 /ZA. W przypadku sinusoidy mają następujące znaczenie: k a \u003d; k φ \u003d π ZA m / 2ZA m ≈1,11; 1.D dla krzywej prostokątnej (rysunek 6.8, a) współczynniki są następujące: k a \u003d 1; k f \u003d 1; k i \u003d 1,26 /. Dla krzywej o kształcie spiczastym (kolca) (rysunek 6.8, b) wartości współczynników są następujące: k a\u003e a im wyżej, tym bardziej kolczasty jest jego kształt; k f\u003e 1,11 i im wyższa, tym ostrzejsza krzywa; k i<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. Уwydaje się, że jesteśmy jednym z praktycznych zastosowań współczynnika zniekształcenia. Krzywe napięć w sieciach przemysłowych zwykle różnią się od idealnej sinusoidy. W energetyce wprowadza się pojęcie krzywej prawie sinusoidalnej. Według GOST napięcie sieci przemysłowych uważa się za prawie sinusoidalne, jeśli największa różnica między odpowiednimi rzędnymi krzywej rzeczywistej a jej pierwszą harmoniczną nie przekracza 5% amplitudy harmonicznej podstawowej (rysunek 6.9). Pomiar wartości niesinusoidalnych przyrządami różnych systemów daje różne wyniki. Elektroniczne woltomierze amplitudy mierzą wartości maksymalne. Urządzenia magnetoelektryczne reagują tylko na składową stałą mierzonych wartości. Urządzenia magnetoelektryczne z prostownikiem mierzą średnią wartość modułu. Przyrządy we wszystkich innych systemach mierzą wartości skuteczne.

Obliczanie niesinusoidalnych obwodów prądowych

Jeśli w obwodzie działa jedno lub kilka źródeł z niesinusoidalnym polem elektromagnetycznym, jego obliczenia dzieli się na trzy etapy. 1. Rozkład źródeł pola elektromagnetycznego na składowe harmoniczne. Jak to zrobić, omówiono powyżej. 2. Zastosowanie zasady superpozycji i obliczanie prądów i napięć w obwodzie z działania każdego elementu pola elektromagnetycznego z osobna. 3. Wspólne rozważenie (podsumowanie) rozwiązań uzyskanych w punkcie 2. Sumowanie składowych w postaci ogólnej jest najczęściej trudne i nie zawsze konieczne, ponieważ na podstawie składowych harmonicznych można ocenić zarówno kształt krzywej, jak i podstawowe wielkości, które ją charakteryzują. O
główna scena jest drugą. Jeśli niesinusoidalna EMF jest reprezentowana przez szereg Fouriera, wówczas takie źródło można uznać za szeregowe połączenie stałego źródła pola elektromagnetycznego i źródeł sinusoidalnego pola elektromagnetycznego o różnych częstotliwościach (ryc. 6.10). Stosując zasadę superpozycji i rozważając działanie każdego pola elektromagnetycznego osobno, można określić składowe prądów we wszystkich gałęziach obwodu. Zostawiać mi o tworzy ja o, mi 1 - ja 1 , mi 2 - ja 2 itp. Następnie rzeczywisty prąd ja=ja o + ja 1 +ja 2 +··· . Dlatego obliczenie niesinusoidalnego obwodu prądowego ogranicza się do rozwiązania jednego problemu ze stałą polem elektromagnetycznym i szeregiem problemów z sinusoidalnym polem elektromagnetycznym. Podczas rozwiązywania każdego z tych problemów należy wziąć pod uwagę, że dla różnych częstotliwości rezystancje indukcyjne i pojemnościowe nie są takie same. Reaktancja indukcyjna jest wprost proporcjonalna do częstotliwości, więc jest dla k-Te harmoniczne x Lk \u003d kωL=kx L1, czyli dla k-Ta harmoniczna, w której jest krazy więcej niż za pierwszym razem. Pojemność jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości, więc jest do k-Te harmoniczne x Сk \u003d 1 / kωС=x C1 / kczyli dla k-Ta harmoniczna, w której jest krazy mniej niż za pierwszym razem. Rezystancja czynna w zasadzie zależy również od częstotliwości ze względu na efekt powierzchniowy, jednak przy małych przekrojach przewodów i przy niskich częstotliwościach efekt powierzchniowy jest praktycznie nieobecny i można przyjąć, że rezystancja czynna jest to samo dla wszystkich harmonicznych. Jeśli napięcie niesinusoidalne jest przyłożone bezpośrednio do kondensatora, wówczas dla k-Ta harmoniczna prądu

H. im wyższa liczba harmonicznych, tym niższa rezystancja pojemności. Dlatego nawet jeśli amplituda napięcia harmonicznej wysokiego rzędu jest niewielkim ułamkiem amplitudy pierwszej harmonicznej, nadal może powodować prąd porównywalny lub wyższy od prądu podstawowego. Pod tym względem, nawet przy napięciu zbliżonym do sinusoidalnego, prąd w kondensatorze może okazać się ostro niesinusoidalny (rysunek 6.11). Z tego powodu mówi się, że pojemność podkreśla wysokie prądy harmoniczne. Jeśli napięcie niesinusoidalne jest przyłożone bezpośrednio do indukcyjności, wówczas for k-Ta harmoniczna prądu

.

Z
zwiększenie porządku harmonicznego zwiększa reaktancję indukcyjną. Dlatego w prądzie przepływającym przez indukcyjność wyższe harmoniczne są prezentowane w mniejszym stopniu niż w napięciu na jego zaciskach. Nawet przy gwałtownie niesinusoidalnym napięciu krzywa prądu w indukcyjności często zbliża się do sinusoidy (rysunek 6.12). Dlatego mówi się, że indukcyjność przybliża krzywą prądu do sinusoidy. Przy obliczaniu każdej składowej harmonicznej prądu można zastosować metodę złożoną i budować diagramy wektorowe, jednak niedopuszczalne jest sumowanie geometryczne wektorów i dodawanie kompleksów napięć lub prądów o różnych harmonicznych. Rzeczywiście, wektory przedstawiające, powiedzmy, prądy pierwszej i trzeciej harmonicznej obracają się z różnymi prędkościami (rysunek 6.13). Dlatego suma geometryczna tych wektorów podaje chwilową wartość ich sumy tylko dla ω t\u003d 0 i nie ma sensu w ogólnym przypadku.

Niesinusoidalna moc prądu

Podobnie jak w przypadku obwodów prądu sinusoidalnego, będziemy mówić o mocach pobieranych przez pasywny dwubiegunowy. Przez moc czynną rozumie się również średnią wartość mocy chwilowej w okresie

Niech napięcie i prąd na wejściu sieci z dwoma zaciskami będą reprezentowane przez szereg Fouriera

Zastąp wartości u i ja do formuły R

Wynik uzyskano biorąc pod uwagę fakt, że całka po okresie z iloczynu sinusoid o różnych częstotliwościach wynosi zero, a całkę po okresie z iloczynu sinusoid o tej samej częstotliwości wyznaczono w przekroju obwodów prądu sinusoidalnego . Zatem moc czynna prądu niesinusoidalnego jest równa sumie mocy czynnych wszystkich harmonicznych. Jest oczywiste, że R k można określić za pomocą dowolnego znanego wzoru. Analogicznie do prądu sinusoidalnego, dla prądu niesinusoidalnego, pojęcie mocy całkowitej wprowadza się jako iloczyn efektywnych wartości napięcia i prądu, tj. S \u003d UI... Nastawienie R do S nazywany jest współczynnikiem mocy i jest równy cosinusowi pewnego kąta warunkowego θ czyli sałata θ =P / S... W praktyce bardzo często napięcia i prądy niesinusoidalne zastępowane są równoważnymi sinusoidami. W takim przypadku muszą być spełnione dwa warunki: 1) efektywna wartość równoważnej sinusoidy musi być równa efektywnej wartości zastępowanej wielkości; 2) kąt między równoważnymi sinusoidami napięcia i prądu θ powinno być takie UIsałata θ byłaby równa mocy czynnej R... W związku z tym, θ jest kątem między równoważnymi sinusoidami napięcia i prądu. Zwykle wartość skuteczna sinusoid równoważnych jest zbliżona do wartości skutecznych podstawowych harmonicznych. Analogicznie do prądu sinusoidalnego dla prądu niesinusoidalnego wprowadza się pojęcie mocy biernej, definiowanej jako suma mocy biernych wszystkich harmonicznych

Dla prądu niesinusoidalnego w przeciwieństwie do prądu sinusoidalnego S 2 ≠P. 2 +Q 2. Dlatego wprowadzono tutaj pojęcie mocy zniekształcenia T, który charakteryzuje różnicę między kształtami krzywych napięcia i prądu i jest zdefiniowany jako

Wyższe harmoniczne w układach trójfazowych

W systemach trójfazowych zazwyczaj krzywe napięcia w fazach B i C dokładnie odtwarzają krzywą w fazie A, przesuniętą o jedną trzecią okresu. Więc jeśli u A \u003d f (ωt)następnie u B \u003d f (ωt-2π/ 3), i u C \u003d f (ωt +2π/ 3). Załóżmy, że napięcia fazowe są niesinusoidalne i są rozszerzane w szereg Fouriera. Następnie zastanów się k-Ta harmoniczna we wszystkich trzech fazach. Zostawiać u Ak \u003d U km sin ( kωt + ψ k), wtedy otrzymujemy u Вk \u003d U km sin ( kωt + ψ k -k2π/ 3) i u Ck \u003d U km sin ( kωt + ψ k + k2π/ 3). Porównanie tych wyrażeń dla różnych wartości kzauważamy, że dla harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech ( k=3n, n - naturalny ciąg liczb zaczynający się od 0) we wszystkich fazach napięcia w dowolnym momencie ma to samo znaczenie i kierunek, tj. tworzą układ o zerowej sekwencji. Kiedy k=3n +1 harmoniczne tworzą układ napięciowy, którego kolejność pokrywa się z sekwencją napięć rzeczywistych, tj. tworzą bezpośredni system sekwencyjny. Kiedy k=3n-1, harmoniczne tworzą układ napięciowy, którego kolejność jest odwrotna do kolejności rzeczywistych napięć, tj. tworzą system odwrotnej sekwencji. W praktyce najczęściej nie występuje zarówno składowa stała, jak i wszystkie harmoniczne parzyste, dlatego w przyszłości ograniczymy się do rozważania tylko harmonicznych nieparzystych. Wtedy najbliższa harmoniczna tworząca odwrotną sekwencję jest piątą. W silnikach elektrycznych wyrządza największe szkody, dlatego właśnie z nim walczą bezlitośnie. Rozważ cechy działania systemów trójfazowych spowodowane obecnością harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech. jeden ... Podczas łączenia uzwojeń generatora lub transformatora w trójkąt (rysunek 6.14), prądy harmoniczne, które są wielokrotnościami trzech, przepływają przez gałęzie tego ostatniego, nawet przy braku obciążenia zewnętrznego. Rzeczywiście, algebraiczna suma pola elektromagnetycznego harmonicznych podzielna przez trzy ( mi 3 , mi 6 itd.), W trójkącie ma wartość potrójną, w przeciwieństwie do innych harmonicznych, dla których suma ta jest równa zeru. Jeśli rezystancja fazowa uzwojenia dla trzeciej harmonicznej Z 3, to prąd trzeciej harmonicznej w obwodzie trójkąta będzie ja 3 =mi 3 /Z 3. Podobnie prąd szóstej harmonicznej ja 6 =mi 6 /Z 6 itp. Efektywna wartość prądu płynącego przez uzwojenia będzie wynosić
... Ponieważ rezystancje uzwojeń generatora są małe, prąd może osiągnąć duże wartości. Dlatego też, jeśli w fazie EMF występują harmoniczne będące wielokrotnością trzech, uzwojenia generatora lub transformatora nie są połączone w trójkąt. 2 ... Jeśli podłączysz uzwojenia generatora lub transformatora w otwarty trójkąt (ryc. 6.155, to na jego zaciski będzie działało napięcie, równe sumie EMF harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech, tj. u BX \u003d 3 mi 3m sin (3 ωt + ψ 3)+3mi 6m sin (6 ωt + ψ 6)+3mi 9m sin (9 ωt + ψ 9)+···. Jego skuteczna wartość

.

Otwarta trójkąt jest zwykle używana przed podłączeniem uzwojeń generatora do konwencjonalnej trójkąta, aby sprawdzić możliwość bezproblemowej realizacji tej ostatniej. 3. Napięcia sieciowe, niezależnie od schematu połączeń uzwojeń generatora lub transformatora, nie zawierają harmonicznych będących wielokrotnością trzech. Po połączeniu trójkątem, pola elektromagnetyczne fazowe zawierające harmoniczne będące wielokrotnościami trzech są kompensowane przez spadek napięcia na wewnętrznej rezystancji fazy generatora. Rzeczywiście, zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla trzeciego, na przykład harmonicznych dla obwodu na ryc. 6.14, możemy napisać U AB3 + ja 3 Z 3 =mi 3, skąd otrzymujemy U AB3 \u003d 0. Podobnie dla każdej z harmonicznych podzielnych przez trzy. Po podłączeniu do gwiazdy napięcia linii są równe różnicy odpowiedniej fazy SEM. W przypadku harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech, podczas kompilowania tych różnic, pola elektromagnetyczne fazowe są niszczone, ponieważ tworzą układ o zerowej sekwencji. Zatem składowe wszystkich harmonicznych i ich wartość skuteczna mogą być obecne w napięciach fazowych. W napięciach sieci nie występują harmoniczne będące wielokrotnością trzech, stąd ich wartość skuteczna. W związku z tym, w obecności harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech, U l / U fa<
... 4. W obwodach bez przewodu neutralnego prądy harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech, nie mogą być zamknięte, ponieważ tworzą układ o sekwencji zerowej i mogą się zamykać tylko wtedy, gdy jest obecny. W tym przypadku między punktami zerowymi odbiornika i źródła, nawet przy obciążeniu symetrycznym, pojawia się napięcie równe sumie SEM harmonicznych, które są wielokrotnościami trzech, co łatwo zweryfikować równaniem drugiego prawa Kirchhoffa, biorąc pod uwagę, że nie ma prądów tych harmonicznych. Chwilowa wartość tego napięcia u 0 1 0 =mi 3m sin (3 ωt + ψ 3)+mi 6m sin (6 ωt + ψ 6)+mi 9m sin (9 ωt + ψ 9)+···. Jego skuteczna wartość
. 5... W obwodzie gwiazda-gwiazda z przewodem neutralnym (rys. 6.16) prądy harmoniczne, które są wielokrotnościami trzech, zostaną zamknięte zgodnie z tym ostatnim, nawet w przypadku obciążenia symetrycznego, jeśli SEM fazowy zawiera wskazane harmoniczne. Biorąc pod uwagę, że harmoniczne, wielokrotności trzech, tworzą układ o zerowej sekwencji, możemy pisać

Opisy ogólne

Francuski matematyk Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) ogłosił hipotezę, która była dość śmiała jak na jego czasy. Zgodnie z tą hipotezą nie ma funkcji, której nie można rozszerzyć do szeregu trygonometrycznego. Niestety, wówczas pomysł ten nie był traktowany poważnie. I to jest naturalne. Sam Fourier nie był w stanie dostarczyć przekonujących dowodów i bardzo trudno jest intuicyjnie uwierzyć w hipotezę Fouriera. Szczególnie trudno sobie wyobrazić, że dodając proste funkcje, takie jak trygonometryczne, odtwarzane są funkcje, które są od nich zupełnie inne. Ale jeśli przyjmiemy, że hipoteza Fouriera jest poprawna, to okresowy sygnał o dowolnym kształcie można rozłożyć na sinusoidy o różnych częstotliwościach lub odwrotnie, przez odpowiednie dodanie sinusoid o różnych częstotliwościach, można zsyntetyzować sygnał o dowolnej kształt. Dlatego jeśli ta teoria jest poprawna, to jej rola w przetwarzaniu sygnału może być bardzo duża. W tym rozdziale spróbujemy najpierw zilustrować poprawność hipotezy Fouriera.

Rozważ funkcję

f (t) \u003d2sin t -grzech 2t

Proste szeregi trygonometryczne

Funkcja jest sumą funkcji trygonometrycznych, innymi słowy, jest przedstawiona jako seria trygonometryczna dwóch członów. Dodajmy jeden termin i utwórzmy nową serię trzech terminów

Dodając ponownie kilka terminów, otrzymujemy nową serię trygonometryczną dziesięciu wyrazów:

Współczynniki tego szeregu trygonometrycznego oznaczono jako b k , gdzie k - wszystkie liczby. Jeśli przyjrzysz się uważnie ostatniemu stosunkowi, zobaczysz, że współczynniki można opisać następującym wyrażeniem:

Wtedy funkcję f (t) można przedstawić następująco:

Szansa b k - są to amplitudy sinusoid o częstotliwości kątowej do.Innymi słowy, ustalają wielkość składowych częstotliwości.

Biorąc pod uwagę przypadek, w którym indeks górny dorówna się 10, tj. M \u003d10. Zwiększając wartość Mdo 100, otrzymujemy funkcję f (t).

Ta funkcja, będąc szeregiem trygonometrycznym, ma kształt podobny do sygnału piłokształtnego. I wydaje się, że hipoteza Fouriera jest całkowicie poprawna w odniesieniu do sygnałów fizycznych, z którymi mamy do czynienia. Ponadto w tym przykładzie przebieg nie jest gładki, ale zawiera punkty przerwania. A fakt, że funkcja jest powtarzalna nawet w punktach przerwania, wygląda obiecująco.

W rzeczywistości istnieje wiele zjawisk w świecie fizycznym, które można przedstawić jako sumę oscylacji o różnych częstotliwościach. Światło jest typowym przykładem takich zjawisk. Jest to suma fal elektromagnetycznych o długości od 8000 do 4000 angstremów (od czerwieni do fioletu). Ty oczywiście wiesz, że jeśli białe światło zostanie przepuszczone przez pryzmat, pojawi się spektrum siedmiu czystych kolorów. Dzieje się tak, ponieważ współczynnik załamania światła szkła, z którego wykonany jest pryzmat, zmienia się wraz z długością fali elektromagnetycznej. To tylko dowód na to, że białe światło jest sumą fal świetlnych o różnych długościach. Zatem przepuszczając światło przez pryzmat i uzyskując jego widmo, możemy analizować właściwości światła, badając kombinacje kolorów. Podobnie, rozkładając odebrany sygnał na różne składowe częstotliwościowe, możemy dowiedzieć się, jak powstał pierwotny sygnał, jaką ścieżką podążał, czy wreszcie, jakim wpływom zewnętrznym był on poddany. Krótko mówiąc, możemy uzyskać informacje wyjaśniające pochodzenie sygnału.

Ta metoda analizy nazywa się analiza spektralnalub analiza Fouriera.

Rozważmy następujący system funkcji ortonormalnych:

Funkcjonować f (t)można rozszerzyć w kategoriach tego układu funkcji na odcinku [-π, π] w następujący sposób:

Współczynniki α k,β k, jak pokazano wcześniej, można wyrazić za pomocą iloczynów skalarnych:

Ogólnie rzecz biorąc, funkcja f (t) można przedstawić w następujący sposób:

Współczynniki α 0 , α k,β k nazywa się współczynniki Fouriera,i wywoływana jest podobna reprezentacja funkcji rozszerzenie szeregu Fouriera.To się czasem nazywa ważnyekspansja w szeregu Fouriera, a współczynniki są rzeczywistymi współczynnikami Fouriera. W celu odróżnienia przedstawionej ekspansji od rozwinięcia Fouriera w postaci złożonej wprowadzono termin „rzeczywisty”.

Jak wspomniano wcześniej, dowolną funkcję można rozszerzyć w kategoriach układu funkcji ortogonalnych, nawet jeśli funkcje z tego układu nie są reprezentowane jako szereg trygonometryczny. Zwykle rozszerzenie szeregu Fouriera oznacza rozwinięcie szeregu trygonometrycznego. Jeśli współczynniki Fouriera są wyrażone w postaci α 0 , α k,β k otrzymujemy:

Ponieważ dla k \u003d 0 coskt\u003d 1, to stała a 0/2wyraża ogólny pogląd na współczynnik a kw k= 0.

W odniesieniu do (5.1) oscylacja największego okresu, reprezentowana przez sumę sałatat i grzecht jest nazywany oscylacją częstotliwości podstawowej lub pierwsza harmoniczna.Oscylacja z okresem równym połowie okresu głównego nazywana jest drugą harmoniczny.Nazywa się oscylację z okresem równym 1/3 okresu głównego trzecia harmonicznaitp. Jak widać z relacji (5.1) za 0 jest stałą reprezentującą średnią funkcji f (t)... Jeśli funkcja f (t)reprezentuje zatem sygnał elektryczny a 0reprezentuje jego stały składnik. W konsekwencji wszystkie inne współczynniki Fouriera wyrażają jego zmienne składniki.

Na ryc. 5.2 pokazuje sygnał i jego rozszerzenie w szereg Fouriera: na składową stałą i harmoniczne o różnych częstotliwościach. W dziedzinie czasu, gdzie zmienną jest czas, sygnał jest wyrażany przez funkcję f (t), aw dziedzinie częstotliwości, gdzie zmienną jest częstotliwość, sygnał jest reprezentowany przez współczynniki Fouriera (a k, b k).

Pierwsza harmoniczna to funkcja okresowa z okresem 2 π. Inne harmoniczne również mają okres, który jest wielokrotnością 2 π . Na tej podstawie, tworząc sygnał ze składowych szeregu Fouriera, w naturalny sposób otrzymujemy funkcję okresową z okresem 2 π. A jeśli tak jest, to rozszerzenie szeregu Fouriera jest, ściśle mówiąc, sposobem na przedstawienie funkcji okresowych.

Rozwińmy sygnał często spotykanego typu w szeregu Fouriera. Weźmy na przykład pod uwagę wspomnianą wcześniej krzywą piłokształtną (rys. 5.3). Sygnał tego kształtu na odcinku - π < t < π i wyraża się funkcją f ( t)= t, więc współczynniki Fouriera można wyrazić następująco:

Przykład 1.

Rozszerzenie szeregu Fouriera sygnału piłokształtnego

f (t) \u003d t,

W poprzednim rozdziale zapoznaliśmy się z innym spojrzeniem na układ oscylacyjny. Widzieliśmy, że w strunie powstają różne naturalne harmoniczne i że każdą konkretną wibrację, którą można uzyskać tylko z warunków początkowych, można uznać za kombinację kilku jednocześnie oscylujących naturalnych harmonicznych ułożonych w odpowiednich proporcjach. W przypadku struny stwierdziliśmy, że naturalne harmoniczne mają częstotliwości ω 0, 2ω 0, Зω 0, .... Dlatego najbardziej ogólny ruch struny składa się z sinusoidalnych oscylacji częstotliwości podstawowej ω 0, następnie drugiej harmonicznej 2ω 0, następnie trzeciej harmonicznej 0ω 0 itd. Podstawowa harmoniczna powtarza się w każdym okresie T 1 \u003d 2π / ω 0, druga harmoniczna - w każdym okresie T 2 \u003d 2π / 2ω 0; to się powtarza równieżi przez każdy okres T 1 \u003d 2 T. 2 , czyli po dwaokresy. Dokładnie w ten sam sposób przez cały okres T 1 trzecia harmoniczna również się powtarza. Trzy jego okresy mieszczą się w tym segmencie. I znowu rozumiemy, dlaczego uderzył strunę przez okres T 1 całkowicie powtarza kształt swojego ruchu. Tak powstaje dźwięk muzyczny.

Do tej pory rozmawialiśmy o ruchu struny. ale dźwięk,który reprezentuje ruch powietrza spowodowany ruchem struny, musi również składać się z tych samych harmonicznych, chociaż tutaj nie możemy już mówić o odpowiednich harmonicznych powietrza. W dodatku, względna siła różnych harmonicznych w powietrzu może być bardzo różna od tej w strunie, zwłaszcza jeśli struna jest „połączona” z powietrzem przez „płytę rezonansową”. Różne harmoniczne są związane z powietrzem na różne sposoby.

Jeśli dla tonu muzycznego funkcja fa(t) przedstawia ciśnienie powietrza jako funkcję czasu (powiedzmy, jak na Rys. 50.1.6), wtedy możesz się tego spodziewać fa(t) jest zapisywana jako suma szeregu prostych funkcji harmonicznych czasu (np. cos ω t) dla każdej z różnych częstotliwości harmonicznych. Jeśli okres oscylacji wynosi T,wtedy podstawowa częstotliwość kątowa będzie wynosić ω \u003d 2π / T, a kolejne harmoniczne będą wynosić 2ω, Зω itd.

Występuje tu niewielka komplikacja. Nie mamy prawa oczekiwać, że dla każdej częstotliwości początkowe fazy będą koniecznie równe sobie. Dlatego musisz użyć funkcji takich jak cos (ωt + φ) - Zamiast tego jest jednak łatwiejsze w użyciu dla każdyczęstotliwości są zarówno sinusowe, jak i cosinusowe. Odwołaj to

a ponieważ φ jest stałą, to każdyoscylacje sinusoidalne o częstotliwości ω można zapisać jako sumę wyrazów, z których jeden zawiera sin ωt, a drugi - cos ωt.

Więc dochodzimy do tego wniosku każdyfunkcja okresowa fa(t) z kropką Tmatematycznie można zapisać jako

gdzie ω \u003d 2π / T, i i i b - stałe numeryczne wskazujące, z jaką wagą każdy składnik drgań wliczany jest do całkowitej wibracji fa(t). W trosce o ogólność dodaliśmy do naszego wzoru człon o częstotliwości zerowej a 0, chociaż w przypadku tonów muzycznych jest to zwykle zero. Jest to po prostu zmiana średniego ciśnienia akustycznego (tj. Przesunięcie „zerowe”). Z tym terminem nasza formuła jest poprawna dla każdego przypadku. Równanie (50.2) pokazano schematycznie na FIG. 50.2. Amplitudy funkcji harmonicznych i n i b n są wybierane według specjalnej zasady. Na rysunku są one pokazane tylko schematycznie, a nie w skali. [Nazywa się wiersz (50.2) blisko Fourieradla funkcji fa(t).]

Powiedzieliśmy to każdyfunkcję okresową można zapisać w ten sposób. Należy dokonać niewielkiej poprawki i podkreślić, że w takim szeregu można rozszerzyć dowolną falę dźwiękową lub jakąkolwiek funkcję, którą napotkamy w fizyce. Oczywiście matematycy mogą wymyślić taką funkcję, że nie może składać się z prostych funkcji harmonicznych (na przykład funkcja, która „zawija” z powrotem, tak że dla pewnych wielkości t ma to dwa znaczenia!). Jednak nie musimy się tutaj martwić o takie funkcje.