Eşdeğer matrisler. Rasgele lineer denklem sistemlerini çözme Sistemlerin temel dönüşümleri

Yeni bir temele geçiş.

(1) ve (2) aynı m boyutlu lineer uzay X'in iki tabanı olsun.

(1) bir temel olduğundan, ikinci tabanın vektörlerini bunun üzerine genişletmek mümkündür:

Katsayılarından matrisi oluştururuz:

(4) - temelden (1) temele (2) geçişte koordinatların matris dönüşümü.

Bir vektör olsun, sonra (5) ve (6).

İlişki (7) şu anlama gelir:

P matrisi dejenere değildir, aksi takdirde sütunları arasında ve sonra vektörler arasında doğrusal bir ilişki olurdu.

Bunun tersi de doğrudur: herhangi bir dejenere olmayan matris, formüller (8) ile tanımlanan bir koordinat dönüşüm matrisidir. Çünkü P dejenere olmayan bir matristir, o zaman bunun tersi vardır. (8)'in her iki tarafını da çarparsak: (9) elde ederiz.

X lineer uzayında 3 baz seçilsin: (10), (11), (12).

Nerede, yani (13).

O. koordinatların sıralı dönüşümü ile, elde edilen dönüşümün matrisi, dönüşüm bileşenlerinin matrislerinin ürününe eşittir.

Bir lineer operatör ve X: (I) ve (II)'de ve Y - (III) ve (IV)'de bir çift baz seçilmesine izin verin.

A operatörü, bir çift taban I - III'teki eşitliğe karşılık gelir: (14). Eşitlik (15), II - IV bazında aynı operatöre karşılık gelir. O. için bu operatör Ve iki matrisimiz var ve. Aralarında bir ilişki kurmak istiyoruz.

I'den III'e geçişte koordinat dönüşüm matrisi P olsun.

II'den IV'e geçişte koordinat dönüşüm matrisi Q olsun.

Sonra (16), (17). (16) ve (17) için ve ifadeleri (14) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

Bu eşitliği (15) ile karşılaştırarak şunu elde ederiz:

İlişki (19), aynı operatörün matrisini farklı tabanlarda birbirine bağlar. X ve Y uzaylarının çakışması durumunda, temel III'ün rolü I ve IV - II tarafından oynanır, o zaman ilişki (19) şu biçimi alır:.

Kaynakça:

3. Kostrikin A.I. Cebire giriş. bölüm II. Cebirin temelleri: üniversiteler için bir ders kitabı, -M. : Fiziksel ve matematiksel literatür, 2000, 368 s.

Ders numarası 16 (II dönem)

Tema: Matrislerin denkliği için gerekli ve yeterli bir koşul.

Aynı büyüklükteki A ve B matrislerine denir. eş değer(1) gibi iki dejenere olmayan matris R ve S varsa.

Örnek: X ve Y lineer uzaylarında farklı taban seçimleri için aynı operatöre karşılık gelen iki matris eşdeğerdir.

Yukarıdaki tanım kullanılarak aynı büyüklükteki tüm matrislerin kümesi üzerinde tanımlanan ilişkinin bir denklik bağıntısı olduğu açıktır.

Teorem 8: Aynı büyüklükteki iki dikdörtgen matrisin denk olabilmesi için aynı rankta olmaları gerekli ve yeterlidir.

Kanıt:

1. A ve B mantıklı olduğu iki matris olsun. Çarpımın derecesi (matris C), her bir faktörün sıralamasından daha yüksek değildir.

C matrisinin k-inci sütununun, A matrisinin sütunlarının vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu görüyoruz ve bu, C matrisinin tüm sütunları için geçerlidir, yani. hepsi için. O. , yani - lineer uzayın alt uzayı.

Alt uzayın boyutu uzayın boyutundan küçük veya ona eşit olduğundan, C matrisinin rankı, A matrisinin rankından küçük veya ona eşittir.

Eşitliklerde (2), i indeksini sabitleriz ve 1'den s'ye kadar tüm olası değerleri k'ye atarız. Daha sonra sistem (3)'e benzer bir eşitlik sistemi elde ederiz:

Eşitliklerden (4) görülmektedir ki i. satır C matrisinin değeri, tüm i için B matrisinin satırlarının doğrusal bir birleşimidir ve daha sonra C matrisinin satırları tarafından yayılan doğrusal gövde, B matrisinin satırları tarafından yayılan doğrusal gövdede ve sonra bu doğrusal gövdenin boyutunda bulunur. B matrisinin satır vektörlerinin doğrusal gövdesinin boyutundan küçük veya ona eşittir, bu nedenle, C matrisinin sırası, B matrisinin sıralamasından küçük veya ona eşittir.

2. A matrisinin soldaki ve sağdaki dejenere olmayan bir kare matris Q ile çarpımının rankı, A matrisinin rankına eşittir. (). Onlar. C matrisinin rankı, A matrisinin rankına eşittir.

Kanıt: Durum (1)'de kanıtlanana göre. Q matrisi dejenere olmadığı için, onun için var: ve önceki ifadede kanıtlanana göre.

3. Matrisler eşdeğer ise, aynı sıralara sahip olduklarını ispatlayalım. Tanım olarak, eğer R ve S varsa, A ve B eşdeğerdir. A'yı solda R ile ve sağda S ile çarpmak, madde (2)'de kanıtlandığı gibi aynı sıradaki matrisleri verdiğinden, A'nın sırası B'nin sırasına eşittir.

4. A ve B matrisleri aynı derecede olsun. Eşdeğer olduklarını ispatlayalım. Düşünmek.

X ve Y, tabanlarının (X temelinde) ve (Y temelinde) seçildiği iki doğrusal uzay olsun. Bildiğiniz gibi, formun herhangi bir matrisi, X'ten Y'ye hareket eden bazı lineer operatörleri tanımlar.

r, A matrisinin rankı olduğundan, vektörler arasında tam olarak r lineer bağımsız vektör vardır. Genelliği kaybetmeden, ilk r vektörlerinin lineer olarak bağımsız olduğunu varsayabiliriz. O zaman diğerleri onlar aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir ve şunu yazabilirsiniz:

X uzayında yeni bir temel tanımlıyoruz: (7)

Y uzayındaki yeni temel aşağıdaki gibidir:

Vektörler, koşullara göre lineer bağımsızdır. Bunları Y:(8) bazına kadar bazı vektörlerle tamamlayalım. O halde (7) ve (8) iki yeni X ve Y tabanıdır. Bu tabanlarda A operatörünün matrisini bulalım:

Dolayısıyla, yeni baz çiftinde, A operatörünün matrisi J matrisidir. A matrisi başlangıçta r dereceli bir rastgele dikdörtgen matristi. Aynı operatörün farklı tabanlardaki matrisleri eşdeğer olduğundan, bu, rank r biçimindeki herhangi bir dikdörtgen matrisin J'ye eşdeğer olduğunu gösterir. Bir denklik bağıntısıyla uğraştığımız için, bu, herhangi iki matrisin A ve B matrisinin form ve rank r , J matrisine eşdeğer olmak, birbirine eşdeğerdir.

Kaynakça:

1. Voevodin V.V. Lineer Cebir. Petersburg: Lan, 2008, 416 s.

2. Beklemishev DV Analitik geometri ve lineer cebir kursu. Moskova: Fizmatlit, 2006, 304 s.

3. Kostrikin A.I. Cebire giriş. bölüm II. Cebirin temelleri: üniversiteler için bir ders kitabı, -M. : Fiziksel ve matematiksel literatür, 2000, 368 s.

Ders numarası 17 (II dönem)

Tema: Özdeğerler ve özvektörler. özuzaylar. Örnekler

İlk hedefimiz, herhangi bir matrisin temel dönüşümler kullanılarak bazı standart biçimlere indirgenebileceğini kanıtlamaktır. Eşdeğer matrislerin dili bu yol boyunca kullanışlıdır.

İzin vermek. Matrisin l_eşdeğeri (n_eşdeğeri veya eşdeğeri) olduğunu söyleyeceğiz ve matrisin sonlu sayıda satır (sırasıyla, sütunlu veya satır ve sütunlu) temel dönüşümler kullanılarak matristen elde edilip edilemeyeceğini belirteceğiz (veya). n_eşdeğer ve n_eşdeğer matrislerin denk olduğu açıktır.

İlk olarak, herhangi bir matrisin yalnızca satır dönüşümleriyle indirgenmiş olarak adlandırılan özel bir forma indirgenebileceğini göstereceğiz.

İzin vermek. Bu matrisin sıfırdan farklı bir satırının, 1'e eşit bir öğe içeriyorsa, sütunun tüm öğelerinin, hariç, sıfıra eşit olması durumunda, indirgenmiş bir forma sahip olduğunu söylüyorlar. İşaretli tek satır elemanı, bu satırın önde gelen elemanı olarak adlandırılacak ve bir daire içine alınacaktır. Başka bir deyişle, bir matrisin satırı, bu matris formun bir sütununu içeriyorsa, indirgenmiş bir forma sahiptir.

Örneğin, aşağıdaki matriste

çizgi, o zamandan beri azaltılmış forma sahiptir. Bu örnekte, öğenin aynı zamanda satırın pivotu olduğunu iddia ettiğini unutmayın. Bundan sonra, verilen tipteki satırda baştakinin özelliklerine sahip birkaç eleman varsa, bunlardan sadece birini keyfi bir şekilde seçeceğiz.

Sıfırdan farklı satırların her biri indirgenmiş bir forma sahipse, bir matrisin indirgenmiş bir forma sahip olduğu söylenir. Örneğin, matris

indirgenmiş formu vardır.

Önerme 1.3 Herhangi bir matris için, indirgenmiş formda bir l_eşdeğer matrisi vardır.

Gerçekten de, matris (1.1) formuna sahipse ve içinde temel dönüşümler gerçekleştirdikten sonra

matrisi elde ederiz

çizginin indirgenmiş forma sahip olduğu.

İkinci olarak, matristeki satır azaltılmışsa, temel dönüşümler (1.20) gerçekleştirildikten sonra matris satırı azaltılacaktır. Gerçekten de, verilenden beri, öyle bir sütun var ki

ancak sonra ve sonuç olarak, dönüşümleri (1.20) gerçekleştirdikten sonra, sütun değişmez, yani. ... Bu nedenle, çizgi indirgenmiş forma sahiptir.

Şimdi, sonlu sayıda adımdan sonra, matrisin sıfır olmayan her bir satırını dönüşümlü olarak yukarıdaki şekilde dönüştürerek, indirgenmiş formda bir matris elde edeceğimiz açıktır. Matris elde etmek için sadece satır elemanter dönüşümleri kullanıldığından, matrise l_eşdeğerdir. >

Örnek 7. İndirgenmiş formda bir matris oluşturun, l_eşdeğer matris

eşdeğer matrisler

Yukarıda bahsedildiği gibi, s dereceli bir matrisin minörü, seçilen herhangi bir s satırının ve s sütununun kesişiminde bulunan orijinal matrisin öğelerinden oluşan matrisin determinantıdır.

Tanım. mn dereceli bir matriste, sıfıra eşit değilse, r dereceli bir minör temel olarak adlandırılır ve r + 1 ve daha yüksek dereceli tüm minörler sıfıra eşittir veya hiç yoktur, yani. r, m veya n'den küçük olanla eşleşir.

Temel minörün bulunduğu matrisin sütun ve satırlarına da temel denir.

Matris, aynı sıraya sahip birkaç farklı temel minöre sahip olabilir.

Tanım. Bir matrisin temel minör sırasına matrisin sırası denir ve Rg A ile gösterilir.

Elementer matris dönüşümlerinin çok önemli bir özelliği, matrisin rankını değiştirmemeleridir.

Tanım. Elementer dönüşümün bir sonucu olarak elde edilen matrislere eşdeğer denir.

Unutulmamalıdır ki eşit matrisler ve eşdeğer matrisler tamamen farklı kavramlardır.

Teorem. Bir matristeki en fazla lineer bağımsız sütun sayısı, lineer bağımsız satırların sayısına eşittir.

Çünkü temel dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez, o zaman matrisin sırasını bulma süreci önemli ölçüde basitleştirilebilir.

Örnek. Matrisin rankını belirleyin.

2. Örnek: Matrisin sırasını belirleyin.

Temel dönüşümleri kullanarak, orijinal olana eşdeğer bir matris bulmak mümkün değilse, ancak daha küçük boyutlu, o zaman matrisin sırasını bulmaya, mümkün olan en yüksek dereceden küçükleri hesaplamakla başlamalıdır. Yukarıdaki örnekte bunlar 3. dereceden minörlerdir. Bunlardan en az biri sıfıra eşit değilse, matrisin rankı bu minörün mertebesine eşittir.

Temel minör teoremi.

Teorem. Rastgele bir A matrisinde, her sütun (satır), baz minörün bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.

yani rütbe keyfi matris A, matristeki maksimum doğrusal bağımsız satır (sütun) sayısına eşittir.

A bir kare matris ise ve det A = 0 ise, bu durumda sütunlardan en az biri diğer sütunların doğrusal birleşimidir. Aynı şey dizeler için de geçerlidir. Bu ifade, determinantın sıfıra eşit olduğu lineer bağımlılık özelliğinden çıkar.

Rasgele lineer denklem sistemlerini çözme

Yukarıda bahsedildiği gibi, matris yöntemi ve Cramer yöntemi yalnızca bu sistemlere uygulanabilir. lineer denklemler Bilinmeyenlerin sayısı denklemlerin sayısına eşittir. Ardından, keyfi lineer denklem sistemlerini düşünün.

Tanım. n bilinmeyenli m denklem sistemi Genel görünüm aşağıdaki gibi yazılır:

burada aij katsayılardır ve bi sabitlerdir. Sistemin çözümleri, sisteme ikame edildiğinde denklemlerinin her birini bir özdeşliğe dönüştüren n sayıdır.

Tanım. Bir sistemin en az bir çözümü varsa buna eklem denir. Sistemin tek bir çözümü yoksa, tutarsız olarak adlandırılır.

Tanım. Bir sistemin tek çözümü varsa kesin, birden fazla çözümü varsa belirsiz olarak adlandırılır.

Tanım. Bir lineer denklem sistemi için, matris

A = sistemin matrisi olarak adlandırılır ve matris

A * = sistemin genişletilmiş matrisi olarak adlandırılır

Tanım. b1, b2,…, bm = 0 ise sisteme homojen denir. homojen bir sistem her zaman uyumludur, çünkü her zaman sıfır çözümü vardır.

Temel sistem dönüşümleri

Temel dönüşümler şunları içerir:

1) Bir denklemin her iki kısmına diğerinin karşılık gelen kısımlarının eklenmesi, sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılması.

2) Denklemlerin yer yer permütasyonu.

3) Tüm x için özdeşlikler olan denklem sisteminden çıkarma.

Kronecker - Capeli teoremi (sistem için uyumluluk koşulu).

(Leopold Kronecker (1823-1891) Alman matematikçi)

Teorem: Bir sistem tutarlıdır (en az bir çözümü vardır), ancak ve ancak sistem matrisinin sırası genişletilmiş matrisin sırasına eşitse.

(1) sisteminin şu şekilde yazılabileceği açıktır.