Fourier Harmonics. Fila de Fourier

Fourier y Hartley transforman la transformación de las funciones de tiempo en la función de frecuencia que contiene información y fase de amplitud. A continuación se muestran los gráficos de la función continua. gRAMO.(t.) y discreto gRAMO.(τ), donde t. Y τ - momentos de tiempo.

Ambas funciones comienzan en cero, el salto alcanza un valor positivo y se desvanece de manera exponencial. Por definición, la transformada de Fourier para una función continua es una integral en todo el eje real, F.(f.), y para una función discreta, la cantidad por el conjunto final de referencias, F.(ν):

dónde f., ν - Valores de frecuencia, nORTE. - el número de valores selectivos de la función, y i.\u003d √ -1 - Unidad imaginaria. La representación integral es más adecuada para los estudios teóricos, y la representación en forma de una cantidad finita es para calcular la computadora. La conversión integral y discreta de Hartley se definen de la misma manera:

Aunque la única diferencia en la notación entre Fourier y Hartley Definiciones es la presencia de un multiplicador delante del seno, el hecho de que la transformación de Fourier tiene tanto válida como la parte imaginaria, hace que las presentaciones de estas dos transformaciones sean completamente diferentes. Transformaciones discretas Fourier y Hartley son esencialmente la misma forma que sus análogos continuos.

Aunque se muestran los gráficos diferentes, de las transformaciones de Fourier y Hartley, como se muestra a continuación, la misma información sobre amplitud y fase.

La amplitud de Fourier está determinada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de partes válidas e imaginarias. La amplitud de Hartley está determinada por la raíz cuadrada de la suma de cuadrados. H.(-Ν) y H.(ν). La fase de Fourier está determinada por el arctangente de la parte imaginaria dividida por la parte real, y la fase Hartley se determina por la cantidad de 45 ° y arctangente de H.(-Ν) dividido por H.(ν).

Descomposición de funciones periódicas no velocidas.

Definiciones generales

Parte 1. La teoría de las cadenas lineales (continuación)

Ingenieria Eléctrica

BASES TEÓRICAS

Tutorial Para estudiantes de especialidades de energía eléctrica.

T. Cadenas eléctricas de corriente sin sentido periódico

Como es bien conocido, se adopta una forma sinusoidal en la industria eléctrica como forma estándar para corrientes y tensiones. Sin embargo, en condiciones reales, la forma de las curvas y voltajes puede ser diferente del sinusoidal a una u otra forma. La distorsión de las formas de curvas de estas funciones en los receptores conduce a pérdidas de energía adicionales y una disminución en su eficiencia. La sinusoidalidad de la forma de la curva de voltaje del generador es uno de los indicadores de calidad de la energía eléctrica como producto.

Las siguientes razones para la distorsión de la forma de las curvas de corrientes y tensiones en la cadena compleja son posibles:

1) La presencia en el circuito eléctrico de elementos no lineales, cuyos parámetros dependen de los valores instantáneos de la corriente y el voltaje [ R, l, c \u003d f(u, yo.)], (por ejemplo, dispositivos rectificadores, unidades de soldadura eléctrica, etc.);

2) la presencia en el circuito eléctrico de elementos paramétricos cuyos parámetros cambian con el tiempo [ R, l, c \u003d f(t.)];

3) La fuente de energía eléctrica (generador trifásico) debido a las características estructurales no puede proporcionar la forma sinusoidal perfecta del voltaje de salida;

4) Influencia en los factores complejos mencionados anteriormente.

Las cadenas no lineales y paramétricas se discuten en capítulos separados del curso del Toe. Este capítulo examina el comportamiento de los circuitos eléctricos lineales cuando se exponen a fuentes de energía en ellas con una curva no centrada.

Desde el curso de las matemáticas, se sabe que cualquier función de tiempo periódico. f.(t.), satisfacer las condiciones de dirichle, puede ser representado por el armónico cerca de Fourier:

Aquí PERO 0 - Componente constante - k.- Componente armónico o abreviado. k.- Harmonica. El 1er armónico se llama el principal, y todo subsiguiente, mayor.

Las amplitudes de armónicos individuales. Un k. No dependa del método de descomposición de la función. f.(t.) En serie Fourier, al mismo tiempo, las fases iniciales de armónicos individuales dependen de la selección del inicio del tiempo (el inicio de las coordenadas).

Los armónicos separados de la serie Fourier se pueden representar como la suma de los componentes del seno y coseno:

Luego, toda la gama de Fourier recibirá una vista:

Las proporciones entre los coeficientes de las dos formas de la serie Fourier tienen la forma:

Si un k.- El armónico y sus componentes de seno y coseno se reemplazan por números complejos, la relación entre los coeficientes de la serie Fourier se puede representar en una forma integral:

Si se establece la inconsistencia periódica de la función de tiempo (o puede expresarse) analíticamente en forma de una ecuación matemática, entonces los coeficientes de la serie Fourier están determinados por fórmulas conocidas a partir de la tasa de matemáticas:

En la práctica, la función no conjuncional investigada. f.(t.) Generalmente se especifica como un diagrama gráfico (gráficamente) (Fig. 118) o en forma de tabla de coordenadas de tabla (tabla) en el intervalo de un período (Tabla 1). Para realizar un análisis armónico de tal función de acuerdo con las ecuaciones dadas anteriormente, debe reemplazarse previamente con una expresión matemática. Reemplazo de la función especificada gráficamente o en la tabla con una ecuación matemática, obtuvo el nombre de la aproximación de la función.

Inicio\u003e Ley

Cadenas de corriente no censoroidal.

Hasta ahora, estudiamos las cadenas actuales sinusoidales, sin embargo, la ley de cambios en el tiempo puede diferir del sinusoidal. En este caso, hay una cadena de una corriente no conjuncida. Todas las corrientes no censoroidales se dividen en tres grupos: periódico, es decir, Tener un período T. (Fig.6.1, a), no periódico (Fig.6.1, B) y casi periódico que tiene un sobre cambiante periódicamente ( T. o) y el período de los impulsos ( T. y) (fig.6.1, b). Hay tres formas de obtener corrientes no centradas: a) En la cadena hay un EMF no monosoideo; b) la cadena actúa un EMF sinusoidal, pero uno o más elementos de la cadena son no lineales; c) En la cadena hay un EMF sinusoidal, pero los parámetros de uno o más elementos de la cadena se cambian periódicamente con el tiempo. En la práctica, el método B se usa más a menudo). La mayor propagación de corrientes no novinosoides recibidas en dispositivos de ingeniería de radio, automatización, telemecánica y equipos de computación, donde se encuentran los impulsos de la forma más diversa. Hay inconsistencia y industria eléctrica. Consideraremos solo voltajes y corrientes de tonterías periódicas que puedan ser descompuestas en componentes armónicos.

Descomposición de curvas periódicas no centradas en la fila trigonométrica de Fourier.

Los fenómenos que se producen en circuitos lineales a estrés y corrientes periódicas no centradas son las más fáciles de calcular e investigar si las curvas desasuitsides se encuentran en serie trigonométrica Fourier. De las matemáticas se sabe que la función periódica. f (ωt)satisfactoria las condiciones de dirichle, es decir, Tener un número finito de brechas de solo el primer tipo y un número finito de altos y mínimos, se puede descomponer en la serie de Fourier Trigonométrica.

f (ωt) \u003d a o. +
sinωt +.
sin2ωt +.
sin3ωt + ··· +
cosωt +.
cos2ωt +.
cos3ωt + ··· \u003d

UNA. o. +
.

Aquí: UNA. o. - Componente constante o cero armónico;
- la amplitud del componente sinusal. k.Armónicos;
- la amplitud del componente coseno. k.-d armónicos. Están determinados por las siguientes fórmulas.

Desde donde se sigue del diagrama de vectores (Fig.6.2), entonces obtenemos

.

Los componentes incluidos en esta expresión se denominan armónicos. Distinguir incluso ( k. - Incluso) y extraños armónicos. El primer armónico se llama el principal, y el resto es mayor. La última forma de la serie Fourier es conveniente cuando es necesario conocer el porcentaje de cada armónico. La misma forma de una serie de Fourier se utiliza para calcular las cadenas de la corriente no censoroidal. Aunque teóricamente, la serie Fourier contiene un número infinitamente grande de componentes, pero generalmente converge rápidamente. Un convergente cerca puede expresar una función dada con cualquier grado de precisión. En la práctica, es suficiente tomar un pequeño número de armónicos (3-5) para obtener la precisión de los cálculos de varios por ciento.

Características de la descomposición en una fila de curvas de Fourier, posee simetría.

1. Curvas, media para el período de cuyo valor es cero, no contienen un componente constante (cero armónicos). 2.
f (ωt) \u003d - F (ωt + π), se llama simétrico en relación con el eje de abscisa. Este tipo de simetría es fácil de determinar el tipo de curva: si se desplaza al eje X en el eje Abscissa, se refleja para reflejar y, al mismo tiempo, se apresura con una curva de fuente (Fig. 6.3), entonces La simetría está disponible. Al descomponer una curva de este tipo en una serie de Fourier, no hay un componente constante y todos los armónicos, ya que no satisfacen la condición. F (ωt) \u003d - F (ωt + π).

f (ωt) \u003d Sin (ωt + ψ 1 ) + pecado (3Ωt + ψ 3 )+
pecado (5Ωt + ψ 5 )+···.

3
. Si la función satisface la condición. f (ωt) \u003d f (-ωt), se llama simétrico en relación con el eje de ordenación (incluso). Este tipo de simetría es fácil de determinar el tipo de curva: si la curva, el eje izquierdo de la ordenada, reflejando y se resuelve con la curva de origen, entonces la simetría está disponible (Fig. 6.4). Al descomponer una curva de este tipo en una serie de Fourier en este último, no habrá componentes sinusales de todos los armónicos ( = f (ωt) \u003d f (-ωt).En consecuencia, para tales curvas.

f (ωt) \u003d a acerca de +
cosωt +.
cos2ωt +.
cos3ωt + ···.

4
. Si la función satisface la condición. f (ωt) \u003d - F (--ωt), se llama simétrico sobre el origen de las coordenadas (impar). La presencia de este tipo de simetría es fácil de determinar la vista de la curva: si la curva que se encuentra al eje izquierdo de la ordenada para implementar relativamente puntos El origen de las coordenadas y se resuelve con la curva de origen, entonces la simetría está disponible (Fig. 6.5). Al descomponer una curva de este tipo en una serie de Fourier, no habrá componentes de coseno de todos los armónicos (
= 0) porque no satisfacen la condición f (ωt) \u003d - f (--- ωt).En consecuencia, para tales curvas.

f (ωt) \u003d
sinωt +.
sin2ωt +.
sin3ωt + ···.

En presencia de cualquier simetría en las fórmulas para y Puede tomar la integral por el medio período, pero el resultado se duplica, es decir,. Utilizar expresiones

En curvas hay varios tipos de simetría al mismo tiempo. Para facilitar el tema de los componentes armoniosos en este caso, rellene la tabla.

Tipo de simetría	Expresión analítica
1. Axis Abscissa	f (ωt) \u003d - F (ωt + π)		Solo extraño
2. Los ejes de la ordenada.	f (ωt) \u003d f (-ωt)
3. El inicio de las coordenadas.	f (ωt) \u003d - F (--ωt)
4. Eje absissal y ordinar ejes.	f (ωt) \u003d - F (ωt + π) \u003d f (-ωt)			Impar
5. El eje de la abscisa y el comienzo de las coordenadas.	f (ωt) \u003d - F (ωt + π) \u003d - f (-ωt)		Impar

Al establecer la curva en la fila de Fourier, se debe aclarar por primera vez, ya sea que no tenga ningún tipo de simetría, cuya presencia le permite predecir de antemano qué armónicos estarán en una cantidad de Fourier y no cumplan más. trabajo.

Descomposición grafanalítica de curvas en una fila de Fourier.

Cuando la curva no censoroidal está establecida por un gráfico o una tabla y no tiene una expresión analítica, para determinar su recurso de armónicos a la descomposición grafoanalítica. Se basa en el reemplazo de una cierta integral de la suma del número final de los términos. Para este propósito, el período de función. f (ωt)roto en nORTE. partes iguales δ. ωt \u003d.2π / nORTE.(Fig. 6.6). Entonces para cero armónicos

dónde: r - Índice actual (número de área) que acepta valores de 1 a nORTE.; f. r (Ωt) -función de significado f (ωt)por ωt \u003d p ·Δ ωt.(Ver Fig. 6.6) . Para la amplitud del componente sinusal. k.Harmónica

Para la amplitud del componente coseno. k.Harmónica

Aquí pecado. pag. kΩt. y cos. pag. kΩt.- valores sinkωt.y cOSKΩT.por ωt \u003d p ·. En los cálculos prácticos suelen tomar nORTE.\u003d 18 (δ ωt \u003d.20˚) o nORTE.\u003d 24 (Δ ωt \u003d.15). En caso de descomposición grafanalítica de curvas en una serie de Fourier aún más importante que cuando la analítica se entere de si no tiene ningún tipo de simetría, la presencia de la cual reduce significativamente el volumen. trabajo computacional. Así, fórmulas para y En presencia de simetría toma la vista.

Al construir un armónico en general, es necesario tener en cuenta que la escala del eje abscisa para k.Harmonics B. k.una vez más que para el primero.

Valores máximos, promedio y activos de tonterías.

Los valores periódicos no monosoideos, además de sus componentes armónicos, se caracterizan por los valores máximos, promedio y de actuación. Valor máximo PERO M es el valor del módulo de función para el período más grande (Fig.6.7). El valor promedio del módulo se determina por lo que

.

Si la curva es simétrica en relación con el eje de abscisa y durante el medio período, nunca cambia el signo, entonces el valor del módulo promedio es igual al valor promedio para la mitad

,

y en este caso, se debe seleccionar el inicio del conteo de tiempo para que f (0)= 0. Si la función durante todo el período nunca cambia el letrero, entonces su módulo promedio es igual al componente constante. En las cadenas de corriente no censusoidal bajo los valores de EDC, subrayos o corrientes entienden sus valores válidos determinados por la fórmula

.

Si la curva se descompone en una serie de Fourier, su valor de actuación se puede determinar de la siguiente manera.

Aclaremos el resultado. El producto del sinusoide de diferente frecuencia ( kΩ. y yo.) Es una función armónica, y la integral por un período de cualquier función armónica es cero. La integral que es un signo de la primera cantidad se definió en los circuitos sinusoidales y se mostró su valor allí. Por eso,

.

A partir de esta expresión, se deduce que el valor activo de los valores periódicos no censusosides depende solo de los valores válidos de sus armónicos y no dependa de sus fases iniciales ψ k. . Damos un ejemplo. Dejar u.=120
pecado (314. t.+ 45˚) -50sin (3 · 314 t.-75˚) B.. Es válido

Hay casos en que el promedio para el módulo y los valores activos de los valores no intrusivos se pueden calcular en función de la integración de la expresión analítica de la función y luego no hay necesidad de colocar la curva en una fila de Fourier. En la industria eléctrica, donde las curvas son predominantemente simétricas con respecto al eje de abscisas, se utilizan varios coeficientes para caracterizar su forma. Tres de ellos obtuvieron el mayor uso: Amplitud Coeficiente k. a, forma coeficiente k. Relación F y Distorsión k. y. Están determinados así: k. A \u003d. UNA. m / UNA.; /UNA. CF; k. y \u003d. UNA. 1 /UNA. Para los sinusoides, tienen los siguientes valores: k. a \u003d; k. F \u003d π. UNA. METRO. / 2UNA. m ≈1.11; 1. D. los coeficientes rectangulares curvas (fig.6.8, a) son las siguientes: k. a \u003d 1; k. F \u003d 1; k. y \u003d 1.26 /. Para una forma torcida (en forma de PITO) (Fig. 6.8, b), los valores de los coeficientes son los siguientes: k. Y cuanto más alto cuanto más en forma de Pico es su forma; k. Ф\u003e 1.11 y cuanto más alto sea una curva puntiaguda; k. y<1 и чем более заостренная кривая, тем меньше. Как видим рассмотренные коэффициенты в определенной степени характеризуют форму кривой. Уvea una de las aplicaciones prácticas del coeficiente de distorsión. Las curvas de voltaje de la red industrial generalmente difieren de los sinusoides perfectos. En la industria eléctrica, se introduce el concepto de una curva prácticamente sinusoidal. Según el voltaje de GOST de las redes industriales, se considera prácticamente sinusoidal si la mayor diferencia entre las ordentes correspondientes de la curva verdadera y sus primeros armónicos no supera el 5% de la amplitud de la armónica principal (Fig.6.9). La medición de valores no sustanciales de dispositivos de diversos sistemas da resultados desiguales. Las voltímetros electrónicos de amplitud miden los valores máximos. Los dispositivos magnetoeléctricos reaccionan solo al componente constante de los valores medidos. Los dispositivos magnetoeléctricos con rectificador midieron el valor promedio del módulo. Los instrumentos de todos los demás sistemas miden valores válidos.

Cálculo de circuitos no conjuntoscales.

Si una o más fuentes con EDC no sinusoidal están operando en la cadena, su cálculo se desintegra en tres etapas. 1. Determinación de fuentes de EMF para componentes armónicos. Cómo hacerlo se discute anteriormente. 2. El uso del principio de superposición y el cálculo de corrientes y tensiones en la cadena de la acción de cada componente del EDC por separado. 3. Consideración conjunta (suma) de decisiones obtenidas en el párrafo 2. La suma de los componentes en general es la mayoría de las veces difícil y no siempre necesaria, ya que, sobre la base de los componentes armónicos, es posible juzgar tanto la forma de la curva como los valores principales que lo caracterizan. ACERCA DE
la segunda etapa es la segunda. Si el EMF no sinusoidal se representa junto a Fourier, entonces una fuente de este tipo puede considerarse como una conexión secuencial de la fuente del EDC constante y las fuentes de EDC sinusoidal con diferentes frecuencias (Fig. 6.10). Usando el principio de superposición y considerando el efecto de cada EDC por separado, puede determinar los componentes actuales en todas las ramas de la cadena. Dejar MI. o crea I. o, mI. 1 - i. 1 , mI. 2 - i. 2, etc. Entonces la corriente real i.=I. O +. i. 1 +i. 2 +··· . En consecuencia, el cálculo del circuito de incineración se reduce para resolver una tarea con un EDC constante y una serie de tareas con SINUSOIDAL EDC. Al resolverlas cada una de estas tareas, es necesario tener en cuenta que para diferentes frecuencias, la resistencia inductiva e capacitiva de desigual. La resistencia inductiva es directamente proporcional a la frecuencia, por lo que es para k.Armónicos x. Lk \u003d. kΩl.=kx. L1, es decir,. por k.-Y armónica esta en k.una vez más que para el primero. La resistencia capacitiva es inversamente proporcional a la frecuencia, por lo que es para k.Armónicos x. Ck \u003d 1 / kΩs=x. C1 / k.. por k.-Y armónica esta en k.una vez menor que para el primero. La resistencia activa en principio también depende de la frecuencia debido al efecto superficial, pero con las secciones pequeñas de los conductores y con bajas frecuencias, el efecto de la superficie está prácticamente ausente y está permitido asumir que la resistencia activa para todos los armónicos es igualmente. Si el voltaje no sinusoidal está conectado directamente al tanque, entonces para k.Armónicos toka

C. somos más altos que el número armónico, más pequeño para ello la resistencia del contenedor. Por lo tanto, incluso si la amplitud de voltaje de armónicos de alta orden es una parte menor de la amplitud de la primera armónica, todavía puede causar una corriente proporcional con la corriente de la armónica principal o la exceder. En este sentido, incluso a un voltaje, cerca de la corriente sinusoidal en el contenedor puede ser bruscamente no censor (Fig. 6.11). En esta ocasión, se dice que la capacidad enfatiza las corrientes de altos armónicos. Si el voltaje no sinusoidal está conectado directamente a la inductancia, entonces para k.Armónicos toka

.

CON
Aumentar el orden de armónico aumenta la resistencia inductiva. Por lo tanto, en la corriente a través de la inductancia, los armónicos más altos se presentan en menor medida que en el voltaje en sus clips. Incluso con voltaje sin problemas, la curva de corriente en la inductancia a menudo se acerca a la sinusoide (Fig. 6.12). Por lo tanto, se dice que la inductancia trae la curva actual al sinusoide. Al calcular cada componente armónico de la corriente, es posible utilizar el método complejo y construir diagramas de vectores, pero es inaceptable producir la suma geométrica de los vectores y la adición de complejos de voltaje o corrientes de diferentes armónicos. De hecho, los vectores que representan las corrientes de los primeros y terceros armónicos giran con diferentes velocidades (Fig.6.13). Por lo tanto, la suma geométrica de estos vectores da el valor instantáneo de su suma solamente ω t.\u003d 0 Y en el caso general no tiene sentido.

Potencia de corriente no censoroidal.

Además de las cadenas de la corriente sinusoidal, estamos hablando de las instalaciones consumidas por un dos polo pasivo. Bajo el poder activo, también entiende el promedio para el período de poder instantáneo.

Deje que el voltaje y la corriente en la entrada del dos polo se representarán por las filas de Fourier

Significado de sustituto u. y i. en la fórmula R

El resultado se obtuvo teniendo en cuenta que la integral para el período del producto del sinusoide de diferentes frecuencias es cero, y la integral para el período del producto del sinusoide de la misma frecuencia se determinó en la sección de los circuitos sinusoidales. . Por lo tanto, la potencia activa de las tonterías es igual a la suma de las capacidades activas de todos los armónicos. Está claro que R k. Puede ser determinado por cualquier fórmula conocida. Por analogía con la corriente sinusoidal, se introduce el concepto de potencia completa para el no sinusoidal, como producto de los valores de voltaje activo y actual, es decir, S \u003d ui.. Actitud R para S. llamado coeficiente de potencia y equivalente a un coseno de algún ángulo condicional θ . cos. θ =P / S.. En la práctica, muy a menudo los voltajes y corrientes no reemplazan son reemplazados por sinusoides equivalentes. Al mismo tiempo, debe realizar dos condiciones: 1) El valor activo del sinusoide equivalente debe ser igual al valor actual del valor del valor reemplazable; 2) Ángulo entre voltaje equivalente y sinusoides actuales. θ debería ser para que Uicos. θ igual a la potencia activa R. Por eso, θ - Este es el ángulo entre los sinusoides equivalentes de voltaje y la corriente. Típicamente, el valor sinusoide equivalente actual está cerca de los valores actuales de los armónicos principales. Por analogía con una corriente sinusoidal para un no reactivo, se introduce el concepto de poder reactivo, definido como la cantidad de capacidad reactiva de todos los armónicos

Para la corriente no censoroidal, a diferencia del sinusoidal. S. 2 ≠pag. 2 +P. 2. Por lo tanto, aquí se introduce el concepto de poder de distorsión. T.caracterizando la diferencia de formas de voltaje y curvas de corriente y se determina por lo que

Harmonics más altos en sistemas trifásicos.

En los sistemas trifásicos, las curvas de voltaje en las fases de las fases generalmente se reproducen por la fase y cambian a un tercio del período. Así que si u. A \u003d. f (ωt)T. u. En \u003d. f (ωt-2π/ 3), pero u. C \u003d. f (ωt +2π/ 3). Supongamos que los voltajes de fase de no censoroidal y se descomponen en la serie Fourier. Entonces considere k."Harmonica en las tres fases". Dejar u. AK \u003d. U. Km pecado ( kΩt + ψ k.), entonces consigue u. Tinta \u003d U. Km pecado ( kΩt + ψ k. -K.2π/ 3) I. u. Ck \u003d. U. Km pecado ( kΩt + ψ k. + K.2π/ 3). Cortar estas expresiones a diferentes valores. k., notifique que para armónicos, tres tres ( k.=3nORTE., nORTE. - Número natural de números, comenzando con 0) en todas las fases de voltaje en cualquier momento tiene el mismo valor y dirección, es decir, Formar el sistema de secuencia cero. Para k.=3n +.1 armónicos forman un sistema de voltaje, cuya secuencia coincide con la secuencia de tensiones reales, es decir, Forman un sistema de secuencia directa. Para k.=3norte-1 armónicos forman un sistema de voltaje, cuya secuencia es opuesta a la secuencia de tensiones reales, es decir, Forman un sistema de secuencia inversa. En la práctica, a menudo falta tanto el componente constante como todos los armónicos incluso, por lo tanto, en el futuro, nos limitaremos a la consideración de solo armónicos extraños. Luego, los armónicos más cercanos que forman la secuencia inversa es la quinta. En los motores eléctricos, causa el mayor daño, por lo que es con ella una lucha despiadada. Considere las características del trabajo de los sistemas trifásicos causados \u200b\u200bpor la presencia de armónicos, tres tres. una . Al conectar el generador o los devanados del transformador en un triángulo (Fig. 6.14), las ramas de este último fluyen las corrientes de armónicos, tres tres, incluso en ausencia de carga externa. De hecho, la cantidad algebraica de EDC Harmonic, múltiples tres ( MI. 3 , MI. 6, etc.), en el triángulo tiene un valor triplicado, en contraste con el resto de los armónicos, por lo que esta cantidad es cero. Si la resistencia al bobinado de fase para el tercer armónico. Z. 3, entonces la corriente de los terceros armónicos en el circuito del triángulo será I. 3 =MI. 3 /Z. 3. Similar a los sexto sexto armónicos. I. 6 =MI. 6 /Z. 6, etc. El valor activo de la corriente que fluye en los devanados será
. Dado que la resistencia de los devanados del generador es pequeña, la corriente puede alcanzar grandes cantidades. Por lo tanto, si hay armónicos, tres tres, enrollando el generador o transformador en la fase Emps, no se conectan. 2. . Si conecta el devanado del generador o transformador en un triángulo abierto (Fig. 6.155, entonces el voltaje será válido en sus clips iguales a la cantidad de armónica de EMF, tres tres, es decir, u. Bx \u003d 3. MI. 3m pecado (3 ωt + ψ 3)+3MI. 6m pecado (6 ωt + ψ 6)+3MI. 9m pecado (9 ωt + ψ 9)+···. Es válido

.

El triángulo abierto se usa generalmente antes de conectar los devanados del generador a un triángulo convencional para verificar la posibilidad de realización sin problemas de este último. 3. Voltajes lineales, independientemente del esquema para conectar los devanados del generador o un transformador, armónico, tres tres, no contienen. Cuando el triángulo está conectado, los EDC de fase que contienen armónicos, varios tres, se compensan mediante una caída de voltaje en la resistencia interna de la fase del generador. De hecho, de acuerdo con la segunda ley de Kirchoff para el tercero, por ejemplo, se pueden registrar armónicos para el esquema FIG.6.14 U. AB3 +. I. 3 Z. 3 =MI. 3, donde conseguimos U. AB3 \u003d 0. Similar a cualquiera de los armónicos, tres tres. Al conectarse a una estrella, las tensiones lineales son iguales a la diferencia entre la Fase EDS correspondiente. Para los armónicos, tres tres, al elaborar estas diferencias, la Fase EMF se destruye porque forman un sistema de secuencia cero. Por lo tanto, los componentes de todos los armónicos pueden estar presentes en los voltajes de fase y su valor válido. En los voltajes lineales de armónicos, faltan múltiples tres, por lo tanto, su valor válido. En este sentido, en presencia de armónicos, tres tres, U. l / U. F.<
. 4. En los esquemas sin cables cero, las corrientes de armónicos, tres tres, no pueden cerrarse, ya que forman un sistema de secuencia cero y solo se pueden cerrar en presencia de este último. Al mismo tiempo, incluso hay un voltaje entre los puntos cero del receptor y la fuente, incluso en el caso de una carga simétrica, un voltaje igual a la cantidad de armónico EMF, tres tres, es ser convencido fácilmente por el Ecuación de la Segunda Ley de Kirchhoff, teniendo en cuenta el hecho de que faltan estos armónicos. Valor instantáneo de este voltaje. u. 0 1 0 =MI. 3m pecado (3 ωt + ψ 3)+MI. 6m pecado (6 ωt + ψ 6)+MI. 9m pecado (9 ωt + ψ 9)+···. Es válido
. 5. En el esquema de estrella estrella con cable cero (Fig. 6.16), las corrientes de la armónica, tres múltiples, incluso en el caso de una carga simétrica, si la fase EDS contiene los armónicos especificados. Teniendo en cuenta que los armónicos, tres tres, forman un sistema de secuencia cero, se pueden grabar

Descripciones generales

Fourier de matemáticas francesas (J. B. J. Fourier 1768-1830) La adquisición dijo que una hipótesis lo suficientemente valiente por su tiempo. De acuerdo con esta hipótesis, no hay ninguna función que no pueda descomponerse en la fila trigonométrica. Sin embargo, lamentablemente, en ese momento, tal idea no se percibió en serio. Y es natural. El mismo Fourier no pudo llevar la evidencia convincente, y es muy difícil de intuitaria en la hipótesis de Fourier. Especialmente difícil de imaginar el hecho de que al agregar funciones simples similares a trigonométricas, las funciones se reproducen, no similares a ellas. Pero si asumimos que la hipótesis de Fourier es cierta, entonces la señal periódica de cualquier forma se puede descomponer en los sinusoides de diferentes frecuencias, o viceversa, por medio de la adición correspondiente al sinusoide con diferentes frecuencias, es posible sintetizar el Señal de cualquier forma. Por lo tanto, si esta teoría es cierta, su papel en el procesamiento de la señal puede ser muy grande. En este capítulo, primero intentará ilustrar la corrección de la hipótesis de Fourier.

Considerar una función

f (t) \u003d2SIN. T -pecado. 2t.

Serie trigonométrica simple

La función es la suma de las funciones trigonométricas, en otras palabras, se representa como una serie trigonométrica de dos miembros. Agregue una categoría y cree una nueva fila de tres miembros

Después de agregar varios términos, obtenemos una nueva fila trigonométrica de diez miembros:

Los coeficientes de esta serie trigonométrica se denotan como b. K. , donde k. - números enteros. Si observa cuidadosamente la última relación, se puede ver que los coeficientes se pueden describir mediante la siguiente expresión:

Luego, la función f (t) se puede representar de la siguiente manera:

Factores b. K. - estos son amplitudes sinusoide con una frecuencia angular. para.En otras palabras, especifican la cantidad de componentes de frecuencia.

Considerado el caso cuando el índice superior paraigual a 10, es decir, M \u003d.10. Ampliación METRO.hasta 100, obtenemos una función. f (t).

Esta función, ser trigonométrica cercana, en forma se acerca a una señal en forma de sierra. Y, parece que la hipótesis de Fourier es bastante cierta en relación con las señales físicas con las que estamos tratando. Además, en este ejemplo, la forma de la señal no es suave, sino que incluye los puntos de separación. Y el hecho de que la función se reproduzca incluso en los puntos de interrupción parece una promesa.

En el mundo físico, existen muchos fenómenos que pueden representarse como la cantidad de oscilaciones de diferentes frecuencias. Un ejemplo típico de estos fenómenos es la luz. Es una cantidad de ondas electromagnéticas con una longitud de onda de 8,000 a 4000 angstrom (desde el color rojo del púrpura). Por supuesto, sabes que si la luz blanca se salta a través del prisma, aparecerán un espectro de siete colores puros. Esto se debe a que el índice de refracción del vidrio, desde el cual se fabrica el prisma, varía según la longitud de la onda electromagnética. Es solo evidencia de que la luz blanca es la suma de las ondas de luz de diferentes longitudes. Entonces, saltando la luz a través del prisma y ha recibido su espectro, podemos analizar las propiedades de la luz, explorando las combinaciones de colores. Así, a través de la descomposición de la señal recibida a varios componentes de frecuencia, podemos descubrir cómo se originó la señal inicial, en qué camino siguió o finalmente, en qué influencia externa fue sometida. En resumen, podemos obtener información para aclarar el origen de la señal.

Tal método de análisis se llama análisis espectralo análisis de Fourier.

Considere el siguiente sistema de funciones ortonormales:

Función f (t)puede descomponerse sobre este sistema de funciones en el segmento [-π, π] de la siguiente manera:

Los coeficientes α. kβ K, como se muestra anteriormente, se puede expresar a través de las obras escalares:

En general, la función. f (t) Puede ser representado de la siguiente manera:

Los coeficientes α. 0 , α kβ k llamado coeficientes de Fouriery esta presentación de la función se llama. descomposición en una serie de Fourier.A veces se llama así una representación. válidola descomposición en una fila de Fourier, y coeficientes, los coeficientes de Fourier válidos. Se introduce el término "válido" para distinguir la descomposición de la descomposición en una fila de Fourier en una forma integral.

Como se mencionó anteriormente, una función arbitraria se puede descomponer en el sistema de funciones ortogonales, incluso si las funciones de este sistema no se envían en forma de una serie trigonométrica. Por lo general, bajo descomposición en la serie Fourier, se implica la descomposición a la serie trigonométrica. Si los coeficientes de Fourier expresan a través de α. 0 , α kβ k recibimos:

Desde cuando K. \u003d 0 COSKT.\u003d 1, entonces constante un 0/2expresa una visión general del coeficiente. un k.por k.= 0.

En relación (5.1), la fluctuación del período más grande representado por la suma. cos.t i. pecado.t, llamado oscilación de la frecuencia principal o primer armónico.Oscilación con un período igual a la mitad del período principal llamado el segundo. armónico.Oscilación con un período de 1/3 del período anterior llamado tercer armónicoetc. Como se puede ver en la proporción (5.1) uNA. 0 es un valor permanente que expresa la función promedio F (t). Si la función f (t)representa una señal eléctrica entonces un 0.representa su componente constante. En consecuencia, todos los demás coeficientes de Fourier expresan sus componentes variables.

En la Fig. 5.2 Muestra la señal y su descomposición en el rango de Fourier: sobre el componente constante y los armónicos de diferentes frecuencias. En el dominio de tiempo, donde el valor de la variable es el tiempo, la función se expresa la señal. f (t), Y en el dominio de frecuencia, donde el valor de la variable es la frecuencia, la señal aparece en los coeficientes de Fourier (Un k, b k).

El primer armónico es una función periódica con un período. 2 π. Los primeros armónicos también tienen un período de múltiples. 2 π . Basado en esto, en la formación de una señal de los componentes de la serie Fourier, naturalmente obtuvimos una función periódica con un período 2 π. Y si es así, la descomposición en la serie Fourier es, de hecho, el método de representación de funciones periódicas.

Difundir en una fila de la señal de Fourier de una especie encontrada con frecuencia. Por ejemplo, considere la curva aserrada mencionada anteriormente (Fig. 5.3). Señal de tal forma en el segmento - π < t < π es expresado por la función f ( t)= t.Por lo tanto, los coeficientes de Fourier se pueden expresar de la siguiente manera:

Ejemplo 1.

Descomposición en una serie de señal de Fourier de una sierra.

f (t) \u003d t,

En el capítulo anterior, nos familiaricamos con otro punto de vista sobre el sistema fluctuante. Vimos que en la cadena hay varios armónicos propios y que cualquier oscilación privada, que solo se puede obtener a partir de las condiciones iniciales, se puede ver como una combinación de varias de manera simultánea oscilando sus propios armónicos en la proporción adecuada. Para la cadena, encontramos que nuestros propios armónicos tienen frecuencias Ω 0, 2Ω 0, ZΩ 0, .... Por lo tanto, el movimiento más común de la cadena está hecho de oscilaciones sinusoidales de la frecuencia principal Ω 0, luego la segunda armónica 2Ω 0, luego la tercera armónica de ZΩ 0, etc. El armónico principal se repite a través de cada período T 1 \u003d 2π / ω 0, el segundo armónico: a través de cada período t 2 \u003d 2π / 2Ω 0; Ella repite ademásy por cada periodo T. 1 \u003d 2t. 2 , es decir, después de dossus periodos. Exactamente de la misma manera T. 1 se repite el tercer armónico. Tres períodos se apilan en este segmento. Y otra vez entendemos por qué la cadena está condenada después del período T. 1 repite completamente la forma de su movimiento. Así que resulta un sonido musical.

Hasta ahora, hablamos sobre el movimiento de la cuerda. pero sonido,cuál es el movimiento del aire causado por el movimiento de la cadena, también debe consistir en los mismos armónicos, aunque aquí ya no podemos hablar de nuestros propios armónicos del aire. Además, la resistencia relativa de varios armónicos en el aire puede ser completamente diferente a la cadena, especialmente si la cadena está "conectada" con aire a través de una "junta de sondeo". Diferentes armónicos están conectados de manera diferente con el aire.

Si una característica de tono de música f.(t.) representa la presión del aire dependiendo del tiempo (digamos, como la FIG. 50.1.6), entonces podemos esperar que f.(t.) se escribe en forma de un cierto número de funciones armónicas simples del tiempo (COS similares. t.) para cada una de las diversas frecuencias armónicas. Si el período de las oscilaciones es igual. T,luego, la frecuencia angular principal será ω \u003d 2π / t, y los siguientes armónicos serán 2Ω, ZΩ, etc.

Aquí aparece una pequeña complicación. No tenemos derecho a esperar que para cada frecuencia, las fases iniciales definitivamente serán iguales entre sí. Por lo tanto, debe usar las funciones de tipo COS (ωt + φ), sin embargo, es más fácil de usar para cadafrecuencias tanto sinuses como coseno. Recordar que

y ya que φ es constante, entonces ningúnlas oscilaciones sinusoidales con la frecuencia de la CO se pueden registrar en forma de la cantidad de miembros, a una de las cuales incluye el pecado ωt, y en el otro - cos ωt.

Entonces, llegamos a la conclusión de que ningúnfunción periódica f.(t.) con un periodo T.matemáticamente se puede registrar en el formulario

dónde Ω \u003d 2π / t, pero pero y b. - constantes numéricos que indican qué peso se incluye cada componente de oscilación en la oscilación general f.(t.). Para mayor generalidad, agregamos un miembro a nuestra fórmula con frecuencia cero a 0, aunque generalmente para tonos musicales es cero. Esto es simplemente un cambio del tamaño promedio de la presión de sonido (es decir, el nivel de cambio "cero"). Con este miembro, nuestra fórmula es cierta para cualquier ocasión. Ecuación (50.2) mostrada esquemáticamente en la FIG. 50.2. Amplificaciones de funciones armónicas. pero NORTE. y b. NORTE. seleccionado por regla especial. En la figura, se muestran solo esquemáticamente sin cumplir. [Fila (50.2) llamada cerca de Fourierpara funciones f.(t.).]

Dijimos que alguienla función periódica se puede escribir en este formulario. Debe hacerse una pequeña enmienda y enfatizar que en un número de este tipo puede descomponer cualquier onda de sonido o cualquier función con la que nos enfrentamos a la física. Las matemáticas, por supuesto, pueden encontrar una función tal que no se puede componer de armónico simple (por ejemplo, una función que "peor", por lo que para algunos valores t. ¡Tiene dos significados!). Sin embargo, aquí no debemos preocuparnos por tales funciones.