Fourier Harmonics. Fourier satır

Fourier ve Hartley dönüşümleri, genlik bilgisi ve faz içeren frekans fonksiyonundaki zaman fonksiyonlarını dönüştürür. Aşağıda sürekli fonksiyonun grafikleridir. g.(t.) ve ayrık g.(τ), nerede t. Ve τ - zamanın anları.

Her iki fonksiyon da sıfıra başlar, atlama pozitif bir değere ulaşır ve katlanarak solmaz. Tanım olarak, sürekli bir fonksiyon için Fourier dönüşümü, gerçek eksen boyunca bir integraldir, F.(f.) ve ayrık bir fonksiyon için - son referans kümesinin miktarı, F.(ν):

nerede f., ν - frekans değerleri, n. - İşlevin seçici değerlerinin sayısı ve bEN.\u003d √ -1 - hayali birim. İntegral temsil teorik çalışmalar için daha uygundur ve sonlu bir miktar formundaki temsili bilgisayarın hesaplanması içindir. Hartley'nin ayrılmaz ve ayrık dönüştürülmesi aynı şekilde tanımlanır:

Her ne kadar Fourier ve Hartley tanımları arasındaki gösterimdeki tek fark, Sinüsün önünde bir çarpanın varlığıdır, Fourier dönüşümünün hem geçerli hem de hayali parçanın olduğu gerçeği, bu iki dönüşümün sunumlarını tamamen farklı hale getiriyor. Ayrık dönüşümler Fourier ve Hartley esasen sürekli analogları ile aynı formdur.

Grafikler farklı görünse de, Fourier ve Hartley dönüşümlerinden aşağıda gösterildiği gibi, genlik ve faz ile aynı bilgi görüntülenebilir.

Fourier genliği, geçerli ve hayali parçaların karelerinin toplamından kare kök ile belirlenir. Hartley genliği kareler toplamından kare kök ile belirlenir H.(-Ν) ve H.(ν). Fourier Faz, hayali parçanın gerçek parçaya bölündüğü ve Hartley aşaması, 45 ° ve arctangent miktarına göre belirlenir. H.(-Ν) bölünmüş H.(ν).

Periyodik velosidal olmayan fonksiyonların ayrışması

Genel Tanımlar

Bölüm 1. Doğrusal zincirlerin teorisi (devam)

Elektrik Mühendisliği

Teorik temel

Öğretici Elektrikli Power Specialties öğrencileri için

T. Periyodik nonsenseoidal akımın elektrik zincirleri

İyi bilindiği gibi, elektrik enerjisi endüstrisinde akımlar ve gerilmeler için standart bir form olarak sinüzoidal bir form benimsenmiştir. Bununla birlikte, gerçek koşullarda, eğrilerin ve voltajların şekli sinüzoidalden bir şekilde veya başka bir şekilde farklı olabilir. Alıcılardaki bu fonksiyonların eğrilerinin biçimlerinin bozulması, ek enerji kayıplarına ve verimliliğinde bir azalmaya yol açar. Jeneratörün voltaj eğrisinin şeklinin sinüzoidalliği, bir ürün olarak elektrik enerjisinin kalite göstergelerinden biridir.

Karmaşık zincirdeki akımların ve gerilmelerin eğrilerinin şeklinin bozulmasının aşağıdaki nedenleri mümkündür:

1) Doğrusal olmayan elemanların elektrik devresindeki varlığı, parametrelerin, akımın ve voltajın anlık değerlerine bağlıdır [ R, l, c \u003d f(u, I.)], (örneğin, doğrultucu cihazlar, elektrikli kaynak üniteleri vb.);

2) Parametrelerin zaman içinde değişen parametrik elemanların elektrik devresindeki varlığı [ R, l, c \u003d f(t.)];

3) Yapısal özelliklerden dolayı elektrik enerjisi (üç fazlı jeneratör) kaynağı, çıkış voltajının mükemmel sinüzoidal formunu sağlayamaz;

4) Yukarıdaki faktörler listelenen kompleksin etkisi.

Doğrusal olmayan ve parametrik zincirler, ayak parmağının ayrı bölümlerinde tartışılmaktadır. Bu bölüm, ortalanmamış bir eğri ile onlardaki enerji kaynaklarına maruz kaldığında doğrusal elektrik devrelerinin davranışını inceler.

Matematik giderinden, herhangi bir periyodik zaman fonksiyonunun olduğu bilinmektedir. f.(t.), Dirichle koşullarını yerine getiren, Fourier yakınındaki harmonik tarafından temsil edilebilir:

Buraya FAKAT 0 - Sabit Bileşen - k.- Harmonik bileşen veya kısaltılmış k.- Harmonika. 1. harmonik, ana olarak adlandırılır ve ardından daha yüksek.

Bireysel harmoniklerin genlikleri Bir K. fonksiyonun ayrıştırma yöntemine bağlı değil f.(t.) Fourier serisinde, aynı zamanda, bireysel harmoniklerin ilk aşamaları, zamanlamanın başlangıcının seçimine bağlıdır (koordinatların başlangıcı).

Fourier serisinin ayrı harmonikleri, sinüs ve kosinüs bileşenlerinin toplamı olarak gösterilebilir:

Sonra tüm fourier aralığı bir görünüm alacak:

Fourier serisinin iki formunun katsayıları arasındaki oranlar formuna sahiptir:

Eğer bir k.- Harmonik ve sinüsü ve kosinüs bileşenleri karmaşık sayılarla değiştirilir, Fourier serisinin katsayıları arasındaki ilişki kapsamlı bir biçimde temsil edilebilir:

Zaman fonksiyonunun periyodik tutarsızlığı, matematiksel bir denklem biçiminde analitik olarak ayarlanır (veya ifade edilebilir) ise, Fourier serisinin katsayıları, Matematik Oranı'ndan bilinen formüllerle belirlenir:

Uygulamada, araştırılan bir çizgide olmayan fonksiyon f.(t.) Genellikle bir grafik diyagramı (grafiksel olarak) (Şekil 118) (Şekil 118) veya bir periyot aralığında bir tablo koordinat tablosu (tablo) şeklinde belirtilir (Tablo 1). Yukarıda verilen denklemlere göre böyle bir fonksiyonun harmonik bir analizini gerçekleştirmek için, daha önce matematiksel bir ifadeyle değiştirilmelidir. Grafik olarak belirtilen işlevi veya tabloyu matematiksel bir denklemle değiştirilmesi, fonksiyonun yaklaşımının adını elde edin.

Ana Sayfa\u003e Hukuk

Nonsoroidal olmayan akım zincirleri

Şimdiye kadar sinüzoidal akım zincirlerini inceledik, ancak zamandaki değişiklik yasası sinüzoidalten farklı olabilir. Bu durumda, bir konjonkit olmayan akımın zinciri vardır. Sınırsız olmayan tüm akımlar üç gruba ayrılır: Periyodik, yani. bir süre olmak T. (Şek.6.1, a), periyodik olmayan (Şekil 6.1, b) ve periyodik olarak değişen bir zarfın ( T. o) ve dürtülerin dönemi ( T. ve) (Şekil 6.1, b). Merkezli olmayan akımları elde etmenin üç yolu vardır: a) zincirde, monosoid olmayan bir EMF var; b) zincir bir sinüzoidal EMF işlev görür, ancak zincirin bir veya daha fazla unsuru doğrusal değildir; c) Zincirde bir sinüzoidal EMF vardır, ancak bir veya daha fazla zincir elemanının parametreleri zaman içinde periyodik olarak değiştirilir. Uygulamada, B yöntemi en sık kullanılır). En çok çeşitli formun darbelerinin sık sık bulunduğu radyo mühendisliği, otomasyon, telemekhanik ve bilgi işlem ekipmanlarında alınan novinosoidal olmayan akımların en büyük yayılması. Tutarsızlık ve elektrik sanayii var. Harmonik bileşenlerde ayrıştırılabilecek periyodik saçma gerilimleri ve akımları göz önünde bulunduracağız.

Fourier'in trigonometrik satırındaki periyodik olmayan eğrilerin ayrıştırılması

Periyodik olmayan streslerde ve akımlarda lineer devrelerde meydana gelen fenomenler, unnsuitsoid eğrilerinin içinde bulunduğu takdirde hesaplamak ve araştırma mümkün olan en kolay olanıdır. trigonometrik seri Fourier. Matematikten, periyodik fonksiyonun olduğu bilinmektedir. f (ωt)Dirichle'nin koşullarını tatmin etmek, yani. Yalnızca birinci türden sınırlı sayıda boşluk ve sonlu sayıda yüksek ve minima, Trigonometric Fourier serisine ayrılabilir.

f (ωt) \u003d a Ö. +
sINΩT +.
sin2ωt +.
sIN3ΩT + ··· +
cosωt +.
cos2ωt +.
cos3ωt + ··· \u003d

A. Ö. +
.

Buraya: A. Ö. - sabit bileşen veya sıfır harmonik;
- sinüs bileşeninin genliği k.Harmonikler;
- kosinüs bileşeninin genliği k.-d harmonikler. Aşağıdaki formüllerle belirlenirler

Vektör diyagramından olduğu için (şek.6.2), sonra aldık

.

Bu ifadeye dahil edilen bileşenler harmonik olarak adlandırılır. Eşit ayrım ( k. - hatta) ve tuhaf harmonikler. İlk harmonik ana olarak adlandırılır ve gerisi daha yüksektir. Fourier serisinin son şekli, her bir harmonik yüzdesini bilmek gerektiğinde uygundur. Sınırsız akımın zincirlerinin hesaplanmasında bir dizi Fourier'ın aynı formu kullanılır. Teorik olarak, Fourier serisi, sonsuz sayıda bileşen içeriyor, ancak genellikle hızlı bir şekilde birleşir. Yakınlarda bir yakınsak, herhangi bir doğruluk derecesine sahip belirli bir işlevi ifade edebilir. Uygulamada, yüzde birkaç hesaplamanın doğruluğunu elde etmek için az sayıda harmonik (3-5) almak yeterlidir.

Simetriye sahip olan fourier eğrilerinde ayrıştırma özellikleri

1. Eğriler, ortalama değeri sıfır olan, sabit bir bileşen (sıfır harmonik) içermez. 2.
f (ωt) \u003d - f (ωt + π), abscissa eksenine göre simetrik olarak adlandırılır. Bu tür simetri eğri türünü belirlemek kolaydır: Abscissa ekseni üzerindeki X eksenine kaydırılırsa, aynaya yansıtıyor ve aynı zamanda bir kaynak eğrisi ile acele (Şekil 6.3), sonra Simetri mevcuttur. Böyle bir eğriyi fourier serisinde ayırırken, durumunu tatmin etmedikleri için sürekli bir bileşen ve tüm harmonikler yoktur. f (ωt) \u003d - f (ωt + π).

f (ωt) \u003d günah (Ωt + ψ 1 ) + günah (3Ωt + ψ 3 )+
günah (5Ωt + ψ 5 )+···.

3
. İşlev durumunu tatmin ederse f (ωt) \u003d f (-Ωt), koordinat eksenine (hatta) göre simetrik olarak adlandırılır. Bu tür simetri eğri türünü belirlemek kolaydır: eğri varsa, koordinatın sol ekseni, yansıtma ve kaynak eğrisi ile çözülürse, simetri mevcuttur (Şekil 6.4). İkincisinde Fourier Series'te böyle bir eğri ayrıştırırken, tüm harmoniklerin sinüs bileşenleri olmayacaktır ( = f (ωt) \u003d f (-Ωt).Sonuç olarak, bu tür eğriler için

f (ωt) \u003d a hakkında +
cosωt +.
cos2ωt +.
cos3ωt + ···.

4
. İşlev durumunu tatmin ederse f (ωt) \u003d - f (--Ωt), koordinatların kökenine (tuhaf) üzerine simetrik olarak adlandırılır. Bu tür simetrinin varlığı, eğrinin görünümünü belirlemek kolaydır: eğri nispeten dağıtmak için koordinatın sol eksenine yatarsa puan Koordinatların kökeni ve kaynak eğrisi ile çözülür, sonra simetri mevcuttur (Şekil 6.5). Böyle bir eğriyi fourier serisinde ayırırken, tüm harmoniklerin kosinüs bileşenleri olmayacak (
= 0) Çünkü durumları tatmin etmiyorlar f (ωt) \u003d - f (----ωt).Sonuç olarak, bu tür eğriler için

f (ωt) \u003d
sINΩT +.
sin2ωt +.
sin3Ωt + ···.

Formüllerde herhangi bir simetri varlığında ve Yarım döner için ayrılmaz bir şekilde alabilirsiniz, ancak sonuç iki katına çıkar, yani. İfadeler kullanın

Eğrilerde aynı anda birkaç simetri türü vardır. Bu durumda uyumlu bileşenler konusunu kolaylaştırmak için masayı doldurun

Simetri türü	Analitik ifade
1. Axis Abscissa	f (ωt) \u003d - f (ωt + π)		Sadece tuhaf
2. Koridorun eksenleri	f (ωt) \u003d f (-Ωt)
3. Koordinatların başlangıcı	f (ωt) \u003d - f (--Ωt)
4. Aşımsal eksen ve koordinat eksenleri	f (ωt) \u003d - f (ωt + π) \u003d f (-Ωt)			Tuhaf
5. Abscissa ekseni ve koordinatların başlangıcı	f (ωt) \u003d - f (ωt + π) \u003d - f (-ωt)		Tuhaf

Fourier satırında eğri yerleştirerek, ilk önce herhangi bir simetriye sahip olup olmadığı, varlığı, varlığı, hangi harmoniklerin bir dizi fourier içinde olacağını ve fazladan gerçekleştirmemenizi sağlayan iş.

Grafanalitik bir üst üste eğrilerin ayrıştırılması

Noksoroidal olmayan eğri bir grafik veya tablo ile ayarlandığında ve analitik bir ifadeye sahip olmadığında, harmonik beldesini grafoanalitik ayrışmaya göre belirlemek için. Şartların nihai sayısının toplamının belirli bir integralinin değiştirilmesine dayanır. Bu amaçla, fonksiyon süresi f (ωt)kırılmış n. eşit parçalar Δ. ωt \u003d.2π / n.(Şekil 6.6). Sonra sıfır harmonik için

nerede: r - 1'den değerleri kabul eden geçerli dizin (alan numarası) n.; f. r (ωt) -anlam işlevi f (ωt)için Ωt \u003d p ·Δ ωt.(Bkz. Şekil 6.6) . Sinüs bileşeninin genliği için k.Harmonika

Kosinüs bileşeninin genliği için k.Harmonika

Buraya günah. p. kΩt. ve Çünkü. p. kΩt.- Değerler lavabo.ve cOSKΩT.için Ωt \u003d p ·. Pratik hesaplamalarda genellikle alır n.\u003d 18 (δ ωt \u003d.20˚) veya n.\u003d 24 (δ ωt \u003d.15). Grafoanalitik olması durumunda, bir fourier serisindeki eğrilerin ayrışması durumunda, analitik olarak herhangi bir simetriye sahip olup olmadığını, varlığının hacmini önemli ölçüde azaltır. hesaplamalı iş. Yani, formüller için ve Simetri varlığında görüş alır

Genel grafikte bir harmonik oluştururken, abscissa ekseninin ölçeğini dikkate almak gerekir. k.Harmonics B. k.bir kez daha önce.

Saçmalıkların maksimum, ortalaması ve aktif değerleri

Periyodik monosoidal olmayan değerler, harmonik bileşenlerine ek olarak, maksimum, ortalama ve etkili değerlerle karakterize edilir. Maksimum değer FAKAT M, en büyük dönem için fonksiyon modülünün değeridir (Şekil 6.7). Modülün ortalama değeri bu şekilde belirlenir

.

Eğri abscissa eksenine göre simetrik ise ve yarım periyodda asla işareti değiştirmezse, ortalama modül değeri yarım için ortalama değere eşittir

,

ve bu durumda, zamanın başlangıcı sayma seçilmelidir. f (0)= 0. Eğer tüm periyodun fonksiyonunun işaretini değiştirmezse, ortalama modülü sabit bileşene eşittir. EDC'nin değerleri altında nüfuz eden olmayan akımın zincirlerinde, stres veya akımlar formül tarafından belirlenen geçerli değerlerini anlarlar.

.

Eğri Fourier Serisi'nde ayrıştırılırsa, etki eden değeri aşağıdaki gibi belirlenebilir.

Sonucu açıklığa kavuşturalım. Farklı frekanstan sinüzoidin ürünü ( kΩ. ve iω.) Harmonik bir fonksiyondur ve herhangi bir harmonik fonksiyonun bir süre için integral sıfırdır. İlk miktarın işareti olan entegral sinüzoidal devrelerde tanımlandı ve değeri orada gösterildi. Dolayısıyla

.

Bu ifadeden, periyodik olmayan nüfuzlu olmayan değerlerin aktif değerinin sadece harmoniklerinin geçerli değerlerine bağlı olduğunu ve ilk aşamalarına bağlı olmadığını izler. ψ k. . Bir örnek verelim. İzin Vermek u=120
günah (314. t.+ 45˚) -50sin (3 · 314) t.-75˚) B.. Geçerli

Modülün ortalaması ve müdahaleci olmayan değerlerin aktif değerlerinin, fonksiyonun analitik ifadesinin entegrasyonuna dayanarak hesaplanabilecekleri durumlar vardır ve daha sonra eğri bir satırda bırakmaya gerek yoktur. Fourier. Eğrilerin ağırlıklı olarak abscissa ekseni ile ilgili olarak simetrik olduğu güç endüstrisinde, formlarını karakterize etmek için bir takım katsayılar kullanılır. Üçünün en büyük kullanımı var: genlik katsayısı k. a, form katsayısı k. F ve bozulma oranı k. ve. Böyle belirlenirler: k. A \u003d. A. m / A.; /A. cf; k. ve \u003d. A. 1 /A. Sinusoidler için aşağıdaki değerlere sahiptirler: k. a \u003d; k. F \u003d π. A. M. / 2A. m ≈1.11; 1. D. dikdörtgen eğri (Şekil 6.8, A) katsayıları aşağıdaki gibidir: k. a \u003d 1; k. F \u003d 1; k. ve \u003d 1.26 /. Çarpık (Pico-şekilli) bir form için (Şekil 6.8, b) katsayıların değerleri aşağıdaki gibidir: k. Ve ne kadar yüksek olursa o kadar çok pico şeklinde formdur; k. Ф\u003e 1.11 ve sivri bir eğrinin ne kadar yüksek olur? k. ve<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. Уbozulma katsayısının pratik uygulamalarından birini görün. Endüstriyel ağ voltaj eğrileri genellikle mükemmel sinüzoitlerden farklıdır. Güç endüstrisinde, pratik olarak sinüzoidal bir eğri kavramı tanıtıldı. Endüstriyel ağların GOST voltajına göre, gerçek eğrinin karşılık gelen oranlarıyla ilk harmonik arasındaki en fazla fark, ana harmoniğin genliğinin% 5'ini geçmezse, pratik olarak sinüzoidal olarak kabul edilir (Şekil 6.9). Çeşitli sistemlerin aygıtlarının önemli olmayan değerlerinin ölçülmesi eşitsiz sonuçlar verir. Genlik elektronik voltmetreleri maksimum değerleri ölçer. Magnetoelektrik cihazlar sadece ölçülen değerlerin sabit bileşenine tepki verir. Doğrultucu olan manyetoelektrik cihazlar, modülün ortalama değerini ölçtüler. Diğer tüm sistemlerin araçları geçerli değerleri ölçer.

Konjonkun olmayan devrelerin hesaplanması

Sinusoidal olmayan EDC içeren bir veya daha fazla kaynak zincirde çalışıyorsa, hesaplaması üç aşamaya ayrılır. 1. Harmonik bileşenler için EMF kaynaklarının belirlenmesi. Bunun nasıl yapılacağı yukarıda tartışılmaktadır. 2. Yer kaplama prensibinin ve akımların hesaplanması ve EDC'nin her bir bileşeninin her bir bileşeninin etkisiyle zincirdeki gerilmelerin hesaplanması. 3. 2. paragrafta elde edilen kararların ortak değerlendirmesi (toplamı). Genel olarak bileşenlerin toplamı en sık zor ve her zaman gerekli değildir, çünkü harmonik bileşenler temelinde, hem eğri biçimini hem de karakterize eden ana değerleri yargılamak mümkündür. HAKKINDA
İkinci aşama ikincisidir. Sinusoidal olmayan EMF, Fourier'in yanında temsil edilirse, böyle bir kaynak, sabit EDC'nin kaynağının ve sinüzoidal EDC kaynaklarının farklı frekanslarla sıralı bir bağlantı olarak kabul edilebilir (Şekil 6.10). Yerleşim ilkesini kullanarak ve her bir EDC'nin ayrı ayrı etkisini göz önünde bulundurarak, mevcut bileşenleri zincirin tüm dallarında belirleyebilirsiniz. İzin Vermek E. o yaratır BEN. Ö, e. 1 - bEN. 1 , e. 2 - bEN. 2, vb. Sonra gerçek akım bEN.=BEN. O +. bEN. 1 +bEN. 2 +··· . Sonuç olarak, yakma devresinin hesaplanması, bir görevi sabit bir EDC ile ve Sinusoidal EDC ile bir takım görevi çözmek için azaltılır. Bu görevlerin her birini çözerken, farklı frekanslar, eşitsizliğin endüktif ve kapasitif direnişi için bunu dikkate almak gerekir. Endüktif direnç, frekansla doğrudan orantılıdır, bu nedenle k.Harmonik x. Lk \u003d. kωl.=kx. L1, yani için k.-Y armonika k.bir kez daha önce. Kapasitif direnç, frekansla ters orantılıdır, bu nedenle k.Harmonik x. CK \u003d 1 / kΩS=x. C1 / k.. için k.-Y armonika k.bir kez daha küçükse daha küçük. Prensipteki aktif direnç, yüzey efekti nedeniyle frekansa da bağlıdır, ancak iletkenlerin küçük bölümlerine ve düşük frekanslarda, yüzey efekti pratik olarak yoktur ve tüm harmonikler için aktif direncin eşit olduğunun varsayılmasına izin verilir. Sinüzoidal olmayan voltaj doğrudan tanka bağlanırsa, k.Harmonics Toka

C. harmonik numaradan daha yüksekiz, bunun için daha küçük kabın direncidir. Bu nedenle, yüksek dereceli harmoniklerin gerilim genliği, birinci harmoniğin genliğinden küçük bir pürüz olsa bile, ana harmoniğin akımı veya onu aşan bir akımın orantılı olmasına neden olabilir. Bu bağlamda, bir voltajda bile, kabın içindeki sinüzoidal akımın yakınında keskin bir şekilde sansürsüz olabilir (Şekil 6.11). Bu vesileyle, kapasitenin yüksek harmoniklerin akımlarını vurguladığı söylenir. Sinusoidal olmayan voltaj doğrudan endüktans'a bağlanırsa, k.Harmonics Toka

.

İLE
Harmonik sırasının arttırılması, endüktif direnç arttırır. Bu nedenle, endüktans yoluyla akımda, en yüksek harmonikler, klipsindeki voltajdan daha az bir ölçüde sunulur. Keskin asılsız voltajla bile, endüktansta mevcut eğri genellikle sinüzoid yaklaşır (Şekil 6.12). Bu nedenle, endüktansın akım eğrisini sinüzoidin getirdiği söylenir. Akımın her harmonik bileşenini hesaplarken, karmaşık yöntemi kullanmak ve vektör diyagramları oluşturmak mümkündür, ancak vektörlerin geometrik toplamını ve farklı harmoniklerin voltaj komplekslerinin veya akımlarının eklenmesi kabul edilemez. Aslında, birinci ve üçüncü harmoniklerin akımlarını gösteren vektörler, farklı hızlarla döner (Şekil 6.13). Bu nedenle, bu vektörlerin geometrik toplamı, sadece toplamlarının anlık değerini verir. ω t.\u003d 0 ve genel durumda anlam ifade etmiyor.

Senkronize olmayan akımın gücü

Ayrıca sinüzoidal akım zincirlerinde, pasif bir iki kutuplu tarafından tüketilen tesislerden bahsediyoruz. Aktif güç altında, anlık güç dönemi için ortalamayı da anlayın.

İki kutuplu girişindeki voltaj ve akım, Fourier satırları ile temsil edilecektir.

İkame anlamı u ve bEN. formülde R

Sonuç, farklı frekansların sinüzoidinin ürününün entegresinin sıfır olduğu ve sinüzoidin ürünündeki periyodun entegralinin sinüzoidal devrelerin kesitinde belirlendiği dikkate alınarak elde edildi. . Böylece, saçmalıkların aktif gücü, tüm harmoniklerin aktif kapasitelerinin toplamına eşittir. Bu açık R k. Bilinen herhangi bir formül tarafından belirlenebilir. Sinüzoidal akımla analojiyle, tam güç kavramı, aktif voltaj ve akım değerlerinin bir ürünü olarak sinüzoidal olmayan için tanıtılır, yani. S \u003d ui.. Tutum R için S. Koşullu açının bir kosinüsüne güç katsayısı denir ve eşdeğerdir. θ . Çünkü. θ =P / S.. Uygulamada, çok sık değiştirilmeyen voltajlar ve akımlar eşdeğer sinüzoitler ile değiştirilir. Aynı zamanda, iki koşul yapmanız gerekir: 1) Eşdeğer sinüzoidin aktif değeri, değiştirilebilir değerin değerinin geçerli değerine eşit olmalıdır; 2) Eşdeğer voltaj ve akım sinüzomları arasındaki açı θ olmalı UiÇünkü. θ aktif güce eşit R. Dolayısıyla θ - Bu, gerilim ve akımın eşdeğer sinüzoidleri arasındaki açıdır. Tipik olarak, mevcut eşdeğer sinüzoid değer, ana harmoniklerin mevcut değerlerine yakındır. Reaktif olmayan bir sinüzoidal akımla analojiyle, reaktif güç kavramı, tüm harmoniklerin reaktif kapasitesinin miktarı olarak tanımlanır.

Siniroidal olmayan akım için sinüzoidal aksine S. 2 ≠P. 2 +S. 2. Bu nedenle, bozulma gücü kavramı burada tanıtıldı. T.Gerilim ve akım eğrileri biçimlerinin farkını karakterize etmek ve bu şekilde belirlenir

Üç fazlı sistemlerde daha yüksek harmonikler

Üç fazlı sistemlerde, fazların aşamalarındaki voltaj eğrileri genellikle faz tarafından çoğaltılır ve periyodun üçte birine kaydırılır. Öyleyse, eğer u A \u003d. f (ωt)T. u \u003d. f (ωt-2π/ 3), fakat u C \u003d. f (Ωt +2π/ 3). Noksoroidal olmayan faz voltajlarını varsayalım ve Fourier serisinde ayrıştırılır. O zaman düşünün k."Her üç aşamada armonika." İzin Vermek u AK \u003d. U Km günah ( kΩT + ψ k.), sonra alın u Mürekkep \u003d U Km günah ( kΩT + ψ k. -K.2π/ 3) I. u Ck \u003d. U Km günah ( kΩT + ψ k. + K.2π/ 3). Bu ifadeleri farklı değerlerde kesmek k., Harmonikler için, birden fazla üç ( k.=3n., n. - Herhangi bir zamanda tüm voltaj aşamalarında, her zaman tüm voltaj aşamalarında, sayısız sayı sayısı, aynı değer ve yöne sahiptir. Sıfır sıra sistemini oluşturur. İçin k.=3n +.1 Harmonik, sıra, gerçek stres dizisi ile çakışan bir voltaj sistemi oluşturur, yani. Doğrudan bir dizi sistemi oluştururlar. İçin k.=3n-1 Harmonik, dizinin gerçek gerilmelerinin tam tersi olan bir voltaj sistemi oluşturur, yani. Ters sıra sistemi oluştururlar. Uygulamada, en sık hem sabit bileşen hem de hepsi harmonikler eksik, bu nedenle gelecekte, kendimizi sadece tek harmonikler dikkate alarak sınırlayacağız. Daha sonra ters diziyi oluşturan en yakın harmonikler beşincidir. Elektrik motorlarında, en büyük zarara neden olur, bu yüzden ona acımasız bir mücadeledir. Harmoniklerin varlığından, birden fazla üçünün neden olduğu üç fazlı sistemlerin eserinin özelliklerini göz önünde bulundurun. bir . Jeneratörü veya trafo sargıları bir üçgene bağlarken (Şekil 6.14), ikincisinin dalları harmonik akımlarını, harici yük yokluğunda bile birden fazla akımını akar. Aslında, Cebirsel EDC harmonik miktarı, birden fazla üç ( E. 3 , E. 6, vb.), Üçgende, bu miktarın sıfır olduğu harmoniklerin geri kalanının aksine üçlü bir değeri vardır. Üçüncü harmonik için faz sarma direnci Z. 3, sonra üçgenin devresindeki üçüncü harmoniklerin akımı olacak BEN. 3 =E. 3 /Z. 3. Mevcut altıncı harmoniğe benzer BEN. 6 =E. 6 /Z. 6, vb. Sargılara akan akımın aktif değeri olacak
. Jeneratör sarımlarının direnişi küçük olduğundan, akım büyük miktarlara ulaşabilir. Bu nedenle, harmonikler varsa, birden fazla üç, jeneratörün veya transformatörün faz EMP'lerinde sarma, bağlanmayın. 2. . Jeneratörün veya transformatörün sarımını açık bir üçgene bağlarsanız (Şekil 6.155, daha sonra voltaj, EMF harmonik miktarına eşit, birden fazla üç, yani, klipslerinde geçerli olacaktır. u Bx \u003d 3. E. 3m günah (3 Ωt + ψ 3)+3E. 6m günah (6 Ωt + ψ 6)+3E. 9m günah (9 Ωt + ψ 9)+···. Geçerli

.

Açık üçgeni genellikle, ikincisinin sorunsuz gerçekleştirilmesinin olasılığını kontrol etmek için jeneratör sarımlarını geleneksel bir üçgene bağlamadan önce kullanılır. 3. Jeneratör sarımlarını veya bir trafoyu bağlamak için şemadan bağımsız olarak doğrusal voltajlar, birden fazla üç, içermez. Üçgen bağlandığında, harmonik içeren faz EDC'leri, birden fazla üç, jeneratör fazının iç direncinde bir voltaj düşüşüyle \u200b\u200btelafi edilir. Nitekim, üçüncü için Kirchoff'un ikinci yasasına göre, örneğin, ŞEKİL 6.6.14 şeması için harmonikler kaydedilebilir U AB3 +. BEN. 3 Z. 3 =E. 3, aldığımız yer U AB3 \u003d 0. Harmoniklerin herhangi birine benzer, birden fazla üç. Bir yıldıza bağlanırken, doğrusal gerilmeler, ilgili faz ED'ler arasındaki farkın eşittir. Harmonikler için, birden fazla üç, bu farklılıkları çizerken, faz EMF'leri bir sıfır dizisi sistemi oluştururlar. Böylece, tüm harmoniklerin bileşenleri faz voltajlarında ve geçerli değerlerinde bulunabilir. Harmoniklerin doğrusal gerilimlerinde, üçünün katı eksik, bu nedenle geçerli değerleri. Bu bağlamda, harmonik varlığında, birden fazla üç, U l / U F.<
. 4. Sıfır tel olmayan şemalarda, birden fazla üç, birden fazla üç, birden fazla üç, bir sıfır dizilim sistemi oluştururken kapanamaz ve yalnızca ikincisinin varlığında kapatılabilir. Aynı zamanda, alıcının sıfır noktaları ve senkronizasyonun, simetrik bir yük olması durumunda bile, birden fazla üç, birden fazla üçlü EMF harmonik miktarına eşit bir voltaj arasında bile bir voltaj var. Bu harmoniklerin eksik olduğu gerçeğini dikkate alarak Kirchhoff'un ikinci yasasının denklemi. Bu gerilimin anında değeri u 0 1 0 =E. 3m günah (3 Ωt + ψ 3)+E. 6m günah (6 Ωt + ψ 6)+E. 9m günah (9 Ωt + ψ 9)+···. Geçerli
. 5. Sıfır tel (Şekil 6.16) ile yıldız-yıldız şemasında, harmonik akımları, birden fazla üç, simetrik bir yük durumunda bile, faz EDS belirtilen harmonikleri içeriyorsa. Harmoniklerin, birden fazla üç, bir sıfır dizisi sistemi oluşturduğunu göz önünde bulundurarak kaydedilebilir

Genel Açıklamalar

Fransız Matematik Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) İhale, zaman için yeterince cesur bir hipotezi söyledi. Bu hipoteze göre, trigonometrik satıra ayrıştırılamayan hiçbir işlev yoktur. Ancak, ne yazık ki, o zaman böyle bir fikir ciddiye algılanmadı. Ve doğaldır. Fourier kendisi inandırıcı kanıtlara yol açamazdı ve fourier hipotezinde sezgisel olarak çok zor. Özellikle, trigonometric'e benzer basit işlevler eklendiğinde, fonksiyonların onlara benzer şekilde çoğaltıldığı gerçeğini hayal edin. Ancak, fourier hipotezinin doğru olduğunu varsayarsak, herhangi bir formun periyodik sinyali, farklı frekansların sinüzoitleri üzerinde ayrıştırılabilir veya bunun tersi, farklı frekanslarla sinüzoidin karşılık gelen ilavesiyle, sentezlemek mümkündür. herhangi bir formun sinyali. Bu nedenle, bu teori doğru ise, sinyal işlemedeki rolü çok büyük olabilir. Bu bölümde, önce Fourier'in hipotezinin doğruluğunu göstermeye çalışacaktır.

Bir fonksiyon düşünün

f (t) \u003d2sin. T -günah. 2t.

Basit trigonometrik seri

İşlev, trigonometrik fonksiyonların toplamıdır, başka bir deyişle, iki üyenin bir trigonometrik serisi olarak temsil edilir. Bir kategori ekleyin ve üç üyeden oluşan yeni bir satır oluşturun

Birkaç terim ekledikten sonra, on üyenin yeni bir trigonometrik sırasını alırız:

Bu trigonometrik serinin katsayıları olarak belirtilmiştir. b. K. , nerede k - tüm sayılar. Son orana dikkatlice bakarsanız, katsayıların aşağıdaki ifadeyle tanımlanabileceği görülebilir:

Daha sonra F (t) işlevi aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Faktörler b. K. - bunlar açısal frekansa sahip genusoid genliklerdir. için.Başka bir deyişle, frekans bileşenlerinin miktarını belirtirler.

Üst dizin olduğunda durum kabul edilir için10'a eşit, yani. M \u003d.10. Büyütme M.100'e kadar, bir işlev alıyoruz f (t).

Bu fonksiyon, yakındaki trigonometrik olmak, şekli, testere şeklindeki bir sinyale yaklaşıyor. Ve görünüşte, Fourier'in hipotezi, uğraştığımız fiziksel sinyallerle ilgili olarak oldukça doğrudur. Ek olarak, bu örnekte, sinyal formu pürüzsüz değildir, ancak boşluk noktalarını içerir. Ve fonksiyonun kırılma noktalarında bile çoğaltılmasının umut verici bir şekilde göründüğü gerçeği.

Fiziksel dünyada, farklı frekansların salınımları miktarı olarak temsil edilebilecek çok sayıda fenomen var. Bu fenomenlerin tipik bir örneği ışıktır. 8.000 ila 4000 angstrom dalga boyu olan bir miktar elektromanyetik dalgalardır (morun kırmızı renginden). Tabii ki, beyaz ışığın prizma boyunca atıldığında, daha sonra yedi saf renk yelpazesinin bir spektrumu görüneceğini biliyorsunuz. Bunun nedeni, prizmanın yapıldığı camın kırılma indeksidir, elektromanyetik dalganın uzunluğuna bağlı olarak değişir. Bu sadece beyaz ışığın farklı uzunluktaki ışık dalgalarının toplamı olduğu kanıtlar. Öyleyse, ışığı prizmanın içinden atlamak ve spektrumunu aldıktan sonra, renk kombinasyonlarını keşfederek ışığın özelliklerini analiz edebiliriz. Böyle, alınan sinyalin çeşitli frekans bileşenlerine ayrışmasıyla, ilk sinyalin nasıl ortaya çıktığını, hangi yolun izlediği ya da sonunda hangi dış etkiye maruz kaldığını öğrenebiliriz. Kısacası, sinyalin kökenini netleştirmek için bilgi alabiliriz.

Böyle bir analiz yöntemi denir spektral analizveya fourier'in analizi.

Aşağıdaki ortonormal fonksiyon sistemini düşünün:

İşlev f (t)[-Π, π] segmentindeki bu fonksiyon sisteminde ayrışabilirsiniz:

A katsayıları α. k,β K, daha önce gösterildiği gibi, skaler işleriyle ifade edilebilir:

Genel olarak, fonksiyon f (t) aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

A katsayıları α. 0 , α k,β k denilen fourier Katsayılarıve fonksiyonun bu sunumu denir bir dizi fourier'de ayrışma.Bazen böyle bir temsil denir geçerlifourier üst üste ayrışma ve katsayılar - geçerli Fourier katsayıları. Ayrışmanın ayrışmasını kapsamlı bir biçimde bir satırda aygıtın ayrışmasını ayırt etmek için "geçerli" terimi tanıtılır.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu sistemden gelen fonksiyonlar bir trigonometrik seri formunda gönderilmemiş olsa bile, dikey bir fonksiyon ortogonal fonksiyonlar sisteminde ayrıştırılabilir. Genellikle fourier serisindeki ayrışma altında, trigonometrik seriye ayrışma ima edilir. Fourier katsayıları α üzerinden ifade ederse 0 , α k,β K:

K. \u003d 0 COSKT.\u003d 1, sonra sabit 0/2katsayının genel bir görünümünü ifade eder bir K.için k.= 0.

İlişkili (5.1), toplam tarafından temsil edilen en büyük dönemin dalgalanması Çünkü.t günah.t, ana frekansın salınımı olarak adlandırılır veya İlk harmonik.Saniye olarak adlandırılan ana dönemin yarısına eşit bir süre ile salınım harmonik.Ana dönemin 1 / 3'ü ile salınım Üçüncü harmonikvb. Oranından görülebileceği gibi (5.1) a. 0, ortalama işlevi ifade eden kalıcı bir değerdir F (t). Eğer işlev f (t)sonra bir elektrik sinyalini temsil eder 0.sabit bileşenini temsil eder. Sonuç olarak, diğer tüm Fourier katsayıları değişken bileşenlerini ifade eder.

İncirde. 5.2 Sinyali ve Bourier aralığında ayrışmasını gösterir: Farklı frekansların sabit bileşeni ve harmonikleri üzerinde. Değişken değerin zaman olduğu zaman alanında, sinyal fonksiyonla ifade edilir. f (t), Ve değişken değerin frekans olduğu frekans alanında, sinyal fourier katsayılarına görünür. (Bir K, B K).

İlk harmonik, bir süre ile periyodik bir fonksiyondur. 2 π. İlk harmonik ayrıca çoklu bir süre var. 2 π . Buna dayanarak, Fourier serisinin bileşenlerinden bir sinyalin oluşumunda, doğal olarak bir süre ile periyodik bir fonksiyon elde ediyoruz. 2 π. Ve eğer öyleyse, Fourier serisindeki ayrışma, aslında, periyodik fonksiyonları temsil etme yöntemidir.

Sıklanmış bir türün arka arkaya fourier sinyaline yayılır. Örneğin, önceden belirtilen kesilmiş eğriyi göz önünde bulundurun (Şek. 5.3). Segmentte böyle bir formun sinyali - π < t < π f işlevi ile ifade edilir ( t)= t.Bu nedenle, Fourier katsayıları aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

Örnek 1.

Bir testerenin bir dizi fourier sinyalinde ayrışma

f (t) \u003d t,

Önceki bölümde, dalgalanan sistemin başka bir bakış açısıyla tanıştık. Dizede, çeşitli harmonikler olduğu ve yalnızca ilk koşullardan elde edilebilecek herhangi bir özel salınımın, aynı anda kendi harmoniklerini uygun oranda bir kombinasyon olarak görülebileceğini gördük. Dize için, kendi harmoniğimizin frekanslarımıza sahip olduğunu bulduk ω 0, 2Ω 0, zω 0, .... Bu nedenle, dizenin en yaygın hareketi, ana frekansın (0) sinüzoidal salınımlarından, daha sonra ikinci harmonik 2Ω 0, daha sonra ZΩ 0, daha sonra üçüncü harmonik, ana harmonik, her bir süre boyunca tekrarlanır / ω 0, ikinci harmonik - her periyottan t2 \u003d 2π / 2Ω 0; O tekrarlar ayrıcave her dönemde T. 1 \u003d 2t. 2 , yani sonra ikionun dönemleri. Tam olarak aynı şekilde T. 1 Üçüncü harmonik tekrarlanır. Bu segmentte üç dönem yığılmıştır. Ve yine, dizinin neden döneminden sonra kınadın olduğunu anlıyoruz. T. 1 hareketinizin şeklini tamamen tekrar eder. Bu yüzden bir müzikal sesi çıkar.

Şimdiye kadar, dizenin hareketi hakkında konuştuk. fakat ses,string'in hareketinin neden olduğu havanın hareketi olan aynı harmoniklerden de oluşmalıdır, ancak burada kendi hava harmoniklerimiz hakkında daha fazla konuşamayız. Ek olarak, havadaki çeşitli harmoniklerin göreceli dayanımı, özellikle dize "sondaj tahtası" aracılığıyla havayla "bağlı" ise, dizeden tamamen farklı olabilir. Farklı harmonikler hava ile farklıdır.

Bir müzik sesi özelliği varsa f.(t.) zamana bağlı olarak hava basıncını temsil eder (hadi, Şekil 50.1.6 gibi söyleyelim), o zaman bekleyebiliriz f.(t.) zamandan belirli sayıda basit harmonik fonksiyon biçiminde yazılmıştır (benzer COS Ω t.) Çeşitli harmonik frekansların her biri için. Salınım süresi eşitse Tdaha sonra ana açısal frekans ω \u003d 2π / t olacak ve aşağıdaki harmonikler 2Ω, ZΩ, vb.

Burada küçük bir komplikasyon ortaya çıkıyor. Her frekansın, ilk fazların kesinlikle birbirlerine eşit olmasını beklemiyoruz. Bu nedenle, COS tipi (ωt + φ) işlevlerini kullanmanız gerekir - bunun yerine, kullanmak daha kolaydır. her birihem sinüs hem de kosinüs frekansları. Hatırlamak

ve φ sabit olduğundan, o zaman hiçcO frekansı olan sinüzoidal salınımlar, birinin SIN ΩT'sini ve diğerlerinde - COS ΩT'sini içeren üyelerin miktarı şeklinde kaydedilebilir.

Öyleyse, sonucuna vardık. hiçperiyodik fonksiyon f.(t.) bir süre ile T.matematiksel olarak formda kaydedilebilir

nerede Ω \u003d 2π / t, fakat fakat ve b. - Her salınım bileşeninin toplam salınımda hangi ağırlığa dahil olduğunu gösteren sayısal sabitler f.(t.). Daha fazla genel için, genellikle müzikal tonlar için sıfırdır, sıfır frekansı 0 ile formülümüze bir üye ekledik. Bu, sadece ortalama ses basıncının büyüklüğünün bir kaymasıdır (yani "sıfır" seviyesini kaydırma). Bu üyeyle, formülümüz herhangi bir fırsat için doğrudur. Şekil 2'de gösterilen denklem (50.2) şematik olarak gösterilmiştir. 50.2. Harmonik fonksiyonların genlikleri fakat N. ve b. N. Özel kuralla seçilir. Şekilde, sadece uyumlu olmadan şematik olarak gösterilir. [Satır (50.2) denilen yakınındafonksiyonlar için f.(t.).]

Bunu söyledik kimseperiyodik fonksiyon bu biçimde yazılabilir. Küçük bir değişiklik yapılmalı ve böyle bir sayıda herhangi bir ses dalgasını veya fizikte karşı karşıya olduğumuz herhangi bir işlevi ayırabileceğinizi vurgulayarak vurgulamalıdır. Tabii ki matematik, basit bir harmonikten oluşamadığı bir fonksiyona yol açabilir (örneğin, "en kötü" bir fonksiyon, böylece bazı değerler için t. İki anlamı var!). Ancak, burada bu tür fonksiyonlar için endişelenmemeliyiz.