Metoda elementów skończonych mathcad przestrzenny moment bezwładności. Metoda elementów skończonych w mathcad

Rozmiar: piks

Zacznij pokazywać od strony:

Transkrypcja

1 Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej instytucja edukacyjna wyższe wykształcenie zawodowe „Pacyfik Uniwersytet stanowy»ROZWIĄZANIE PROBLEMU DWUWYMIAROWEGO PRZEWODNICTWA CIEPŁA METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MAHCAD Instrukcje metodyczne i zadania kontrolne do pracy laboratoryjnej z kursu „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” dla studentów zapisanych do magistratu Wydawnictwo Chabarowsk PNU

2 UKD 9. /. 7. Rozwiązanie dwuwymiarowego problemu przewodnictwa cieplnego metodą elementów skończonych w programie MAHCAD: wytyczne i zadania kontrolne do pracy laboratoryjnej z przedmiotu „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” dla studentów magistratu . L.M. Iwannikow. Chabarowsk: Wydawnictwo Pacyfiku. stan nie-to ,. 8. Opracowano instrukcje metodyczne w Katedrze „Mechaniki bryły odkształcalnej”. Obejmują one treść pracy laboratoryjnej oraz zalecenia dotyczące studiowania fragmentów przedmiotu „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” wymaganych do jego realizacji, wykaz zalecanej literatury oraz zadań do pracy laboratoryjnej.Rada Instytutu Budownictwa i Architektura. Uniwersytet Stanowy Pacyfiku,

3 POSTANOWIENIA OGÓLNE Celem pracy laboratoryjnej jest opanowanie algorytmu obliczania dwuwymiarowych problemów przewodnictwa ciepła metodą elementów skończonych. gdzie RÓWNANIE PRZEWODZENIA CIEPŁA Równanie płaskiego zagadnienia przewodzenia ciepła ma postać K, K, K, K są współczynnikami przewodzenia ciepła w kierunku osi, pożądaną funkcją temperatury ;, kW.,>, jeśli ciepło jest dostarczane do ciała. m Warunki brzegowe ustala się dwojako: kW m K źródło ciepła wewnątrz korpusu ,. Г, jeśli znana jest temperatura na pewnej części granicy Г, gdzie Г Г jest znaną temperaturą w punktach granicy, zależną od współrzędnych punktów powierzchni s na granicy Г ;, Г ,. K l K mhq, jeśli konwekcyjna wymiana ciepła zachodzi na części powierzchni Г, charakteryzującej się wartością h, lub strumień ciepła q jest podany na części powierzchni Г i Г Г granica, K; znana temperatura otoczenia, K; l, m cosinusy kierunku; q, znany strumień ciepła, kW, jest uważany za dodatni, jeśli ciepło jest tracone przez ciało. Strumień ciepła i konwekcyjny transfer ciepła w tym samym obszarze nie mogą działać jednocześnie. Jeśli istnieje granica z izolacją cieplną, wówczas strumień ciepła wynosi zero i nie ma konwekcyjnego przenoszenia ciepła, wówczas warunek brzegowy zostanie zapisany w następujący sposób: gdzie n jest zewnętrzną normalną do granicy rozpatrywanego obszaru. n m,;

4 FUNKCJA ROZWIĄZANIA PROBLEMU Z PRZEWODNOŚCIĄ CIEPŁA Rozwiązanie równania w dziedzinie s z warunkami brzegowymi i na Г jest równoważne znalezieniu minimum funkcjonału Г h q s K K Ф Г s ,. Podczas rozwiązywania problemu MES obszar s dzieli się na n poddziedzin elementów skończonych, które zwykle przyjmuje się w postaci trójkątów na ryc. Ponadto wszystkie wzory podano dla trójkątnego FE. Funkcjonalność jest zapisana jako suma wkładów wszystkich elementów skończonych w obszarze. Wtedy przyjmuje postać n Г Г s s Г Г q s s g D g Ф, gdzie g; Macierz K K D współczynników przewodzenia ciepła. Lub Ф Ф n. Przedstawmy temperaturę zmieniającą się w FE, poprzez wartości węzłowe:, gdzie działa macierz kształtu FE, biorąc pod uwagę rozkład temperatury w FE. Wtedy g lub B g, gdzie B jest macierzą gradientu funkcji postaci ES. Dla każdego WF można teraz zapisać udział każdego WF w wyrażeniu na funkcjonał:

5 . Г h Г h Г h Г qs BDB Ф Г Г Г Г ss е a wektor działania zewnętrznego będzie Г h Г qs F Г s G. Dla całego rozpatrywanego obszaru otrzymujemy n F k Ф lub FK, gdzie nk K, n F F. Równanie jest podstawowym równaniem rozwiązywania problemu przewodnictwa cieplnego metodą elementów skończonych. DWUWYMIAROWY ELEMENT SIMPLEX Aby rozwiązać problem przewodnictwa płaskiego ciepła, stosuje się trójkątny element ES o bokach prostoliniowych, patrz rys. Węzły są ponumerowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od określonego węzła oznaczonego jednostką. Numerację boków FE pokazano na ryc.

6 Y X, Y Strona Strona X, Y Strona Kierunek X, Y numeracja X Rys.. Trójkątny element skończony Wartości węzłowe temperatury są oznaczone ,. Temperatura w punkcie FE ze współrzędnymi jest określona wzorem. Poniżej przedstawiono funkcje formularzy używane w tym FE. a XY, A a XYA a XYA Pole ES obliczane jest według znanego wzoru XYAX Y. XY Współczynniki zawarte w funkcjach formularza zależą od współrzędnych węzłów, podano je poniżej: a XYXY, a XYXY , . a X Y X Y, Y Y, X X, Y Y, Y Y, X X. X X

7 7 ZASTOSOWANIE CZTEROROŻNEGO MES DO GENEROWANIA SIECI Do wstępnego rysowania siatki z dużą komórką poprzez podzielenie obszaru na strefy stosuje się czworokątne elementy kwadratowe na rys. Po każdej stronie MES wprowadza się trzy węzły . Bok 7 8 Bok Bok Bok Rys. Czworokątny kwadratowy FE Na ryc. pokazane są lokalne względne osie współrzędnych, w których węzeł ma współrzędne ξ,; węzeł ,; węzeł ,; węzeł 7 ξ ,. Numeracja węzłów takiego ES, zaczynając od węzła, odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Węzły, 8 mogą znajdować się w dowolnym punkcie po odpowiedniej stronie, co pozwala na budowanie gęstszej siatki w przyszłych efektach bliskiego punktu. W przyszłości każda strona takiego WF będzie podzielona na określoną liczbę odcinków. Węzły są ponumerowane w następujący sposób: pionowo od węzła ze współrzędnymi, w dół wzdłuż osi i od lewej do prawej wzdłuż osi. W ten sposób duże elementy dzieli się na mniejsze, które z kolei są podzielone mniejszą przekątną na trójkątny FE. Trójkątne sekcje strefy są również reprezentowane jako czworokątne elementy kwadratowe na Rys. 7 Bok 8 η Bok Bok ξ Bok Rys. Reprezentacja trójkątnego obszaru w postaci kwadratowego elementu

8 8 MATRYCA PRZEWODNICTWA CIEPŁA W przypadku trójkątnego FE macierz przewodności cieplnej ma postać L h L h L h A k A k k gdzie L L L są długościami odpowiednich boków FE. Ostatnie trzy terminy uwzględniają konwekcyjne przenoszenie ciepła po każdej stronie FE. Ponieważ FE jest integralną częścią rozważanego obszaru, konwekcyjne przenoszenie ciepła zwykle zachodzi wzdłuż jednej lub dwóch stron FE. WEKTOR WPŁYWÓW ZEWNĘTRZNYCH NA CE Znane wpływy zewnętrzne to: Źródło ciepła wewnątrz FE o stałym natężeniu .. Dopływ ciepła dzięki strumieniowi ciepła q .. Konwekcyjna wymiana ciepła na nie więcej niż dwóch stronach FE o współczynniku przenikania ciepła h .. Punktowe źródło ciepła, *Y X, zlokalizowane wewnątrz FE. Wektor zewnętrznych wpływów na FE ma postać., * Y Y X X L L L h q F GRADIENTY TEMPERATUR I ŚREDNIA TEMPERATURA FE Gradienty temperatury i średnia temperatura FE są obliczane według następujących wzorów: A Grau Gra,

9 9. cf kk PROCEDURA ROZWIĄZANIA PROBLEMU PRZEWODNOŚCI CIEPŁA W MAHCAD ZASTOSOWANIE SIATKI WĘZŁÓW NA DZIEDZINIE DO ROZWAŻANIA Dziedzina rozwiązania problemu jest umieszczona w układzie globalnych współrzędnych X, Y. Rozważany obszar musi być pokryta siatką węzłów. Im mniejsza komórka siatki, tym dokładniejsze będzie rozwiązanie problemu. Aplikacja siatki odbywa się zgodnie z etapem. Etap I. Rozważany obszar podzielony jest na szereg stref prostokątnych i trójkątnych, czworokątnych elementów kwadratowych. Strefy są ponumerowane w losowej kolejności. Dla każdej takiej strefy ustawionych jest 8 punktów kontrolnych, po trzy z każdej strony, w tym punkty narożne. W przypadku strefy trójkątnej jeden z boków odpowiada dwóm bokom kropkowanego prostokąta. Zatem podział na strefy wykorzystuje kwadratowe elementy kwadratowe. Zestawia się następujące tabele danych początkowych: a tab. połączenia stref, które określają, które strony stref stykają się ze sobą. Połączenie stref w rozpatrywanym obszarze. Tabela. Numer strefy Bok Bok Bok Bok pokazano, że strefa styka się tylko ze strefą wzdłuż pierwszego boku, strefa styka się ze strefą wzdłuż pierwszego boku i ze strefą wzdłuż czwartego boku. Strefa styka się tylko ze strefą po drugiej stronie rysunku.Numeracja boków zależy od orientacji osi lokalnych we względnych współrzędnych, które są pokazane na rysunku pogrubioną czcionką. Na ryc. pokazuje kierunek numeracji węzłów stref od węzła początkowego N.

10 Strefa H Strefa H Strefa Rys. Tworzenie tabeli połączeń stref b. Patka. współrzędne węzłów, wykreślone na granicach stref, w przyjętym globalnym układzie współrzędnych. Współrzędne węzłów na granicach stref Tabela. H Liczba Współrzędne Współrzędne węzła X, cm Y, cm ... c. Tabela wskazująca liczbę pionowych i poziomych pasków, na które podzielona jest każda strefa, aby uzyskać siatkę z mniejszymi komórkami. Tworzenie siatki z mniejszymi komórkami Tabela. Numer strefy Liczba pasów na wysokości Liczba pasów na szerokości Strefa podzielona jest na pięć pasów o wysokości i sześć o szerokości. d. Tabela, w której dla każdej strefy wskazane są wykreślone wcześniej węzły.

11 Numery węzłów sieci wstępnej dla każdej strefy Tabela. Numer strefy Liczby węzłów czworokątnego MES wskazuje się, że osiem węzłów drugiej strefy ma takie numery przy omijaniu rozpatrywanej strefy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Etap II. Następnie Matha wdraża program gri, który ustawia liczbę pasków na wysokość i szerokość dla każdej strefy, co pozwala na podzielenie każdej strefy na znacznie mniejsze prostokąty. Następnie każdy z tych małych prostokątów o mniejszej przekątnej dzieli się na dwa trójkąty i cały rozpatrywany obszar pokrywa siatka z trójkątną komórką. W wyniku działania tego programu wyprowadzane są następujące dane: Liczba trójkątnych FE Kol_Elm. b Poniższe tabele, 7. Numeracja węzłów siatki wzdłuż boków stref Tablica Uzl_Zon 9 Tablica wydawana jest w postaci macierzy z wielkością ilości pasków strefy w wysokości ilość pasów strefy w szerokości dla każdego strefa, która upraszcza budowę siatki. Z podanej macierzy wynika, że ​​w strefie z boku znajdują się węzły; z boku są węzły; po stronie węzłów; po stronie węzłów 9 ,. Pominięcie wejścia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Ta numeracja jest pokazana w poniższym przykładzie. Lokalizacja ES i przynależność węzłów ES do siatki trójkątnej Tabela Numer strefy Numer ES Węzeł ES Węzeł ES Węzeł ES

12 Współrzędne węzłów ES Tabela 7 Numer węzła Współrzędna X Współrzędna Y Wyświetlane mogą być również tabele łączące numer strefy, numer ES i współrzędne węzłów ES. Siatka z numeracją ES i ich węzłami jest ręcznie nakładana na diagram rozpatrywanego obszaru. KSZTAŁTOWANIE WEKTORA ZEWNĘTRZNEGO WPŁYWU Na podstawie zbudowanej siatki dla rozpatrywanego obszaru odnotowuje się: a Liczby boków, wzdłuż których następuje konwekcyjna wymiana ciepła. b Liczby węzłów, w których ustawiona jest temperatura. w liczbach FE, w których skoncentrowane źródła ciepła znajdują się na ich bokach, węzłach lub wewnątrz. Zestawione są następujące tabele. 8, 9,. Boki obszaru z konwekcyjnym przewodzeniem ciepła Tabela 8 Numer FE Numer boku Numer boku Zakłada się, że konwekcyjne przenoszenie ciepła jest możliwe tylko po dwóch z trzech stron FE. Węzły nastawy temperatury Tabela 9 Numer węzła Temperatura

13 Tabela punktowych źródeł ciepła Tabela Wartość, W Numer elementu Współrzędne źródła, cm, cm W wyniku rozwiązania problemu wyświetla się: Tabela wartości temperatur w węzłach ES. Tabela gradientów temperatury Gra, Gra odpowiednio wzdłuż osi X i Y. Tabela średniej temperatury Тsr dla każdego FE. Rozkład temperatur na rozpatrywanym obszarze ze wskazaniem wartości izoterm. PRZYKŁAD WYKONYWANIA PRAC LABORATORYJNYCH W ośrodku przewodzącym ciepło przechodzą kable, jak pokazano na rys. Medium posiada współczynniki przewodzenia ciepła. Współczynnik ciepła cm K wymiany na powierzchni medium h K W cm K K W. Po bokach rozważane medium jest ograniczone grubą warstwą izolacji. Temperatura powietrza na powierzchni medium C. Temperatura dolnej warstwy medium C. Moc promieniowania cieplnego każdego przewodu wynosi W. Wymagany: Wyznacz rozkład temperatury na danym obszarze.. Wyznacz gradienty temperatury i średnią temperaturę na danym obszarze.. Zbuduj wykresy zmian uzyskanych wartości. KIERUNKI: a wykonując prace laboratoryjne, uwzględnij symetrię obszaru i symetrię efektu temperatury; b podzielić obliczoną część obszaru na trzy lub cztery strefy; podziel od trzech do pięciu pasków na wysokość i szerokość w każdej strefie, aby uprościć nakładanie siatki na obszar.

14 = C cm cm cm cm = C cm cm 8 cm cm cm Rys.. Kable w medium przewodzącym ciepło ROZWIĄZANIE PROBLEMU Biorąc pod uwagę symetrię rozpatrywanego obszaru, w obliczeniach uwzględnimy tylko połowę tego obszaru Rys.. = C = W = W Oś symetrii cm cm cm = C cm cm cm cm po bokach których umieszczamy węzły, przyjmując strefy jako czworokątne elementy kwadratowe. 7. Ponumerujmy strefy i węzły, okrążając obszar w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W celu określenia liczby boków stref ustalany jest układ osi lokalnych dla każdej strefy.

15 Y cm cm cm cm X, cm Rys. 7. Wstępny podział terenu na strefy Dla dokładniejszego rozwiązania problemu konieczne jest zlokalizowanie węzłów na granicy stref bliżej punktowych źródeł ciepła. Dane początkowe są zestawiane dla wyznaczonych stref i węzłów tabeli.,. Program obliczeniowy tworzy tabele 7, które przedstawiają pełną informację o trójkątnej siatce wykreślonej na powierzchni użytej w dalszych obliczeniach. Zgodnie z tymi tabelami na arkuszu zbudowana jest siatka. 8. Y X Rys. 8. Siatka trójkątna naniesiona na powierzchnię Zgodnie z powstałą siatką uwzględniany jest wpływ temperatury zewnętrznej i sporządzane są tabele. 8, 9,. Następnie w formie tabelarycznej wyprowadzają:

16 wyniki rozwiązania problemu i ich Reprezentacja graficzna na ryc. 9 i. Origi W W Chislo_Zon KK cm K cm K KOOR T O CXY zadrukowywanie rozwiązanie problemu Zon Uzl numer strefy H W tabeli połączeń cm K Rowol strefy tabeli danych dla każdego z rzędów strefy Cols Tabela nieprawidłowego działania L y k A d o i z o w a n s r e Z U L T A T T R E S E N P P P O S O Z D D N I y S e T K i K E U Z L S S, E T K I P O G R D N I C A M Z O N Uzl_Zon Uzl_Zon 7 8

17 7 Uzl_Zon 9 Kol_Elm T A B L I C A K E "Strefy" "FE" "Węzeł FE" "Węzeł FE" "Węzeł FE" al_ke

18 8 C O R D I N A T Y U G L O V K E XY stor F O R M I R O V A N I E V E K T O R A V N E Sh N I X V O Z D E J S T V I Y T a l c a s t o n K E c e n ve c t i e t e p l o „s”

19 _uzl 9 TABELA UZL z zadaną temperaturą „Węzła” Temperatura prawidłowego źródła ciepła „Wartość” Element a „” „””. R E Z U L T A T Y R E S H E N I Z G A D A C H I T e m p e r a t u r t u r w u l e n t z

20 GRADIENTÓW TEMPERATURY ŚREDNIE TEMPERATURY Gra Gra sr

21, 7.8.78 Y 9.7.8.9.9, + + +, 88 7,7 9,7, + 9,87 7,98,9 X Rys. 9. Schemat rozkładu temperatury wzdłuż linii siatki Y XY X Rys. Rozkład temperatury na powierzchni

22 WARIANTY ZADAŃ DLA PRAC LABORATORYJNYCH W medium przewodzącym ciepło, jak pokazano na schemacie, znajdują się kable wydzielające ciepło. Medium posiada współczynniki przewodności cieplnej K i K. Współczynnik przenikania ciepła na powierzchni medium wynosi h. W niektórych obszarach rozważane medium jest ograniczone grubą warstwą izolacji. Temperatura powietrza w pewnych obszarach otoczenia, w których zachodzi konwekcyjna wymiana ciepła, T. W niektórych obszarach medium temperatura jest ustawiona T. Moc promieniowania cieplnego przez każdy kabel jest. Wymagane jest wykorzystanie danych początkowych dla jego wersji oraz schematu ustawienia tabeli, ryc. :. Wyznacz rozkład temperatury na danym obszarze.. Wyznacz gradienty temperatury i średnią temperaturę na danym obszarze.. Zbuduj wykresy zmian uzyskanych wartości. DANE POCZĄTKOWE Dane początkowe do Praca laboratoryjna według opcji Tabela Numer opcji a, cm, cm, cm, cm, cm, kW, C, C K, W cm K K, W cm K h, W cm K

23 a a a a a a a a a a a Rys.. Schematy wariantów powrót do prac laboratoryjnych

24 7 8 a a a 9 a a a a a a a Rys .. Ciąg dalszy

25 a a a a a a a a 7 8 a a a a Rys .. Koniec

26 PYTAŃ KONTROLNYCH. Napisz równanie przewodzenia ciepła dla problemu dwuwymiarowego. Zapisz warunki brzegowe dla dwuwymiarowego problemu przewodzenia ciepła. Napisz pełny funkcjonał rozwiązania problemu przewodzenia ciepła. Wyprowadź główne równanie dla rozwiązywanie dwuwymiarowego problemu przewodzenia ciepła metodą elementów skończonych.. Jakie elementy skończone stosuje się do rozwiązania dwuwymiarowego problemu przewodzenia ciepła?. Jak definiuje się funkcje kształtu dla dwuwymiarowego elementu simplex? 7. W jakim celu są używane czworokątne elementy kwadratowe? 8. Jak wybierany jest lokalny układ współrzędnych i numeracja boków elementu kwadratowego? 9. Zapisz macierz przewodności cieplnej dla trójkątnego ES.. Jak powstaje macierz przewodności cieplnej dla rozpatrywanego obszaru?. Jak powstaje wektor zewnętrznych efektów termicznych dla FE? Jak kształtuje się wektor wpływów zewnętrznych dla rozważanego obszaru? Jak wyznaczane są gradienty temperatury i średnia temperatura FE? W jaki sposób siatka jest nakładana na rozważany obszar?. Jakich danych początkowych potrzebujesz, aby przygotować się do gridingu? Jakie dane wyjściowe są używane do generowania siatki i jak są stosowane do obszaru? 7. Jakie dane należy wprowadzić, aby utworzyć wektor zewnętrznych wpływów termicznych? 8. Jak uwzględnić znak wielkości punktowego źródła ciepła? Dopływ ciepła? 9. Jakie są dane wyjściowe uzyskane w wyniku rozwiązania problemu przewodzenia ciepła? Lista bibliograficzna. Zenkevich O. Metoda elementów skończonych w technologii / O. Zenkevich. M.: Mir, 97. s. Segerlind L. Zastosowanie metody elementów skończonych / L. Segerlind. M.: Mir, s.

27 7 SPIS TREŚCI POSTANOWIENIA OGÓLNE. Równanie wymiany ciepła. Funkcjonalny do rozwiązania problemu przewodności cieplnej ... Dwuwymiarowy element simpleks ..... Zastosowanie czworokątnej FE do generowania siatki .... Macierz przewodności cieplnej dla FE .... 8 Wektor zewnętrznych wpływów na FE .. .. 8 Gradienty temperatury i średnia temperatura wg FE 8 Procedura rozwiązywania problemu przewodnictwa cieplnego w Matha ... 9 PRZYKŁAD WYKONANIA PRACY LABORATORYJNEJ ... ROZWIĄZANIE PROBLEMU. Wydruk rozwiązania problemu... OPCJE ZADAŃ DO PRACY LABORATORYJNEJ... Pytania testowe. Lista bibliograficzna

28 8 ROZWIĄZANIE DWUWYMIAROWEGO PROBLEMU PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W MAHCAD Instrukcje metodyczne i zadania testowe do pracy laboratoryjnej z przedmiotu „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” dla studentów magistratu. Ivannikov Leonid Matveyevich Redaktor naczelny A. A. Suevalova Redaktor T. F. Sheikina Operator układu komputerowego L. M. Ivannikov Podpisano do druku Format 8. Papier listowy. Zestaw słuchawkowy Timesa. Druk cyfrowy. KONW. wydrukować l. Nakład kopii Zamów wydawnictwo Pacific State University Press. 8, Chabarowsk, ul. Pacyfik ,. Wydział Druku Operacyjnego Pacific State University Press. 8, Chabarowsk, ul. Pacyfik ,.

Państwowa uczelnia zawodowa „Pacific State University” METODA ELEMENTÓW KOŃCOWYCH Instrukcje metodyczne i warianty zadań do realizacji

Prywatny

OBLICZANIE ODNIESIENIA I SIŁY PRĘTÓW ROLNICTWA PŁASKIEGO Chabarowsk 00 Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Państwo Pacyfiku

Metoda elementów skończonych 1. Dziedzina zastosowania MES. 2. Podstawowe pojęcie MES. 3. Zalety MES. 4. Podział dziedziny obliczeniowej na elementy skończone. 5. Metoda aproksymacji pożądanej funkcji w skończonym

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Niżny Nowogród Państwowy Architektoniczny i Budowlany

OCENA JAKOŚCI WIEDZY UCZNIÓW Instrukcje metodyczne dotyczące przeprowadzania kontroli wjazdowej przed rozpoczęciem kursu „Opór materiałów” Chabarowsk 006 Federalna Agencja Edukacji Federacji Rosyjskiej

Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższej Edukacji Zawodowej Uniwersytet Stanowy Pacyfiku Napięcie termiczne części silnika spalinowego Metodyczne

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Oświatowa Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Uniwersytet Pacyfiku”

KAZAŃSKA PAŃSTWOWA WYDZIAŁ MECHANICZNY I MATEMATYCZNY WYDZIAŁ MECHANIKI TEORETYCZNEJ Berezhnoy D.V. Tazyukov B.F. NUMERYCZNE ROZWIĄZANIE PROBLEMU Z PRZEWODNOŚCIĄ CIEPŁA PŁASKIEGO Przewodnik do nauki

Zastosowanie metody elementów skończonych i metody różnic skończonych do obliczania naprężeń termicznych części silników spalinowych Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa Instytucja Oświatowa Wyższej Szkoły

PLANOWANIE OBJĘTOŚCI PRACY TECHNOLOGICZNYCH SYSTEMÓW MASZYN Chabarovs k 2 0 0 9 Federalna Agencja Edukacji Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej „Uniwersytet Pacyfiku” OBLICZANIE PRZESTRZENNE

PERSPEKTYWA ZŁOŻONYCH FORM ARCHITEKTONICZNYCH Chabarowsk 2008 Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Państwo Pacyfiku

Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Uniwersytet Pacyfiku” OKREŚLANIE INDUKCJI CEWKI Metodyczne

KOMPUTEROWA IMPLEMENTACJA MODELU MATEMATYCZNEGO DO OBLICZANIA POLA TEMPERATURY PRZEDMIOTU OBRABIANEGO PRZEZ CIĘCIE Smirnova V.V., Spiridonov F.F., Nekrasov I.A. Bijski Instytut Technologiczny, Biysk Streszczenie

BIBLIOGRAFIA 1. Kozheurov, V. A. Termodynamika żużli metalurgicznych / V. A. Kozheurov. Swierdłowsk: GNTIL, 1955.164 s. 2. D a r k e n, L. S. Termodynamika binarnych roztworów metali /

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI ROSYJSKIEGO FEDERALNEGO PAŃSTWA BUDŻETOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEGO SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „NIŻNEGORODSKI PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNICZNY im. RE ALEKSEEV”

Federalna Agencja Transportu Kolejowego Uralski Państwowy Uniwersytet Kolejowy Wydział „Mechanika bryły odkształcalnej, fundamenty i fundamenty” A. A. Lakhtin DYNAMIC

Kazański Uniwersytet Państwowy R.F. Mardanov NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA PROBLEMU Z PRZEWODNOŚCIĄ CIEPŁA PŁASKI Podręcznik Wydawnictwo Kazańskiego Uniwersytetu Państwowego 2007 UDC 517.9

IMPONUJĄCY SCHEMAT ROZWIĄZANIA NIELINIOWEGO RÓWNANIA PRZEWODNOŚCI CIEPŁA NA KWADRATOWEJ SIECI ADAPTACYJNEJ N.G. A. V. Karlykhanov URAKOVA Rosyjskie Federalne Centrum Jądrowe Wszechrosyjski Instytut Fizyki Technicznej im Acad.

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej Państwowy Uniwersytet Techniczny w Chabarowsku Zatwierdzenie druku pełniącego obowiązki Rektora Uniwersytetu Profesora A.I. Kaminskiego 2001 BUDOWA DACHU Metodyczna

Federalna Agencja ds. Edukacji Syberyjska Państwowa Akademia Samochodowa i Drogowa (SibADI) bezpieczeństwo informacji INTERPOLACJA FORMUŁA LAGRANGE Instrukcje metodyczne dotyczące wdrożenia

UKD 519.624.1 Metody uwzględniania warunków brzegowych pierwszego rodzaju w rozwiązywaniu problemów metodą elementów skończonych Wprowadzenie Korchagova VN, student Rosja, 105005, Moskwa, MSTU im. N.E. Wydział Baumana „Matematyki Stosowanej”

FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI Tomski Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej UDC 39.3 Obliczanie belki ściennej metodą różnic skończonych: wytyczne / Comp. I.Yu. Smolina, DN.

Federalna Agencja Transportu Kolejowego Ural State University of Railways Department „Mosty i tunele transportowe” A. A. Lakhtin Obliczanie prostokątnej płyty metodą skończoną

3. Sztuczna lepkość Aby zrozumieć mechanizm powstawania lepkości sztucznego obwodu, rozważymy dwuwymiarowy problem konwekcyjnej propagacji ciepła przy niskich prędkościach gazu

Wprowadzenie Instrukcja metodyczna zawiera 26 możliwości indywidualnych zadań domowych na tematy „Prosta w płaszczyźnie i w przestrzeni”, „Płaszczyzna”, „Krzywe i powierzchnie drugiego rzędu”. Pod indywidualną

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa POLITECHNIKA ULJANOWSKA PAŃSTWOWA

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA WYŻSZEJ KSZTAŁCENIA ZAWODOWEGO „UCZELNIA BIAŁORUSKO-ROSYJSKA” Wydział „Sprzęt i technologia produkcji spawalniczej” KOMPUTEROWA SYMULACJA PROCESÓW SPAWALNICZYCH

FEDERALNA AGENCJA KOMUNIKACJI Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Budżetowa Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „PETERSBURG ST. UNIWERSYTET TELEKOMUNIKACYJNY.

Federalna Agencja Transportu Kolejowego Uralski Państwowy Uniwersytet Kolei i Komunikacji Wydział „Mechanika bryły odkształcalnej, fundamenty i fundamenty” A. A. Lakhtin BUDYNEK

Technologia komputerowa Tom 1, 1, 1996 RÓWNOLEGŁE ALGORYTMY DO OBLICZANIA WYSOKIEGO RZĘDU MACIERZY SZTYWNOŚCI ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH DLA WIELOWYMIAROWYCH PROBLEMÓW MAFIZYKI A. D. Centrum Informatyczne SB RAS w St.

SERIA Chabarowsk 4 4 SERIA LICENCYJNA Seria liczbowa to wyrażenie, w którym liczby tworzące nieskończony ciąg liczb, wspólny termin szeregu, gdzie N (N jest zbiorem liczb naturalnych) Przykład

FEDERALNA AGENCJA DS. EDUKACJI Państwowa uczelnia zawodowa „Uniwersytet Pacyfiku” ZMIANA ENTROPIJNA W PROCESACH NIEODWRACALNYCH

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Jarosławski Uniwersytet Państwowy im P.G.Demidova Katedra Algebry i Logiki Matematycznej Krzywe drugiego rzędu Część I Instrukcje metodyczne

UDC 59.6: 5 SYMULACJA DWUWYMIAROWEGO RUCHU WODY W OTWARTYCH KANAŁACH SH.KH. Rachimow I. Begimow SANIIRI Procesy zachodzące w obiektach wodnych zachodzą w wielowymiarowym dwuwymiarze

1. OBWODY ELEKTRYCZNE DC 1.1. Obwód elektryczny, jego elementy i parametry Główne urządzenia elektryczne, zgodnie z ich przeznaczeniem, dzielą się na urządzenia generujące energię elektryczną

Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „MOSKWA PAŃSTWOWY UNIWERSYTET ŚRODKÓW KOMUNIKACJI” WYDZIAŁ „MATEMATYKI” MV ISHKHANYAN, A.I.

Analiza kinematyczna mechanizmów przekładniowych PDF stworzony za pomocą pdffactory Wersja Pro tral www.pdffactory.com FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI Państwowa uczelnia zawodowa

POCHODNA, JEJ ZNACZENIE GEOMETRYCZNE I FIZYCZNE Przyrost funkcji = f () jest różnicą f f, gdzie jest przyrostem argumentu.

UDC 519.642: 539.3: 624.044: 624.15 Interaktywne metody konstruowania przestrzennej siatki elementów granicznych A. A. Vakhtin Woronezh State University Algorytmy konstruowania przestrzennej

PRZEWODNOŚĆ CIEPLNA MODUŁU Specjalność 300 „Fizyka techniczna” Wykład Przewodność cieplna ściany płaskiej bez wewnętrznych źródeł ciepła Pole temperatury w ścianie płaskiej w warunkach brzegowych pierwszej

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Uralski Uniwersytet Federalny im. pierwszego prezydenta Rosji B. N. Jelcyna BADANIA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO PRZEZ MODELOWANIE Metodyczne

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Oświatowa Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Uniwersytet Pacyfiku”

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ Briański Państwowy Uniwersytet Techniczny ZATWIERDZIŁ Rektora Uczelni NA Fedonin 2014 PIECE DLA ODLEWNI OBLICZANIE PARAMETRÓW WYMIANY CIEPŁA

FEDERALNA AGENCJA DS. EDUKACJI Państwowa uczelnia zawodowa „Pacific State University” BADANIA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO Metodyczne

Federalna Agencja ds. Edukacji Tomski Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej Kartogram robót ziemnych Instrukcja metodyczna Opracował Yu.M. Akumyansky Tomsk 2008 3 Kartogram

FEDERALNA AGENCJA DS. EDUKACJI Państwowa wyższa szkoła zawodowa „Pacific State University” BADANIA POLA MAGNETYCZNEGO ELEKTROMAGNETYCZNEGO

12 czerwca 2017 Połączony proces konwekcji i przewodzenia ciepła nazywa się konwekcyjnym przenoszeniem ciepła. Konwekcja naturalna jest spowodowana różnicą ciężaru właściwego nierównomiernie nagrzanego medium, przeprowadzonego

Federalna Agencja ds. Edukacji Federacji Rosyjskiej Uralski Państwowy Uniwersytet Leśny Wydział Wytrzymałości Materiałów i Mechaniki Teoretycznej V.A.Kalentiev V.M. Kalinin L.T. Raevskaya N.I.

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Oświatowa Wyższego Szkolnictwa „ULJANOWSK PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNICZNY” V. K. Manzhosov,

Federalna państwowa budżetowa instytucja edukacyjna szkolnictwa wyższego „Narodowy Państwowy Uniwersytet Badawczy Saratowa im. N.G. Czernyszewski „Wydział Matematyczny

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Tomsk State Architectural and Construction

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Oświatowa Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „ULJANOWSK PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNICZNY”

Federalna Agencja ds. Edukacji Tomski Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej MAPA ROBÓT ZIEMNYCH Instrukcje metodyczne dotyczące prac laboratoryjnych Opracował Yu.M. Akumyański Tomsk

LINIE ALGEBRAICZNE NA PŁASZCZYZNIE.. PROSTE PIERWSZEGO RZĄDU (LINIE W PŁASZCZYZNIE... PODSTAWOWE TYPY RÓWNAŃ LINII NA PŁASZCZYZNIE Niezerowy wektor n prostopadły do ​​danej prostej nazywamy normalną

FEDERALNA AGENCJA DS. EDUKACJI Państwowa uczelnia wyższa zawodowa „Pacific State University” DEFINICJA TRYBÓW RĘCZNEGO SPAWANIA ŁUKOWEGO

Przewodność cieplna. Teoria Przewodność cieplna to proces propagacji ciepła pomiędzy dotykającymi się ciałami lub częściami tego samego ciała o różnych temperaturach. Aby przeprowadzić przewodnictwo cieplne,

3 Cel pracy: zbadanie zjawiska emisji termoelektrycznej na przykładzie diody 4Ts 4S. Zadanie: wyznaczenie funkcji pracy elektronów z wolframu. Urządzenia i akcesoria: zasilacz, woltomierz, kaseta

FEDERALNA AGENCJA KSZTAŁCENIA Państwowa budżetowa uczelnia zawodowa „Pacific State University” METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Metodyczna

Federalna Agencja Transportu Kolejowego Ural State University of Railways Department „Higher Mathematics” IN Pirogova Geometria analityczna w przykładach i problemach Jekaterynburg

MECHANIKA BUDOWLANA Część Chabarowsk 2003 Ministerstwo Edukacji Ogólnej Federacji Rosyjskiej Państwowy Uniwersytet Techniczny w Chabarowsku MECHANIKA BUDOWLANA Część Wytyczne metodyczne dla

UKD 5-7: 6697 VN Tkachenko Doktor nauk technicznych AA Ivanova Inżynier Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki Narodowej Akademii Nauk Ukrainy Uaina Uaina 83 Donetsk str. R Luxemburg 7 tel. 6336 E-ail: [e-mail chroniony] Modelowanie i analiza

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Oświatowa Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Syberyjski Państwowy Uniwersytet Przemysłowy”

Współczesne problemy nauki i techniki 55 Podsumowując, zauważamy, że zastosowanie proponowanych metod jest bardziej efektywne niż wykorzystanie metody funkcji karnych, w tym z samodostosowaniem. Korzystanie z separacji

KONSTRUKCJA TABEL Tabele są używane dla większej przejrzystości i ułatwienia porównywania wskaźników (parametrów). Tytuł (nagłówek) tabeli powinien odzwierciedlać jej zawartość, być precyzyjny i krótki. Tabele w tym

Rozdział 7. Metoda elementów skończonych (MES).

7.1. ZADANIE. Oblicz siły działające w węzłach elementu (rys. 7.1).

Ryż. 7.1. Belka podparta przegubowo C
p - rozłożone obciążenie boczne, E 1- moduł sprężystości belki, 1- stały przekrój belki, L- długość belki, x ja, y ja- współrzędne punktów węzłowych belki, ja, w ja- przemieszczenie punktów węzłowych belki, U ja, V i- ruch belki, w- punkty węzłowe belki

Konstrukcje inżynierskie można postrzegać jako zbiór elementów konstrukcyjnych połączonych w skończonej liczbie punktów węzłowych. Jeżeli dla każdego elementu znane są zależności między siłami i przemieszczeniami, możliwe jest opisanie właściwości i zbadanie zachowania konstrukcji jako całości.

Na ryc. 7.2 przedstawia dwuwymiarową strukturę, składającą się z oddzielnych części, połączonych ze sobą w punktach ponumerowanych od 1 do n. Zakłada się, że połączenia w węzłach są zawiasowe.

Ryż. 7.2. Typowa konstrukcja składająca się z pojedynczych elementów
Załóżmy najpierw, że charakterystyka każdego pierwiastka jest wiarygodnie znana w wyniku obliczeń lub na podstawie danych eksperymentalnych. Siły powstające w węzłach 1 - 3 elementy a, są jednoznacznie określone przez przemieszczenia tych węzłów, obciążenie rozłożone działające na element P i jego początkowe odkształcenie. Początkowe odkształcenie może wynikać z efektów termicznych, skurczu lub niedoskonałości montażu. Siły i odpowiadające im przemieszczenia są określone przez składowe U, V oraz ty, v w dowolnym układzie współrzędnych.

Spisując siły działające we wszystkich (w trzech, dla rozpatrywanego przypadku, węzłach elementu a, w postaci macierzy), otrzymujemy

oraz dla odpowiednich przemieszczeń węzłów

jeśli założymy, że element jest elastyczny, to podstawowe relacje zawsze można zapisać w postaci

Gdzie są siły, które równoważą obciążenia rozłożone działające na element, to siły w węzłach spowodowane początkowymi odkształceniami, które mogą powstać, na przykład, gdy zmienia się temperatura bez przemieszczania węzłów. Pierwszy człon w tym wzorze reprezentuje siły wywołane przemieszczeniami węzłów.

Wstępne obliczenia lub eksperyment pozwalają jednoznacznie określić naprężenia w dowolnym punkcie poprzez przemieszczenia węzłów. Zapisując te naprężenia w postaci macierzy otrzymujemy zależność w postaci

Gdzie dwa ostatnie składniki to naprężenia wywołane obciążeniami rozłożonymi i naprężenia początkowe przy braku przemieszczeń węzłowych.

Matryca [k] a nazywana jest macierzą sztywności elementu, a [S] a- macierz napięcia elementu.

Relacje (7.1) i (7.2) ilustruje przykład elementu z trzema węzłami, w każdym z których działają tylko dwie składowe siły. Oczywiste jest, że wszelkie rozumowanie i definicje są ważne w bardziej ogólnym przypadku. Element b w tym przypadku łączy się z sąsiednimi tylko w dwóch punktach, chociaż inne elementy mogą mieć więcej takich punktów. Z drugiej strony, jeżeli połączenia elementów uważamy za sztywne, to należy uwzględnić trzy składowe siły uogólnionej i przemieszczenia uogólnionego, a jako trzecią składową należy przyjąć moment obrotu i kąt obrotu, odpowiednio. W przypadku sztywnego połączenia w strukturze 3D liczba komponentów w podzespole wynosi sześć. Tak więc w ogólnym przypadku

gdzie F i oraz b ja mają taką samą liczbę komponentów lub stopni swobody.

Oczywiste jest, że macierze sztywności elementu zawsze będą kwadratem formy

gdzie ki ii itp. - również kwadratowe podmacierze wymiaru l x l, a ja- liczba składowych siły w rozpatrywanych węzłach.

Jako przykład rozważ dwuwymiarowy problem podpartej przegubowo belki C o stałym przekroju A z modułem sprężystości mi(rys. 7.1). Belka jest obciążona równomiernie rozłożonym obciążeniem bocznym P i podlega równomiernemu odkształceniu termicznemu

r 0 = aT

Jeśli końce belki mają współrzędne x ja, ja ja oraz x n, y n wtedy jego długość można obliczyć jako

I jego kąt nachylenia do osi poziomej

W każdym punkcie węzłowym należy uwzględnić tylko dwa składowe siły i przemieszczenia.

Oczywiście siły węzłowe od obciążenia poprzecznego zapisane są w postaci macierzy

Elementy tej macierzy są równe odpowiednim składowym reakcji podpór belki, czyli pL / 2... Aby skompensować rozszerzalność cieplną r 0 trzeba zastosować siłę osiową Zjeść którego składniki

Na koniec przesuń punkty zakotwiczenia elementu

spowodować jego wydłużenie (u n -u i) cosa + (v n -v i) sina... Wydłużenie pomnożone przez EA / L, da siłę osiową, której składowe można znaleźć zastępując wielkość tej siły zamiast w poprzednim wyrażeniu. Standardowy formularz to

Tak więc dla rozważanego najprostszego przypadku wyznaczane są wszystkie wyrazy równania podstawowego (7.1). Łatwo jest napisać w postaci (7.2) i naprężenia w dowolnym przekroju elementu. Jeżeli np. ograniczymy się do rozpatrzenia przekroju środkowego belki C, to naprężenia powstałe w wyniku rozciągania osiowego i zginania elementu można zapisać w postaci

Gdzie D- połowa wysokości sekcji oraz i- moment bezwładności. To wyrażenie zawiera wszystkie terminy wzoru (7.2).

Bardziej złożone elementy wymagają bardziej wyrafinowanych technik obliczeniowych, ale wyniki nadal mają ten sam kształt.

Typową procedurę rozwiązywania problemu MES metodą przemieszczeń dla płaskiego trójkątnego elementu o sprężystym zachowaniu materiału można przedstawić za pomocą następujących etapów:

1) Domena obliczeniowa jest podzielona urojonymi liniami na elementy skończone (FE) o prostym kształcie, na przykład trójkąty.

2) ES i węzły są ponumerowane, ES są ze sobą połączone w punktach węzłowych, wyznaczane są niewiadome w węzłach i stopnie swobody węzłów; przemieszczenia węzłów są wybierane jako niewiadome.

3) Wybierane są funkcje (wielomiany liniowe) przybliżające przemieszczenia w każdym ES, które są wyrażane przez przemieszczenia węzłowe.

FE rozważany mi mając trzy węzły ja, j, m... Na ryc. 7.4 pokazuje typowy trójkątny element z węzłami ja, j, m, ponumerowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Przemieszczenia każdego węzła mają dwie składowe

A sześć składowych przemieszczeń elementu tworzy wektor

Ruchy wewnątrz elementu muszą być jednoznacznie określone przez te sześć wartości.

Ryż. 7.4. Element ośrodka ciągłego do obliczania płaskiego stanu naprężenia lub płaskiego stanu odkształcenia
Najprostszą reprezentacją są wielomiany liniowe

Wartości sześciu stałych jaŁatwo znaleźć dwa układy, składające się z trzech równań, które otrzymuje się w wyniku podstawienia w (7.3) współrzędnych węzłowych i zrównania wartości przemieszczeń z odpowiednimi przemieszczeniami punktów węzłowych. Pisząc np.

wyrazić 1, 2, 3 poprzez wartości przemieszczeń węzłowych ja, ja j, ja m i w końcu

pozostałe współczynniki uzyskuje się poprzez cykliczną permutację wskaźników ja, j, m, a ilość jest określona przez zależność

Podobnie możesz reprezentować ruch v pionowo

Zależności (7.5a) i (7.6) w postaci standardowej określają przemieszczenie dowolnego punktu wewnątrz elementu

Gdzie i- macierz jednostkowa wymiaru 2x2, - funkcje współrzędnych, które nazywamy funkcjami postaci

4) Odkształcenia i naprężenia wyrażane są również poprzez przemieszczenia węzłowe.

Całkowite odkształcenie w dowolnym punkcie elementu można scharakteryzować za pomocą trzech elementów, które przyczyniają się do pracy wewnętrznej:

Używając równości (7,7) lub (7,5a) i (7,6), mamy

która jednoznacznie definiuje macierz [B].

Matryca [B] nie zależy od współrzędnych punktu wewnątrz elementu, a zatem deformacje w nim są stałe.

Macierz elastyczności [D] w relacji, która w rozpatrywanym przypadku ma postać

można napisać wprost dla dowolnego materiału (termin addytywny nie jest zawarty w relacji (7.11)). - odkształcenia początkowe, niezależne od naprężeń, mogą wystąpić z różnych przyczyn. W ogólnym przypadku deformacje początkowe charakteryzują się wektorem

Płaski stan naprężenia w materiale izotropowym. Dla płaskiego stanu naprężenia materiału izotropowego mamy z definicji

Rozwiązując te relacje w odniesieniu do naprężeń, otrzymuje się macierz [D] jak

gdzie mi- moduł sprężystości, a v- Współczynnik Poissona. Płaski stan odkształcony w materiale izotropowym. W tym przypadku oprócz trzech składników naprężenia występuje naprężenie normalne Q z... W szczególnym przypadku izotropowej rozszerzalności cieplnej

a poza tym,

Nie licząc Q z, określ pozostałe trzy składowe napięcia. Zakładając, że deformacja początkowa wynosi zero i porównując ją z zależnością (7.10), otrzymujemy macierz [D] jak

5) Wyznaczono układ sił, które są statycznie równoważne naprężeniom granicznym i obciążeniom rozłożonym działającym na element. Każda z sił musi mieć taką samą liczbę składowych jak odpowiadające przemieszczenia węzłowe i działać w odpowiednim kierunku. Najprostszy sposób Statycznie równoważność sił węzłowych z działającymi naprężeniami granicznymi i obciążeniami rozłożonymi polega na ustaleniu dowolnego (wirtualnego) przemieszczenia węzłowego i zrównaniu zewnętrznych i praca wewnętrzna wykonywane przez różne siły i naciski na ten ruch.

Dla WF e kolumnowy wektor wysiłków ma postać

Gdzie jest wektor kolumnowy przemieszczeń węzłów tego ES, wskaźniki r oraz O odnoszą się odpowiednio do obciążeń rozłożonych i początkowych, jest macierzą sztywności ES

Macierz sztywności elementu ijm określa się za pomocą ogólnej zależności

Gdzie T to grubość elementu, a całkowanie odbywa się na obszarze trójkąta. Jeżeli przyjmiemy, że grubość elementu jest stała, czyli im bliżej prawdy, tym mniejsze są wymiary elementu, to skoro żadna z macierzy nie zawiera x lub tak, miej proste wyrażenie

Gdzie jest obszar trójkąta [wprowadzony zależnością (7,5c)]. Ta forma pisania pozwala na obliczenie matrycy za pomocą komputera. Macierz [B] zdefiniowaną relacją (7.9) można zapisać w postaci

Macierz sztywności elementu można zapisać jako

gdzie podmacierze 2x2 są konstruowane w następujący sposób:

6) Kompilacja zespołu FE i utworzenie globalnej macierzy sztywności [K] cały schemat projektowy

7) Skompilowany

I rozwiązano układ liniowych równań algebraicznych

Uważamy, że siły węzłowe wynikające z początkowego odkształcenia i naprężeń są równe zeru.

W ogólnym przypadku płaszczyzny stan naprężenia lub odkształcenia dla każdego elementu powierzchni jednostkowej w płaszczyźnie x, y działają rozłożone siły wolumetryczne

W kierunkach odpowiednich osi.

Udział tych sił w siłach węzłowych jest określony przez wyrażenie

lub na podstawie (7.7)

pod warunkiem, że siły wolumetryczne X i Y są stałe. Ponieważ N i nie jest stała, należy przeprowadzić integrację.

Jeżeli jako początek wybrano środek ciężkości elementu, obliczenia są uproszczone. W tym przypadku

I używając (7.8), otrzymujemy

lub

Na każdy element

Oznacza to, że wszystkie siły ciała działające w kierunkach x i y są równomiernie rozłożone na trzy węzły.

8) Zgodnie ze znalezionymi wartościami przemieszczeń w każdym elemencie wyznaczane są zgodnie ze sformułowaniem problemu odkształceń, a następnie naprężenia.

Poniżej rozważana procedura rozwiązania problemu testowego rozciągania płyty dwóch FE jest zaimplementowana w pakiecie matematycznym Mathcad. Obciążenia węzłowe są rozłożone na wszystkie węzły proporcjonalnie do liczby ES w węźle.

AV Ignatiew, N.A. Michajłowa, TV Ereshchenko METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ WDROŻENIE W ŚRODOWISKU MATHCAD Warsztaty laboratoryjne z dyscypliny „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” Wołgograd 2010 Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Wołgograd Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej Wydział Matematyki Stosowanej i informatyki AV Ignatiew, N.A. Michajłowa, TV Ereschenko METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ WDROŻENIE W ŚRODOWISKU MATHCAD Warsztaty laboratoryjne z dyscypliny „Metody analityczne i numeryczne do rozwiązywania równań fizyki matematycznej” Wołgograd 2010 UDC 624.04: 004.92 (076.5) LBC 38.112я73 + 32.973-018 e.2ya ts . 266 en t y: Kandydat nauk technicznych M.M. Stiepanow, profesor na Wydziale Matematyki Stosowanej i Informatyki, VolgGASU; Doktor nauk technicznych N.G. Bandurin, profesor Katedry Mechaniki Konstrukcji, VolgGASU. I 266 Metoda elementów skończonych i jej implementacja w środowisku Mathcad: praktyka laboratoryjna z dyscypliny „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” / A.V. Ignatiew, N.A. Michajłowa, TV Ereszczenko; Wołgogr. stan architekt. nie-t. Wołgograd: VolgGASU, 2010.31 s. ISBN 978-5-98276-372-3 Zawiera krótkie informacje teoretyczne wymagane do wykonania pracy laboratoryjnej w dyscyplinie „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej”, warianty poszczególnych zadań, przykłady zadań laboratoryjnych, a także sformułowanie pytań kontrolnych na badany temat. Dla magistrów specjalności AD, SM i V&V edukacja w pełnym wymiarze godzin. UDC 624.04: 004.92 (076.5) BBK 38.112я73 + 32.973-018.2я73 ISBN 978-5-98276-372-3 Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej „Wołgogradski Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej”, 2010 2 Prace laboratoryjne. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ WDRAŻANIE W SYSTEMIE MATHCAD Cel pracy: poznanie metody elementów skończonych i zdobycie umiejętności jej implementacji w systemie Mathcad. Podstawowe pojęcia i koncepcja MES Podstawowa idea metody Podstawową ideą metody jest przedstawienie obliczonej struktury jako zbioru elementów o prostej formie, połączonych ze sobą w osobnych punktach. W rzeczywistości ciągły ośrodek o nieskończonej liczbie stopni swobody zostaje zastąpiony zbiorem poddomen o skończonej liczbie stopni swobody. Przy takim podejściu poszukiwane wielkości ciągłe (przemieszczenia, naprężenia, odkształcenia itp.) wewnątrz każdego elementu skończonego (FE) są wyrażane za pomocą funkcji aproksymujących poprzez wartości węzłowe tych wielkości. Rozłożone obciążenia zewnętrzne są zastępowane równoważnymi siłami węzłowymi. W kategoriach matematycznych problemem jest sprowadzenie równań różniczkowych lub funkcjonału energii opisujących rozważaną konstrukcję do układu równań algebraicznych, którego rozwiązanie daje wartości poszukiwanych niewiadomych węzłowych. Metoda elementów skończonych jest bardzo rozpowszechniona w praktyce obliczania wytrzymałości, stateczności i drgań konstrukcji budowlanych, maszynowych, lotniczych. Za pomocą MES można z powodzeniem analizować szeroką gamę systemów prętowych (kratownice, ramy itp.), cienkościenne konstrukcje przestrzenne (płyty stropowe, osłony itp.), masywne bryły trójwymiarowe, a także połączone systemy składające się z elementów jednowymiarowych, 2D i 3D. MES wyróżnia szeroki zakres stosowalności, niezmienność w odniesieniu do geometrii konstrukcji i właściwości fizycznych materiałów, względna łatwość uwzględniania interakcji konstrukcji z otoczeniem (efekty mechaniczne, termiczne, korozyjne, warunki brzegowe itp.), wysoki stopień przystosowania do automatyzacji wszystkich etapów obliczeń... Metoda ta ma prostą interpretację fizyczną i jest ściśle powiązana z metodą przemieszczeń, która jest szeroko stosowana w mechanice konstrukcji. 3 W oparciu o podejście elementów skończonych opracowano wiele wydajnych systemów oprogramowania. Wśród nich są ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS/M, MSC/NASTRAN, LIRA, SCAD, STARK, STADIO. Większość z nich posiada obszerną bibliotekę elementów skończonych i umożliwia wykonywanie obliczeń wytrzymałościowych, stateczności i drgań, uwzględnia nieliniowości fizyczne i geometryczne, ortotropię materiałową, obciążenia temperaturowe itp. Powyższa lista produkty oprogramowania wdrożenie MES jest dalekie od zakończenia i odzwierciedla jedynie obecną sytuację w tym obszarze. Niewątpliwie MES ma znaczną przewagę nad innymi podejściami i jest w dużej mierze uniwersalny. Jednocześnie należy ją traktować jako jeden z wielu etapów rozwoju środków badań numerycznych w projektowaniu. Ogólny schemat algorytmu MES Metoda elementów skończonych przewiduje następujące główne etapy: 1. Idealizacja system fizyczny... Idealizacja jest rozumiana jako proces przejścia od początkowego układu fizycznego do modelu matematycznego. Ten proces jest najważniejszym krokiem w rozwiązywaniu problemu technicznego lub inżynierskiego. Kluczowym punktem w tym procesie jest koncepcja modelu, który można zdefiniować jako symboliczne urządzenie zbudowane do modelowania i przewidywania zachowania systemu. Modelowanie matematyczne lub idealizacja to proces, w którym inżynier przechodzi z rzeczywistego systemu fizycznego do matematycznego modelu systemu. Ten proces nazywamy idealizacją, ponieważ model matematyczny musi być wyabstrahowany z fizycznej rzeczywistości. Jako przykład rzeczywistego układu fizycznego rozważ konstrukcję inżynierską w postaci płaskiej płyty obciążonej siłami poprzecznymi. Modele matematyczne tego układu, które inżynier może wykorzystać do analizy naprężeń w płycie, mogą być następujące: 1) model bardzo cienkiej płyty oparty na teorii zginania membrany; 4 2) model cienkopłytowy oparty na klasycznej teorii Kirchhoffa; 3) model wystarczająco grubej płyty, oparty np. na teorii Mindlina-Reissnera; 4) model bardzo grubej płyty oparty na trójwymiarowej teorii sprężystości. Oczywiście inżynier musi mieć wystarczającą wiedzę teoretyczną, aby poprawnie dobrać odpowiedni model matematyczny układu (struktury), który musi zbadać. 2. Dyskretyzacja rozpatrywanego obszaru. Obliczona struktura jest dzielona urojonymi punktami, liniami lub powierzchniami na elementy o skończonych wymiarach (elementy skończone). Zakłada się, że elementy są połączone ze sobą w punktach węzłowych znajdujących się na ich granicach. W niektórych zagadnieniach mechaniki konstrukcji, oprócz przemieszczeń węzłowych, za nieznane niewiadome przyjmuje się także ich pochodne cząstkowe. 3. Budowa funkcji interpolujących. Wybierany jest układ funkcji (najczęściej wielomian odcinkowy), który jednoznacznie określa przemieszczenia w obrębie każdego elementu skończonego poprzez przemieszczenia punktów węzłowych. Funkcje interpolujące dobierane są w taki sposób, aby zapewnić ciągłość poszukiwanych wielkości (przemieszczeń i ich pochodnych) wzdłuż granic elementu. 4. Wyprowadzenie podstawowych zależności geometrycznych i fizycznych. Na podstawie wybranego układu funkcji interpolujących wyprowadzane są zależności między odkształceniami a przemieszczeniami (zależności geometryczne) oraz między naprężeniami a odkształceniami (zależności fizyczne). 5. Budowa macierzy sztywności elementów skończonych. Wykorzystując zasadę Lagrange'a, na podstawie uzyskanych zależności geometrycznych i fizycznych konstruuje się macierz sztywności elementu skończonego. 6. Otrzymywanie układu równań metody elementów skończonych. Każda pojedyncza macierz sztywności elementów skończonych jest zawarta w globalnej macierzy sztywności w pętli element po elemencie. W ten sposób powstaje układ równań algebraicznych dla całej konstrukcji (równań równowagi), który ma postać Kz = P, 5 gdzie K jest macierzą sztywności układu (zespołu) elementów skończonych; z jest wektorem nieznanych przemieszczeń węzłowych; Р - wektor obciążeń węzłowych. W macierzy sztywności K powyższego układu równań konieczne jest uwzględnienie warunków brzegowych, gdyż w przeciwnym razie macierz ta ulegnie degeneracji. 7. Rozwiązanie układu równań algebraicznych. Do rozwiązywania układu liniowych równań algebraicznych (SLAE) stosuje się zarówno metody dokładne, jak i (o wysokim rzędzie układu) metody iteracyjne. Zbudowane na ich podstawie wydajne procedury numeryczne uwzględniają symetrię i strukturę pasmową macierzy sztywności układu. 8. Wyznaczanie odkształceń i naprężeń. Odkształcenia, naprężenia i siły w konstrukcji wyznaczane są na podstawie znalezionych przemieszczeń węzłowych na podstawie zależności geometrycznych i fizycznych. Przyjrzyjmy się niektórym z tych kroków bardziej szczegółowo. Dyskretyzacja rozpatrywanego obszaru Podział konstrukcji na elementy skończone jest bardzo ważnym krokiem w procedurze rozwiązywania problemu za pomocą MES, ponieważ od tego w dużej mierze zależy dokładność otrzymanego rozwiązania. Sukces na tym etapie zapewniają przede wszystkim dostępne umiejętności inżynierskie. Brak prawidłowego podziału obszaru na elementy skończone może prowadzić do błędnych wyników. Podczas przypisywania siatki ES pojawia się problem optymalnego podziału struktury na subdomeny. Należy pamiętać, że wymiary elementów muszą być na tyle małe, aby zapewnić zadowalającą dokładność rozwiązania, z drugiej strony zastosowanie gęstej siatki prowadzi do dużych układów równań algebraicznych, których rozwiązanie jest związane z znaczna ilość pracy obliczeniowej. W procesie podziału obszaru na elementy skończone konieczne jest uwzględnienie kilku ogólnych wyobrażeń o ostatecznych wynikach obliczeń w celu zmniejszenia wielkości elementów skończonych w strefach koncentracji naprężeń, gdzie poszukiwane wartości zmieniać się szybko i zwiększać rozmiary FE, w których wymagane wartości zmieniają się powoli. Ważnym punktem w procesie rozwiązywania problemu MES jest numeracja węzłów siatki, ponieważ od tego zależy szerokość taśmy 6 macierzy rozwiązywania równań, odpowiednio od czasu zliczania i ilości wykorzystanej pamięci komputera. Obecnie opracowano programy serwisowe do automatycznego podziału konstrukcji na elementy skończone i racjonalnej numeracji węzłów. Konstrukcja funkcji interpolacyjnych MES oparta jest na aproksymacji funkcja ciągła zdefiniowany na całym obszarze, dyskretny model za pomocą funkcji odcinkowo ciągłych zdefiniowanych na subdziedzinach (elementy skończone). Zapiszmy przemieszczenia, które są funkcjami współrzędnych dowolnego punktu elementu skończonego, poprzez składowe wektora przemieszczeń węzłowych za pomocą funkcji interpolującej (funkcja kształtu lub funkcja bazowa): u = Nz, (1) gdzie N = [N1 N 2 ... N s] jest macierzą funkcji kształtu; z = (z1 z2… zs) jest wektorem przemieszczeń węzłowych elementu skończonego (FE); s to liczba stopni swobody ES. Funkcje (1) muszą spełniać kryteria kompletności i zgodności. Rozważmy je. 1. Kryterium kompletności. Funkcja interpolacji powinna zapewniać stałe wartości rozważanych wielkości przy jednoczesnym zmniejszeniu rozmiaru elementu. Aby spełnić ten warunek, funkcja interpolująca musi być pełnym wielomianem co najmniej stopnia p, gdzie p jest najwyższym rzędem pochodnej zawartej w funkcjonale. T Warunek zupełności jest spełniony, gdy s ∑ Ni = 1. i = 1 2. Kryterium zgodności. Funkcja interpolująca musi być ciągła wraz z jej pochodnymi do (n - 1) rzędu włącznie (gdzie n jest maksymalnym rzędem pochodnej w całce funkcjonału energii) na granicy między elementami. Kryteria kompletności i zgodności są wystarczającymi warunkami dla zbieżności metody elementów skończonych. Gdy wykonuje się je ze zmniejszeniem rozmiaru elementu skończonego, około 7 rozwiązań MES zbiega się monotonicznie do rozwiązania dokładnego. Powyższe wcale nie oznacza, że ​​naruszenie tych kryteriów prowadzi do niemożności uzyskania wiarygodnego rozwiązania. Istnieją niekompatybilne, a nawet niekompletne elementy, które zapewniają wysoką dokładność i szybką zbieżność. Wyprowadzenie podstawowych zależności geometrycznych i fizycznych B ogólna perspektywa zależność pomiędzy deformacjami a przemieszczeniami (zależności geometryczne) jest zapisana następująco: ε = Bz, (2) gdzie ε jest wektorem deformacji; z jest wektorem przemieszczeń węzłowych; B jest macierzą łączącą wektor przemieszczeń węzłowych z wektorem zawierającym składowe tensora deformacji. Zakłada się zatem, że zależność (2) między odkształceniami a przemieszczeniami węzłowymi jest liniowa. Zależność liniowa odpowiada takim warunkom pracy konstrukcji, kiedy odkształcenia i kąty obrotu są małe w stosunku do jedności, a kwadraty kątów obrotu są małe w porównaniu z odpowiadającymi im składowymi odkształcenia. Zależności fizyczne określające zależność między naprężeniami a odkształceniami mają postać σ = Dε, (3) gdzie σ jest wektorem zawierającym składowe tensora naprężeń; D - macierz sprężystości. Równania stanu (3) reprezentują uogólnione prawo Hooke'a, które ustala wprost proporcjonalną zależność między naprężeniami i odkształceniami, która obowiązuje dla pewnej klasy materiałów w pewnym odcinku wykresu σ - ε. Konstrukcja macierzy sztywności elementów skończonych Rozwiązanie problemów analizy strukturalnej opiera się na dwóch głównych podejściach. W pierwszym przypadku równania różniczkowe są rozwiązywane przy zadanych warunkach brzegowych. W drugim przypadku zapisywany jest warunek stacjonarności wielkości całkowej związanej z pracą napięć i przyłożonego zewnętrznie obciążenia i reprezentującej całkowitą energię potencjalną układu. W przypadku analizy strukturalnej w ramach MES stosowane jest drugie podejście. Jak wiadomo, całkowita energia potencjalna układu sprężystego jest określona wzorem 8 Π (z) = W (z) - A (z), gdzie W jest energią potencjalną odkształcenia; A to potencjał sił zewnętrznych. Potencjalna energia odkształcenia układu sprężystego jest określona przez stosunek W = 1 T ∫ ε σ dV, 2V gdzie V jest objętością zajmowaną przez ciało, a potencjał zewnętrznych obciążeń rozłożonych jest określony wzorem A = ∫ uT p dS, S gdzie p jest wektorem zewnętrznych obciążeń rozłożonych; S to obszar, na który przykładane jest obciążenie. W tym przypadku odkształcenia i naprężenia zawarte we wzorze na energię potencjalną wyrażane są poprzez przemieszczenia węzłowe. Otrzymywanie równań MES w przemieszczeniach opiera się na jednej z fundamentalnych energetycznych zasad mechaniki - zasadzie Lagrange'a, zgodnie z którą dla układu w równowadze całkowita energia potencjalna przyjmuje wartość stacjonarną. Warunek ten jest zapisany w postaci ∂Π = 0. ∂z Zakładamy, że wartość całkowitej energii potencjalnej dla całego obszaru V jest równa sumie energii poszczególnych elementów skończonych: m () m (() ( )) Π (z) = ∑ Π z = ∑ Wizi - Ai zi, i = 1 iii = 1 (4) gdzie m jest liczbą elementów skończonych. Wtedy ∂Π m ⎛ ∂W i (z) ∂Ai (z) ⎞ = ∑⎜ - ⎟ = 0. ∂zi = 1 ⎝ ∂z ∂z ⎠ (5) Rozważ oddzielny element skończony, pomijając indeks i: 9 1 T 1 T (Bz) T DBz dV - ∫ (Nz) T p dS = ε σ dV - up dS = ∫ ∫ ∫ 2V 2V SS 1 1 = zT (∫ BT DBz dV) z - zT ∫ NT p dS = zT Kz - zT P, (6) 2 2 S Π (z) = gdzie K = ∫ BT DB dV jest macierzą sztywności elementu skończonego, a (7) VTP = ∫ N p dS jest wektorem obciążeń węzłowych. (8) S Uzyskiwanie układu równań metody elementów skończonych Do przeprowadzenia operacji sumowania konieczne jest przekształcenie wektorów przemieszczeń węzłowych z (i) i obciążenia węzłowego P (i) dla pojedynczego elementu skończonego na odpowiadające mu wektory z i P dla całego systemu, co można zrobić za pomocą jakiejś macierzy Boole'a H (i) zawierającej tylko zera i jedynek jako elementy: z (i) = H (i) z; P (i) = H (i) P. (9) Podstawienie wzorów (9) do wyrażenia na całkowitą energię potencjalną elementu skończonego (6) daje: () () T 1 (i) T (i) (i) H z KH z - H (i) z H (i) P = 2 TT 1 = zT H (i) K (i) H (i) z - zT H (i) H (i) P. 2 Wówczas różniczkowanie względem z, zgodnie ze wzorem (5), prowadzi do układu równań: Π (i) = m ∑ i = 1 (TT) H (i) K (i) H (i) z - H (i) H (i) P = 0, (10) gdzie stosowana jest zasada różniczkowania relacji macierzowych ∂ T z Kz = 2 Kz. ∂z Układ (10), który można zapisać w postaci () Kz = P, (11) 10, jest układem liniowych równań algebraicznych metody elementów skończonych, które są równaniami równowagi w przemieszczeniach. Z reguły rozwiązanie układu (11) wykonuje się metodą Gaussa lub metodami iteracyjnymi. (i) T Macierz sztywności pojedynczego elementu H K (i) H (i) występująca we wzorze (10) jest macierzą rozszerzoną, której wymiar jest równy wymiarowi macierzy globalnej. Dlatego zastosowanie procedury sumowania we wzorze (10) do numerycznej implementacji MES jest nieskuteczne. W obliczeniach praktycznych wykonywana jest bezpośrednia konstrukcja macierzy sztywności globalnej. W tym przypadku macierz K jest konstruowana dla pojedynczego elementu skończonego według wzoru (7), który ma wymiar S × S. Następnie rzędom i kolumnom tej macierzy przypisywane są numery globalnych stopni swobody, co umożliwia wyznaczenie położenia współczynników macierzy sztywności ES w globalnej macierzy sztywności. Następnie współczynniki macierzy sztywności ES są wprowadzane do uprzednio wyzerowanej globalnej macierzy w miejscu określonym przez ich adres. Niech na przykład system składa się z dwóch ES zawierających dwa węzły, z których każdy ma jedną niewiadomą (jeden stopień swobody). Całkowita liczba węzłów w systemie wynosi 3, wymiar globalnej macierzy to 3 × 3, elementy są połączone w 2. węźle. Macierze sztywności pierwszego i drugiego FE wraz z odpowiednią numeracją współczynników oraz macierz globalna mają postać K (1) = 1 ⎡ k11 ⎢ 1 ⎣⎢ k21 1 ⎤ k12 ⎥; 1 k22 ⎦⎥ K (2) = 2 ⎡ k22 ⎢ 2 ⎢⎣ k32 1 1 ⎡ k11 k12 2 ⎤ ⎢ 1 k23 1 2 =; K ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 2 k33 ⎥⎦ ⎢ 2 k32 ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 2 k23 ⎥. 2 ⎥ k33 ⎥⎦ W macierzy K układu równań (11) konieczne jest uwzględnienie warunków brzegowych, w przeciwnym razie będzie ona zdegenerowana, czyli jej wyznacznik będzie równy zero. Warunki brzegowe można uwzględnić na trzy różne sposoby 1. Z macierzy K są usuwane k-ta linia oraz k-ta kolumna odpowiadające przemieszczeniu zk = 0. Następnie zmienia się numerację wierszy i kolumn macierzy 11. W związku z tym zmniejsza się wymiar wektora przemieszczeń węzłowych. 2. Równanie zk = 0 odpowiadające warunkom brzegowym tworzy się jako część macierzy K. Aby otrzymać zk = 0 w macierzy K, k-tym wierszu i k-tej kolumnie oraz odpowiedni element w wektorze obciążeń zewnętrznych P, są wypełnione zerami. Element diagonalny rrr w macierzy K zostaje zastąpiony przez jeden. W efekcie kolejność macierzy nie ulega zmianie, a określone przemieszczenia uzyskują wartości zerowe. 3. Aby otrzymać zk = 0, element przekątny rrr mnoży się przez dużą liczbę. W tym przypadku kolejność macierzy się nie zmienia. Wyznaczanie odkształceń i naprężeń W wyniku rozwiązania układu równań (11) wyznaczany jest wektor przemieszczeń węzłowych całej konstrukcji. Na podstawie znalezionych wartości przemieszczeń węzłowych wektor odkształcenia FE wyznaczany jest wzorem (2), a wektor naprężeń wyznaczany jest wzorem (3). Element dwuwymiarowy simpleks Klasyfikację elementów skończonych można przeprowadzić zgodnie z porządkiem wielomianów - funkcji tych elementów. W tym przypadku rozważane są trzy grupy elementów: 1) elementy simpleksowe; 2) elementy złożone; 3) elementy multipleksowe. Elementy simpleks odpowiadają wielomianom pierwszego stopnia. Elementy złożone są wielomianami wyższego rzędu. W elemencie simplex liczba węzłów jest równa wymiarowi przestrzeni +1. W złożonym elemencie liczba węzłów jest większa niż ta wartość. W przypadku elementów multipleksowych stosowane są również wielomiany wyższego rzędu, ale granice elementów muszą być równoległe do osi współrzędnych. Rozważ tworzenie macierzy sztywności dla dwuwymiarowego elementu simplex. Elementem dwuwymiarowym simpleks jest trójkąt z węzłami znajdującymi się na jego wierzchołkach (rys. 1). Rys. 12 1. Węzły ES dwuwymiarowego elementu simplex są numerowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od dowolnie wybranego i-tego węzła. Współrzędne i-tego, j-tego i k-tego węzła wzdłuż osi x oznaczono przez xi, x j, xk, wzdłuż osi y - przez yi, y j, yk. Każdy węzeł ma dwa stopnie swobody — przemieszczenie u wzdłuż osi x i przemieszczenie v wzdłuż osi y. Funkcje interpolujące określające ruch dowolnego punktu ES wzdłuż osi x i y są przyjmowane w postaci u (x, y) = α 0 + α1 x + α 2 y; (12) v(x,y) = α3 + α4x + α5y. Współczynniki α 0,…, α5 są wyznaczane z warunków brzegowych: u = ui, v = vi przy x = xi i y = yi; u = u j, v = v j dla x = x j i y = y j; u = uk, v = vk dla x = xk i y = yk. Zdefiniujmy współczynniki α 0, α1, α 2. W tym celu podstawiamy warunki brzegowe dla funkcji i do pierwszego wyrażenia (12), które doprowadzi do układu równań: ui = α 0 + α1 xi + α 2 yi; uj = a 0 + a1 x j + a 2 y j; uk = α 0 + α1 xk + α 2 yk. 13 ⎡1 xi ⎢ Lub ⎢1 x j ⎢1 x k ⎣ yi ⎤ ⎧α 0 ⎫ ⎧ ui ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y j ⎥ ⎨ α1 ⎬ = ⎨u j ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk ⎥⎦ ⎩α 2 ⎭ ⎩uk ⎭ (13) Wyznacznikiem układu (13) jest podwojona powierzchnia F elementu trójkątnego: 1 xi 1 xj yi y j = 2F. 1 xk yk (14) Wtedy, zgodnie z regułą Cramera, α0 = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 1 xi 1 xj yi yj 1 xk yk = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 2F lub 1 ⎡ ui xj yk - xkyj - uj (xi yk - xk yi) - uk xi yj - xj yi ⎤. ⎣ ⎦ 2F Współczynniki α1 i α2 wyznacza się w podobny sposób. Po podstawieniu wyrażeń na α0, α1, α2 do pierwszego wzoru (12) mamy 1 ⎡ u (x, y) = (ai + bi x + ciy) ui + aj + bj x + cjyuj + 2F ⎣ + (ak + bk x + cky) uk ⎤⎦, (15) α0 = () (()) gdzie ai = xj yk - xkyj; bi = y j - yk; ci = xk - xj. (16) Pozostałe współczynniki w (15) uzyskuje się wzorami (16) przez cykliczną permutację wskaźników (wskaźnik i zastępuje się indeksem j, indeks j - indeksem k, indeks k - indeksem i). Podobnie: v (x, y) = 1 ⎡ (ai + bi x + c i y) vi + a j + bj x + c j y v j + 2F ⎣ + (ak + bk x + c k y) vk ⎤⎦. () 14 (17) Następnie w postaci macierzowej ⎡ Ni ⎧u ⎫ u = ⎨ ⎬ = Nz = ⎢ ⎩v ⎭ ⎢⎣ 0 0 Nj 0 Nk Ni 0 Nj 0 ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪⎪ uj ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬, N k ⎥⎦ ⎪ vj ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 1 1 aj + bj x + cjy; (ai + bi x + c i y); Nj = 2F 2F (18) 1 Nk = (ak + bk x + c k y). 2F Relacje geometryczne łączące odkształcenia i przemieszczenia w ramach zagadnienia płaskiego teorii sprężystości zapisano ze wzorów (15), (17) następująco: (gdzie Ni =) ∂u 1 ∂v 1 bi ui + bjuj + bk Wielka Brytania; ε y = ci vi + c j v j + ck vk; = = ∂x 2 F ∂y 2 F ∂u ∂v 1 ci ui + cjuj + ck uk + bi vi + bjvj + bk vk γ xy = + = ∂y ∂x 2 F lub w postaci macierzowej: εx = () ((⎧ε ⎫ ⎡bi x ⎪ ⎪ 1 ⎢ ε = ⎨ εy ⎬ = ⎢0 ⎪ ⎪ 2F ⎢ γ γ xy ⎭ ⎣ci ⎡bi 1 ⎢ gdzie B = ⎢0 2F ⎢ ⎣ci)) 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ 0 ⎤⎪ i ⎪ ⎥ ⎪⎪uj ⎪⎪ ck ⎥ ⎨ ⎬ = Bz, ⎥ ⎪vj ⎪ bk ⎦ ⎪ ⎪ u ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 0⎤ ⎥ ck ⎥ jest macierzą gradientu. ⎥ bk ⎦ 15 (19) Podwojoną powierzchnię elementu skończonego 2F w wyrażeniu (19) oblicza się według wzoru (14). Fizyczne relacje określające zależność między naprężeniami i odkształceniami w płaskim zagadnieniu teorii sprężystości są zapisane w postaci σ = Dε, ⎡ ⎤ ⎢ 1 ν1 0 ⎥ ⎥ E1 ⎢ gdzie D = 1 0 ν 1 ⎥ jest sprężystością matryca. 2 ⎢ 1 - ν1 ⎢ 1 - ν1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ 2 ⎦ ⎣ (20) W przypadku odkształcenia płaskiego (ε z = 0) E1 = E ν należy przyjmować we wzorze (20); ν =, 1 1 - ν 1 - ν12 (21) oraz dla uogólnionego płaskiego stanu naprężenia (σ z = 0) E1 = E; v1 = v. (22) Wzory (21) i (22) odpowiadają materiałowi izotropowemu o module sprężystości E i współczynniku Poissona ν. Nie jest trudno skonstruować matryce sprężyste dla materiału ortotropowego, gdy charakterystyki sztywności są różne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. Ponieważ macierze B i D zawierają tylko stałe, całka objętościowa określająca macierz sztywności elementu we wzorze (7) jest łatwa do obliczenia: K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV V (23) V lub K = BT DB tF. (24) We wzorze (24) t jest grubością pierwiastka; F to powierzchnia elementu. Zwykle macierz sztywności (24) jest wyznaczana numerycznie. W tym celu najpierw znajdują się wartości liczbowe współczynników macierzy B i D, a następnie wykonuje się mnożenie zgodnie z wyrażeniem (23) lub (24). PRZYKŁAD WYKONANIA PRACY LABORATORYJNEJ Przed przystąpieniem do pracy laboratoryjnej przypomnijmy raz jeszcze główne etapy metody MES: 1. Ciało sprężyste dzielimy na elementy. Ciało stałe w czworościany lub równoległościany. Płaskie ciało - w trójkąty i prostokąty. 2. Dla każdego elementu kompilowana jest macierz sztywności za pomocą funkcji kształtu. Funkcja kształtu to sposób na przybliżenie nieznanej funkcji przemieszczenia. 3. Macierze sztywności elementów są łączone w jedną macierz sztywności dla całego ciała. 4. Rozwiązując układ równań, znajdują się przemieszczenia węzłowe. 5. Wykorzystując równania teorii sprężystości wyznacza się odkształcenia i naprężenia w punktach węzłowych ciała. W podanym przykładzie rozwiązany jest płaski problem teorii sprężystości. Pierścień obciążony dwiema siłami (ryc. 2, c) ma dwie osie symetrii, dlatego dla poprawy dokładności obliczeń rozważymy jedną czwartą pierścienia (ryc. 3). Na osiach symetrii muszą być spełnione warunki brzegowe równości do zera przemieszczeń prostopadłych do osi symetrii. Rozważaną ćwiartkę pierścienia podzieliliśmy na trójkątne elementy skończone (patrz ryc. 2, b). Element trójkątny ma 6 stopni swobody (niezależne przemieszczenia węzłowe). Numeracja przemieszczeń węzłowych w elemencie rozpoczyna się w lewym dolnym węźle trójkąta i jest kontynuowana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Przemieszczenia poziome są nieparzyste, przemieszczenia pionowe są parzyste. Numeracja węzłów całego ciała i elementów skończonych jest w kolumnach od góry do dołu, od lewej do prawej. Wymiary elementów mogą być różne (im mniejszy element, tym wyższa dokładność obliczeń). W naszym przykładzie mamy łącznie 66 węzłów i 100 elementów skończonych. Położenie obliczonych węzłów pokazano na rys. 3, ur. Obliczenie współrzędnych węzłów pokazano na ryc. 4. Wprowadzanie współrzędnych węzłów to żmudna praca, a przy dużej liczbie węzłów lepiej zautomatyzować tę pracę. 17 a b c Rys. 2. Schemat obciążenia i trójkątny element skończony a b Rys. 3. Schemat projektowania i współrzędne węzłów Na ryc. 4 przedstawia obliczenie współrzędnych biegunowych węzłów i ich przekształcenie na współrzędne prostokątne (kartezjańskie). Tutaj r1 i r2 są zewnętrznymi i wewnętrznymi promieniami pierścienia; t jest grubością pierścienia; φ1 i φ2 - początkowe i końcowe wartości współrzędnej kątowej; X0 i Y0 - współrzędne kartezjańskie bieguna (początek współrzędnych biegunowych); nr i nφ to liczba węzłów w kolumnie (wzdłuż promienia) iw rzędzie (zgodnie z kątem pokrycia rozpatrywanej części ciała). Wyniki obliczeń współrzędnych węzłów przedstawiono na wykresie (rys. 5). Rys. 18 4. Obliczanie współrzędnych węzłów elementów Ryc. 5. Siatka węzłów 19 Zadanie komponowania macierzy indeksów jest również żmudne i pracochłonne. Na ryc. 6 przedstawia program użyty w przykładzie do tworzenia macierzy indeksów. Zapewnia również automatyczne obliczenie warunków brzegowych oraz, w zależności od liczby węzłów, liczby przemieszczeń, w których przemieszczenie na osiach symetrii jest równe zeru. Automatyzacja obliczeń współrzędnych węzłów, macierzy wskaźników oraz warunków brzegowych pozwala na zmianę liczby węzłów przez dany schemat (rys. 7). Ryż. 6. Program do obliczania macierzy indeksów 20 Rys. 7. Macierz indeksów, współrzędne węzłów, liczby i określone przemieszczenia Współrzędne węzłów, macierz indeksów oraz warunki brzegowe można zapisać w oddzielne pliki jak pokazano na ryc. 8. Pliki te można następnie odczytać za pomocą funkcji READPRN i wykorzystać w innym dokumencie. Rys. 21 8. Zapis współrzędnych, macierzy wskaźników i warunków brzegowych do plików zewnętrznych Obliczenia te przeprowadzono z uwzględnieniem wymiarów (rys. 4). Uwzględnianie wymiarów wprowadza dodatkowe trudności w dość skomplikowanych obliczeniach, zwłaszcza przy wprowadzaniu macierzy wielkości wymiarowych (rys. 9). Ryż. 9. Wektor siły i macierz wskaźnika przemieszczenia 22 Każdy element trójkątny ma 3 węzły i 6 przemieszczeń węzłowych. Macierz wskaźnika przemieszczeń (macierz zależności między globalnymi liczbami przemieszczeń węzłowych ciała a lokalnymi liczbami przemieszczeń węzłowych elementów) uzyskuje się poprzez podwojenie macierzy MIU. Macierz sztywności pręta jest obliczana ze wzoru K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV. V (23) V Tutaj B = ∂T N, gdzie D jest macierzą sztywności wewnętrznej zawierającą stałe sprężystości materiału E, ν; ∂ - operator różniczkowy macierzy, oznaczający pewną sekwencję przypisania znaku różniczkowania; N jest macierzą funkcji kształtu. Dla elementu trójkątnego funkcją kształtu jest równanie płaszczyzny zdefiniowane przez wyrażenia (18). Jak pokazano powyżej (patrz wyrażenie (19)), macierz B = ∂T N zawiera stałe zależne tylko od współrzędnych węzłów. Podajmy obliczenie współczynników tworzenia macierzy sztywności elementów (ryc. 10) i obliczenie powierzchni elementów (ryc. 11). Ryż. 10. Obliczanie współczynników tworzenia macierzy sztywności elementu 23 Rys. 11. Obliczanie powierzchni elementów Macierz sztywności wewnętrznej D jest pokazana poniżej (rys. 12) i zapisana w postaci operatora warunkowego: różne macierze dla płaszczyzny naprężonej NDS = 0 i płaskiego stanu odkształconego NDS = 1 . Figa. 12. Utworzenie macierzy sztywności wewnętrznej Dla elementu trójkątnego całka po objętości jest równa iloczynowi całki i objętości. Wzór (23) na obliczenie macierzy sztywności elementu pokazano powyżej. Macierz sztywności układu tworzona jest za pomocą macierzy wskaźników. 24 Uwzględnieniu warunków brzegowych towarzyszy przebudowa macierzy sztywności układu i wektora siły (rys. 13). Ryż. 13. Utworzenie macierzy sztywności układu i uwzględnienie warunków brzegowych Przemieszczenia węzłowe wyznacza się odwracając macierz sztywności. Ryż. 14. Wyznaczanie przemieszczeń węzłów, odkształceń i naprężeń w środku elementu Zgodnie z równaniami teorii sprężystości ε = ∂T u, gdzie u jest wektorem przemieszczenia. Zgodnie z równaniami połączenia przemieszczeń węzłowych ∆ i przemieszczeń u dowolnego punktu u = N ∆. 25 () Stąd deformacja elementu ε = ∂T N ∆. Z fizycznych równań teorii sprężystości (prawo Hooke'a) naprężenia σ = Dε. Złożoność obliczeń polega na starannym wykorzystaniu indeksów elementów, węzłów, kolumn, wierszy, przyporządkowaniu indeksów do wartości zaczerpniętych z macierzy indeksów. Dla elementu trójkątnego funkcja kształtu jest liniowa, dlatego pochodne funkcji kształtu, odkształcenia i naprężenia znalezione na ryc. 14 są stałe na całej powierzchni elementu. Naprężenia w węzłach ciała definiuje się jako średnią arytmetyczną naprężeń lub odkształceń we wszystkich elementach zbiegających się w węźle. Obliczenia naprężeń i odkształceń w węzłach korpusu pokazano na ryc. 15. Ryc. 15. Wyznaczanie przemieszczeń węzłów korpusu, naprężeń i odkształceń w środku każdego elementu 26 Na ryc. 15 pokazuje definicję 4 wartości odkształcenia i naprężenia w każdym elemencie, nieuwzględnionej w macierzy sztywności wewnętrznej D. Praca z dokumentem Mathcad, jeśli pominiemy wyrażenie NDS: = 1 poniżej wyrażenia NDS: = 0 , wtedy możemy zobaczyć wyniki obliczeń już nie w płaskim stanie naprężenia, a w płaskiej deformacji. Wyniki obliczeń przedstawiono na ryc. 16. Ryc. 16. Wyniki obliczeń 27 Zadanie laboratoryjne Rozwiąż płaski problem teorii sprężystości metodą elementów skończonych (MES). Pierścień obciążony dwiema siłami (ryc. 3, b) ma dwie osie symetrii, dlatego aby poprawić dokładność obliczeń, należy wziąć pod uwagę jedną czwartą pierścienia. Za pomocą odpowiedniej siatki dzieli się ją na trójkątny system elementów skończonych. Liczbę węzłów na promieniu nr oraz liczbę węzłów na kącie pokrycia rozpatrywanej części ciała nφ wybiera się z tabeli zadań indywidualnych zgodnie z opcją. Wyznaczanie odkształceń i naprężeń w stanie naprężonym w płaszczyźnie iw stanie odkształconym w płaszczyźnie. Warianty poszczególnych zadań Lp. Liczba węzłów zróżnicowana na promieniu, nr 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 8 14 9 15 10 Liczba węzłów według kąta zasięg, nφ 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 4 6 7 8 Opcja nr 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Liczba węzłów w promieniu, nr 11 12 13 9 10 11 12 13 10 11 12 13 11 12 13 Liczba węzłów według kąta pokrycia, nφ 9 4 5 6 4 8 9 7 5 6 7 6 4 5 6 Treść raportu W katalogu roboczym studenta należy utworzyć dwa pliki zawierające debugowane dokumenty w systemie Mathcad odpowiadające obliczenia dla płaskiego stanu naprężenia oraz w stanie płasko odkształconym. 28 Sprawozdanie z pracy laboratoryjnej musi zawierać: 1) nazwę pracy laboratoryjnej; 2) cel pracy laboratoryjnej; 3) zadanie; 4) debugowane dokumenty wykonania zadania skopiowane z ekranu monitora. Pytania testowe 1. Do czego służy metoda elementów skończonych? 2. Ołów ogólny schemat obliczenia metodą elementów skończonych. 3. Czym jest wyidealizowany projekt? 4. Z jakiego układu liniowych równań algebraicznych wyznaczane są przemieszczenia węzłów? 5. Jak wyznacza się postać wielomianu aproksymującego? 6. Jakie funkcje nazywamy funkcjami podstawowymi? 7. Jak określane są funkcje formularza? 8. Jak wyznaczane są funkcje ruchu? 9. Jak wyznaczane są funkcje odkształcenia? 10. Jak wyznaczane są naprężenia? 11. Jakiej zasady używa się do zdefiniowania sił uogólnionych? 12. Jak wyznacza się macierz sztywności elementu? 13. Jak kompilowana jest macierz sztywności systemu? 14. Biorąc pod uwagę, jakie wpływy mają otrzymane wyrazy swobodne układu równań kanonicznych? 15. Co może powodować wstępne odkształcenia? 16. Co może powodować stres? 17. W jaki sposób określane są siły reaktywne pod wpływem indywidualnych wpływów? 18. Jak system Mathcad oblicza współrzędne węzłów siatki? 29 Spis bibliograficzny 1. Darkov V.А. Mechanika konstrukcji: podręcznik. dla kompilacji. specjalista. uniwersytety / V.A. Darkov, N.N. Szaposznikow. Wyd. 8, ks. i dodaj. M.: Wyższe. szk., 1986. 607 s. 2. Makarow E.G. Obliczenia inżynierskie w Mathcad 14: kurs szkoleniowy. SPb. : Piotr, 2007.592 s. 3. Trushin S.I. Metoda elementów skończonych. Teoria i cele: instruktaż... Moskwa: Wydawnictwo ASV, 2008.256 s. 4. Chechumov R.A. Zastosowanie metody elementów skończonych do projektowania konstrukcji / R.A. Chechumow, H. Keppler, W.I. Prokopiew. M.: Wydawnictwo ASV, 1994,353 s. 30 Publikacja edukacyjna Ignatiev Aleksander Władimirowicz, Michajłowa Natalia Anatolijewna, Ereschenko Tatiana Władimirowna METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH I JEJ WDROŻENIE W ŚRODOWISKU MATHCAD Warsztaty laboratoryjne z dyscypliny „Metody analityczne i numeryczne rozwiązywania równań fizyki matematycznej” Kierownik. RIO O.E. Głowa Goryacheva. pod redakcją M.L. Sandy Redaktor O.A. Shipunova Komputerowa edycja i układ autorstwa N.А. Derina Podpisano do druku 30.06.10. Format 60x84 / 16. Papier offsetowy. Sitodruk. Zestaw słuchawkowy Times. KONW. wydrukować l. 1.9. Uch.-wyd. l. 1.7. Nakład 100 egzemplarzy. Zamówienie nr 70 Państwowa instytucja edukacyjna wyższego wykształcenia zawodowego „Wołgograd Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej” Dział wydawniczy i wydawniczy Operacyjny sektor poligraficzny CIT 400074, Wołgograd, ul. Akademiczeskaja, 1 31

Używam Mathcada w swoich obliczeniach od dłuższego czasu, prawdopodobnie od 15 lat, jeśli nie dłużej. Pracował w różne wersje Mathcad (2, 5, 6, 7, 8...15), czyli prawie we wszystkich wersjach. Początkowo był trudny do opanowania, potem z podziwem był używany w obliczeniach (edukacyjnych i badawczych).

Siedem lat temu został beta testerem w Mathsoft (brał udział w testowaniu nowych wersji Mathcada). Wielokrotnie przedstawiał propozycje ulepszenia pakietu Mathcad, przekształcając go w potężne narzędzie programistyczne i rozwiązujące złożone problemy obliczeniowe. Otrzymane od Mathsoft podziękowania i standardowe odpowiedzi, takie jak Nous, prawie nie zastanawiały się nad tymi pytaniami (intensywnie myślimy o tych pytaniach).

Mathsoft robił przynajmniej coś, aby ulepszyć aparat matematyczny Mathcada. Kilka lat temu Mathsoft został przejęty przez PTC, którego głównym produktem jest pakiet ProEngeneer ProMechanica. Dla nich Mathcad jest produktem ubocznym. Specjaliści, którzy opracowali Mathcad, zniknęli. Moim zdaniem strategia się zmieniła. Nowa wersja opracowana przez RTS (nie wersja, ale całkowicie nowy pakiet) Mathcad Prime jest podobna do potężnego kalkulatora z zasadniczo innym interfejsem i, moim zdaniem, niewygodna w pracy (przy rozwiązywaniu dość złożonych problemów przy stosunkowo duży program). Poza tym Mathcad Prime wciąż jest niekompatybilny ze starymi wersjami (nawet z mathcadem 15) Na prośbę użytkowników RTS powrócił (na chwilę) do starego kierunku i wypuścił Mathcada 15, który jest matematycznie 100% kopią Mathcada 14. Otóż ​​to. Przyjechali.

W jakim stanie pozostawili, porzuceni przez właścicieli Mathcada?

Doskonały pakiet matematyczny do rozwiązywania problemów o średniej złożoności i praktycznie nieodpowiedni do rozwiązywania złożonych problemów, takich jak metoda elementów skończonych.

Główną przeszkodą na drodze do rozwiązywania złożonych programów uniwersalnych jest brak możliwości wyboru opcji obliczeniowych ... W Mathcadzie bardzo trudno ominąć niepotrzebne in ta opcja operator obliczeniowy. Cóż, przynajmniej pozwolili na przejście na etykietę, pogardzaną przez programistów, ale niezbędną dla kalkulatorów. (Pojedynczą instrukcję można ominąć za pomocą instrukcji ON ERROR).

Co do metody elementów skończonych to całkowicie zgadzam się z RTS. Używanie Mathcada do rozwiązywania problemów metodą elementów skończonych to, przepraszam, "schizo". W tym celu istnieje wiele różnych systemów obliczeniowych, na przykład ANSYS lub ten sam ProEngeneer. Używam Mathcad do problemów MES tylko do nauki algorytmu MES. W rzeczywistości praca kursu opublikowana do pobrania jest przekrojowym modelem kompleksu obliczeniowego. W pracy na kursie wyraźnie widoczny jest algorytm MES (w postaci działających formuł). Badanie i zapamiętywanie tego algorytmu jest celem pracy semestralnej z MES, i wcale nie uzyskiwanie zbliżonych do wiarygodnych wyników obliczeń.

Matematyczny rdzeń Mathcada jest niedoskonały (i wcale się nie poprawia).
W rezultacie przy obliczaniu pracy semestralnej, na przykład przy dostosowywaniu wymiarów przekrojów, gdy jeden z wymiarów zmienia się, układ równań nagle przestaje być rozwiązywany (dzielenie przez zero) lub nagle pojawia się pierwsza częstotliwość drgań własnych być liczbą zespoloną. Mała korekta tego samego rozmiaru i rozwiązanie pojawia się ponownie . Przy rozwiązywaniu układów równań wynik obliczeń zmienia się czasami drastycznie, gdy zmieniają się wartości początkowych przybliżeń lub gdy wybrana jest inna metoda obliczeń (w menu kontekstowym). Czasami możesz poprawić dokładność obliczeń, wybierając Narzędzia ( Narzędzia) -Opcje (Opcje arkusza roboczego) TOL = 10 -8 zamiast TOL = 10 -3, ale to nie zawsze pomaga poprawnie rozwiązać problem

Istnieje mnóstwo programów liczących MES. Nie wchodząc w szczegóły, dlaczego metoda jest tak dobra i ma szerokie zastosowanie, przyjrzyjmy się procesowi obliczeniowemu od środka. Wydawałoby się, że wszystko jest proste, dlaczego nie spróbować złożyć swojego roweru, tj. stwórz swój program. Na pierwszym etapie możesz debugować, testować i dostosowywać obliczenia w MathCAD. Później już zdebugowany algorytm obliczeniowy dla wygody wprowadzania danych i analizy wyników można przepisać w C#, dołączając grafikę.

Gdzie zacząć. Ponieważ moim zadaniem globalnym jest modelowanie gruntu, obliczenia zacznę od zagadnień teorii sprężystości.


Oto przykład łamigłówki, którą trzeba rozebrać. Elastyczne trójkątne pierwotniaki FE. Schemat został opracowany i rozwiązany w programie FEMmodels 2.0. Powtórzmy to w MathCAD.

1. Dyskretyzacja terenu,
czyli podzielenie tego obszaru na części, definiując punkty „węzłowe”. Z układu o nieskończonej liczbie stopni swobody tworzymy układ o skończonej liczbie węzłów i odpowiednio stopniach swobody.

2. Wyznaczanie funkcji aproksymujących dla elementu.
Pomiędzy węzłami wartości poszukiwanych funkcji (w naszym przypadku przemieszczeń X i Y) zmieniają się zgodnie z ustalonymi przez nas prawami, przybliżając funkcje.

3. Sporządzanie równań opisujących cały układ.
Jako nieznane wartości funkcji w węzłach (w naszym przypadku otrzymujemy system równania liniowe SLAE).

4. Rozwiązywanie równań
oraz określenie wartości węzłowych i innych niewiadomych.

Zacznę trochę nie od podziału obszaru, ale od drugiego punktu – definiowania funkcji dla elementu skończonego. Najprostszym elementem skończonym do obliczenia płaskiego zagadnienia teorii sprężystości jest trójkąt z liniową funkcją aproksymacji:

Ryż. 1. Funkcja aproksymacji i uzyskiwanie dla niej współczynników.
Ponieważ w każdym węźle mamy dwa stopnie swobody (X i Y), dodawana jest kolejna podobna funkcja.
Istotą wszelkich manipulacji jest uzyskanie związku między przemieszczeniami węzłów elementu a powstającymi w nim deformacjami. Ponieważ mamy 6 składowych przemieszczeń i 3 odkształcenia, połączenie jest realizowane przez pewną macierz b wymiar 3x6 (macierz pochodnych funkcji postaci). Jest to pierwsza macierz do skonstruowania przedmiotu.
Potrzebna jest również macierz, która wyraża związek między deformacjami a naprężeniami (matryca D). W przypadku ciała elastycznego zależność ta jest uogólnionym prawem Hooke'a.

Kolejne małe odstępstwo od tematu, macierz D dla przypadku innego rodzaju płaskiego stanu naprężenia. Gdy konieczne jest obliczenie np. podstawy nasypu pod torami kolejowymi lub podstawy rozbudowanego budynku, można rozważyć problem płaski, ponieważ można przyjąć, że deformacje wzdłuż nasypu lub budynku są zero. Aby uzyskać D equate e z = 0. Jeśli weźmiemy pod uwagę ścianę budynku, na którą siły działają tylko w płaszczyźnie ściany, możemy również rozważyć problem płaski, tylko będą odkształcenia od płaszczyzny przekroju, ale nie ma naprężeń, rozważamy sigma z = 0.

Ogólna macierz elementu K e: = B T D B V

Nie będę powtarzał matematycznych podstaw tego wniosku, powiem ci krótkie znaczenie fizyczne.
Przykład macierzy K e:

Liczba wierszy i kolumn odpowiada liczbie stopni swobody. K i, j = siła w kierunku stopnia swobody j od przyłożenia pojedynczego ruchu w kierunku stopnia swobody i. Wtedy np. dla naszego elementu jako czek można dodać elementy parzyste/nieparzyste wzdłuż dowolnego wiersza lub kolumny, zgodnie ze znaczeniem naszego elementu będą to reakcje w mocowaniach odpowiednio wzdłuż X lub Y oraz ich suma jest naturalnie równa zeru. Matryca jest zdegenerowana w sensie fizycznym. co oznacza, że ​​luźny element ma niezdefiniowane siły/reakcje w węzłach.

Dalej jest łatwiej. Konieczne jest złożenie globalnej macierzy systemu z poszczególnych elementów. Dla wszystkich stopni swobody układu (wierszy i kolumn macierzy K) zapisujemy odpowiadające im reakcje z poszczególnych elementów. Najdłużej bawiłem się tą transformacją i w rezultacie oto taki prosty algorytm z 5 zagnieżdżonymi pętlami:

Dalej jest jeszcze łatwiej, zbieramy wektory siły dla wszystkich niezabezpieczonych stopni swobody P, z DO usuń wiersze i kolumny ze stałymi stopniami swobody i uzyskaj układ równań liniowych: K * u = P; rozwiązujemy u = K -1 P nawet nie zastanawiając się zbytnio nad nieefektywnością tej metody pod względem moc obliczeniowa, bo zadanie jest małe.

Najbardziej nieprzyjemnym momentem rozwiązania w macie była niedogodność wprowadzania danych początkowych i analizowania wyników. Jednak wszystkie procedury są algorytmizowane i np. funkcja umieszczania wszystkich kotwic zajmuje 8 wierszy, a lista elementów n x n x 2 kompilowana jest w 11 wierszach (w przykładzie 242 pozycje).

Moje dwa kolejne zadania: elementy z bardziej złożonym przybliżeniem, pozwalającym na zmniejszenie liczby elementów i dopracowanie rozwiązania oraz główne, nieliniowe elementy. W tym przypadku macierz K będzie zależna od przemieszczeń i rozwiązanie staje się znacznie bardziej skomplikowane. K(u) * u = P(u). W ogólnym przypadku wektor sił zewnętrznych zależy również od przemieszczeń u.

Źródła wiedzy:
1. Wykłady 2008 w Katedrze Ogólnej i Wydziale PGUPS. Shashkin K.G.
2. Segerlind „Zastosowanie metody elementów skończonych” (1979)
3. A.L. Rozin