طريقة العنصر المحدود mathcad العزم المكاني للقصور الذاتي. طريقة العناصر المحدودة في الرياضيات

الحجم: بكسل

ابدأ العرض من الصفحة:

كشف الدرجات

1 وزارة التعليم والعلوم في دولة الاتحاد الروسي مؤسسة تعليميةالتعليم المهني العالي "المحيط الهادئ جامعة الدولة»حل مشكلة التوصيل الحراري ثنائي الأبعاد بطريقة العنصر النهائي في محافظة مهد تعليمات منهجيةوالمهام الرقابية للعمل المخبري في مقرر "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" للطلاب المسجلين في دار القضاء خاباروفسك للنشر PNU

2 UDC 9. /. 7. حل مشكلة ثنائية الأبعاد للتوصيل الحراري بطريقة العناصر المحدودة في MAHCAD: مبادئ توجيهية ومهام ضابطة للعمل المخبري في مقرر "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" للطلاب المسجلين في القضاء / الكمبيوتر . إل إم إيفانيكوف. خاباروفسك: دار النشر باسيفيك. حالة un-that و. 8. تم وضع تعليمات منهجية في قسم ميكانيكا المواد الصلبة القابلة للتشوه. وهي تشمل محتوى العمل المخبري وتوصيات لدراسة أقسام المقرر الدراسي "الأساليب التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" اللازمة لتنفيذه ، وقائمة بالأدبيات الموصى بها والمهام للعمل المخبري. مجلس معهد البناء والعمارة. جامعة ولاية المحيط الهادئ ،

3 أحكام عامة الغرض من العمل المخبري هو إتقان الخوارزمية لحساب المشاكل ثنائية الأبعاد لتوصيل الحرارة بطريقة العناصر المحدودة. حيث معادلة نقل الحرارة تكون معادلة مشكلة المستوى للتوصيل الحراري على شكل K ، K ، K ، K هي معاملات التوصيل الحراري في اتجاه المحاور ، الوظيفة المطلوبة لدرجة الحرارة ؛ kW. ،> ، إذا تم إمداد الجسم بالحرارة. م يتم ضبط شروط الحدود على نوعين: kW · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·. · ·. ·. Г ، إذا كانت درجة الحرارة معروفة في جزء من الحدود Г ، حيث Г Г هي درجة حرارة معروفة عند نقاط الحدود ، اعتمادًا على إحداثيات نقاط السطح s على الحدود Г ؛ ، Г ،. K l K mhq ، إذا حدث التبادل الحراري بالحمل الحراري على جزء من السطح Г ، يتميز بالقيمة h ، أو يتم إعطاء تدفق حراري q على جزء من السطح Г ، و Г Г Г. الحدود ، K ؛ درجة الحرارة المحيطة المعروفة ، K ؛ ل ، م اتجاه جيب التمام ؛ q ، التدفق الحراري المعروف ، kW ، يعتبر موجبًا إذا فقد الجسم الحرارة. لا يمكن أن يعمل تدفق الحرارة ونقل الحرارة بالحمل الحراري في نفس المنطقة في وقت واحد. إذا كانت هناك حدود معزولة بالحرارة ، فإن التدفق الحراري يكون صفراً ولا يوجد انتقال حراري للحمل ، فسيتم كتابة حالة الحدود على النحو التالي: حيث n هو الطبيعي الخارجي لحدود المنطقة المدروسة. ن م ؛

4 وظيفة حل مشكلة التوصيل الحراري حل المعادلة في المجال s بشروط حدية وعلى Г يكافئ إيجاد الحد الأدنى للوظيفة Г h q s K K Ф s ،. عند حل مشكلة FEM ، يتم تقسيم المنطقة s إلى n نطاقات فرعية من العناصر المحدودة ، والتي تؤخذ عادةً في شكل مثلثات في الشكل. علاوة على ذلك ، يتم إعطاء جميع الصيغ لـ FE المثلث. تتم كتابة الوظيفة كمجموع مساهمات جميع العناصر المحدودة في المنطقة. ثم تأخذ الصيغة n Г Г s Г Г q s s g D g Ф ، حيث g ؛ مصفوفة K K D لمعاملات التوصيل الحراري. أو Ф Ф ن. دعونا نمثل درجة الحرارة المتغيرة داخل FE ، من خلال القيم العقدية: أين هي مصفوفة وظائف شكل FE ، مع مراعاة توزيع درجة الحرارة داخل FE. ثم g أو B g ، حيث B هي مصفوفة التدرج لوظائف النموذج FE. لكل FE ، من الممكن الآن كتابة مساهمة كل FE في تعبير الوظيفة:

5. Г h Г h Г h Г qs BDB Ф Г Г Г Г ss وسيكون متجه الإجراء الخارجي Г h Г qs F Г s G. للمنطقة المدروسة بأكملها ، نحصل على n F k Ф ، أو FK ، حيث nk K، n F F. المعادلة هي المعادلة الأساسية لحل مشكلة التوصيل الحراري بطريقة العناصر المحدودة. عنصر بسيط ثنائي الأبعاد لحل مشكلة المستوى للتوصيل الحراري ، يتم استخدام FE مثلث بجوانب مستقيمة ، انظر الشكل. يتم ترقيم العقد بعكس اتجاه عقارب الساعة ، بدءًا من عقدة معينة ، يُشار إليها بوحدة. يظهر ترقيم جوانب FE في الشكل.

6 ص X ، ص الجانب X ، Y الجانبالجانب X ، Y الاتجاهالترقيم X الشكل .. عنصر مثلث محدود يشار إلى القيم العقدية لدرجة الحرارة بالرمز ،. يتم تحديد درجة الحرارة عند نقطة FE بالإحداثيات بواسطة الصيغة. فيما يلي وظائف النموذج المستخدمة لهذا FE. a XY، A a XYA a XYA يتم حساب منطقة FE وفقًا للصيغة المعروفة XYAX Y. XY تعتمد المعاملات المضمنة في دوال النموذج على إحداثيات العقد ، وهي معطاة أدناه: أ س ص ص ، س ص ص ، . أ X Y X Y و Y Y و X X و Y Y و Y Y و X X X X

7 7 تطبيق FOUR-CORNER FE لتوليد الشبكة للرسم الأولي لشبكة ذات خلية كبيرة عن طريق تقسيم المنطقة إلى مناطق ، يتم استخدام العناصر التربيعية الرباعية الزوايا من الشكل. على كل جانب من جوانب FE ، يتم إدخال ثلاث عقد . الجانب 7 8 الجانب الجانبي الشكل. رباعي الزوايا تربيعي FE في الشكل. تظهر محاور الإحداثيات النسبية المحلية حيث يكون للعقدة إحداثيات ξ ، ؛ عقدة ξ ، عقدة ξ ، العقدة 7 ξ ،. يتم ترقيم العقد لمثل هذا FE ، بدءًا من العقدة ، في عكس اتجاه عقارب الساعة. يمكن تحديد موقع العقد 8 في نقطة عشوائية من الجانب المقابل ، مما يسمح لك ببناء شبكة أكثر كثافة في تأثيرات النقطة القريبة في المستقبل. في المستقبل ، يتم تقسيم كل جانب من جوانب FE إلى عدد معين من الأقسام. يتم ترقيم العقد على النحو التالي: عموديًا من العقدة ذات الإحداثيات ، لأسفل على طول المحور ومن اليسار إلى اليمين على طول المحور. وبالتالي ، يتم تقسيم العناصر الكبيرة إلى عناصر أصغر ، والتي بدورها تنقسم إلى FEs مثلثة ذات قطر أصغر. يتم تمثيل المقاطع المثلثية من المنطقة أيضًا كعناصر تربيعية رباعي الزوايا في الشكل. 7 الجانب 8 ، الجانب الجانبي ، الشكل الجانبي. تمثيل منطقة مثلثة في شكل عنصر تربيعي

8 8 مصفوفة التوصيل الحراري بالنسبة لمصفوفة التوصيل الحراري المثلثة الشكل ، L h L h L h A k A k k حيث L L L هي أطوال الجوانب المقابلة من FE. تأخذ المصطلحات الثلاثة الأخيرة في الاعتبار نقل الحرارة بالحمل الحراري على كل جانب من جوانب FE. نظرًا لأن FE جزء لا يتجزأ من المنطقة قيد الدراسة ، يحدث انتقال الحرارة بالحمل عادةً على طول جانب واحد أو جانبين من FE. متجه من التأثيرات الخارجية على CE. التأثيرات الخارجية المعروفة هي: مصدر الحرارة داخل FE بكثافة ثابتة .. تدفق الحرارة بسبب التدفق الحراري q .. التبادل الحراري بالحمل الحراري على ما لا يزيد عن جانبين من FE مع معامل نقل الحرارة h .. نقطة مصدر الحرارة ، * YX ، الموجود داخل FE. متجه التأثيرات الخارجية على FE له الشكل. ، * Y Y X X L L L h q F درجات الحرارة ومتوسط ​​درجة الحرارة حسب FE يتم حساب تدرجات درجة الحرارة ومتوسط ​​درجة الحرارة بواسطة FE بالصيغ التالية: A Graу Gra ،

9 9. cf kk إجراءات حل مشكلة التوصيل الحراري في تطبيق MAHCAD لشبكة من العقدة على المجال قيد النظر يتم وضع مجال حل المشكلة في نظام الإحداثيات العالمية X ، Y. المجال قيد النظر يجب أن تكون مغطاة بشبكة من العقد. كلما كانت خلية الشبكة أصغر ، كان الحل أكثر دقة. يتم تطبيق الشبكة حسب المرحلة. المرحلة الأولى. المنطقة قيد الدراسة مقسمة إلى عدد من المناطق المستطيلة والمثلثة ، العناصر الرباعية الزوايا. يتم ترقيم المناطق بترتيب عشوائي. لكل منطقة من هذه المناطق ، يتم تعيين 8 نقاط ربط ، ثلاث نقاط على كل جانب ، بما في ذلك نقاط الزاوية. بالنسبة للمنطقة المثلثة ، يتوافق أحد الجوانب مع وجهين من المستطيل المنقط. وبالتالي ، فإن التقسيم إلى مناطق يستخدم عناصر تربيعية. يتم تجميع الجداول التالية للبيانات الأولية: علامة تبويب. اتصالات المنطقة ، والتي تحدد جوانب المناطق التي تكون على اتصال ببعضها البعض. ربط المناطق في المنطقة المعتبرة. طاولة. رقم المنطقة الجانب الجانبي الجانب يتضح أن المنطقة تتصل فقط بالمنطقة على طول الجانب الأول ، وتتصل المنطقة بالمنطقة على طول الجانب الأول ومع المنطقة على طول الجانب الرابع. تتصل المنطقة بالمنطقة الموجودة على الجانب الثاني من الشكل فقط ، ويعتمد ترقيم الجوانب على اتجاه المحاور المحلية في إحداثيات نسبية ، والتي تظهر في الشكل بأرقام غامقة. في التين. يوضح اتجاه ترقيم عقد المنطقة من العقدة الأولية H.

10 المنطقة H المنطقة H المنطقة الشكل. تشكيل جدول توصيل المنطقة ب. فاتورة غير مدفوعة. إحداثيات العقد المرسومة على حدود المناطق في نظام الإحداثيات العالمي المقبول. جدول إحداثيات العقد على حدود المناطق. رقم ح تنسيق إحداثيات عقدة X ، سم ص ، سم ... ج. جدول يشير إلى عدد الخطوط الرأسية والأفقية التي يتم تقسيم كل منطقة إليها للحصول على شبكة بها خلايا أصغر. تشكيل شبكة ذات خلايا أصغر جدول. رقم المنطقة عدد الخطوط في الارتفاع عدد الخطوط في العرض المنطقة مقسمة إلى خمسة خطوط في الارتفاع وستة أشرطة في العرض. د - جدول يتم فيه تحديد العقد التي تم رسمها مسبقًا لكل منطقة.

11 عدد العقد من الشبكة الأولية لكل منطقة الجدول. رقم المنطقة أرقام العقد الرباعية الزوايا FE يشار إلى أن ثماني عقد من المنطقة الثانية لديها مثل هذه الأرقام عند تجاوز المنطقة قيد النظر عكس اتجاه عقارب الساعة. المرحلة الثانية. بعد ذلك ، تنفذ ماثا برنامج gri ، الذي يحدد عدد الخطوط في الارتفاع والعرض لكل منطقة ، مما يسمح بتقسيم كل منطقة إلى مستطيلات ذات أحجام أصغر بكثير. ثم يتم تقسيم كل من هذه المستطيلات الصغيرة ذات القطر الأصغر إلى مثلثين ويتم تغطية المنطقة بأكملها بشبكة ذات خلية مثلثة. نتيجة لهذا البرنامج ، يتم إخراج البيانات التالية: أ. عدد المثلث FE Kol_Elm. ب الجداول التالية ، 7. ترقيم العقد الشبكية على طول جوانب المناطق الجدول Uzl_Zon 9 يصدر الجدول في شكل مصفوفة مع حجم عدد خطوط المنطقة في الارتفاع وعدد شرائط المنطقة في العرض لكل منها المنطقة ، مما يبسط بناء الشبكة. توضح المصفوفة المعطاة أنه في المنطقة الموجودة على الجانب توجد عقد ؛ هناك عقد على الجانب ؛ على جانب العقد ؛ على جانب العقد ، 9 ،. تجاوز المنطقة عكس اتجاه عقارب الساعة. يظهر هذا الترقيم في المثال أدناه. موقع FE وانتماء عقد FE إلى شبكة مثلثة رقم منطقة الجدول رقم FE عقدة FE عقدة FE عقدة FE

12 إحداثيات عقد FE الجدول 7 رقم العقدة تنسيق X تنسيق Y يمكن أيضًا عرض الجداول التي تربط رقم المنطقة ورقم FE وإحداثيات عقد FE. يتم تطبيق شبكة ترقيم FE وعقدها يدويًا على الرسم التخطيطي للمنطقة قيد النظر. تشكيل ناقل التأثير الخارجي على أساس الشبكة المُنشأة للمنطقة المعتبرة ، نلاحظ ما يلي: أ عدد الجوانب التي يتم على طولها التبادل الحراري بالحمل الحراري. (ب) عدد العقد التي تم ضبط درجة الحرارة فيها. في أرقام FE التي توجد فيها مصادر الحرارة المركزة على جوانبها أو عقدها أو داخلها. يتم تجميع الجداول التالية. 8 ، 9 ،. جوانب المنطقة مع نقل الحرارة بالحمل الحراري الجدول 8 رقم FE الرقم الجانبي الرقم الجانبي من المفترض أن نقل الحرارة بالحمل الحراري ممكن فقط على جانبين من الجوانب الثلاثة لـ FE. جدول نقاط ضبط درجة الحرارة 9 رقم درجة حرارة العقدة

13 جدول مصادر الحرارة النقطية قيمة الجدول ، W رقم العنصر إحداثيات المصدر ، سم ، سم نتيجة لحل المشكلة ، يتم عرض ما يلي: جدول قيم درجة الحرارة في عقد FE. جدول تدرجات درجة الحرارة Gra و Gra على طول محوري X و Y على التوالي. جدول متوسط ​​درجة الحرارة Тsr لكل FE. توزيع درجات الحرارة على المنطقة المدروسة مع الإشارة إلى قيم متساوي الحرارة. مثال على أداء العمل المختبري في وسط موصل للحرارة ، تمر الكابلات ، كما هو موضح في الشكل. يحتوي الوسيط على معاملات توصيل حراري. معامل الحرارة cm K التبادل على سطح الوسط h K W cm K K W. على الجانبين ، الوسط قيد النظر محاط بطبقة سميكة من العزل. درجة حرارة الهواء على سطح الوسيط ج. درجة حرارة الطبقة السفلية من الوسيط ج. قوة الإشعاع الحراري لكل كابل تساوي دبليو. مطلوب: تحديد توزيع درجة الحرارة في منطقة معينة ، وتحديد التدرجات في درجة الحرارة ومتوسط ​​درجة الحرارة فوق المنطقة ، وإنشاء رسوم بيانية للتغيرات في القيم التي تم الحصول عليها. الاتجاهات: وعند إجراء العمل المخبري ، يجب مراعاة تناسق المنطقة وتماثل تأثير درجة الحرارة ؛ ب قسّم الجزء المحسوب من المنطقة إلى ثلاث أو أربع مناطق ؛ انقسم من ثلاثة إلى خمسة خطوط في الطول والعرض في كل منطقة لتبسيط تطبيق الشبكة على المنطقة.

الشكل 14 = C سم سم سم سم = C سم 8 سم سم الشكل .. الكابلات في وسط موصل للحرارة حل المشكلة مع الأخذ في الاعتبار تناسق المنطقة المدروسة ، في الحساب نأخذ في الاعتبار نصف فقط الشكل .. = C = W = W محور التناظر سم سم سم = ج سم سم سم الشكل. المنطقة المدروسة في الحساب نضع المنطقة قيد النظر في نظام المحاور العالمية X و Y ونقسمها إلى ثلاثة المناطق ، التي نرسم على جانبيها العقد ، بافتراض المناطق كعناصر تربيعية الزوايا. 7. دعنا نرقم المناطق والعقد ، ونتجول في المنطقة عكس اتجاه عقارب الساعة. لتحديد عدد جوانب المناطق ، يتم إنشاء نظام من المحاور المحلية لكل منطقة.

15 ص سم سم سم × سم شكل. 7. التقسيم الأولي للمنطقة إلى مناطق للحصول على حل أكثر دقة للمشكلة ، من الضروري تحديد موقع العقد على حدود المناطق الأقرب إلى مصادر الحرارة النقطية. يتم تجميع البيانات الأولية للمناطق والعقد المعينة في الجدول.،. ينتج برنامج الحساب الجداول 7 ، والتي تمثل معلومات كاملة حول الشبكة المثلثية المرسومة على المنطقة المستخدمة في الحساب الإضافي. وفقًا لهذه الجداول ، يتم إنشاء شبكة على الورقة. 8. Y X الشكل. 8. شبكة مثلثة مرسومة على المنطقة ، ووفقًا للشبكة الناتجة ، يتم أخذ تأثير درجة الحرارة الخارجية في الاعتبار ويتم تجميع الجداول. 8 ، 9 ،. ثم ، في شكل جدول ، يقومون بإخراج-

16 نتائج حل المشكلة و الخاصة بهم تمثيل رسوميفي التين. 9 و. أوريجي W W Chislo_Zon KK سم K سم K كور T O CXY PRINTING OF THE حل لمشكلة زون Uzl ZONE رقم ح W TABLE سم K OF CONNECTION Rowol منطقة جدول البيانات لكل الصفوف منطقة كولس جدول الأعطال ل ذ ك لد س ض ط س ن ق R E Z U L T A T Y R E S E N I I P O S O Z D A N I Y S E T K I K E U Z L S S E T K I P O G R A N I C A M Z O N Uzl_Zon Uzl_Zon 7 8

17 7 Uzl_Zon 9 Kol_Elm T A B L I C A K E "Zones" "FE" "FE Node" "FE Node" "FE Node" al_ke

18 8 C O R D I N A T Y U G L O V K E XY stor F O R M I R O V A N I E V E K T O R A V N E Sh N I X V O Z D E J S T V I Y T a l c a s t o n K E c o n ve c t i n e p l o s e -t a "متجر" "متجر" 7

19 _uzl 9 جدول درجات الحرارة التفصيلية للجدول "العقدة" عند المصدر الصحيح للحرارة "القيمة" العنصر أ "" "" ". R E Z U L T A T Y R E S H E N I Z G A D A C H I T e m p e r a t u r v u l e m e n t o v

20 درجات حرارة متدرجة درجات حرارة متوسطة Gra Gra sr

21، 7.8.78 Y 9.7.8.9.9، + + +، 88 7.7 9.7، + 9.87 7.98.9 X الشكل. 9. رسم تخطيطي لتوزيع درجة الحرارة على طول خطوط الشبكة Y XY X الشكل توزيع درجة الحرارة على المنطقة

22 خيارات من الوظائف للعمل في المختبر في وسط موصل للحرارة ، كما هو موضح في الرسم التخطيطي ، توجد كابلات تنبعث منها حرارة. الوسيط له معاملات التوصيل الحراري K و K. معامل انتقال الحرارة على سطح الوسط هو h. في بعض المناطق ، يكون الوسط قيد الدراسة محدودًا بطبقة سميكة من العزل. درجة حرارة الهواء في مناطق معينة من الوسط حيث يحدث التبادل الحراري بالحمل الحراري ، T. في بعض مناطق الوسط ، يتم ضبط درجة الحرارة T. قوة الإشعاع الحراري بواسطة كل كابل. مطلوب استخدام البيانات الأولية لنسخته ومخطط إعداد الجدول ، الشكل. :. تحديد توزيع درجة الحرارة في منطقة معينة .. تحديد تدرجات درجة الحرارة ومتوسط ​​درجة الحرارة فوق المنطقة .. إنشاء رسوم بيانية للتغيرات في القيم التي تم الحصول عليها. البيانات الأولية البيانات الأولية إلى العمل المخبريحسب الخيارات جدول رقم الخيار أ ، سم ، سم ، سم ، سم ، سم ، كيلوواط ، ج ، ج ، ك ، عرض سم ك ك ، عرض سم ك س ، عرض سم ك

23 a a a a a a a a a a a Fig .. مخططات المتغيرات التي تعود للعمل المخبري

24 7 8 a a a a 9 a a a a a a a a a Fig .. تابع

25 a a a a a a a 7 8 a a a a Fig .. النهاية

26 أسئلة رقابة. اكتب معادلة التوصيل الحراري لمسألة ثنائية الأبعاد .. اكتب الشروط الحدودية لمشكلة ثنائية الأبعاد لتوصيل الحرارة .. اكتب الوظيفة الكاملة لحل مشكلة التوصيل الحراري .. اشتق المعادلة الرئيسية لـ حل مشكلة ثنائية الأبعاد للتوصيل الحراري بطريقة العناصر المحدودة .. ما العناصر المحدودة المستخدمة لحل مشكلة ثنائية الأبعاد للتوصيل الحراري؟ كيف يتم تحديد وظائف الشكل لعنصر بسيط ثنائي الأبعاد؟ 7. لأي غرض تستخدم العناصر التربيعية الزوايا؟ 8. كيف يتم اختيار نظام الإحداثيات المحلي ويتم ترقيم جوانب العنصر التربيعي؟ 9. اكتب مصفوفة التوصيل الحراري للمثلث FE .. كيف تتشكل مصفوفة التوصيل الحراري للمنطقة المدروسة؟ كيف يتم تشكيل متجه التأثيرات الحرارية الخارجية لـ FE؟. كيف يتم تشكيل متجه التأثيرات الخارجية للمنطقة قيد الدراسة؟ كيف يتم تحديد تدرجات درجة الحرارة ومتوسط ​​درجة حرارة FE؟ كيف يتم تطبيق الشبكة على المنطقة قيد الدراسة؟. ما هي البيانات الأولية التي تحتاجها للتحضير للشبكات؟ ما هو الناتج المستخدم لتوليد الشبكة وكيف يتم تطبيقها على المنطقة؟ 7. ما هي البيانات التي يجب إدخالها لتشكيل متجه التأثيرات الحرارية الخارجية؟ 8. كيف تأخذ في الاعتبار علامة حجم نقطة مصدر الحرارة؟ تدفق الحرارة؟ 9. ما هي بيانات الخرج التي تم الحصول عليها نتيجة حل مشكلة التوصيل الحراري؟ قائمة ببليوغرافية. Zenkevich O. طريقة العناصر المحدودة في التكنولوجيا / O. Zenkevich. م: مير ، 97. ص. Segerlind L. تطبيق طريقة العناصر المحدودة / L. Segerlind. م: مير ، ص.

27 7 المحتويات أحكام عامة. معادلة انتقال الحرارة. وظيفية لحل مشكلة التوصيل الحراري ... عنصر بسيط ثنائي الأبعاد ..... تطبيق FE رباعي الزوايا لتوليد الشبكة .... مصفوفة التوصيل الحراري لـ FE .... 8 متجه للتأثيرات الخارجية على FE .. .. 8 تدرجات درجة الحرارة ومتوسط ​​درجة الحرارة بواسطة FE 8 إجراء لحل مشكلة التوصيل الحراري في ماثا ... 9 مثال على أداء العمل المختبري ... حل المشكلة. طباعة حل المشكلة ... خيارات المهام للعمل المختبري ... أسئلة الاختبار. قائمة ببليوغرافية

28 8 حل مشكلة التوصيل الحراري ثنائي الأبعاد بطريقة العنصر النهائي في محكاد التعليمات المنهجية ومهام التحكم للعمل المخبري في دورة "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" للطلاب الذين يدرسون في القضاء. Ivannikov Leonid Matveyevich رئيس التحرير A. A. Suevalova محرر T. F. Sheikina مشغل تخطيط الكمبيوتر L.M Ivannikov موقع للطباعة التنسيق 8. ورق الكتابة. سماعة The Times. طباعة رقمية. كونف. مطبعة ل. تداول النسخ اطلب من مطبعة جامعة ولاية المحيط الهادئ. 8، خاباروفسك، ش. المحيط الهادئ ،. قسم الطباعة التشغيلية لدار النشر بجامعة ولاية المحيط الهادئ. 8، خاباروفسك، ش. المحيط الهادئ ،.

المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية المحيط الهادئ" طريقة العناصر النهائية تعليمات منهجية وخيارات لمهام التنفيذ

نشر

حساب المراجع وجهود قضبان المزارع المسطحة خاباروفسك 00 الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "Pacific State

طريقة العناصر المحدودة 1. مجال تطبيق FEM. 2. المفهوم الأساسي لـ FEM. 3. مزايا FEM. 4. تقسيم المجال الحسابي إلى عناصر محدودة. 5. طريقة لتقريب الوظيفة المرغوبة بشكل محدود

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "ولاية نيجني نوفغورود للهندسة المعمارية والتشييد

تقييم جودة معرفة الطلاب تعليمات منهجية لإجراء مراقبة الدخول قبل دراسة دورة "مقاومة المواد" Khabarovsk 006 Federal Agency for Education of the Russian Federation

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي جامعة ولاية المحيط الهادئ التوتر الحراري لأجزاء محرك الاحتراق الداخلي المنهجي

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية للميزانية الحكومية الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية المحيط الهادئ"

جامعة ولاية قازان قسم الكلية الميكانيكية والرياضية قسم الميكانيكا النظرية Berezhnoy D.V. Tazyukov B.F. الحل العددي لمشكلة التوصيل الحراري للطائرة دليل الدراسة

استخدام طريقة العناصر المحدودة وطريقة الفروق المحدودة في حساب الإجهاد الحراري لأجزاء محرك الاحتراق الداخلي الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم العالي

التخطيط الحجمي لأعمال أنظمة الآلات التكنولوجية Khabarovs k 2 0 0 9 الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة باسيفيك ستيت" حساب المكاني

منظور الأشكال المعمارية المعقدة خاباروفسك 2008 الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "ولاية المحيط الهادئ

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية المحيط الهادئ" تحديد الحث على الملف المنهجي

تنفيذ الكمبيوتر للنموذج الرياضي لحساب درجة الحرارة في حقل عمل تم إجراؤه بواسطة قطع Smirnov V.V. و Spiridonov F.F. و Nekrasov I.A. معهد Biysk التكنولوجي ، Biysk Abstract

المراجع 1. Kozheurov، VA الديناميكا الحرارية للخبث المعدني / VA Kozheurov. سفيردلوفسك: GNTIL، 1955.164 ص. 2. D a r k e n، L. S. الديناميكا الحرارية للمحاليل المعدنية الثنائية /

وزارة التعليم والعلوم في المؤسسة الروسية الاتحادية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة NIZHNEGOROD التقنية التي تحمل اسم RE ALEKSEEV"

الوكالة الفيدرالية للنقل بالسكك الحديدية ، جامعة ولاية أورال للسكك الحديدية ، قسم "ميكانيكا الهياكل والأساسات الصلبة القابلة للتشوه" A. A. Lakhtin DYNAMIC

جامعة ولاية قازان R.F. طرق ماردانوف الرقمية لحل مشكلة التوصيل الحراري للطائرة الكتاب المدرسي دار نشر جامعة ولاية قازان 2007 UDC 517.9

مخطط مبهر لحل المعادلة غير الخطية للتوصيل الحراري على شبكة تكيفية مربعة N.G. إيه في كارليخانوف URAKOVA المركز الفيدرالي الروسي النووي معهد أبحاث الفيزياء التقنية لعموم روسيا. أكاد.

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي تمت الموافقة على نشر جامعة خاباروفسك التقنية الحكومية من قبل القائم بأعمال رئيس الجامعة الأستاذ أ. 2001 منهجية بناء السقف

الوكالة الفيدرالية للتعليم أكاديمية الدولة لسيبيريا للسيارات والطرق السريعة (SibADI) أمن المعلوماتصيغة التداخل الداخلي تعليمات منهجية للتنفيذ

UDC 519.624.1 طرق المحاسبة عن الشروط الحدودية من النوع الأول في حل المشكلات بطريقة العناصر المحدودة مقدمة Korchagova VN ، الطالب روسيا ، 105005 ، موسكو ، MSTU im. م. قسم باومان "الرياضيات التطبيقية"

FEDERAL AGENCY FOR Education جامعة تومسك الحكومية للهندسة المعمارية والهندسة المدنية UDC 39.3 حساب شعاع الجدار بطريقة الفروق المحدودة: مبادئ توجيهية / شركات. أنا. سمولينا ، د.

الوكالة الفيدرالية للنقل بالسكك الحديدية جامعة ولاية أورال للسكك الحديدية قسم "الجسور وأنفاق النقل" AA Lakhtin حساب لوحة مستطيلة بطريقة المنتهية

3. اللزوجة الاصطناعية.

مقدمة تحتوي التعليمات المنهجية على 26 نوعًا مختلفًا من الواجبات المنزلية الفردية حول موضوعات "الخط المستقيم في المستوى وفي الفضاء" ، "المستوى" ، "المنحنيات والأسطح من الدرجة الثانية". تحت الفرد

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي جامعة أوليانوفسك الحكومية التقنية

مؤسسة الدولة للتعليم المهني العالي "جامعة روسيا البيضاء" قسم "معدات وتكنولوجيا إنتاج اللحام" محاكاة الكمبيوتر لعمليات اللحام

FEDERAL COMMUNICATION AGENCY ميزانية الدولة الاتحادية التعليمية مؤسسة التعليم المهني العالي "جامعة ولاية سانت بيترسبرج للاتصالات.

الوكالة الفيدرالية للنقل بالسكك الحديدية جامعة ولاية أورال للسكك الحديدية وإدارة الاتصالات "ميكانيكا المواد الصلبة والأساسات القابلة للتشوه" A. A. Lakhtin BUILDING

تكنولوجيا الحوسبةالمجلد 1 ، 1 ، 1996 الخوارزميات الموازية لحساب عناصر صلابة العنصر النهائي عالية النظام للمشكلات متعددة الأبعاد للرياضيات أ.

SERIES Khabarovsk 4 4 NUMBER SERIES سلسلة الأرقام هي تعبير ، حيث ، الأرقام التي تشكل متوالية رقمية لا نهائية ، مصطلح مشترك في السلسلة ، حيث N (N هي مجموعة الأعداد الطبيعية) مثال

الوكالة الاتحادية للتعليم دخول المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة باسيفيك ستيت" التغيير في عمليات لا رجعة فيها

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية ياروسلافل سميت باسم PG Demidova قسم الجبر والمنطق الرياضي من الدرجة الثانية الجزء الأول تعليمات منهجية

UDC 59.6: 5 محاكاة حركة غير ثابتة ثنائية الأبعاد للمياه في القنوات المفتوحة SH.KH. Rakhimov I. Begimov SANIIRI العمليات التي تحدث في مرافق المياه تحدث في ثنائي الأبعاد متعدد الأبعاد

1. الدوائر الكهربائية DC 1.1. الدائرة الكهربائية وعناصرها ومعلماتها تنقسم الأجهزة الكهربائية الرئيسية ، حسب الغرض منها ، إلى أجهزة تولد الكهرباء

المؤسسة التعليمية الفيدرالية للميزانية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية موسكو لطرق الاتصال" قسم "الرياضيات" MV ISHKHANYAN، A.I.

التحليل الحركي لآليات التروس تم إنشاء PDF مع pdffactory Pro tral verson www.pdffactory.com FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION المؤسسة التعليمية الحكومية للمهنيين العاليين

المشتق ، معناه الهندسي والفيزيائي إن زيادة الدالة = f () هي الفرق f f ، حيث تكون زيادة الوسيطة.

UDC 519.642: 539.3: 624.044: 624.15 طرق تفاعلية لإنشاء شبكة عنصر الحدود المكانية أ.

الوحدة النمطية التوصيل الحراري التخصص 300 "الفيزياء التقنية" الموصلية الحرارية لجدار مسطح بدون مصادر حرارة داخلية مجال درجة الحرارة في جدار مسطح في ظل الظروف الحدودية للأول

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة أورال الفيدرالية سميت على اسم أول رئيس لروسيا ب.

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية للميزانية الحكومية الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية المحيط الهادئ"

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي وافق جامعة ولاية بريانسك التقنية رئيس الجامعة على أفران فيدونين 2014 لمحلات الصب ، حساب معلمات التبادل الحراري

الوكالة الفيدرالية للتعليم مؤسسة تعليمية حكومية للتعليم المهني العالي "جامعة باسيفيك ستيت" بحث في منهجية المجال الكهربائي

الوكالة الفيدرالية للتعليم ، جامعة تومسك الحكومية للهندسة المعمارية والهندسة المدنية ، رسم خرائط لأعمال الحفر ، تعليمات منهجية من إعداد Yu.M. أكوميانسكي تومسك 2008 3 رسم الخرائط

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة باسيفيك ستيت" بحث في المجال المغناطيسي للملف اللولبي

12 يونيو 2017 العملية المشتركة للحمل الحراري والتوصيل الحراري تسمى نقل الحرارة بالحمل الحراري. يحدث الحمل الحراري الطبيعي بسبب الاختلاف في الثقل النوعي لوسط مسخن بشكل غير متساوٍ

الوكالة الفيدرالية للتعليم في الاتحاد الروسي ، جامعة أورال الحكومية للغابات ، قسم مقاومة المواد والميكانيكا النظرية V.A.Kalentiev V.M. Kalinin L.T. Raevskaya N.I.

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم العالي "جامعة أوليانوفسك الحكومية التقنية" V. K. Manzhosov،

المؤسسة التعليمية الفيدرالية لميزانية الدولة للتعليم العالي "جامعة ساراتوف الوطنية للبحوث التي تحمل اسم N.G. Chernyshevsky "قسم الرياضيات

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "تومسك للهندسة المعمارية والتشييد

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية أوليانوفسك التقنية"

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة تومسك الحكومية للهندسة المعمارية والهندسة المدنية خريطة أعمال الأرض تعليمات منهجية للعمل المخبري تم تجميعها بواسطة Yu.M. أكوميانسكي تومسك

الخطوط الجبرية على المستوى .. خطوط الترتيب الأول (الخطوط في الطائرة ... الأنواع الأساسية لمعادلات الخطوط في المستوى يسمى المتجه غير الصفري n العمودي على خط مستقيم معين عادي

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة باسيفيك ستيت" تعريف أساليب اللحام اليدوي للقوس الكهربائي

توصيل حراري. نظرية التوصيل الحراري هي عملية انتشار الحرارة بين أجسام متلامسة أو أجزاء من نفس الجسم بدرجات حرارة مختلفة. لإجراء التوصيل الحراري ، فمن الضروري

3 الغرض من العمل: دراسة ظاهرة الانبعاث الحراري باستخدام مثال الصمام الثنائي 4Ts 4S. المهمة: تحديد وظيفة عمل الإلكترونات من التنغستن. الأجهزة والملحقات: مزود الطاقة ، الفولتميتر ، الكاسيت

الوكالة الفيدرالية للتعليم مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة للتعليم المهني العالي "جامعة باسيفيك ستيت" طريقة أصغر المربعات المنهجية

الوكالة الفيدرالية للنقل بالسكك الحديدية جامعة ولاية أورال للسكك الحديدية قسم "الرياضيات العليا" في بيروجوفا الهندسة التحليلية في الأمثلة والمشكلات يكاترينبرج

آليات البناء الجزء خاباروفسك 2003 وزارة التعليم العام في الاتحاد الروسي جامعة خاباروفسك التقنية الحكومية ميكانيكا البناء الجزء المبادئ التوجيهية المنهجية ل

UDC 5-7: 6697 VN Tkachenko دكتور في العلوم التقنية AA Ivanova معهد مهندس للرياضيات التطبيقية والميكانيكا التابع للأكاديمية الوطنية للعلوم في أوكرانيا Uainy Uaina 83 شارع دونيتسك R لوكسمبورغ 7 الهاتف 6336 E-ail: [البريد الإلكتروني محمي]النمذجة والتحليل

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي مؤسسة تعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة سيبيريا الصناعية الحكومية"

المشاكل الحديثة في العلوم والتكنولوجيا 55 تلخيصًا ، نلاحظ أن استخدام الأساليب المقترحة أكثر فعالية من استخدام طريقة وظائف العقوبة ، بما في ذلك تلك ذات التكيف الذاتي. باستخدام الانفصال

تصميم الجداول تُستخدم الجداول لتحسين الوضوح والراحة في مقارنة المؤشرات (البارامترات). يجب أن يعكس عنوان (عنوان) الجدول محتواه وأن يكون دقيقًا وموجزًا. الجداول بما في ذلك

القسم 7. طريقة العناصر المحدودة (FEM).

7.1. مهمة.احسب القوى المؤثرة في عقد العنصر (الشكل 7.1).

أرز. 7.1. شعاع مفصلي C
ع - الحمل الجانبي الموزع ، ه 1- معامل مرونة الشعاع ، أ 1- المقطع العرضي الثابت للحزمة ، إل- طول الشعاع ، س ط ، ص ط- إحداثيات النقاط العقدية للشعاع ، u i، v i- إزاحة النقاط العقدية للحزمة ، U i، V i- حركة الشعاع ، في- نقاط عقدة الشعاع

يمكن النظر إلى الهياكل الهندسية على أنها مجموعة من العناصر الإنشائية المتصلة بعدد محدود من النقاط العقدية. إذا كانت العلاقات بين القوى وحالات الإزاحة معروفة لكل عنصر على حدة ، فمن الممكن وصف الخصائص والتحقيق في سلوك الهيكل ككل.

في التين. 7.2 يصور بنية ثنائية الأبعاد ، تتكون من أجزاء منفصلة متصلة ببعضها البعض عند نقاط مرقمة من 1 إلى ن. من المفترض أن تكون المفاصل الموجودة في العقد مفصلية.

أرز. 7.2 يتكون البناء النموذجي من عناصر فردية
أولاً ، لنفترض أن خصائص كل عنصر معروفة بشكل موثوق كنتيجة للحساب أو على أساس البيانات التجريبية. القوى الناشئة في العقد 1-3 عناصر أ، يتم تحديدها بشكل فريد من خلال إزاحة هذه العقد ، والحمل الموزع الذي يعمل على العنصر صوتشوهه الأولي. يمكن أن يكون التشوه الأولي بسبب التأثيرات الحرارية أو الانكماش أو عيوب التجميع. يتم تحديد القوى وحالات النزوح المقابلة لها من خلال المكونات يو ، فو u ، vفي أي نظام إحداثيات.

كتابة القوى المؤثرة في الكل (في ثلاثة ، للحالة المدروسة ، عقد العنصر أ ، في شكل مصفوفة) ، نحصل على

ولإزاحة العقد المقابلة

إذا افترضنا أن العنصر مرن ، فيمكن دائمًا كتابة العلاقات الأساسية في النموذج

أين توجد القوى التي توازن الأحمال الموزعة المؤثرة على العنصر ، هي القوى الموجودة في العقد بسبب التشوهات الأولية التي يمكن أن تنشأ ، على سبيل المثال ، عندما تتغير درجة الحرارة دون تحريك العقد. يمثل المصطلح الأول في هذه الصيغة القوى التي تسببها حركات العقد.

يجعل الحساب أو التجربة الأولية من الممكن تحديد الضغوط بشكل لا لبس فيه في أي نقطة معينة من خلال عمليات الإزاحة العقدية. كتابة هذه الضغوط في شكل مصفوفة ، نحصل على العلاقة في النموذج

حيث يكون المصطلحان الأخيران ضغوطًا بسبب الأحمال الموزعة والضغوط الأولية في غياب عمليات النزوح العقدية.

مصفوفة [ك] أتسمى مصفوفة الصلابة للعنصر ، و [S] أ- مصفوفة جهد العنصر.

يتم توضيح العلاقات (7.1) و (7.2) من خلال مثال عنصر به ثلاث عقد ، في كل منها يعمل مكونان فقط من مكونات القوة. من الواضح أن جميع الاستدلالات والتعاريف صالحة في حالة أكثر عمومية. يرتبط العنصر ب في هذه الحالة بالعناصر المجاورة عند نقطتين فقط ، على الرغم من أن العناصر الأخرى قد تحتوي على المزيد من هذه النقاط. من ناحية أخرى ، إذا كانت وصلات العناصر تعتبر جامدة ، فمن الضروري مراعاة ثلاثة مكونات للقوة المعممة والإزاحة المعممة ، ويجب أخذ لحظة الدوران وزاوية الدوران كمكونات ثالثة ، على التوالى. بالنسبة للاتصال الجامد في هيكل ثلاثي الأبعاد ، فإن عدد المكونات في التجميع الفرعي هو ستة. وهكذا ، في الحالة العامة

أين و طو ب طلها نفس عدد المكونات أو درجات الحرية.

من الواضح أن مصفوفات الصلابة لعنصر ما ستكون دائمًا مربعة الشكل

أين ك الثانيإلخ. - أيضًا مربعات فرعية مربعة للأبعاد ل س ل، أ ل- عدد مكونات القوة في العقد قيد الدراسة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المشكلة ثنائية الأبعاد لحزمة C المدعومة محوريًا ذات المقطع العرضي الثابت أمع معامل المرونة ه(الشكل 7.1). يتم تحميل الحزمة بحمل عرضي موزع بشكل موحد صويخضع لتشوه حراري موحد

ص 0 = aT

إذا كانت نهايات الشعاع لها إحداثيات س ط, ذ أناو x ن, ذ نثم يمكن حساب طوله كـ

وزاوية ميلها على المحور الأفقي

في كل نقطة عقدية ، يجب مراعاة عنصرين فقط للقوة والإزاحة.

من الواضح أن القوى العقدية الناتجة عن الحمل العرضي مكتوبة في شكل مصفوفة

عناصر هذه المصفوفة تساوي المكونات المقابلة لتفاعلات دعامات الحزمة ، أي pL / 2... للتعويض عن التمدد الحراري ص 0بحاجة إلى تطبيق القوة المحورية كلمكوناتها

أخيرًا ، تحريك نقاط الربط للعنصر

تسبب في إطالة (u n -u i) cosa + (v n -v i) sina... استطالة مضروبة في EA / L.، ستعطي قوة محورية ، يمكن إيجاد مكوناتها بالتعويض عن حجم هذه القوة بدلاً من التعبير السابق. النموذج القياسي هو

لذلك ، بالنسبة للحالة الأبسط التي تم اعتبارها ، يتم تحديد جميع شروط المعادلة الأساسية (7.1). من السهل الكتابة بالصيغة (7.2) والتأكيد في أي مقطع عرضي للعنصر. إذا اقتصرنا ، على سبيل المثال ، على النظر في القسم الأوسط من الحزمة C ، فيمكن كتابة الضغوط الناشئة نتيجة التوتر والانحناء المحوري للعنصر في النموذج

أين د- نصف ارتفاع المقطع و أنا- لحظة من الجمود. يتضمن هذا التعبير كل المصطلحات في الصيغة (7.2).

تتطلب العناصر الأكثر تعقيدًا تقنيات حسابية أكثر تعقيدًا ، لكن النتائج لا تزال لها نفس الشكل.

يمكن تمثيل إجراء نموذجي لحل مشكلة FEM باستخدام طريقة الإزاحة لعنصر مثلث مسطح ذي سلوك مرن للمادة بالمراحل التالية:

1) ينقسم المجال الحسابي بواسطة خطوط تخيلية إلى عناصر محدودة (FE) لشكل بسيط ، على سبيل المثال ، مثلثات.

2) يتم ترقيم FE والعقد ، وترتبط FE ببعضها البعض عند النقاط العقدية ، ويتم تحديد المجهول في العقد ودرجات حرية العقد ؛ يتم اختيار تشريد العقد على أنها مجهولة.

3) يتم تحديد الوظائف (كثيرات الحدود الخطية) التي تقارب الإزاحة في كل FE ، والتي يتم التعبير عنها من حيث الإزاحة العقدية.

FE قيد النظر هوجود ثلاث عقد أنا ، ي ، م... في التين. يوضح الشكل 7.4 عنصرًا مثلثًا نموذجيًا به عُقد أنا ، ي ، م، مرقمة عكس اتجاه عقارب الساعة. عمليات الإزاحة لكل عقدة لها مكونان

وستة مكونات من إزاحة العنصر تشكل متجهًا

يجب تحديد الحركات داخل عنصر بشكل فريد من خلال هذه القيم الست.

أرز. 7.4. عنصر وسيط مستمر لحساب حالة إجهاد الطائرة أو حالة إجهاد الطائرة
أبسط تمثيل هو كثيرات الحدود الخطية

قيم الثوابت الستة أنامن السهل العثور على نظامين يتكونان من ثلاث معادلات ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق استبدال الإحداثيات العقدية في (7.3) ومعادلة قيم الإزاحة بحالات الإزاحة المقابلة للنقاط العقدية. عن طريق الكتابة ، على سبيل المثال ،

التعبير أ 1 ، أ 2 ، أ 3من خلال قيم النزوح العقدي u i، u j، u mوأخيرا

يتم الحصول على المعاملات الأخرى عن طريق التقليب الدوري للمؤشرات أنا ، ي ، م، والكمية تحددها العلاقة

وبالمثل ، يمكنك تمثيل الحركة الخامسعموديا

تحدد العلاقات (7.5 أ) و (7.6) في النموذج القياسي إزاحة أي نقطة داخل العنصر

أين أنا- مصفوفة الوحدة ذات البعد 2x2 ، - وظائف التنسيق ، والتي تسمى وظائف النموذج

4) يتم التعبير عن الإجهاد والضغوط أيضًا من خلال عمليات النزوح العقدية.

يمكن تمييز التشوه الكلي في أي نقطة داخل عنصر بثلاثة مكونات تساهم في العمل الداخلي:

باستخدام المعادلات (7.7) أو (7.5 أ) و (7.6) ، لدينا

التي تحدد المصفوفة صراحة [ب].

مصفوفة [ب]لا تعتمد على إحداثيات نقطة داخل العنصر ، وبالتالي فإن التشوهات فيها ثابتة.

مصفوفة المرونة [د]في العلاقة ، والتي في الحالة قيد النظر لها الشكل

يمكن كتابتها بشكل صريح لأي مادة (لم يتم تضمين المصطلح الإضافي في العلاقة (7.11)). - يمكن أن تحدث التشوهات الأولية ، بغض النظر عن الضغوط ، لأسباب مختلفة. في الحالة العامة ، تتميز التشوهات الأولية بالمتجه

حالة الإجهاد المستوي في مادة الخواص.بالنسبة إلى حالة الإجهاد المستوي لمادة متناحية الخواص ، لدينا بحكم التعريف

حل هذه العلاقات فيما يتعلق بالتوتر ، يتم الحصول على المصفوفة [د]كما

أين ه- معامل المرونة ، أ الخامس- نسبة بواسون. حالة الطائرة المشوهة في مادة متناحية الخواص. في هذه الحالة ، بالإضافة إلى مكونات الإجهاد الثلاثة ، هناك ضغط طبيعي س ض... لحالة خاصة من التمدد الحراري الخواص

بجانب ذلك،

ازالة س ض، حدد مكونات الجهد الثلاثة الأخرى. بافتراض أن التشوه الأولي يساوي الصفر ومقارنته بالعلاقة (7.10) ، نحصل على المصفوفة [د]كما

5) يتم تحديد نظام القوى ، والذي يكافئ بشكل ثابت ضغوط الحدود والأحمال الموزعة التي تعمل على العنصر. يجب أن تحتوي كل قوة على نفس عدد المكونات مثل عمليات الإزاحة العقدية المقابلة وأن تعمل في الاتجاه المقابل. أبسط طريقةلجعل القوى العقدية مكافئة بشكل ثابت لضغوط الحدود المؤثرة والأحمال الموزعة تتكون من تعيين إزاحة عقيدية (افتراضية) تعسفية ومعادلة الخارج و العمل الداخليتؤديها قوى وضغوط مختلفة على هذه الحركة.

بالنسبة إلى FE e ، يكون لمتجه العمود للجهود الشكل

أين هو متجه العمود لإزاحة عقد مؤشرات FE رو االرجوع إلى الأحمال الموزعة والأولية ، على التوالي ، هي مصفوفة صلابة FE

مصفوفة صلابة العنصر ijmيتم تحديده باستخدام العلاقة العامة

أين رهي سُمك العنصر ، ويتم التكامل على مساحة المثلث. إذا افترضنا أن سُمك العنصر ثابت ، وهو أقرب إلى الحقيقة ، كلما كانت أبعاد العنصر أصغر ، إذًا نظرًا لعدم احتواء أي من المصفوفات xأو ذ، لديك تعبير بسيط

أين مساحة المثلث [مقدمة بواسطة العلاقة (7.5 ج)]. يسمح لك هذا النوع من الكتابة بحساب المصفوفة باستخدام الكمبيوتر. المصفوفة [ب]المعرفة بالعلاقة (7.9) يمكن كتابتها في النموذج

يمكن كتابة مصفوفة الصلابة لعنصر ما على شكل

حيث يتم إنشاء المصفوفات الفرعية 2 × 2 على النحو التالي:

6) يتم تجميع مجموعة FE وتشكيل مصفوفة الصلابة العالمية [ك]مخطط التصميم بأكمله

7) جمعت

وتم حل نظام المعادلات الجبرية الخطية

نحن نعتبر القوى العقدية الناتجة عن التشوه الأولي والضغوط صفرًا.

في الحالة العامة للمستوى حالة الإجهاد أو المشوهة لكل عنصر من مساحة الوحدة في المستوى س ، صتعمل القوى الحجمية الموزعة

في اتجاهات المحاور المعنية.

يتم تحديد مساهمة هذه القوى في القوى العقدية من خلال التعبير

أو على أساس (7.7)

بشرط أن تكون القوى الحجمية X و Y ثابتة. لأن لاليس ثابتًا ، يجب تنفيذ التكامل.

إذا تم تحديد مركز ثقل العنصر على أنه الأصل ، فسيتم تبسيط العمليات الحسابية. في هذه الحالة

وباستخدام (7.8) نحصل على

أو

لأي عنصر

هذا يعني أن جميع قوى الجسم التي تعمل في اتجاهي x و y موزعة بالتساوي بين العقد الثلاثة.

8) وفقًا للقيم التي تم العثور عليها من الإزاحة في كل عنصر يتم تحديدها وفقًا لصياغة مشكلة التشوه ، ومن ثم الإجهادات.

أدناه ، يتم تنفيذ إجراء الحل المدروس لمشكلة اختبار تمديد لوحة من اثنين من FE في الحزمة الرياضية Mathcad. يتم توزيع الأحمال العقدية عبر جميع العقد بما يتناسب مع عدد FE في العقدة.

أ. إغناتيف ، ن. ميخائيلوفا ، تلفزيون. طريقة إريشينكو للعنصر النهائي وتنفيذها في بيئة ماتكاد ورشة عمل مختبر حول تخصص "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" فولغوغراد 2010 وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة فولغوغراد الحكومية للهندسة المعمارية وقسم الهندسة المدنية للرياضيات التطبيقية وعلوم الكمبيوتر AV إغناتيف ، ن. ميخائيلوفا ، تلفزيون. طريقة إريشينكو للعنصر النهائي وتنفيذها في بيئة ماتكاد ورشة عمل معملية حول تخصص "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" Volgograd 2010 UDC 624.04: 004.92 (076.5) LBC 38.112ya73 + 32.973-018 e.26 cts : مرشح العلوم التقنية م ستيبانوف ، أستاذ قسم الرياضيات التطبيقية وعلوم الكمبيوتر ، فولجاسو ؛ دكتور في العلوم التقنية N.G. باندورين ، أستاذ قسم الميكانيكا الإنشائية ، فولجاسو. I 266 طريقة العناصر المحدودة وتنفيذها في بيئة Mathcad: الممارسة المعملية في مجال "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" / A.V. إغناتيف ، ن. ميخائيلوفا ، تلفزيون. إريشينكو. فولجوجر. حالة بناء مهندس معماري un-t. فولجوجراد: فولجاسو ، 2010.31 ص. ISBN 978-5-98276-372-3 يحتوي على اختصار المعلومات النظرية المطلوبة لأداء العمل المختبري على تخصص "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية" ، وخيارات المهام الفردية ، وأمثلة من المهام المختبرية ، وأسئلة التحكم حول الموضوع قيد الدراسة. للماجستير في تخصص AD و SM و V & V التعليم بدوام كامل. UDC 624.04: 004.92 (076.5) BBK 38.112я73 + 32.973-018.2я73 ISBN 978-5-98276-372-3 المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة فولغوغراد الحكومية للهندسة المعمارية والهندسة المدنية" ، 2010 2 العمل المخبري. طريقة العنصر المحدود وتنفيذه في نظام ماتكاد الغرض من العمل: دراسة طريقة العناصر المحدودة واكتساب المهارات اللازمة لتطبيقها في نظام ماثكاد. المفاهيم الأساسية ومفهوم FEM الفكرة الأساسية للطريقة الفكرة الأساسية للطريقة هي تمثيل البنية المحسوبة كمجموعة من العناصر ذات شكل بسيط ، متصلة ببعضها البعض في نقاط منفصلة. في الواقع ، يتم استبدال الوسيط المستمر الذي يحتوي على عدد لا حصر له من درجات الحرية بمجموعة من المجالات الفرعية مع عدد محدود من درجات الحرية. باستخدام هذا النهج ، يتم التعبير عن الكميات المستمرة المطلوبة (عمليات الإزاحة ، والضغوط ، والسلالات ، وما إلى ذلك) داخل كل عنصر محدود (FE) باستخدام وظائف تقريبية من خلال القيم العقدية لهذه الكميات. يتم استبدال الأحمال الخارجية الموزعة بقوى عقدية مكافئة. من الناحية الرياضية ، تكمن المشكلة في تقليل المعادلات التفاضلية أو الطاقة الوظيفية التي تصف البناء قيد النظر إلى نظام المعادلات الجبرية ، والتي يعطي حلها قيم المجهول العقدي المطلوب. طريقة العناصر المحدودة منتشرة بشكل كبير في ممارسة حساب قوة واستقرار واهتزازات البناء ، وبناء الآلات ، وهياكل الطائرات. يمكن استخدام FEM لتحليل فئة واسعة من أنظمة القضبان (دعامات ، إطارات ، إلخ) بنجاح ، هياكل مكانية رقيقة الجدران (ألواح أرضية ، أغطية تغطية ، إلخ) ، أجسام ضخمة ثلاثية الأبعاد ، بالإضافة إلى أنظمة مشتركة تتكون للعناصر أحادية وثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد. تتميز FEM بمجموعة واسعة من قابلية التطبيق ، والثبات فيما يتعلق بهندسة الهيكل والخصائص الفيزيائية للمواد ، والسهولة النسبية لمراعاة تفاعل الهياكل مع البيئة (التأثيرات الميكانيكية والحرارية والتآكل والظروف الحدودية ، إلخ) ، درجة عالية من القدرة على التكيف مع أتمتة جميع مراحل الحساب. ... الطريقة لها تفسير فيزيائي بسيط وترتبط ارتباطًا وثيقًا بطريقة الإزاحة ، والتي تستخدم على نطاق واسع في الميكانيكا الإنشائية. 3 بناءً على نهج العناصر المحدودة ، تم تطوير عدد كبير من أنظمة البرامج القوية. من بينها ABAQUS و ADINA و ANSYS و COSMOS / M و MSC / NASTRAN و LIRA و SCAD و STARK و STADIO. يحتوي معظمهم على مكتبة واسعة من العناصر المحدودة ويجعل من الممكن إجراء حسابات للقوة والاستقرار والاهتزازات ، مع مراعاة عدم الخطية الفيزيائية والهندسية ، وتقويم المواد ، وأحمال درجة الحرارة ، وما إلى ذلك. القائمة أعلاه منتجات البرمجياتتنفيذ FEM بعيد عن الاكتمال ويعكس فقط الوضع الحالي في هذا المجال. مما لا شك فيه أن FEM لها مزايا كبيرة مقارنة بالمقاربات الأخرى وهي عالمية إلى حد كبير. في الوقت نفسه ، يجب اعتبارها واحدة من المراحل العديدة في تطوير وسائل البحث الرقمي في التصميم. المخطط العام لخوارزمية FEM توفر طريقة العناصر المحدودة المراحل الرئيسية التالية: 1. المثالية النظام المادي... يُفهم تحقيق المثالية على أنها عملية الانتقال من نظام مادي أولي إلى نموذج رياضي. هذه العملية هي أهم خطوة في حل مشكلة فنية أو هندسية. النقطة الأساسية في هذه العملية هي فكرة النموذج ، والتي يمكن تعريفها على أنها جهاز رمزي مبني لنمذجة سلوك النظام والتنبؤ به. النمذجة الرياضية ، أو المثالية ، هي العملية التي ينتقل بها المهندس من نظام فيزيائي حقيقي إلى نموذج رياضي للنظام. هذه العملية يسمى المثالية ، لأن النموذج الرياضي يجب أن يُستخرج من الواقع المادي. كمثال على نظام فيزيائي حقيقي ، ضع في اعتبارك هيكلًا هندسيًا على شكل لوحة مسطحة محملة بقوى عرضية. النماذج الرياضية لهذا النظام ، والتي يمكن للمهندس استخدامها لتحليل الضغوط في لوحة ، يمكن أن تكون على النحو التالي: 1) نموذج لصفيحة رفيعة للغاية تعتمد على نظرية انحناء الغشاء. 4 2) نموذج اللوحة الرقيقة على أساس نظرية كيرشوف الكلاسيكية ؛ 3) نموذج للوحة سميكة بدرجة كافية ، على سبيل المثال ، على نظرية Mindlin-Reissner ؛ 4) نموذج لصفيحة سميكة للغاية مبنية على نظرية المرونة ثلاثية الأبعاد. من الواضح أن المهندس يجب أن يكون لديه معرفة نظرية كافية لاختيار النموذج الرياضي المناسب للنظام (الهيكل) الذي يحتاج إلى التحقيق بشكل صحيح. 2. تقدير المنطقة المدروسة. يتم تقسيم الهيكل المحسوب بواسطة نقاط أو خطوط أو أسطح تخيلية إلى عناصر ذات أبعاد محدودة (عناصر محدودة). من المفترض أن العناصر متصلة ببعضها البعض عند النقاط العقدية الموجودة على حدودها. في بعض مشاكل الميكانيكا الإنشائية ، بالإضافة إلى عمليات الإزاحة العقدية ، تُؤخذ مشتقاتها الجزئية أيضًا على أنها مجهولة غير معروفة. 3. بناء وظائف الاستيفاء. يتم تحديد نظام الوظائف (غالبًا متعدد الحدود) الذي يحدد بشكل فريد الإزاحة داخل كل عنصر محدد من خلال إزاحة النقاط العقدية. يتم اختيار وظائف الاستيفاء بطريقة تضمن استمرارية الكميات المطلوبة (الإزاحة ومشتقاتها) على طول حدود العنصر. 4. اشتقاق العلاقات الهندسية والفيزيائية الأساسية. بناءً على النظام المختار لوظائف الاستيفاء ، يتم اشتقاق العلاقات بين التشوهات والتهجير (العلاقات الهندسية) ، وكذلك بين الضغوط والتشوهات (العلاقات المادية). 5. بناء مصفوفة صلابة العناصر المحدودة. باستخدام مبدأ لاغرانج ، يتم إنشاء مصفوفة الصلابة لعنصر محدود على أساس العلاقات الهندسية والفيزيائية التي تم الحصول عليها. 6. الحصول على نظام معادلات لطريقة العناصر المحدودة. يتم تضمين كل مصفوفة صلابة العناصر المحدودة الفردية في مصفوفة الصلابة العالمية في حلقة عنصر تلو الآخر. وهكذا ، يتم تشكيل نظام المعادلات الجبرية للبنية بأكملها (معادلات التوازن) ، والتي لها الشكل Kz = P ، 5 حيث K هي مصفوفة الصلابة للنظام (المجموعة) للعناصر المحدودة ؛ ض - متجه عمليات النزوح العقدية غير المعروفة ؛ Р - ناقل الأحمال العقدية. في مصفوفة الصلابة K المكتوبة أعلاه لنظام المعادلات ، من الضروري مراعاة شروط الحدود ، وإلا فإن هذه المصفوفة ستتدهور. 7. حل نظام المعادلات الجبرية. لحل نظام المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) ، يتم استخدام كل من الطرق التكرارية الدقيقة (ذات الترتيب العالي). تأخذ الإجراءات الرقمية الفعالة التي تم إنشاؤها على أساسها في الاعتبار التناظر وهيكل النطاق لمصفوفة صلابة النظام. 8. تحديد التشوهات والضغوط. يتم تحديد التشوهات والضغوط والقوى في الهيكل باستخدام عمليات النزوح العقدية التي تم العثور عليها بناءً على العلاقات الهندسية والفيزيائية. لنلقِ نظرة على بعض هذه الخطوات بمزيد من التفصيل. تفصيل المنطقة المدروسة يعد تقسيم الهيكل إلى عناصر محدودة خطوة مهمة جدًا في إجراء حل المشكلة بواسطة FEM ، نظرًا لأن دقة الحل الذي تم الحصول عليه تعتمد إلى حد كبير عليه. يتم ضمان النجاح في هذه المرحلة ، أولاً وقبل كل شيء ، من خلال المهارات الهندسية المتاحة. يمكن أن يؤدي الفشل في تقسيم منطقة بشكل صحيح إلى عناصر محدودة إلى نتائج خاطئة. عند تعيين شبكة FE ، تنشأ مشكلة التقسيم الأمثل للهيكل إلى مجالات فرعية. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن أبعاد العناصر يجب أن تكون صغيرة بما يكفي لضمان دقة مقبولة للحل ؛ من ناحية أخرى ، يؤدي استخدام شبكة كثيفة إلى أنظمة كبيرة من المعادلات الجبرية ، والتي يرتبط حلها بـ قدر كبير من العمل الحسابي. في عملية تقسيم المنطقة إلى عناصر محدودة ، من الضروري مراعاة بعض الأفكار العامة حول النتائج النهائية للحساب من أجل تقليل حجم العناصر المحدودة في مناطق تركيز الضغط ، حيث القيم المنشودة بسرعة ، ولزيادة أحجام FE حيث تتغير القيم المطلوبة ببطء. من النقاط المهمة في عملية حل مشكلة FEM ترقيم العقد الشبكية ، نظرًا لأن عرض الشريط 6 من مصفوفة حل المعادلات يعتمد على هذا ، على التوالي ، وقت العد ومقدار ذاكرة الكمبيوتر المستخدمة. حاليًا ، تم تطوير برامج الخدمة للتقسيم الآلي للهيكل إلى عناصر محدودة وترقيم عقلاني للعقد. يعتمد بناء وظائف الاستيفاء FEM على التقريب وظيفة مستمرةمحددة على المنطقة بأكملها ، نموذج منفصلباستخدام دوال متعددة التعريفات المستمرة المحددة في المجالات الفرعية (عناصر محدودة). دعونا نكتب الإزاحة ، وهي وظائف إحداثيات نقطة تعسفية للعنصر المحدود ، من خلال مكونات متجه الإزاحة العقدية باستخدام وظيفة الاستيفاء (وظيفة الشكل أو وظيفة الأساس): u = Nz ، (1) حيث N = [N1 N 2 ... N s] هي مصفوفة دالة الشكل ؛ z = (z1 z2… zs) هو متجه الإزاحة العقدية للعنصر المحدود (FE) ؛ s هو عدد درجات الحرية FE. يجب أن تفي الوظائف (1) بمعايير الاكتمال والتوافق. دعونا نفكر فيها. 1. معيار الاكتمال. يجب أن توفر وظيفة الاستيفاء قيمًا ثابتة للكميات المدروسة مع تقليل حجم العنصر. لتحقيق هذا الشرط ، يجب أن تكون وظيفة الاستيفاء متعددة الحدود كاملة على الأقل درجة p ، حيث p هي أعلى ترتيب للمشتق المتضمن في الوظيفة. T يتم استيفاء شرط الاستيفاء عندما يكون s ∑ Ni = 1. أنا = 1 2. معيار التوافق. يجب أن تكون وظيفة الاستيفاء مستمرة مع مشتقاتها حتى (n - 1) الترتيب الشامل (حيث n هو الحد الأقصى لترتيب المشتق في تكامل ووظيفة الطاقة) عند الحدود بين العناصر. معايير الاكتمال والتوافق هي شروط كافية لتقارب طريقة العناصر المحدودة. عندما يتم إجراؤها مع تقليل حجم العنصر المحدود ، فإن الحلول السبعة التقريبية لـ FEM تتقارب بشكل رتيب مع الحل الدقيق. ما تقدم لا يعني على الإطلاق أن انتهاك هذه المعايير يؤدي إلى استحالة الحصول على حل موثوق. هناك عناصر غير متوافقة وحتى غير مكتملة تعطي دقة عالية وتقاربًا سريعًا. اشتقاق العلاقات الهندسية والفيزيائية الأساسية ب نظرة عامة العلاقة بين التشوهات والتهجير (العلاقات الهندسية) مكتوبة على النحو التالي: ε = Bz ، (2) حيث هي ناقل التشوهات ؛ ض - متجه عمليات النزوح العقدية ؛ B هي المصفوفة التي تربط متجه النزوح العقدي مع المتجه الذي يحتوي على مكونات موتر التشوه. وبالتالي ، من المفترض أن العلاقة (2) بين التشوهات والتهجير العقدي هي علاقة خطية. يتوافق الاعتماد الخطي مع ظروف التشغيل للهيكل ، عندما تكون التشوهات وزوايا الدوران صغيرة مقارنة بالوحدة ، وتكون مربعات زوايا الدوران صغيرة مقارنة بالمكونات المقابلة للتشوه. العلاقات المادية التي تحدد العلاقة بين الضغوط والسلالات لها الشكل σ = Dε ، (3) حيث σ عبارة عن متجه يحتوي على مكونات موتر الإجهاد ؛ د - مصفوفة المرونة. تمثل معادلات الحالة (3) قانون هوك المعمم ، والذي ينشئ علاقة تناسبية مباشرة بين الضغوط والتشوهات ، وهي صالحة لفئة معينة من المواد في قسم معين من الرسم البياني σ - ε. بناء مصفوفة صلابة العناصر المحدودة يعتمد حل مشاكل التحليل الإنشائي على نهجين رئيسيين. في الحالة الأولى ، يتم حل المعادلات التفاضلية بشروط حدية معينة. في الحالة الثانية ، تتم كتابة شرط ثبات الكمية المتكاملة المرتبطة بعمل الفولتية والحمل الخارجي المطبق والتي تمثل إجمالي الطاقة الكامنة للنظام. للتحليل الهيكلي في إطار FEM ، يتم استخدام النهج الثاني. كما هو معروف ، يتم تحديد إجمالي الطاقة الكامنة لنظام مرن بالصيغة 8 Π (z) = W (z) - A (z) ، حيث W هي الطاقة الكامنة للتشوه ؛ أ هي إمكانات القوى الخارجية. يتم تحديد طاقة التشوه المحتملة لنظام مرن من خلال النسبة W = 1 T ∫ ε σ dV ، 2V حيث V هو الحجم الذي يشغله الجسم ، ويتم تحديد إمكانات الأحمال الموزعة الخارجية بواسطة الصيغة A = ∫ uT p dS ، S حيث p هو ناقل الأحمال الموزعة الخارجية ؛ S هي المنطقة التي يتم تطبيق الحمل عليها. في هذه الحالة ، يتم التعبير عن التشوهات والضغوط المضمنة في صيغة الطاقة الكامنة من خلال عمليات الإزاحة العقدية. يعتمد الحصول على معادلات FEM في حالات الإزاحة على أحد مبادئ الطاقة الأساسية للميكانيكا - مبدأ لاغرانج ، والذي وفقًا لنظام ما في حالة توازن ، تأخذ الطاقة الكامنة الإجمالية قيمة ثابتة. تمت كتابة هذا الشرط بالصيغة ∂Π = 0. ∂z سنفترض أن قيمة الطاقة الكامنة الإجمالية للمنطقة بأكملها V تساوي مجموع طاقات العناصر المحدودة الفردية: m () m (() ()) Π (z) = ∑ Π z = ∑ W izi - Ai zi، i = 1 iii = 1 (4) حيث m هو عدد العناصر المحدودة. ثم ∂Π m ⎛ ∂W i (z) ∂Ai (z) ⎞ = ∑⎜ - ⎟ = 0. ∂zi = 1 z ∂z ⎠ (5) ضع في اعتبارك عنصرًا محدودًا منفصلاً ، مع حذف الفهرس i: 9 1 T 1 T (Bz) T DBz dV - ∫ (Nz) T p dS = ε σ dV - up dS = ∫ ∫ ∫ 2V 2V SS 1 1 = zT (∫ BT DBz dV) z - zT ∫ NT p dS = zT Kz - zT P ، (6) 2 2 S Π (z) = حيث K = ∫ BT DB dV هي مصفوفة الصلابة للعنصر المحدود ، و (7) VTP = ∫ N p dS هي متجه الأحمال العقدية. (8) S الحصول على نظام معادلات طريقة العناصر المحدودة لإجراء عملية الجمع ، من الضروري تحويل نواقل الإزاحة العقدية z (i) والحمل العقدي P (i) لعنصر محدود فردي إلى المتجهات المقابلة z و P للنظام بأكمله ، والذي يمكن إجراؤه باستخدام بعض المصفوفة المنطقية H (i) التي تحتوي فقط على الأصفار والآحاد كعناصر: z (i) = H (i) z ؛ P (i) = H (i) P. (9) استبدال الصيغ (9) في التعبير عن إجمالي الطاقة الكامنة لعنصر محدود (6) يعطي: () () T 1 (i) T (i) (i) H z KH z - H (i) z H (i) P = 2 TT 1 = zT H (i) K (i) H (i) z - zT H (i) H (i) P. 2 ثم يؤدي التفاضل فيما يتعلق بـ z ، وفقًا للصيغة (5) ، إلى نظام المعادلات: Π (i) = m ∑ i = 1 (TT) H (i) K (i) H (i) z - H (ط) H (i) P = 0 ، (10) حيث يتم استخدام قاعدة التمايز في علاقات المصفوفة ∂ T z Kz = 2 Kz. نظام ∂z (10) ، والذي يمكن كتابته بالصيغة () Kz = P ، (11) 10 ، هو نظام من المعادلات الجبرية الخطية لطريقة العناصر المحدودة ، وهي معادلات التوازن في الإزاحة. كقاعدة عامة ، يتم تنفيذ حل النظام (11) بواسطة طريقة Gauss أو بالطرق التكرارية. (ط) T مصفوفة الصلابة لعنصر فردي H K (i) H (i) ، التي تظهر في الصيغة (10) ، هي مصفوفة ممتدة ، أبعادها مساوية لأبعاد المصفوفة الشاملة. لذلك ، فإن استخدام إجراء الجمع في الصيغة (10) للتطبيق العددي لـ FEM غير فعال. في الحسابات العملية ، يتم تنفيذ البناء المباشر لمصفوفة الصلابة العالمية. في هذه الحالة ، يتم إنشاء المصفوفة K لعنصر محدد فردي بواسطة الصيغة (7) ، والتي لها البعد S × S. ثم يتم تخصيص صفوف وأعمدة هذه المصفوفة بأرقام درجات الحرية العالمية ، مما يجعل من الممكن تحديد موقع معاملات مصفوفة صلابة FE في مصفوفة الصلابة العالمية. بعد ذلك ، يتم إدخال معاملات مصفوفة صلابة FE في المصفوفة العالمية الصفرية مسبقًا إلى المكان الذي يتم تحديده بواسطة عنوانها. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن النظام يتكون من اثنين من FEs يحتويان على عقدتين ، ولكل منهما عقدة واحدة غير معروفة (درجة واحدة من الحرية). العدد الإجمالي للعقد في النظام هو 3 ، وأبعاد المصفوفة العالمية 3 × 3 ، والعناصر مترابطة في العقدة الثانية. مصفوفات الصلابة من FE الأول والثاني ، مع الترقيم المقابل للمعاملات ، والمصفوفة الشاملة لها الشكل K (1) = 1 ⎡ k11 ⎢ 1 ⎣⎢ k21 1 k12 ⎥ ؛ 1 ك 22 ⎦⎥ ك (2) = 2 ⎡ ك 22 ⎢ 2 ⎢⎣ ك 32 1 1 ⎡ ك 11 ك 12 2 ⎤ ⎢ 1 ك 23 1 2 = ؛ K ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 2 k33 ⎥⎦ ⎢ 2 k32 ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 2 k23 ⎥. 2 ⎥ k33 في المصفوفة K لنظام المعادلات (11) ، من الضروري مراعاة شروط الحدود ، وإلا فإنها ستتدهور ، أي أن محددها سيكون صفرًا. يمكن أن تؤخذ شروط الحدود في الحسبان بثلاث طرق مختلفة 1. من المصفوفة K تتم إزالتها خط kthو العمود kth المقابلة للإزاحة zk = 0. بعد ذلك ، يتم إعادة ترقيم صفوف وأعمدة المصفوفة 11. وفقًا لذلك ، يتناقص حجم متجه عمليات النزوح العقدية. 2. يتم تشكيل المعادلة zk = 0 المقابلة لشرط الحدود كجزء من المصفوفة K. للحصول على zk = 0 في المصفوفة K ، الصف k والعمود k ، وكذلك العنصر المقابل في متجه الأحمال الخارجية P ، مليئة بالأصفار. يتم استبدال العنصر القطري rrr في المصفوفة K بواحد. نتيجة لذلك ، لا يتغير ترتيب المصفوفة ، وتحصل عمليات الإزاحة المحددة على قيم صفرية. 3. للحصول على zk = 0 ، يتم ضرب العنصر القطري rrr بعدد كبير. في هذه الحالة ، لا يتغير ترتيب المصفوفة. تحديد التشوهات والضغوط نتيجة لحل نظام المعادلات (11) ، يتم تحديد متجه الإزاحة العقدية للهيكل بأكمله. على أساس القيم التي تم العثور عليها لحالات النزوح العقدي ، يتم تحديد متجه سلالة FE بواسطة الصيغة (2) ، ويتم تحديد متجه الإجهاد بالصيغة (3). عنصر بسيط ثنائي الأبعاد يمكن إجراء تصنيف العناصر المحدودة وفقًا لترتيب متعدد الحدود - وظائف هذه العناصر. في هذه الحالة ، يتم النظر في ثلاث مجموعات من العناصر: 1) عناصر بسيطة ؛ 2) عناصر معقدة. 3) عناصر تعدد الإرسال. تتوافق العناصر البسيطة مع كثيرات الحدود من الدرجة الأولى. العناصر المعقدة هي ذات حدود عالية. في عنصر بسيط ، يكون عدد العقد مساويًا لأبعاد المساحة +1. في عنصر معقد ، يكون عدد العقد أكبر من هذه القيمة. بالنسبة لعناصر تعدد الإرسال ، تُستخدم أيضًا كثيرات الحدود ذات الترتيب الأعلى ، ولكن يجب أن تكون حدود العناصر موازية لمحاور الإحداثيات. ضع في اعتبارك تكوين مصفوفة الصلابة لعنصر بسيط ثنائي الأبعاد. العنصر البسيط ثنائي الأبعاد هو مثلث به عقد تقع عند قمته (الشكل 1). الشكل 12 1. يتم ترقيم عقد FE للعنصر البسيط ثنائي الأبعاد بعكس اتجاه عقارب الساعة ، بدءًا من بعض العقدة i المختارة بشكل تعسفي. يُشار إلى إحداثيات العقد i-th و j-th و k-th على طول المحور x بالرمز xi و x j و xk على طول المحور y - بواسطة yi و y j و yk. كل عقدة لها درجتان من الحرية - الإزاحة u على طول المحور x والإزاحة v على طول المحور y. يتم أخذ وظائف الاستيفاء التي تحدد حركة نقطة تعسفية لـ FE على طول محوري x و y في الشكل u (x ، y) = α 0 + α1 x + α 2 y ؛ (12) v (x، y) = α3 + α 4 x + α5 y. يتم تحديد المعاملات α 0،…، α5 باستخدام شروط الحدود: u = ui، v = vi عند x = xi و y = yi؛ u = u j ، v = v j لـ x = x j و y = y j ؛ u = uk ، v = vk من أجل x = xk و y = yk. دعونا نحدد المعاملات α 0 ، α1 ، α 2. لهذا ، نستبدل الشروط الحدية للدالة وفي التعبير الأول (12) ، والذي سيؤدي إلى نظام المعادلات: ui = α 0 + α1 xi + α 2 yi ؛ u j = α 0 + α1 x j + α 2 y j ؛ uk = α 0 + α1 xk + α 2 yk. 13 ⎡1 xi ⎢ أو ⎢1 x j ⎢1 x k ⎣ yi ⎤ ⎧α 0 ⎧ ui ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ y j ⎥ ⎨ α1 ⎬ = ⎨u j ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk ⎥⎦ ⎩α 2 ⎭ uk ⎭ (13) محدد النظام (13) يساوي المساحة المضاعفة F للعنصر المثلثي: 1 xi 1 xj yi y j = 2F. 1 xk yk (14) ثم ، وفقًا لقاعدة كرامر ، α0 = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 1 xi 1 xj yi yj 1 xk yk = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 2F أو 1 ui xj yk - xkyj - uj (xi yk - xk yi) - المملكة المتحدة xi yj - xj yi ⎤. ⎣ ⎦ 2F يتم تحديد المعاملين α1 و α 2 بطريقة مماثلة. بعد استبدال تعبيرات α0 و α1 و α 2 في الصيغة الأولى في (12) ، لدينا 1 ⎡ u (x، y) = (ai + bi x + ciy) ui + aj + bj x + cjyuj + 2F ⎣ + (ak + bk x + cky) uk ⎤⎦، (15) α0 = () (()) حيث ai = xj yk - xkyj ؛ bi = y j - yk ؛ ci = xk - x j. (16) يتم الحصول على المعاملات المتبقية في (15) بالصيغ (16) عن طريق التقليب الدوري للمؤشرات (يتم استبدال الفهرس i بالفهرس j ، والفهرس j - بالفهرس k ، والفهرس k - بالمؤشر i). بالمثل: v (x، y) = 1 ⎡ (ai + bi x + c i y) vi + a j + bj x + c j y v j + 2F ⎣ + (ak + bk x + c k y) vk ⎤⎦. () 14 (17) ثم في شكل مصفوفة ⎡ Ni ⎧u ⎫ u = ⎨ ⎬ = Nz = ⎢ ⎩v ⎭ ⎢⎣ 0 0 Nj 0 Nk Ni 0 Nj 0 ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎪⎪ uj ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬، N k ⎥⎦ ⎪ vj ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 1 1 aj + bj x + cjy ؛ (ai + bi x + c i y) ؛ N j = 2F 2F (18) 1 Nk = (ak + bk x + c k y). 2F العلاقات الهندسية التي تربط التشوهات والإزاحات في إطار مشكلة المستوى لنظرية المرونة مكتوبة باستخدام الصيغ (15) ، (17) على النحو التالي: (حيث Ni =) ∂u 1 ∂v 1 bi ui + b j u j + bk uk ؛ ε y = ci vi + c j v j + ck vk ؛ = = ∂x 2 F ∂y 2 F ∂u ∂v 1 ci ui + cjuj + ck uk + bi vi + bjvj + bk vk γ xy = + = ∂y ∂x 2 F أو في شكل مصفوفة: εx = () ((⎧ε ⎫ ⎡bi x ⎪ ⎪ 1 ⎢ ε = ⎨ εy ⎬ = ⎢0 ⎪ ⎪ 2F ⎢ ⎩ γ xy ⎭ ⎣ci ⎡bi 1 ⎢ حيث B = ⎢0 2F ⎢ ci)) 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ 0 ⎤⎪ i ⎪ ⎥ uj ⎪⎪ ck ⎥ ⎨ ⎬ = Bz، ⎥ ⎪vj ⎪ bk ⎦ ⎪ ⎪ u ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 0⎤ ⎥ ck ⎥ هي مصفوفة التدرج اللوني. ⎥ bk ⎦ 15 (19) يتم حساب قيمة المساحة المضاعفة للعنصر المحدد 2F في التعبير (19) بالصيغة (14). العلاقات الفيزيائية التي تحدد العلاقة بين الضغوط والسلالات في المسألة المستوية لنظرية المرونة مكتوبة بالصيغة σ = Dε، ⎡ ⎤ ⎢ 1 1 0 ⎥ ⎥ E1 ⎢ حيث D = 1 0 ν 1 هي المرونة مصفوفة. 2 ⎢ 1 - ν1 ⎢ 1 - 1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ 2 ⎦ ⎣ (20) في حالة تشوه المستوى (ε z = 0) ، يجب أن تؤخذ E1 = E ν في الصيغة (20) ؛ ν = ، 1 1 - ν 1 - 12 (21) ولحالة إجهاد المستوى المعمم (σ z = 0) E1 = E ؛ ν1 = ν. (22) تتوافق الصيغتان (21) و (22) مع مادة متناحرة ذات معامل مرن E ونسبة بواسون ν. ليس من الصعب بناء مصفوفات مرنة لمادة تقويمية ، عندما تختلف خصائص الصلابة في اتجاهين متعامدين بشكل متبادل. نظرًا لأن المصفوفتين B و D تحتويان على ثوابت فقط ، فإن الحجم المتكامل الذي يحدد مصفوفة الصلابة لعنصر في الصيغة (7) يمكن حسابه بسهولة: K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV V (23) V أو K = BT DB tF. (24) في الصيغة (24) t هي سماكة العنصر ؛ F هي مساحة العنصر. عادة ، يتم تحديد مصفوفة الصلابة (24) عدديًا. لهذا ، أولاً ، تم العثور على القيم العددية لمعاملات المصفوفات B و D ، ثم يتم إجراء الضرب وفقًا للتعبير (23) أو (24). مثال على أداء العمل المختبري قبل إجراء العمل المخبري ، دعونا نتذكر مرة أخرى المراحل الرئيسية لطريقة FEM: 1. ينقسم الجسم المرن إلى عناصر. جسم صلب في رباعي السطوح أو متوازي السطوح. جسم الطائرة - إلى مثلثات ومستطيلات. 2. لكل عنصر ، يتم تجميع مصفوفة الصلابة باستخدام وظيفة الشكل. دالة الشكل هي طريقة لتقريب دالة إزاحة غير معروفة. 3. يتم دمج مصفوفات الصلابة للعناصر في مصفوفة صلابة واحدة للجسم كله. 4. من خلال حل نظام المعادلات ، تم العثور على الإزاحة العقدية. 5. باستخدام معادلات نظرية المرونة ، يتم تحديد التشوهات والضغوط عند النقاط العقدية في الجسم. في المثال المعطى ، تم حل مشكلة المستوى لنظرية المرونة. الحلقة المحملة بقوتين (الشكل 2 ، ج) لها محوري تناظر ، لذلك ، لتحسين دقة الحساب ، سننظر في ربع الحلقة (الشكل 3). على محاور التناظر ، يجب استيفاء الشروط الحدودية للمساواة مع صفر من الإزاحة المتعامدة مع محاور التناظر. نقسم ربع الحلقة المدروس إلى عناصر محدودة مثلثة (انظر الشكل 2 ، ب). يحتوي العنصر الثلاثي على 6 درجات من الحرية (إزاحة عقدية مستقلة). يبدأ ترقيم الإزاحة العقدية في عنصر ما عند العقدة السفلية اليسرى للمثلث ويستمر عكس اتجاه عقارب الساعة. الإزاحة الأفقية غريبة ، أما الإزاحة الرأسية فهي زوجية. يتم ترقيم عقد الجسم كله والعناصر المحدودة في أعمدة من أعلى إلى أسفل ومن اليسار إلى اليمين. يمكن أن تكون أبعاد العناصر مختلفة (كلما كان العنصر أصغر ، زادت دقة الحسابات). في مثالنا ، هناك 66 عقدة و 100 عنصر محدد في المجموع. يظهر موضع العقد المحسوبة في الشكل. 3 ، ب. يظهر حساب إحداثيات العقد في الشكل. 4. يعد إدخال إحداثيات العقد عملاً شاقًا ، ومع وجود عدد كبير من العقد ، فمن الأفضل أتمتة هذا العمل. الشكل 17 أ ب ج. 2. مخطط التحميل والعنصر المحدود الثلاثي أ ب الشكل. 3. مخطط تصميم وإحداثيات العقد في الشكل. يوضح الشكل 4 حساب الإحداثيات القطبية للعقد وتحويلها إلى إحداثيات مستطيلة (ديكارت). هنا r1 و r2 هما نصف القطر الخارجي والداخلي للحلقة ؛ ر هو سمك الحلقة. φ1 و 2 - القيم الأولية والنهائية للإحداثي الزاوي ؛ X0 و Y0 - الإحداثيات الديكارتية للقطب (أصل الإحداثيات القطبية) ؛ nr و nφ هما عدد العقد في عمود (على طول نصف القطر) وفي صف واحد (وفقًا لزاوية تغطية الجزء المعتبَر من الجسم). نتائج حساب إحداثيات العقد موضحة في الرسم البياني (الشكل 5). الشكل 18 4. حساب إحداثيات عقد العناصر التين. 5. شبكة العقد 19 مهمة تكوين مصفوفة من المؤشرات هي أيضًا عملية شاقة وشاقة. في التين. يوضح الشكل 6 البرنامج المستخدم في المثال لتكوين مصفوفة المؤشرات. كما يُظهر أيضًا حسابًا تلقائيًا لشروط الحدود ، واعتمادًا على عدد العقد ، فإن عدد حالات الإزاحة ، حيث يكون الإزاحة على محاور التناظر مساويًا للصفر. تسمح أتمتة حسابات إحداثيات العقد ومصفوفة المؤشرات وشروط الحدود لمخطط معين بتغيير عدد العقد (الشكل 7). أرز. 6. برنامج لحساب مصفوفة المؤشرات 20 شكل. 7. مصفوفة الفهرس وإحداثيات العقدة والأرقام وحالات الإزاحة المحددة يمكن كتابة إحداثيات العقدة ومصفوفة الفهرس وشروط الحدود في ملفات منفصلة كما يظهر في الشكل. 8. يمكن بعد ذلك قراءة هذه الملفات باستخدام وظيفة READPRN واستخدامها في مستند آخر. الشكل 21 8. كتابة الإحداثيات ومصفوفة المؤشرات وشروط الحدود للملفات الخارجية تم إجراء هذا الحساب مع مراعاة الأبعاد (الشكل 4). يقدم حساب الأبعاد صعوبات إضافية في عملية حسابية معقدة نوعًا ما ، خاصة عند إدخال مصفوفات كميات الأبعاد (الشكل 9). أرز. 9. مصفوفة متجه القوة ودليل الإزاحة 22 يحتوي كل عنصر مثلث على 3 عقد و 6 عمليات إزاحة عقدية. يتم الحصول على مصفوفة مؤشر الإزاحة (مصفوفة العلاقة بين الأرقام العالمية لحالات النزوح العقدي للجسم مع الأرقام المحلية لحالات النزوح العقدية للعناصر) عن طريق مضاعفة مصفوفة MIU. يتم حساب مصفوفة الصلابة للعضو بالصيغة K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV. V (23) V هنا B = ∂T N ، حيث D هي مصفوفة الصلابة الداخلية التي تحتوي على الثوابت المرنة للمادة E ، ν ؛ ∂ - عامل تفاضل مصفوفة ، يعني تسلسلًا معينًا لتخصيص علامة التمايز ؛ N هي مصفوفة وظائف الشكل. بالنسبة للعنصر المثلث ، فإن وظيفة الشكل هي المعادلة المستوية المحددة بالتعبيرات (18). كما هو موضح أعلاه (انظر التعبير (19)) ، تحتوي المصفوفة B = ∂T N على ثوابت تعتمد فقط على إحداثيات العقد. دعونا نعطي حساب المعاملات لتشكيل مصفوفة صلابة العنصر (الشكل 10) وحساب مساحة العناصر (الشكل 11). أرز. 10. حساب معاملات تكوين مصفوفة الصلابة للعنصر 23 الشكل. 11. حساب مساحة العناصر مصفوفة الصلابة الداخلية D موضحة أدناه (الشكل 12) ومكتوبة في شكل عامل شرطي: مصفوفات مختلفة للمستوى المجهد NDS = 0 والحالة المشوهة للمستوى NDS = 1 . تين. 12. تكوين مصفوفة الصلابة الداخلية بالنسبة للعنصر المثلثي ، يكون التكامل على الحجم مساويًا لمنتج التكامل والحجم. تظهر الصيغة (23) لحساب مصفوفة الصلابة لعنصر ما أعلاه. يتم تشكيل مصفوفة الصلابة للنظام باستخدام مصفوفة من المؤشرات. 24 مع الأخذ في الاعتبار الظروف الحدودية مصحوبة بإعادة هيكلة مصفوفة صلابة النظام ومتجه القوة (الشكل 13). أرز. 13. تشكيل مصفوفة الصلابة للنظام ومراعاة الظروف الحدودية يتم تحديد الإزاحة العقدية عن طريق عكس مصفوفة الصلابة. أرز. 14. تحديد إزاحة العقد والتشوهات والضغوط في مركز العنصر وفقًا لمعادلات نظرية المرونة ε = ∂T u ، حيث u هي متجه الإزاحة. وفقًا لمعادلات توصيل الإزاحة العقدية ∆ والتهجير u لنقطة تعسفية u = N ∆. 25 () ومن هنا تشوه العنصر ε = ∂T N ∆. من المعادلات الفيزيائية لنظرية المرونة (قانون هوك) الإجهاد σ = Dε. يتمثل تعقيد الحساب في الاستخدام الدقيق لمؤشرات العناصر والعقد والأعمدة والصفوف وتعيين المؤشرات للقيم المأخوذة من مصفوفة الفهارس. بالنسبة للعنصر المثلثي ، تكون وظيفة الشكل خطية ؛ وبالتالي ، فإن مشتقات الشكل ، والانفعال ، ووظيفة الإجهاد الموجودة في الشكل. 14 ثابت على كامل مساحة العنصر. تُعرَّف الضغوط في عُقد الجسم على أنها المتوسط ​​الحسابي للإجهادات أو الإجهاد في جميع العناصر المتقاربة عند العقدة. يظهر حساب الإجهاد والتوتر في عقد الجسم في الشكل. 15. التين. 15. تحديد إزاحة عقد الجسم والضغوط والتوترات في مركز كل عنصر 26 في الشكل. يوضح الشكل 15 تعريف القيمة الرابعة للتشوه والضغط في كل عنصر ، ولا يؤخذ في الاعتبار في مصفوفة الصلابة الداخلية D. العمل مع مستند Mathcad ، إذا حذفنا التعبير NDS: = 1 أسفل التعبير NDS: = 0 ، ثم يمكننا أن نرى نتائج الحساب لم تعد في حالة إجهاد مستوي ، بل في تشوه مستوي. تظهر نتائج الحساب في الشكل. 16. التين. 16. نتائج الحساب 27 التخصيص للعمل المخبري حل مشكلة المستوى لنظرية المرونة باستخدام طريقة العناصر المحدودة (FEM). الحلقة ، المحملة بقوتين (الشكل 3 ، ب) ، لها محوري تناظر ، لذلك ، لتحسين دقة الحساب ، من الضروري مراعاة ربع الحلقة. باستخدام شبكة مناسبة ، يتم تقسيمها إلى نظام العناصر المحدودة المثلثية. يتم تحديد عدد العقد على طول نصف القطر وعدد العقد على طول زاوية تغطية الجزء المدروس من الجسم n من جدول المهام الفردية وفقًا للمتغير. تحديد التشوهات والضغوط في حالة الإجهاد المستوي وفي حالة التشوه المستوي. متغيرات المهام الفردية عدد العقد تباينت على طول نصف القطر ، عدد 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 8 8 9 10 11 11 12 12 13 8 14 9 15 10 عدد العقد حسب زاوية التغطية ، عدد 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 4 6 7 8 رقم الخيار 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 عدد العقد على طول نصف القطر ، عدد 11 12 13 9 10 11 12 13 10 11 12 13 11 12 13 عدد العقد حسب زاوية التغطية ، عدد 9 4 5 6 4 8 9 7 5 6 7 6 4 5 6 محتويات التقرير في دليل عمل الطالب ، يجب إنشاء ملفين تحتوي على مستندات تم تصحيحها في نظام Mathcad المقابلة لحسابات حالة الإجهاد المستوي وفي حالة مشوهة مسطحة. 28 يجب أن يحتوي تقرير العمل المخبري على: 1) اسم العمل المخبري. 2) الغرض من العمل المخبري. 3) المهمة ؛ 4) منسوخة من شاشة العرض وثائق تنفيذ المهمة المصححة. أسئلة الاختبار 1. ما هي طريقة العناصر المحددة؟ 2. الرصاص المخطط العامحساب بطريقة العناصر المحدودة. 3. ما هو التصميم المثالي؟ 4. من أي نظام من المعادلات الجبرية الخطية يتم تحديد إزاحة العقد؟ 5. كيف يتم تحديد شكل كثير الحدود التقريبي؟ 6. ما هي الوظائف التي تسمى الوظائف الأساسية؟ 7. كيف يتم تحديد وظائف النموذج؟ 8. كيف يتم تحديد وظائف الحركة؟ 9. كيف يتم تحديد وظائف التشوه؟ 10. كيف يتم تحديد الضغوط؟ 11. ما هو المبدأ المستخدم لتحديد القوى المعممة؟ 12. كيف يتم تحديد مصفوفة الصلابة لعنصر؟ 13. كيف يتم تجميع مصفوفة صلابة النظام؟ 14. مع الأخذ في الاعتبار ما هي التأثيرات التي تم الحصول عليها من الشروط الحرة لنظام المعادلات الكنسي؟ 15. ما الذي يمكن أن يسبب تشوهات أولية؟ 16. ما الذي يمكن أن يسبب الإجهاد؟ 17. كيف يتم تحديد قوى رد الفعل بسبب التأثيرات الفردية؟ 18. كيف يقوم نظام Mathcad بحساب إحداثيات العقد الشبكية؟ 29 قائمة ببليوغرافية 1. Darkov V.А. الميكانيكا الإنشائية: كتاب مدرسي. للبناء. متخصص. الجامعات / V.A. داركوف ، ن. شابوشنيكوف. إد. 8 ، مراجعة. و أضف. م: العالي. shk. ، 1986. 607 ق. 2. ماكاروف إي. الحسابات الهندسية في Mathcad 14: دورة تدريبية. SPb. : بيتر ، 2007.592 ص. 3. Trushin S.I. طريقة العناصر المحدودة. النظرية والأهداف: الدورة التعليمية... موسكو: دار النشر ASV ، 2008.256 ص. 4. Khechumov R.A. تطبيق طريقة العناصر المحدودة على تصميم الهياكل / R.A. خيشوموف ، هـ. كيبلر ، ف. بروكوبييف. م: دار النشر ASV، 1994.353 ص. 30 المنشور التربوي Ignatiev Alexander Vladimirovich ، Mikhailova Natalia Anatolyevna ، Ereschenko Tatyana Vladimirovna طريقة العنصر النهائي وتنفيذها في MATHCAD ENVIRONMENT ورشة عمل مختبر حول تخصص "الطرق التحليلية والرقمية لحل معادلات الفيزياء الرياضية". ريو أوي. رئيس Goryacheva. حرره M.L. محرر Sandy O.A. تحرير وتخطيط Shipunova للكمبيوتر بواسطة N.A. توقيع Derina للطباعة بتاريخ 30.06.10. التنسيق 60x84 / 16. ورقة تعويض. طباعة الشاشة. سماعة تايمز. كونف. مطبعة ل. 1.9 Uch.-ed. ل. 1.7 تداول 100 نسخة. الأمر رقم 70 المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم العالي المهني "جامعة فولغوغراد الحكومية للهندسة المعمارية والهندسة المدنية" قسم التحرير والنشر قطاع الطباعة التشغيلية CIT 400074، Volgograd، st. Akademicheskaya 1 31

لقد كنت أستخدم Mathcad في حساباتي لفترة طويلة ، ربما لمدة 15 عامًا ، إن لم يكن أكثر. عملت في إصدارات مختلفة Mathcad (2 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ... 15) ، أي في جميع الإصدارات تقريبًا. في البداية كان من الصعب إتقانها ، ثم تم استخدامها بإعجاب في الحسابات (التعليمية والبحثية).

قبل سبع سنوات أصبح أحد مختبري الإصدارات التجريبية في Mathsoft (شارك في اختبار الإصدارات الجديدة من Mathcad). لقد قدم مقترحات مرارًا وتكرارًا لتحسين حزمة Mathcad ، وتحويلها إلى أداة برمجة قوية وحل المشكلات الحسابية المعقدة. تلقيت الشكر من Mathsoft والإجابات القياسية مثل Nous بصعوبة التفكير في هذه الأسئلة (نحن نفكر مليًا في هذه الأسئلة).

كان ماثسوفت يفعل شيئًا على الأقل لتحسين الجهاز الرياضي لماثكاد. قبل عدة سنوات ، استحوذت PTC على Mathsoft ، منتجها الرئيسي هو حزمة ProEngeneer ، ProMechanica. بالنسبة لهم ، Mathcad هو منتج ثانوي. اختفى المتخصصون الذين طوروا برنامج Mathcad. في رأيي ، لقد تغيرت الاستراتيجية. الإصدار الجديد الذي طورته RTS (ليس إصدارًا ، ولكن حزمة جديدة بشكل أساسي) من Mathcad Prime يشبه الآلة الحاسبة القوية بواجهة مختلفة تمامًا ، وفي رأيي ، من غير الملائم العمل (عند حل المشكلات المعقدة نسبيًا باستخدام برنامج كبير). بالإضافة إلى ذلك ، لا يزال Mathcad Prime غير متوافق مع الإصدارات القديمة (حتى مع الرياضيات 15) بناءً على طلب المستخدمين ، عاد RTS (لبعض الوقت) إلى الاتجاه القديم وأصدر Mathcad 15 ، وهو رياضيًا نسخة 100٪ من Mathcad 14. هذا كل شيء. وصل.

بأية حالة تركت ، تخلى عنها أصحاب ماتكاد؟

حزمة رياضية ممتازة لحل المشكلات متوسطة التعقيد وغير مناسبة عمليًا لحل المشكلات المعقدة ، مثل طريقة العناصر المحدودة.

العقبة الرئيسية في طريق حل البرامج العالمية المعقدة هي الافتقار إلى اختيار خيارات الحساب ... في Mathcad ، من الصعب جدًا تجاوز ما هو غير ضروري في هذا الخيارعامل الحساب. حسنًا ، على الأقل سمحوا بالانتقال إلى التسمية ، التي يحتقرها المبرمجون ، ولكنها ضرورية للآلات الحاسبة. (يمكنك تجاوز عبارة واحدة باستخدام عبارة ON ERROR.)

فيما يتعلق بطريقة العناصر المحدودة ، هنا أتفق تمامًا مع RTS. استخدام Mathcad لحل المسائل بطريقة العناصر المحدودة ، آسف ، "schizo". لهذا ، هناك العديد من أنظمة الحوسبة المختلفة ، على سبيل المثال ، ANSYS أو نفس ProEngeneer. أستخدم Mathcad لمشاكل FEM فقط لتعلم خوارزمية FEM. في الواقع ، يعد العمل المقرر للتنزيل نموذجًا عمليًا لمجمع كمبيوتر في قسم ما. في عمل الدورة ، تكون خوارزمية FEM مرئية بوضوح (في شكل صيغ عمل). دراسة هذه الخوارزمية وحفظها هو الهدف من ورقة المصطلح على FEM ،وعدم الحصول على نتائج حسابية قريبة على الإطلاق.

جوهر الرياضيات في Mathcad غير كامل (ولا تتحسن إطلاقا).
نتيجة لذلك ، عند حساب ورقة مصطلح ، على سبيل المثال ، عند ضبط أبعاد المقاطع العرضية ، عندما يتغير أحد الأبعاد ، يتوقف حل نظام المعادلات فجأة (القسمة على صفر) أو يتحول التردد الطبيعي الأول فجأة ليكون عددًا مركبًا. تعديل صغير من نفس الحجم ويظهر الحل مرة أخرى . عند حل أنظمة المعادلات ، تتغير أحيانًا نتيجة الحساب بشكل كبير عندما تتغير قيم التقريبات الأولية ، أو عند تحديد طريقة حساب أخرى (في قائمة السياق). في بعض الأحيان يمكنك تحسين دقة الحساب عن طريق اختيار الأدوات (أدوات) - خيارات (خيارات ورقة العمل) TOL = 10 -8 بدلاً من TOL = 10 -3 ، لكن هذا لا يساعد دائمًا في حل المشكلة بشكل صحيح

هناك الكثير من برامج حساب FEM. دون الخوض في تفاصيل سبب كون الطريقة جيدة جدًا وقابلة للتطبيق على نطاق واسع ، دعنا نلقي نظرة على عملية الحساب من الداخل. يبدو أن كل شيء بسيط ، فلماذا لا تحاول تجميع دراجتك ، أي اصنع برنامجك. في المرحلة الأولى ، يمكنك تصحيح أخطاء الحساب واختبارها وتخصيصها في MathCAD. في وقت لاحق ، يمكن إعادة كتابة خوارزمية الحساب المصححة بالفعل لتسهيل إدخال البيانات وتحليل النتائج في C # عن طريق إرفاق بعض الرسومات.

من أين أبدا. نظرًا لأن مهمتي العالمية هي نمذجة التربة ، فسوف أبدأ الحسابات بمشكلات نظرية المرونة.


هذا مثال على اللغز الذي يجب تفكيكه. مرونة مثلثة الأوالي FE. تم وضع الخطة وحلها في برنامج FEMmodels 2.0. دعنا نكرر هذا في MathCAD.

1. تقدير المنطقة ،
أي تقسيم هذه المنطقة إلى أجزاء وتحديد النقاط "العقدية". من نظام له عدد لا حصر له من درجات الحرية ، نؤلف نظامًا بعدد محدود من العقد ، وبالتالي ، درجات الحرية.

2. تحديد الوظائف التقريبية لعنصر.
بين العقد ، تتغير قيم الوظائف المرغوبة (في حالتنا ، إزاحة X و Y) وفقًا للقوانين التي وضعناها ، لتقريب الوظائف.

3. وضع معادلات تصف النظام بأكمله.
نظرًا لأن القيم غير المعروفة للوظائف في العقد (في حالتنا ، نحصل على النظام المعادلات الخطية SLAE).

4. حل المعادلات
وتحديد القيم العقدية وغيرها من المجهول.

سأبدأ قليلاً ليس بتقسيم المنطقة ، ولكن بالنقطة الثانية - تحديد الوظائف لعنصر محدود. أبسط عنصر محدد لحساب مشكلة المستوى لنظرية المرونة هو مثلث بدالة تقريب خطي:

أرز. 1. دالة تقريبية والحصول على معاملات لها.
نظرًا لأن لدينا درجتان من الحرية في كل عقدة (X و Y) ، تتم إضافة وظيفة أخرى مماثلة.
يكمن جوهر كل عمليات التلاعب في الحصول على علاقة بين إزاحة العقد لعنصر ما والتشوهات التي تحدث فيه. نظرًا لأن لدينا 6 مكونات للإزاحة و 3 تشوهات ، يتم إجراء الاتصال من خلال بعض المصفوفة بالبعد 3x6 (مصفوفة مشتقات وظائف الشكل). هذه هي المصفوفة الأولى لبناء العنصر.
تحتاج أيضًا إلى مصفوفة تعبر عن العلاقة بين التشوهات والضغوط (المصفوفة د). بالنسبة لجسم مرن ، هذا الاعتماد هو قانون هوك المعمم.

استطالة صغيرة أخرى من الموضوع ، المصفوفة D لحالة حالة الإجهاد المستوي من نوع مختلف. عندما يكون من الضروري حساب ، على سبيل المثال ، قاعدة جسر تحت مسار سكة حديد أو قاعدة مبنى ممتد ، فيمكن اعتبارها مشكلة مسطحة ، حيث يمكن اعتبار التشوهات على طول الجسر أو المبنى صفر . للحصول على D يساوي e z = 0. إذا أخذنا في الاعتبار جدار المبنى ، حيث تعمل القوى فقط في مستوى الجدار ، فيمكننا أيضًا التفكير في مشكلة مسطحة ، فقط ستكون هناك تشوهات من مستوى المقطع ، ولكن لا توجد ضغوط ، فنحن نعتبر سيجما ض = 0.

المصفوفة العامة للعنصر K e: = B T D B V

لن أعيد سرد الأسس الرياضية لهذا الاستنتاج ، سأخبرك بمعنى مادي موجز.
مثال على مصفوفة K e:

عدد الصفوف والأعمدة يتوافق مع عدد درجات الحرية. K i، j = القوة في اتجاه درجة الحرية j من تطبيق حركة واحدة في اتجاه درجة الحرية i. ثم ، على سبيل المثال ، بالنسبة لعنصرنا ، كتحقق ، يمكن إضافة العناصر الزوجية / الفردية على طول أي صف أو عمود ، وفقًا لمعنى عنصرنا ، ستكون هذه ردود فعل في التثبيتات على طول X أو Y ، على التوالي ، ومجموعها بطبيعة الحال يساوي الصفر. المصفوفة متدهورة ، حسب الفيزيائية. وهذا يعني أن العنصر غير المحكم له قوى / تفاعلات غير محددة في العقد.

من الأسهل كذلك. من الضروري تجميع مصفوفة عالمية للنظام من العناصر الفردية. لجميع درجات حرية النظام (صفوف وأعمدة المصفوفة K) ، نكتب ردود الفعل المقابلة من العناصر الفردية. لقد تلاعبت بهذا التحول لأطول وقت ، ونتيجة لذلك ، إليك خوارزمية بسيطة تحتوي على 5 حلقات متداخلة:

إنه أسهل أيضًا ، نحن نجمع متجهات القوة لجميع درجات الحرية غير المضمونة ص، من عند إلىاشطب الصفوف والأعمدة بدرجات ثابتة من الحرية واحصل على نظام المعادلات الخطية: K * u = P ؛ نحل u = K -1 P دون التفكير كثيرًا في عدم كفاءة هذه الطريقة من حيث القدرة الحاسوبية، لأن المهمة صغيرة.

كانت أكثر اللحظات غير السارة للحل في المصفوفة هي الإزعاج عند إدخال البيانات الأولية وتحليل النتائج. ومع ذلك ، يتم حساب جميع الإجراءات ، وعلى سبيل المثال ، تتطلب وظيفة وضع جميع نقاط الارتساء 8 أسطر ، ويتم تجميع قائمة عناصر n x n x 2 في 11 سطرًا (242 عنصرًا في المثال).

مهمتي التاليتين: عناصر ذات تقريب أكثر تعقيدًا ، مما يسمح بتقليل عدد العناصر وتحسين الحل ، والعناصر الرئيسية غير الخطية. في هذه الحالة ، ستعتمد المصفوفة K على الإزاحة ويصبح الحل أكثر تعقيدًا. ك (ش) * ش = ف (ش). في الحالة العامة ، يعتمد ناقل القوى الخارجية أيضًا على عمليات النزوح ش.

مصادر المعرفة:
1. محاضرات عام 2008 في القسم العام وكلية PGUPS. شاشكين ك.
2 - Segerlind "تطبيق طريقة العناصر المحدودة" (1979)
3. أ. روزين