Bir matrise eşdeğerdir. Rasgele lineer denklem sistemlerini çözme

eşdeğer matrisler

Yukarıda bahsedildiği gibi, s dereceli bir matrisin minörü, seçilen herhangi bir s satırının ve s sütununun kesişiminde bulunan orijinal matrisin öğelerinden oluşturulan matrisin determinantıdır.

Tanım. mn dereceli bir matriste, sıfıra eşit değilse r dereceli bir minör temel olarak adlandırılır ve r + 1 ve daha yüksek dereceli tüm küçükler sıfıra eşittir veya hiç yoktur, yani. r, m veya n'den küçük olanla eşleşir.

Temel minörün üzerinde bulunduğu matrisin sütun ve satırlarına da temel denir.

Matris, aynı sıraya sahip birkaç farklı temel minöre sahip olabilir.

Tanım. Bir matrisin temel minör sırasına matrisin sırası denir ve Rg A ile gösterilir.

Temel matris dönüşümlerinin çok önemli bir özelliği, matrisin sırasını değiştirmemeleridir.

Tanım. Elementer dönüşümün bir sonucu olarak elde edilen matrislere eşdeğer denir.

Unutulmamalıdır ki eşit matrisler ve eşdeğer matrisler tamamen farklı kavramlardır.

Teorem. Bir matristeki en fazla lineer bağımsız sütun sayısı, lineer bağımsız satırların sayısına eşittir.

Çünkü temel dönüşümler matrisin sırasını değiştirmez, o zaman matrisin sırasını bulma süreci önemli ölçüde basitleştirilebilir.

Örnek. Matrisin rankını belirleyin.

2. Örnek: Matrisin sırasını belirleyin.

Elementer dönüşümleri kullanarak, orijinal olana eşdeğer bir matris bulmak mümkün değilse, ancak daha küçük boyuttaysa, matrisin sırasını bulmaya, mümkün olan en yüksek dereceden küçükleri hesaplayarak başlamalıdır. Yukarıdaki örnekte, bunlar 3. dereceden minörlerdir. Bunlardan en az biri sıfıra eşit değilse, matrisin rankı bu minörün mertebesine eşittir.

Temel minör teoremi.

Teorem. Rastgele bir A matrisinde, her sütun (satır), baz minörün bulunduğu sütunların (satırların) doğrusal bir birleşimidir.

yani rütbe keyfi matris A, matristeki maksimum doğrusal bağımsız satır (sütun) sayısına eşittir.

A bir kare matris ise ve det A = 0 ise, bu durumda sütunlardan en az biri diğer sütunların doğrusal bir birleşimidir. Aynı şey dizeler için de geçerlidir. Bu ifade, determinantın sıfıra eşit olduğu lineer bağımlılık özelliğinden çıkar.

Rasgele lineer denklem sistemlerini çözme

Yukarıda bahsedildiği gibi, matris yöntemi ve Cramer yöntemi, yalnızca bilinmeyenlerin sayısının denklem sayısına eşit olduğu lineer denklem sistemlerine uygulanabilir. Ardından, keyfi lineer denklem sistemlerini düşünün.

Tanım. n bilinmeyenli m denklem sistemi Genel görünüm aşağıdaki gibi yazılır:

burada aij katsayılardır ve bi sabitlerdir. Sistemin çözümleri, sisteme ikame edildiğinde denklemlerinin her birini bir özdeşliğe dönüştüren n sayıdır.

Tanım. Bir sistemin en az bir çözümü varsa, buna eklem denir. Sistemin tek bir çözümü yoksa, tutarsız olarak adlandırılır.

Tanım. Bir sistemin tek çözümü varsa kesin, birden fazla çözümü varsa belirsiz olarak adlandırılır.

Tanım. Bir lineer denklem sistemi için, matris

A = sistemin matrisi olarak adlandırılır ve matris

A * = sistemin genişletilmiş matrisi olarak adlandırılır

Tanım. b1, b2,…, bm = 0 ise sistem homojen olarak adlandırılır. homojen bir sistem her zaman uyumludur, çünkü her zaman sıfır çözümü vardır.

Temel sistem dönüşümleri

Temel dönüşümler şunları içerir:

1) Bir denklemin her iki tarafına diğerinin karşılık gelen kısımlarının eklenmesi, sıfıra eşit olmayan aynı sayı ile çarpılması.

2) Denklemlerin yerlerde permütasyonu.

3) Tüm x için özdeşlikler olan denklem sisteminden çıkarma.

Kronecker - Capeli teoremi (sistem için uyumluluk koşulu).

(Leopold Kronecker (1823-1891) Alman matematikçi)

Teorem: Bir sistem tutarlıdır (en az bir çözümü vardır), ancak ve ancak sistem matrisinin sırası genişletilmiş matrisin sırasına eşitse.

(1) sisteminin şu şekilde yazılabileceği açıktır.

İlk hedefimiz, herhangi bir matrisin temel dönüşümler kullanılarak bazı standart biçimlere indirgenebileceğini kanıtlamaktır. Eşdeğer matrislerin dili bu yol boyunca yararlıdır.

İzin vermek. Matrisin l_eşdeğeri (n_eşdeğeri veya eşdeğeri) olduğunu söyleyeceğiz ve matrisin sonlu sayıda satır (sırasıyla, sütunlu veya satır ve sütunlu) temel dönüşümler kullanılarak matristen elde edilip edilemeyeceğini belirteceğiz (veya). n_eşdeğer ve n_eşdeğer matrislerin denk olduğu açıktır.

İlk olarak, herhangi bir matrisin yalnızca satır dönüşümleriyle indirgenmiş olarak adlandırılan özel bir forma indirgenebileceğini göstereceğiz.

İzin vermek. Bu matrisin sıfırdan farklı bir satırının, 1'e eşit bir öğe içeriyorsa, sütunun tüm öğelerinin, dışında, sıfıra eşit olması durumunda, indirgenmiş bir forma sahip olduğunu söylüyorlar. İşaretli tek satır elemanı, bu satırın önde gelen elemanı olarak adlandırılacak ve bir daire içine alınacaktır. Başka bir deyişle, bir matrisin satırı, bu matris formun bir sütununu içeriyorsa, indirgenmiş bir forma sahiptir.

Örneğin, aşağıdaki matriste

çizgi, o zamandan beri azaltılmış forma sahiptir. Bu örnekte, öğenin aynı zamanda satırın pivotu olduğunu iddia ettiğini unutmayın. Aşağıda, verilen tipteki satırda baştakinin özelliklerine sahip birkaç eleman varsa, bunlardan sadece birini keyfi bir şekilde seçeceğiz.

Sıfırdan farklı satırların her biri indirgenmiş bir forma sahipse, bir matrisin indirgenmiş bir forma sahip olduğu söylenir. Örneğin, matris

indirgenmiş formu vardır.

Önerme 1.3 Herhangi bir matris için, indirgenmiş formda bir l_eşdeğer matrisi vardır.

Gerçekten de, matris (1.1) formuna sahipse ve içinde temel dönüşümler gerçekleştirdikten sonra

matrisi alıyoruz

çizginin indirgenmiş forma sahip olduğu.

İkinci olarak, matristeki satır azaltılmışsa, temel dönüşümler (1.20) gerçekleştirildikten sonra matris satırı azaltılacaktır. Gerçekten de, verilenden beri, öyle bir sütun var ki

ancak sonra ve sonuç olarak, dönüşümleri (1.20) gerçekleştirdikten sonra, sütun değişmez, yani. ... Bu nedenle, çizgi indirgenmiş forma sahiptir.

Şimdi, sonlu sayıda adımdan sonra, matrisin sıfır olmayan her satırını dönüşümlü olarak yukarıdaki şekilde dönüştürerek, indirgenmiş formda bir matris elde ettiğimiz açıktır. Matris elde etmek için sadece satır elemanter dönüşümleri kullanıldığından, matrise l_eşdeğerdir. >

Örnek 7. Matrise l_eşdeğer bir indirgenmiş form matrisi oluşturun

Matrislerin eşitliği ve denkliği kavramlarına sıklıkla rastlanmaktadır.

tanım 1

$ A = \ sol (a_ (ij) \ sağ) _ (m \ çarpı n) $ matrisine $ B = \ sol (b_ (ij) \ sağ) _ (k \ çarpı l) $ matrisine eşit denir , boyutları $ (m = k, n = l) $ çakışırsa ve karşılaştırılan matrislerin karşılık gelen öğeleri birbirine eşitse.

Genel formda yazılan 2. mertebeden matrisler için matrislerin eşitliği aşağıdaki gibi yazılabilir:

örnek 1

Verilen matrisler:

1) $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ), B = \ sol (\ başlangıç ​​( dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $;

2) $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ), B = \ sol (\ başlangıç ​​( dizi) (c) (-3) \\ (2) \ bitiş (dizi) \ sağ) $;

3) $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ), B = \ sol (\ başlangıç ​​( dizi) (cc) (2) ve (4) \\ (1) ve (3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $.

Matrislerin eşit olup olmadığını belirleyin.

1) $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ), B = \ sol (\ başlangıç ​​( dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $

A ve B matrisleri, 2 $ \ çarpı $ 2'ye eşit aynı sıraya sahiptir. Karşılaştırılan matrislerin karşılık gelen elemanları eşittir, bu nedenle matrisler eşittir.

2) $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ), B = \ sol (\ başlangıç ​​( dizi) (c) (-3) \\ (2) \ bitiş (dizi) \ sağ) $

A ve B matrislerinin sırasıyla 2 $ \ çarpı 2 $ ve 2 $ \ çarpı 1 $'a eşit farklı sıralamaları vardır.

3) $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (cc) (2) & (0) \\ (-1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ), B = \ sol (\ başlangıç ​​( dizi) (cc) (2) & (4) \\ (1) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $

A ve B matrisleri, 2 $ \ çarpı $ 2'ye eşit aynı sıraya sahiptir. Ancak, karşılaştırılan matrislerin karşılık gelen tüm öğeleri eşit değildir, bu nedenle matrisler eşit değildir.

tanım 2

Bir matrisin temel dönüşümü, matrislerin denkliğinin korunduğu bir dönüşümdür. Başka bir deyişle, bir temel dönüşüm, verilen matrisin temsil ettiği lineer cebirsel denklemler sisteminin (SLAE) çözüm kümesini değiştirmez.

Matris dizilerinin temel dönüşümleri şunları içerir:

• bir matris satırını sıfır olmayan bir sayı $ k $ ile çarpmak (matrisin determinantı $ k $ kat artar);
• matrisin herhangi iki satırının permütasyonu;
• matrisin bir satırının elemanlarına diğer satırının elemanlarını eklemek.

Aynısı bir matrisin sütunları için de geçerlidir ve temel sütun dönüşümleri olarak adlandırılır.

tanım 3

A matrisinden temel bir dönüşüm yoluyla B matrisine geçtiysek, orijinal ve elde edilen matrislere eşdeğer denir. Matrislerin denkliğini belirtmek için "$ \ sim $" işaretini kullanın, örneğin, $ A \ sim B $.

Örnek 2

Verilen bir matris: $ A = \ left (\ start (dizi) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $.

Sırayla matris satırlarının temel dönüşümlerini gerçekleştirin.

A matrisinin ilk satırı ile ikinci satırını değiştirelim:

B matrisinin ilk satırını 2 sayısıyla çarpalım:

İlk satırı matrisin ikinci satırına ekleyin:

tanım 4

Basamaklı bir matris, aşağıdaki koşulları sağlayan bir matristir:

• matriste sıfır satır varsa, altındaki tüm satırlar da sıfırdır;
• sıfırdan farklı her satırın sıfırdan farklı ilk elemanı, bu satırın üzerindeki satırda pivot elemanın tam sağına yerleştirilmelidir.

Örnek 3

Matrisler $ A = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & ( 3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $ ve $ B = \ sol (\ başlangıç ​​(dizi) (ccc) (1) & (2) & (3) \\ (0) & (2) & (7) \\ (0) & (0) & (0) \ end (dizi) \ sağ) $ adım matrisleridir.

Yorum Yap

Eşdeğer dönüşümler kullanarak matrisi kademeli bir forma indirmek mümkündür.

Örnek 4

Verilen bir matris: $ A = \ left (\ start (dizi) (ccc) (-2) & (1) & (4) \\ (1) & (0) & (3) \\ (1) & ( 2) & (3) \ bitiş (dizi) \ sağ) $. Matrisi kademeli bir forma indirgeyin.

A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını değiştirelim:

B matrisinin ilk satırını 2 sayısı ile çarpalım ve ikinci satıra ekleyelim:

C matrisinin ilk satırını -1 sayısı ile çarpalım ve üçüncü satıra ekleyelim:

D'nin ikinci satırını -2 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin:

$ K = \ sol (\ başla (dizi) (cc) (1) & (0) & (3) \\ (0) & (1) & (10) \\ (0) & (0) & (- 20) \ end (dizi) \ sağ) $ basamaklı bir matristir.