Momento de inercia espacial de mathcad del método de los elementos finitos. Método de elementos finitos en mathcad

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1 Ministerio de Educación y Ciencia del Estado de la Federación de Rusia institución educativa educación profesional superior "Pacífico Universidad Estatal»SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONDUCTIVIDAD DE CALOR BIDIMENSIONAL POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN MAHCAD Instrucciones metódicas y tareas de control para trabajos de laboratorio en el curso "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de física matemática" para estudiantes matriculados en magistratura Khabarovsk Publishing house PNU

2 UDC 9. /. 7. Solución del problema bidimensional de conductividad térmica por el método de elementos finitos en MAHCAD: lineamientos y tareas de control para trabajos de laboratorio en el curso "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de física matemática" para estudiantes matriculados en la magistratura / comp. . L. M. Ivannikov. Khabarovsk: Pacific Publishing House. estado un-eso,. 8. Se redactaron instrucciones metódicas en el departamento de "Mecánica de un sólido deformable". Incluyen el contenido del trabajo de laboratorio y recomendaciones para el estudio de los apartados del curso "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de física matemática" necesarios para su implementación, una lista de literatura recomendada y tareas para el trabajo de laboratorio .. Consejo del Instituto de Construcción y Arquitectura. Universidad Estatal del Pacífico,

3 DISPOSICIONES GENERALES El objetivo del trabajo de laboratorio es dominar el algoritmo para el cálculo de problemas bidimensionales de conducción de calor por el método de los elementos finitos. donde ECUACIÓN DE TRANSFERENCIA DE CALOR La ecuación del problema plano de conducción de calor tiene la forma K, K, K, K son los coeficientes de conductividad de calor en la dirección de los ejes, la función deseada de temperatura;, kW.,>, si se suministra calor al cuerpo. m Las condiciones de contorno se establecen de dos tipos: kW m K fuente de calor dentro del cuerpo,. Г, si se conoce la temperatura en alguna parte del límite Г, donde Г Г es una temperatura conocida en los puntos del límite, dependiendo de las coordenadas de los puntos de la superficie s en el límite Г;, Г,. K l K mhq, si el intercambio de calor por convección ocurre en una parte de la superficie Г, caracterizado por el valor h, o se da un flujo de calor q en una parte de la superficie Г, y Г Г Г. borde, K; temperatura ambiente conocida, K; l, m cosenos de dirección; q, el flujo de calor conocido, kW, se considera positivo si el cuerpo pierde calor. El flujo de calor y la transferencia de calor por convección en la misma área no pueden actuar simultáneamente. Si hay un límite con aislamiento térmico, entonces el flujo de calor es cero y no hay transferencia de calor por convección, entonces la condición de límite se escribirá de la siguiente manera: donde n es la normal externa al límite de la región considerada. n m ,;

4 FUNCIONAL DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE CONDUCTIVIDAD DE CALOR Resolver la ecuación sobre el dominio s con condiciones de contorno y en Г es equivalente a encontrar el mínimo de la funcional Г h q s K K Ф Г s,. Al resolver el problema de FEM, la región s se divide en n subdominios de elementos finitos, que generalmente se toman en forma de triángulos en la Fig. Además, todas las fórmulas se dan para FE triangular. El funcional se escribe como la suma de las contribuciones de todos los elementos finitos en el área. Entonces toma la forma n Г Г s s Г Г q s s g D g Ф, donde g; K K D matriz de coeficientes de conductividad térmica. O Ф Ф n. Representemos el cambio de temperatura dentro de la FE, a través de los valores nodales :, donde funciona la matriz de la forma de la FE, teniendo en cuenta la distribución de temperatura dentro de la FE. Entonces go B g, donde B es la matriz de gradiente de las funciones de forma FE. Para cada EF, ahora es posible escribir la contribución de cada EF a la expresión del funcional:

5. Г h Г h Г h Г qs BDB Ф Г Г Г Г ss е y el vector de acción externa será Г h Г qs F Г s G. Para toda el área considerada, obtenemos n F k Ф, o FK, donde nk K, n F F. La ecuación es la ecuación básica para resolver el problema de conducción de calor mediante el método de los elementos finitos. ELEMENTO SIMPLEX BIDIMENSIONAL Para resolver el problema de conducción de calor plano, se utiliza un FE triangular con lados rectilíneos, ver Fig. Los nodos se numeran en sentido antihorario, comenzando por un cierto nodo, denotado por una unidad. La numeración de los lados FE se muestra en la Fig.

6 Y X, Lado Y Lado X, Y Lado Dirección X, Y numeración X Fig. Elemento finito triangular Los valores nodales de temperatura se indican mediante,. La temperatura en el punto FE con coordenadas está determinada por la fórmula. Las siguientes son las funciones de formulario utilizadas para esta FE. a XY, A a XYA a XYA El área FE se calcula según la conocida fórmula XYAX Y. XY Los coeficientes incluidos en las funciones de formulario dependen de las coordenadas de los nodos, se dan a continuación: a XYXY, a XYXY, . a X Y X Y, Y Y, X X, Y Y, Y Y, X X. X X

7 7 APLICACIÓN DE LA FE DE CUATRO ESQUINAS PARA LA GENERACIÓN DE LA RED Para el dibujo preliminar de una grilla con una celda grande dividiendo el área en zonas, se utilizan elementos cuadrangulares cuadráticos en la Fig. A cada lado de la FE, se introducen tres nodos . Lado 7 8 Lado Lado Lado Fig. Cuadrangular FE cuadrático En la fig. se muestran los ejes de coordenadas relativas locales en los que el nodo tiene coordenadas ξ ​​,; nodo ξ ,; nodo ξ ,; nodo 7 ξ,. La numeración de los nodos de dicha FE, partiendo del nodo, se realiza en sentido antihorario. Los nodos, 8 se pueden ubicar en un punto arbitrario en el lado correspondiente, lo que le permite construir una malla más densa en el futuro con efectos de punto cercano. En el futuro, cada lado de dicha EF se dividirá en un número determinado de secciones. Los nodos se numeran de la siguiente manera: verticalmente desde el nodo con coordenadas, hacia abajo a lo largo del eje y de izquierda a derecha a lo largo del eje. Así, los elementos grandes se dividen en elementos más pequeños, que, a su vez, se dividen por una diagonal más pequeña en FE triangular. Las secciones triangulares de la zona también se representan como elementos cuadráticos cuadrangulares en la Fig.7 Lado 8 η Lado Lado ξ Lado Fig. Representación de un área triangular en forma de elemento cuadrático cuadrático

8 8 MATRIZ DE CONDUCTIVIDAD DE CALOR Para una FE triangular, la matriz de conductividad térmica tiene la forma, L h L h L h A k A k k donde, L L L son las longitudes de los lados correspondientes de la FE. Los últimos tres términos tienen en cuenta la transferencia de calor por convección a cada lado de la EF. Dado que la EF es una parte integral de la región bajo consideración, la transferencia de calor por convección generalmente ocurre a lo largo de uno o dos lados de la EF. VECTOR DE IMPACTOS EXTERNOS EN CE. Las influencias externas conocidas son: Fuente de calor dentro de la FE de intensidad constante .. Entrada de calor por flujo de calor q .. Intercambio de calor convectivo en no más de dos lados de la FE con coeficiente de transferencia de calor h .. Fuente de calor puntual, * Y X, ubicada dentro de la FE. El vector de influencias externas sobre el FE tiene la forma., * Y Y X X L L L h q F GRADIENTES DE TEMPERATURA Y TEMPERATURA MEDIA POR FE Los gradientes de temperatura y la temperatura media por el FE se calculan mediante las siguientes fórmulas: A Graу Gra,

9 9. cf kk PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER EL PROBLEMA DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA EN MAHCAD APLICACIÓN DE UNA RED DE NUDOS EN EL DOMINIO EN CONSIDERACIÓN El dominio de la solución del problema se sitúa en el sistema de coordenadas globales X, Y. El área en consideración debe estar cubierto con una cuadrícula de nodos. Cuanto más pequeña sea la celda de la cuadrícula, más precisa será la solución al problema. La aplicación de la malla se realiza según la etapa. Estadio I. El área considerada se divide en una serie de zonas rectangulares y triangulares, elementos cuadrangulares cuadráticos. Las zonas están numeradas en orden aleatorio. Para cada una de estas zonas, se establecen 8 puntos de anclaje, tres en cada lado, incluidos los puntos de las esquinas. Para una zona triangular, uno de los lados corresponde a dos lados del rectángulo punteado. Por tanto, la división en zonas utiliza elementos cuadráticos cuadráticos. Se compilan las siguientes tablas de datos iniciales: a Tab. conexiones de zona, que determina qué lados de las zonas están en contacto entre sí. Conexión de zonas en el área considerada. Mesa. Número de zona Lado Lado Lado Lado se muestra que la zona contacta solo con la zona a lo largo del primer lado, la zona contacta con la zona a lo largo del primer lado y con la zona a lo largo del cuarto lado. La zona está en contacto solo con la zona del segundo lado de la figura La numeración de los lados depende de la orientación de los ejes locales en coordenadas relativas, que se muestran en la figura en negrita. En la Fig. muestra la dirección de la numeración de los nodos de las zonas desde el nodo inicial N.

10 Zona H Zona H Zona Fig. Formación de la tabla de conexiones de zona b. Pestaña. coordenadas de nodos, trazadas en los límites de las zonas, en el sistema de coordenadas global aceptado. Coordenadas de los nodos en los límites de las zonas Tabla. Coordenada numérica H Coordenada de un nodo X, cm Y, cm ... c. Una tabla que indica el número de franjas verticales y horizontales en las que se divide cada zona para obtener una cuadrícula con celdas más pequeñas. Formando una cuadrícula con celdas más pequeñas Tabla. Número de zona Número de franjas de altura Número de franjas de ancho La zona se divide en cinco franjas de altura y seis franjas de ancho. d) La tabla, en la que para cada zona se indican los nodos previamente graficados.

11 Número de nodos de la cuadrícula preliminar para cada zona Tabla. Número de zona Número de nodos de FE cuadrangular se indica que ocho nodos de la segunda zona tienen tales números cuando pasan por alto la zona considerada en sentido antihorario. Estadio II. A continuación, Matha implementa el programa gri, que establece el número de franjas en alto y ancho para cada zona, lo que permite dividir cada zona en rectángulos mucho más pequeños. Luego, cada uno de estos pequeños rectángulos con una diagonal más pequeña se divide en dos triángulos y toda el área considerada se cubre con una cuadrícula con una celda triangular. Como resultado de este programa, se emiten los siguientes datos: a. El número de FE Kol_Elm triangular. b Las siguientes tablas, 7. Numeración de los nodos de la cuadrícula a lo largo de los lados de las zonas Tabla Uzl_Zon 9 La tabla se emite en forma de matriz con el tamaño del número de franjas de zona en altura el número de franjas de zona en ancho para cada zona, que simplifica la construcción de la cuadrícula. La matriz dada muestra que en la zona del lado hay nodos; hay nodos en el lateral; en el lado de los nodos; en el lado de los nodos, 9,. Anulando la zona en sentido antihorario. Esta numeración se muestra en el siguiente ejemplo. Ubicación de FE y pertenencia de los nodos de FE a la malla triangular Tabla Número de zona Número de FE Nodo de FE Nodo de FE Nodo de FE

12 Coordenadas de los nodos FE Tabla 7 Número de nodo Coordenada X Coordenada Y Las tablas que vinculan el número de zona, el número FE y las coordenadas de los nodos FE también se pueden mostrar. Una cuadrícula con la numeración de FE y sus nodos se aplica manualmente al diagrama del área considerada. FORMACIÓN DEL VECTOR DE IMPACTO EXTERNO Sobre la base de la cuadrícula construida para el área considerada, se anota lo siguiente: a El número de lados a lo largo de los cuales tiene lugar el intercambio de calor por convección. b Número de nodos en los que se establece la temperatura. en números FE en los que las fuentes de calor concentrado se ubican en sus lados, nodos o en el interior. Se compilan las siguientes tablas. 8, 9,. Lados del área con transferencia de calor por convección Tabla 8 Número de FE Número de lado Número de lado Se supone que la transferencia de calor por convección solo es posible en dos de los tres lados de FE. Nodos de ajuste de temperatura Tabla 9 Número de nodo Temperatura

13 Tabla de fuentes de calor puntuales Tabla Valor, W Número de elemento Coordenadas de la fuente, cm, cm Como resultado de la resolución del problema, se muestra lo siguiente: Tabla de valores de temperatura en los nodos FE. Tabla de gradientes de temperatura Gra, Gra a lo largo de los ejes X e Y, respectivamente. Tabla de la temperatura media Тsr para cada FE. Distribución de temperaturas sobre el área considerada con indicación de los valores de las isotermas. EJEMPLO DE REALIZACIÓN DEL TRABAJO DE LABORATORIO En un medio conductor de calor, los cables pasan, como se muestra en la Fig. El medio tiene coeficientes de conductividad térmica. Coeficiente de calor cm K de intercambio en la superficie del medio h K W cm K K W. A los lados, el medio considerado está delimitado por una gruesa capa de aislamiento. Temperatura del aire en la superficie del medio C.Temperatura de la capa inferior del medio C.La potencia de radiación de calor de cada cable es W. Requerido: Determinar la distribución de temperatura en un área determinada. Determinar los gradientes de temperatura y la temperatura promedio en el área. Construir gráficas de cambios en los valores obtenidos. INSTRUCCIONES: y al realizar trabajos de laboratorio, tenga en cuenta la simetría del área y la simetría del efecto de la temperatura; b divida la parte calculada del área en tres o cuatro zonas; dividir de tres a cinco franjas de alto y ancho en cada zona para simplificar la aplicación de una cuadrícula al área.

14 = C cm cm cm cm = C cm cm 8 cm cm cm Fig. Cables en un medio conductor de calor SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Considerando la simetría de la región considerada, en el cálculo tendremos en cuenta solo la mitad de esta región Fig. = C = W = W Eje de simetría cm cm cm = C cm cm cm Fig. El área considerada en el cálculo Colocamos el área en consideración en el sistema de ejes globales X e Y y la dividimos en tres zonas, en cuyos lados colocamos nodos, asumiendo las zonas como elementos cuadrangulares cuadráticos. 7. Numeremos las zonas y los nodos, recorriendo el área en sentido antihorario. Para determinar los números de los lados de las zonas, se establece un sistema de ejes locales para cada zona.

15 Y cm cm cm cm X, cm Fig. 7. División preliminar del área en zonas Para una solución más precisa del problema, es necesario ubicar los nodos en el borde de las zonas más cerca de las fuentes de calor puntuales. Los datos iniciales se compilan para las zonas y nodos designados de la tabla.,. El programa de cálculo produce las tablas 7, que representan información completa sobre la malla triangular trazada en el área utilizada en el cálculo posterior. Según estas tablas, se construye una cuadrícula en la hoja. 8. Y X Fig. 8. Cuadrícula triangular, graficada sobre el área De acuerdo con la cuadrícula resultante, se tiene en cuenta el efecto de la temperatura externa y se compilan tablas. 8, 9,. Luego, en forma tabular, muestran:

16 los resultados de resolver el problema y su representación grafica en la Fig. 9 y. ORIGI W W Chislo_Zon KK cm K cm K Koor T O CXY IMPRESIÓN DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Zon Uzl ZONA NÚMERO h W cm K TABLA DE CONEXIÓN Rowol tabla de la zona de datos para cada Filas de zona Cols Tabla de mal funcionamiento l y k un d o z i o n s R E Z U L T A T Y R E S E N I I P O S O Z D A N I Y S E T K I K E U Z L S S E T K I P O G R A N I C A M Z O N Uzl_Zon Uzl_Zon 7 8

17 7 Uzl_Zon 9 Kol_Elm T A B L I C A K E "Zonas" "FE" "Nodo FE" "Nodo FE" "Nodo FE" al_ke

18 8 C O R D I N A T Y U G L O V K E XY stor F O R M I R O V A N I E V E K T O R A V N E Sh N I X V O Z D E J S T V I Y T a l c a s t o n K E c o n ve c t i n e te p l o s e s "e -t a" 7 "Tienda"

19 _uzl 9 TABLICA DE UZL con la temperatura dada del "Nodo" Temperatura de temperatura la fuente correcta de calor "Valor" Elemento a "" "" ". R E Z U L T A T Y R E S H E N I Z G A D A C H I T e m p e r a t u r v u l e m e n t o v

20 GRADIENTES TEMPERATURAS TEMPERATURAS MEDIAS Gra Gra sr

21, 7.8.78 Y 9.7.8.9.9, + + +, 88 7.7 9.7, + 9.87 7.98.9 X Fig. 9. Diagrama de distribución de temperatura a lo largo de las líneas de la cuadrícula Y XY X Fig. Distribución de temperatura en el área

22 OPCIONES DE TRABAJOS PARA TRABAJOS DE LABORATORIO En un medio conductor de calor, como se muestra en el diagrama, hay cables que emiten calor. El medio tiene coeficientes de conductividad térmica K y K. El coeficiente de transferencia de calor en la superficie del medio es h. En algunas áreas, el medio considerado está limitado por una gruesa capa de aislamiento. La temperatura del aire en ciertas áreas del ambiente donde tiene lugar el intercambio de calor por convección, T. En algunas áreas del medio, la temperatura se establece en T. La potencia de radiación de calor por cada cable es. Se requiere utilizar los datos iniciales para su versión y el esquema para poner la mesa, Fig. :. Determinar la distribución de temperatura en un área determinada. Determinar los gradientes de temperatura y la temperatura promedio en el área. Construir gráficas de cambios en los valores obtenidos. DATOS INICIALES Datos iniciales a trabajo de laboratorio por opciones Tabla Número de opción a, cm, cm, cm, cm, cm, kW, C, C K, W cm K K, W cm K h, W cm K

23 a a a a a a a a a a a a Fig. Esquemas de variantes para trabajos de laboratorio

24 7 8 a a a a 9 a a a a a a a a Fig .. Continuación

25 a a a a a a a a 7 8 a a a a Fig .. Fin

26 PREGUNTAS DE CONTROL. Escriba la ecuación de conducción de calor para un problema bidimensional. Escriba las condiciones de contorno para un problema bidimensional de conducción de calor. Escriba la función completa de resolver el problema de conducción de calor. Derive la ecuación principal para resolver un problema bidimensional de conducción de calor mediante el método de elementos finitos. ¿Qué elementos finitos se utilizan para resolver un problema bidimensional de conducción de calor? ¿Cómo se definen las funciones de forma para un elemento simplex bidimensional? 7. ¿Con qué finalidad se utilizan los elementos cuadrangulares cuadráticos? 8. ¿Cómo se elige el sistema de coordenadas local y se lleva a cabo la numeración de los lados del elemento cuadrático cuadrático? 9. Escriba la matriz de conductividad térmica para un FE triangular. ¿Cómo se forma la matriz de conductividad térmica para el área considerada? ¿Cómo se forma el vector de influencias térmicas externas para FE? ¿Cómo se forma el vector de influencias externas para el área considerada? ¿Cómo se determinan los gradientes de temperatura y la temperatura media de FE? ¿Cómo se aplica la malla en el área considerada ?. ¿Qué datos iniciales necesita para prepararse para la cuadrícula? ¿Qué salida se usa para generar la malla y cómo se aplica al área? 7. ¿Qué datos se deben ingresar para formar el vector de influencias térmicas externas? 8. ¿Cómo tener en cuenta el signo de la magnitud de una fuente de calor puntual? ¿Entrada de calor? 9. ¿Cuáles son los datos de salida obtenidos como resultado de resolver el problema de conducción de calor? Lista bibliográfica. Zenkevich O. Método de elementos finitos en tecnología / O. Zenkevich. M .: Mir, 97. P. Segerlind L. Aplicación del método de los elementos finitos / L. Segerlind. M.: Mir, pág.

27 7 CONTENIDO DISPOSICIONES GENERALES. Ecuación de transferencia de calor. Funcional para resolver el problema de conductividad térmica ... Elemento simplex bidimensional ..... Aplicación de FE cuadrangular para generación de mallas .... Matriz de conductividad térmica para FE .... 8 Vector de influencias externas sobre FE .. .. 8 Gradientes de temperatura y temperatura media por FE 8 Procedimiento para la resolución del problema de conducción de calor en Matha ... 9 EJEMPLO DE REALIZACIÓN DEL TRABAJO DE LABORATORIO ... SOLUCIÓN DEL PROBLEMA. Impresión de la solución al problema ... OPCIONES DE TAREAS PARA EL TRABAJO DE LABORATORIO ... Preguntas de prueba. Lista bibliográfica

28 8 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA BIDIMENSIONAL DE CONDUCTIVIDAD TÉRMICA POR EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN MAHCAD Instrucciones metódicas y tareas de prueba para el trabajo de laboratorio de la asignatura "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de física matemática" para estudiantes de la magistratura. Ivannikov Leonid Matveyevich Editor en jefe A. A. Suevalova Editor T. F. Sheikina Operador de diseño de computadora L. M. Ivannikov Firmado para imprimir Formato 8. Papel de escribir. Los auriculares Times. Impresión digital. CONV. impresión l. Circulación de copias Solicite la Prensa de la Universidad Estatal del Pacífico. 8, Khabarovsk, calle. Pacífico,. Departamento de Impresión Operativa de la Pacific State University Press. 8, Khabarovsk, calle. Pacífico,.

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UDC 5-7: 6697 VN Tkachenko Doctor en Ciencias Técnicas AA Ivanova Ingeniero Instituto de Matemáticas Aplicadas y Mecánica de la Academia Nacional de Ciencias de Ucrania Uaina Uaina 83 Donetsk str. R Luxemburg 7 tel 6336 E-ail: [correo electrónico protegido] Modelado y análisis

Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia Institución Educativa Presupuestaria del Estado Federal de Educación Profesional Superior "Universidad Industrial del Estado de Siberia"

Problemas modernos de ciencia y tecnología 55 Resumiendo, observamos que el uso de los métodos propuestos es más efectivo que el uso del método de funciones de penalización, incluidas aquellas con autoadaptación. Usando separación

DISEÑO DE TABLAS Las tablas se utilizan para mayor claridad y facilidad de comparación de indicadores (parámetros). El título (encabezado) de la tabla debe reflejar su contenido, ser preciso y breve. Tablas incluidas

Sección 7. Método de elementos finitos (FEM).

7.1. TAREA. Calcule las fuerzas que actúan en los nodos del elemento (figura 7.1).

Arroz. 7.1. Viga C apoyada en pivote
p - carga lateral distribuida, E 1- módulo de elasticidad de la viga, A 1- sección constante de la viga, L- la longitud de la viga, x yo, y yo- coordenadas de los puntos nodales del haz, u yo, v yo- desplazamiento de los puntos nodales de la viga, U yo, V yo- movimiento del haz, en- puntos de nodo de la viga

Las estructuras de ingeniería pueden verse como un conjunto de elementos estructurales conectados en un número finito de puntos nodales. Si se conocen las relaciones entre fuerzas y desplazamientos para cada elemento individual, entonces es posible describir las propiedades e investigar el comportamiento de la estructura como un todo.

En la Fig. 7.2 representa una estructura bidimensional, que consta de partes separadas, conectadas entre sí en puntos numerados del 1 al n. Se supone que las uniones de los nodos tienen bisagras.

Arroz. 7.2. Construcción típica formada por elementos individuales
Primero, supongamos que las características de cada elemento se conocen de manera confiable como resultado de un cálculo o sobre la base de datos experimentales. Fuerzas que surgen en los nodos 1-3 elementos. a, están determinados únicamente por los desplazamientos de estos nodos, la carga distribuida que actúa sobre el elemento pag y su deformación inicial. La deformación inicial puede deberse a efectos térmicos, contracción o imperfecciones de ensamblaje. Las fuerzas y sus correspondientes desplazamientos están determinados por los componentes U, V y u, v en cualquier sistema de coordenadas.

Escribiendo las fuerzas que actúan en total (en tres, para el caso considerado, los nodos del elemento a, en forma de matriz), obtenemos

y para los correspondientes desplazamientos de los nodos

si asumimos que el elemento es elástico, entonces las relaciones básicas siempre se pueden escribir en la forma

Donde están las fuerzas que equilibran las cargas distribuidas que actúan sobre el elemento, son las fuerzas en los nodos debido a las deformaciones iniciales que pueden surgir, por ejemplo, cuando la temperatura cambia sin mover los nodos. El primer término de esta fórmula representa las fuerzas causadas por los desplazamientos de los nodos.

Un cálculo o experimento preliminar permite determinar sin ambigüedades las tensiones en cualquier punto dado a través de los desplazamientos nodales. Escribiendo estas tensiones en forma de matriz, obtenemos la relación en la forma

Donde los dos últimos términos son tensiones debidas a cargas distribuidas y tensiones iniciales en ausencia de desplazamientos nodales.

Matriz [k] a se llama matriz de rigidez del elemento, y [S] a- matriz de tensión del elemento.

Las relaciones (7.1) y (7.2) se ilustran con el ejemplo de un elemento con tres nodos, en cada uno de los cuales actúan solo dos componentes de la fuerza. Está claro que todos los razonamientos y definiciones son válidos en un caso más general. El elemento b en este caso está conectado con los vecinos solo en dos puntos, aunque otros elementos pueden tener más puntos de este tipo. Por otro lado, si las conexiones de los elementos se consideran rígidas, entonces se requiere considerar tres componentes de la fuerza generalizada y el desplazamiento generalizado, y el momento de rotación y el ángulo de rotación deben tomarse como terceros componentes, respectivamente. Para una conexión rígida en una estructura 3D, el número de componentes en el subensamblaje es seis. Así, en el caso general

dónde F i y b yo tienen el mismo número de componentes o grados de libertad.

Está claro que las matrices de rigidez de un elemento siempre serán cuadradas de la forma

dónde k ii etc. - también submatrices cuadradas de dimensión l x l, a l- el número de componentes de fuerza en los nodos considerados.

Como ejemplo, considere el problema bidimensional de una viga C apoyada sobre pivote de sección transversal constante A con módulo de elasticidad mi(figura 7.1). La viga se carga con una carga lateral distribuida uniformemente pag y está sujeto a una deformación térmica uniforme

r 0 = aT

Si los extremos de la viga tienen coordenadas x yo, y yo y x n, s n entonces su longitud se puede calcular como

Y su ángulo de inclinación al eje horizontal.

En cada punto nodal, solo se deben considerar dos componentes de fuerza y ​​desplazamiento.

Obviamente, las fuerzas nodales debidas a la carga transversal se escriben en forma de matriz.

Los elementos de esta matriz son iguales a los componentes correspondientes de las reacciones de los soportes de las vigas, es decir pL / 2... Para compensar la expansión térmica r 0 necesidad de aplicar fuerza axial Comer un cuyos componentes

Finalmente, moviendo los puntos de anclaje del elemento

hacer que se alargue (u n -u i) cosa + (v n -v i) sina... Elongación multiplicada por EA / L, dará una fuerza axial, cuyas componentes se pueden encontrar sustituyendo la magnitud de esta fuerza en lugar de en la expresión anterior. La forma estándar es

Entonces, para el caso considerado más simple, se determinan todos los términos de la ecuación básica (7.1). Es fácil de escribir en la forma (7.2) y destaca en cualquier sección transversal del elemento. Si, por ejemplo, nos limitamos a considerar la sección media de una viga C, las tensiones que surgen como resultado de la tensión axial y la flexión de un elemento se pueden escribir en la forma

Dónde D- la mitad de la altura de la sección, y I- momento de inercia. Esta expresión contiene todos los términos de la fórmula (7.2).

Los elementos más complejos requieren técnicas de cálculo más sofisticadas, pero los resultados siguen teniendo la misma forma.

Un procedimiento típico para resolver el problema FEM utilizando el método de desplazamiento para un elemento triangular plano con comportamiento elástico del material se puede representar mediante las siguientes etapas:

1) El dominio computacional está dividido por líneas imaginarias en elementos finitos (FE) de forma simple, por ejemplo, triángulos.

2) La FE y los nodos están numerados, las FE están conectadas entre sí en los puntos nodales, se determinan las incógnitas en los nodos y los grados de libertad de los nodos; los desplazamientos de nodos se eligen como incógnitas.

3) Se seleccionan funciones (polinomios lineales) que aproximan los desplazamientos en cada FE, que se expresan mediante desplazamientos nodales.

FE en consideración mi tener tres nodos yo, j, m... En la Fig. 7.4 muestra un elemento triangular típico con nodos yo, j, m, numerado en sentido antihorario. Los desplazamientos de cada nodo tienen dos componentes

Y seis componentes de los desplazamientos del elemento forman un vector

Los movimientos dentro del elemento deben estar determinados inequívocamente por estos seis valores.

Arroz. 7.4. Elemento de un medio continuo para calcular un estado de tensión plana o tensión plana
La representación más simple son los polinomios lineales.

Los valores de las seis constantes a yo Es fácil de encontrar a partir de dos sistemas, que constan de tres ecuaciones, que se obtienen como resultado de la sustitución en (7.3) de las coordenadas nodales e igualando los valores de desplazamiento con los correspondientes desplazamientos de los puntos nodales. Escribiendo, por ejemplo,

Rápido un 1, un 2, un 3 a través de los valores de los desplazamientos nodales u yo, u j, u m y finalmente

el resto de coeficientes se obtienen por permutación cíclica de los índices yo, j, m, y la cantidad está determinada por la relación

Del mismo modo, puede representar el movimiento v verticalmente

Las relaciones (7.5a) y (7.6) en forma estándar determinan el desplazamiento de cualquier punto dentro del elemento

Dónde I- matriz unitaria de dimensión 2x2, - funciones de coordenadas, que se denominan funciones de forma

4) Las deformaciones y tensiones también se expresan a través de desplazamientos nodales.

La deformación total en cualquier punto dentro del elemento se puede caracterizar por tres componentes que contribuyen al trabajo interior:

Usando igualdades (7.7) o (7.5a) y (7.6), tenemos

que define explícitamente la matriz [B].

Matriz [B] no depende de las coordenadas de un punto dentro del elemento y, por tanto, las deformaciones en él son constantes.

Matriz de elasticidad [D] en la relación, que en el caso en consideración tiene la forma

puede escribirse explícitamente para cualquier material (el término aditivo no se incluye en la relación (7.11)). - Las deformaciones iniciales, independientes de las tensiones, pueden producirse por diversas razones. En el caso general, las deformaciones iniciales se caracterizan por el vector

Estado de tensión plano en un material isotrópico. Para un estado plano estresado de un material isotrópico, tenemos por definición

Resolviendo estas relaciones con respecto a las tensiones, se obtiene la matriz [D] como

dónde mi- módulo de elasticidad, a v- El coeficiente de Poisson. Estado plano deformado en un material isotrópico. En este caso, además de los tres componentes de estrés, hay un estrés normal Q z... Para el caso particular de expansión térmica isotrópica

y además,

Excluyendo Q z, determine los otros tres componentes de voltaje. Suponiendo que la deformación inicial es cero y comparándola con la relación (7.10), obtenemos la matriz [D] como

5) Se determina el sistema de fuerzas, que son estáticamente equivalentes a los esfuerzos en la frontera y las cargas distribuidas que actúan sobre el elemento. Cada una de las fuerzas debe tener el mismo número de componentes que los correspondientes desplazamientos nodales y actuar en la dirección correspondiente. La forma mas sencilla Hacer que las fuerzas nodales sean estáticamente equivalentes a las tensiones en la frontera que actúan y a las cargas distribuidas consiste en establecer un desplazamiento nodal arbitrario (virtual) e igualar los valores externos y trabajo interior realizado por diversas fuerzas y tensiones en este movimiento.

Para FE e, el vector columna de esfuerzos tiene la forma

¿Dónde está el vector columna de los desplazamientos de los nodos de esta EF, índices R y O se refieren a cargas distribuidas e iniciales, respectivamente, es la matriz de rigidez FE

Matriz de rigidez del elemento ijm se determina usando la relación general

Dónde t es el grosor del elemento y la integración se realiza sobre el área del triángulo. Si asumimos que el grosor del elemento es constante, que es cuanto más cercano a la verdad, más pequeñas son las dimensiones del elemento, entonces, dado que ninguna de las matrices contiene X o y, tienes una expresión simple

¿Dónde está el área del triángulo [introducido por la relación (7.5c)]. Esta forma de escritura le permite calcular la matriz usando una computadora. La matriz [B] definido por la relación (7.9) se puede escribir en la forma

La matriz de rigidez de un elemento se puede escribir como

donde las submatrices 2x2 se construyen de la siguiente manera:

6) Se compila el conjunto FE y se forma la matriz de rigidez global [K] todo el esquema de diseño

7) compilado

Y se resuelve el sistema de ecuaciones algebraicas lineales

Consideramos que las fuerzas nodales debidas a la deformación y los esfuerzos iniciales son cero.

En el caso general de un plano estresado o deformado para cada elemento de la unidad de área en el plano x, y actúan fuerzas volumétricas distribuidas

En las direcciones de los respectivos ejes.

La contribución de estas fuerzas a las fuerzas nodales está determinada por la expresión

o basado en (7.7)

siempre que las fuerzas volumétricas X e Y sean constantes. Porque N yo no es constante, se debe realizar la integración.

Si se selecciona el centro de gravedad del elemento como origen, los cálculos se simplifican. En este caso

Y, usando (7.8), obtenemos

o

Para cada elemento

Esto significa que todas las fuerzas corporales que actúan en las direcciones xey se distribuyen por igual entre los tres nodos.

8) Según los valores encontrados de los desplazamientos en cada elemento se determinan de acuerdo con la formulación del problema de deformación, y luego las tensiones.

A continuación, el procedimiento de solución considerado para el problema de prueba de estirar una placa de dos FE se implementa en el paquete matemático Mathcad. Las cargas nodales se distribuyen entre todos los nodos en proporción al número de EF en el nodo.

AV. Ignatiev, N.A. Mikhailova, T.V. Ereshchenko MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y SU IMPLEMENTACIÓN EN EL ENTORNO MATHCAD Taller de laboratorio sobre la disciplina "Métodos analíticos y numéricos para resolver ecuaciones de física matemática" Volgogrado 2010 Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación de Rusia Universidad Estatal de Arquitectura e Ingeniería Civil de Volgogrado Departamento de Matemáticas Aplicadas y Ciencias de la Computación AV Ignatiev, N.A. Mikhailova, T.V. EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Ereschenko Y SU IMPLEMENTACIÓN EN EL ENTORNO MATHCAD Taller de laboratorio sobre la disciplina "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de la física matemática" Volgogrado 2010 n t s: Candidato de Ciencias Técnicas M.M. Stepanov, profesor del Departamento de Matemática Aplicada e Informática, VolgGASU; Doctor en Ciencias Técnicas N.G. Bandurin, profesor del Departamento de Mecánica Estructural, VolgGASU. I 266 El método de los elementos finitos y su implementación en el entorno Mathcad: práctica de laboratorio sobre la disciplina "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de la física matemática" / A.V. Ignatiev, N.A. Mikhailova, T.V. Ereshchenko; Volgogr. estado arquitecto. un-t. Volgogrado: VolgGASU, 2010 31 p. ISBN 978-5-98276-372-3 Contiene un resumen información teórica necesarios para realizar trabajos de laboratorio en la disciplina "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de la física matemática", opciones para tareas individuales, ejemplos de trabajos de laboratorio, y también preguntas de control formuladas sobre el tema en estudio. Para maestros de la especialidad AD, SM y V&V educación a tiempo completo. UDC 624.04: 004.92 (076.5) BBK 38.112я73 + 32.973-018.2я73 ISBN 978-5-98276-372-3 Institución educativa estatal de educación profesional superior "Universidad Estatal de Arquitectura e Ingeniería Civil de Volgogrado", 2010 2 Trabajo de laboratorio. MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y SU IMPLEMENTACIÓN EN EL SISTEMA MATHCAD Objetivo del trabajo: estudiar el método de los elementos finitos y adquirir las habilidades para implementarlo en el sistema Mathcad. Conceptos básicos y concepto de FEM Idea básica del método La idea básica del método es representar la estructura calculada como un conjunto de elementos de una forma simple, conectados entre sí en puntos separados. De hecho, un medio continuo con un número infinito de grados de libertad es reemplazado por un conjunto de subdominios con un número finito de grados de libertad. Con este enfoque, las cantidades continuas buscadas (desplazamientos, tensiones, deformaciones, etc.) dentro de cada elemento finito (FE) se expresan mediante funciones de aproximación a través de los valores nodales de estas cantidades. Las cargas externas distribuidas se reemplazan por fuerzas nodales equivalentes. En términos matemáticos, el problema consiste en reducir las ecuaciones diferenciales o funcionales de energía que describen la construcción considerada a un sistema de ecuaciones algebraicas, cuya solución da los valores de las incógnitas nodales buscadas. El método de los elementos finitos está muy extendido en la práctica de calcular la resistencia, la estabilidad y las vibraciones de las estructuras de edificios, máquinas y aviones. Usando el FEM, es posible analizar con éxito una amplia clase de sistemas de varillas (cerchas, marcos, etc.), estructuras espaciales de paredes delgadas (losas de piso, cubiertas de cubierta, etc.), cuerpos tridimensionales masivos, así como sistemas combinados que constan de elementos unidimensionales, 2D y 3D. FEM se distingue por una amplia gama de aplicabilidad, invariancia con respecto a la geometría de la estructura y las características físicas de los materiales, la relativa facilidad de tener en cuenta la interacción de las estructuras con el medio ambiente (efectos mecánicos, térmicos, corrosivos, condiciones de contorno , etc.), un alto grado de adaptabilidad a la automatización de todas las etapas del cálculo ... El método tiene una interpretación física simple y está estrechamente relacionado con el método de desplazamiento, que se usa ampliamente en mecánica estructural. 3 Sobre la base del enfoque de elementos finitos, se ha desarrollado un gran número de potentes sistemas de software. Entre ellos se encuentran ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS / M, MSC / NASTRAN, LIRA, SCAD, STARK, STADIO. La mayoría de ellos tienen una extensa biblioteca de elementos finitos y permiten realizar cálculos de resistencia, estabilidad y vibraciones, tener en cuenta no linealidades físicas y geométricas, ortotropía de materiales, cargas de temperatura, etc. La lista anterior productos de software La implementación del MEF está lejos de ser completa y solo refleja la situación actual en esta área. Sin lugar a dudas, FEM tiene ventajas significativas sobre otros enfoques y es en gran parte universal. Al mismo tiempo, debe considerarse como una de las muchas etapas en el desarrollo de medios de investigación numérica en diseño. Esquema general del algoritmo FEM El método de elementos finitos prevé las siguientes etapas principales: 1. Idealización sistema fisico... La idealización se entiende como el proceso de transición de un sistema físico inicial a un modelo matemático. Este proceso es el paso más importante para resolver un problema técnico o de ingeniería. El punto clave en este proceso es el concepto de modelo, que puede definirse como un dispositivo simbólico construido para modelar y predecir el comportamiento de un sistema. El modelado matemático, o idealización, es el proceso mediante el cual un ingeniero pasa de un sistema físico real a un modelo matemático del sistema. Este proceso llamada idealización, ya que el modelo matemático debe abstraerse de la realidad física. Como ejemplo de un sistema físico real, considere una estructura de ingeniería en forma de placa plana cargada con fuerzas transversales. Los modelos matemáticos de este sistema, que un ingeniero puede utilizar para analizar las tensiones en una placa, pueden ser los siguientes: 1) un modelo de una placa muy delgada basado en la teoría de la flexión de la membrana; 4 2) un modelo de placa delgada basado en la teoría clásica de Kirchhoff; 3) un modelo de placa suficientemente gruesa, basado, por ejemplo, en la teoría de Mindlin-Reissner; 4) un modelo de una placa muy gruesa basado en la teoría tridimensional de la elasticidad. Obviamente, el ingeniero debe tener conocimientos teóricos suficientes para seleccionar correctamente el modelo matemático apropiado del sistema (estructura) que necesita investigar. 2. Discretización del área considerada. La estructura calculada se divide por puntos, líneas o superficies imaginarios en elementos de dimensiones finitas (elementos finitos). Se supone que los elementos están conectados entre sí en los puntos nodales ubicados en sus bordes. En algunos problemas de mecánica estructural, además de los desplazamientos nodales, sus derivadas parciales también se toman como incógnitas desconocidas. 3. Construcción de funciones de interpolación. Se selecciona un sistema de funciones (la mayoría de las veces polinomio por partes) que determina de forma única los desplazamientos dentro de cada elemento finito a través de los desplazamientos de los puntos nodales. Las funciones de interpolación se seleccionan de tal manera que aseguren la continuidad de las cantidades buscadas (desplazamientos y sus derivadas) a lo largo de los límites del elemento. 4. Derivación de las relaciones físicas y geométricas básicas. A partir del sistema seleccionado de funciones de interpolación, se derivan las relaciones entre deformaciones y desplazamientos (relaciones geométricas), así como entre tensiones y deformaciones (relaciones físicas). 5. Construcción de la matriz de rigidez de elementos finitos. Utilizando el principio de Lagrange, la matriz de rigidez de un elemento finito se construye sobre la base de las relaciones geométricas y físicas obtenidas. 6. Obtención de un sistema de ecuaciones del método de elementos finitos. Cada matriz de rigidez de elementos finitos individual se incluye en la matriz de rigidez global en un bucle elemento por elemento. Así, se forma un sistema de ecuaciones algebraicas para toda la estructura (ecuaciones de equilibrio), que tiene la forma Kz = P, 5 donde K es la matriz de rigidez del sistema (conjunto) de elementos finitos; z es el vector de desplazamientos nodales desconocidos; Р - vector de cargas nodales. En la matriz de rigidez K escrita anteriormente para el sistema de ecuaciones, es necesario tener en cuenta las condiciones de contorno, ya que de lo contrario esta matriz se degenerará. 7. Solución de un sistema de ecuaciones algebraicas. Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE), se utilizan métodos tanto exactos como (con un orden alto del sistema) iterativos. Los procedimientos numéricos eficientes construidos sobre su base tienen en cuenta la simetría y la estructura de bandas de la matriz de rigidez del sistema. 8. Determinación de deformaciones y tensiones. Las deformaciones, tensiones y fuerzas en la estructura se determinan utilizando los desplazamientos nodales encontrados basados ​​en relaciones geométricas y físicas. Veamos algunos de estos pasos con más detalle. Discretización del área considerada Dividir una estructura en elementos finitos es un paso muy importante en el procedimiento de resolución de un problema por FEM, ya que de ello depende en gran medida la precisión de la solución obtenida. El éxito en esta etapa está asegurado, en primer lugar, por las habilidades de ingeniería disponibles. Si no se divide correctamente un área en elementos finitos, se pueden producir resultados erróneos. Al asignar la malla FE, surge el problema de la división óptima de la estructura en subdominios. Debe tenerse en cuenta que las dimensiones de los elementos deben ser lo suficientemente pequeñas para asegurar una precisión aceptable de la solución; por otro lado, el uso de una cuadrícula densa conduce a grandes sistemas de ecuaciones algebraicas, cuya solución está asociada con una cantidad significativa de trabajo computacional. En el proceso de dividir la región en elementos finitos, es necesario tener en cuenta algunas ideas generales sobre los resultados finales del cálculo para reducir el tamaño de los elementos finitos en las zonas de concentración de esfuerzos, donde los valores requeridos cambiar rápidamente, y aumentar los tamaños de FE donde los valores requeridos cambian lentamente. Un punto importante en el proceso de resolución del problema FEM es la numeración de los nodos de la cuadrícula, ya que el ancho de la cinta 6 de la matriz de resolución de ecuaciones depende de esto, respectivamente, el tiempo de cálculo y la cantidad de memoria de la computadora utilizada. Actualmente, se han desarrollado programas de servicio para el desglose automático de la estructura en elementos finitos y la numeración racional de nodos. La construcción de funciones de interpolación FEM se basa en la aproximación función continua definido en toda el área, modelo discreto utilizando funciones continuas por partes definidas en subdominios (elementos finitos). Escribamos los desplazamientos, que son funciones de las coordenadas de un punto arbitrario del elemento finito, a través de las componentes del vector de desplazamientos nodales utilizando la función de interpolación (función de forma o función de base): u = Nz, (1) donde N = [N1 N 2 ... N s] es la matriz de la función de forma; z = (z1 z2… zs) es el vector de desplazamientos nodales del elemento finito (FE); s es el número de grados de libertad FE. Las funciones (1) deben cumplir los criterios de integridad y compatibilidad. Vamos a considerarlos. 1. Criterio de exhaustividad. La función de interpolación debe proporcionar valores constantes de las cantidades consideradas mientras disminuye el tamaño del elemento. Para cumplir esta condición, la función de interpolación debe ser un polinomio completo de al menos grado p, donde p es el orden más alto de la derivada incluida en el funcional. T La condición de integridad se satisface cuando s ∑ Ni = 1. i = 1 2. Criterio de compatibilidad. La función de interpolación debe ser continua junto con sus derivadas hasta el (n - 1) ésimo orden inclusive (donde n es el orden máximo de la derivada en el integrando de la energía funcional) en el límite entre los elementos. Los criterios de completitud y compatibilidad son condiciones suficientes para la convergencia del método de los elementos finitos. Cuando se realizan con una disminución en el tamaño del elemento finito, las 7 soluciones aproximadas del FEM convergen monótonamente a la solución exacta. Lo anterior no significa en absoluto que la violación de estos criterios lleve a la imposibilidad de obtener una solución confiable. Hay elementos incompatibles e incluso incompletos que dan alta precisión y rápida convergencia. Derivación de las relaciones físicas y geométricas básicas B vista general la relación entre deformaciones y desplazamientos (relaciones geométricas) se escribe de la siguiente manera: ε = Bz, (2) donde ε es el vector de deformaciones; z es el vector de los desplazamientos nodales; B es la matriz que conecta el vector de desplazamientos nodales con el vector que contiene las componentes del tensor de deformación. Por tanto, se supone que la relación (2) entre deformaciones y desplazamientos nodales es lineal. La dependencia lineal corresponde a tales condiciones de funcionamiento de la estructura, cuando las deformaciones y los ángulos de rotación son pequeños en comparación con la unidad, y los cuadrados de los ángulos de rotación son pequeños en comparación con los componentes correspondientes de la deformación. Las relaciones físicas que determinan la relación entre tensiones y deformaciones tienen la forma σ = Dε, (3) donde σ es un vector que contiene componentes del tensor de tensiones; D - matriz de elasticidad. Las ecuaciones de estado (3) representan la ley de Hooke generalizada, que establece una relación directamente proporcional entre tensiones y deformaciones, que es válida para una determinada clase de materiales en una determinada sección del gráfico σ - ε. Construcción de la matriz de rigidez de elementos finitos La solución de problemas de análisis estructural se basa en dos enfoques principales. En el primer caso, las ecuaciones diferenciales se resuelven con condiciones de contorno dadas. En el segundo caso, se escribe la condición de estacionariedad de la cantidad integral asociada con el trabajo de los voltajes y la carga externa aplicada y que representa la energía potencial total del sistema. Para el análisis estructural dentro del FEM, se utiliza el segundo enfoque. Como se sabe, la energía potencial total de un sistema elástico está determinada por la fórmula 8 Π (z) = W (z) - A (z), donde W es la energía potencial de deformación; A es el potencial de fuerzas externas. La energía de deformación potencial de un sistema elástico está determinada por la relación W = 1 T ∫ ε σ dV, 2V donde V es el volumen ocupado por el cuerpo, y el potencial de las cargas distribuidas externas está determinado por la fórmula A = ∫ uT p dS, S donde p es el vector de cargas distribuidas externas; S es el área sobre la que se aplica la carga. En este caso, las deformaciones y tensiones incluidas en la fórmula de la energía potencial se expresan mediante desplazamientos nodales. La obtención de las ecuaciones FEM en los desplazamientos se basa en uno de los principios energéticos fundamentales de la mecánica: el principio de Lagrange, según el cual, para un sistema en equilibrio, la energía potencial total adquiere un valor estacionario. Esta condición se escribe en la forma ∂Π = 0. ∂z Supondremos que el valor de la energía potencial total para toda la región V es igual a la suma de las energías de los elementos finitos individuales: m () m (() ()) Π (z) = ∑ Π z = ∑ W izi - Ai zi, i = 1 iii = 1 (4) donde m es el número de elementos finitos. Entonces ∂Π m ⎛ ∂W i (z) ∂Ai (z) ⎞ = ∑⎜ - ⎟ = 0. ∂zi = 1 ⎝ ∂z ∂z ⎠ (5) Considere un elemento finito separado, omitiendo el índice i: 9 1 T 1 T (Bz) T DBz dV - ∫ (Nz) T p dS = ε σ dV - arriba dS = ∫ ∫ ∫ 2V 2V SS 1 1 = zT (∫ BT DBz dV) z - zT ∫ NT p dS = zT Kz - zT P, (6) 2 2 S Π (z) = donde K = ∫ BT DB dV es la matriz de rigidez del elemento finito, y (7) VTP = ∫ N p dS es el vector de cargas nodales. (8) S Obtención de un sistema de ecuaciones del método de los elementos finitos Para realizar la operación de suma, es necesario transformar los vectores de los desplazamientos nodales z (i) y la carga nodal P (i) de un elemento finito individual en los vectores correspondientes z y P para todo el sistema, lo que se puede hacer usando alguna matriz booleana H (i) que contenga solo ceros y unos como elementos: z (i) = H (i) z; P (i) = H (i) P. (9) La sustitución de las fórmulas (9) en la expresión de la energía potencial total de un elemento finito (6) da: () () T 1 (i) T (i) (i) H z KH z - H (i) z H (i) P = 2 TT 1 = zT H (i) K (i) H (i) z - zT H (i) H (i) P.2 Entonces la diferenciación con respecto a z, de acuerdo con la fórmula (5), conduce al sistema de ecuaciones: Π (i) = m ∑ i = 1 (TT) H (i) K (i) H (i) z - H (i) H (i) P = 0, (10) donde se usa la regla de diferenciación de relaciones matriciales ∂ T z Kz = 2 Kz. ∂z El sistema (10), que se puede escribir en la forma () Kz = P, (11) 10, es un sistema de ecuaciones algebraicas lineales del método de elementos finitos, que son ecuaciones de equilibrio en desplazamientos. Como regla general, la solución del sistema (11) se realiza mediante el método de Gauss o mediante métodos iterativos. (i) T La matriz de rigidez de un elemento individual H K (i) H (i) que aparece en la fórmula (10) es una matriz extendida, cuya dimensión es igual a la dimensión de la matriz global. Por lo tanto, el uso del procedimiento de suma en la fórmula (10) para la implementación numérica del FEM es ineficaz. En cálculos prácticos, se realiza la construcción directa de la matriz de rigidez global. En este caso, se construye una matriz K para un elemento finito individual mediante la fórmula (7), que tiene la dimensión S × S. Luego, a las filas y columnas de esta matriz se les asignan los números de los grados de libertad globales, lo que permite determinar la ubicación de los coeficientes de la matriz de rigidez FE en la matriz de rigidez global. Después de eso, los coeficientes de la matriz de rigidez FE se ingresan en la matriz global previamente puesta a cero en el lugar que está determinado por su dirección. Supongamos, por ejemplo, que el sistema consta de dos EF, que contienen dos nodos, cada uno de los cuales tiene un desconocido (un grado de libertad). El número total de nodos en el sistema es 3, la dimensión de la matriz global es 3 × 3, los elementos están interconectados en el segundo nodo. Las matrices de rigidez de la 1ª y 2ª FE, con la correspondiente numeración de los coeficientes, y la matriz global tienen la forma K (1) = 1 ⎡ k11 ⎢ 1 ⎣⎢ k21 1 ⎤ k12 ⎥; 1 k22 ⎦⎥ K (2) = 2 ⎡ k22 ⎢ 2 ⎢⎣ k32 1 1 ⎡ k11 k12 2 ⎤ ⎢ 1 k23 1 2 =; K ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 2 k33 ⎥⎦ ⎢ 2 k32 ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 2 k23 ⎥. 2 ⎥ k33 ⎥⎦ En la matriz K del sistema de ecuaciones (11), es necesario tener en cuenta las condiciones de contorno, de lo contrario estará degenerado, es decir, su determinante será igual a cero. Las condiciones de contorno se pueden tener en cuenta de tres formas diferentes 1. De la matriz se eliminan K kth línea y k-ésima columna correspondiente al desplazamiento zk = 0. Después de eso, las filas y columnas de la matriz 11 se vuelven a numerar. En consecuencia, la dimensión del vector de desplazamientos nodales disminuye. 2. La ecuación zk = 0 correspondiente a la condición de contorno se forma como parte de la matriz K. Para obtener zk = 0 en la matriz K, la k-ésima fila y la k-ésima columna, así como el elemento correspondiente en el vector de cargas externas P, están llenos de ceros. El elemento diagonal rrr en la matriz K se reemplaza por uno. Como resultado, el orden de la matriz no cambia y los desplazamientos especificados obtienen valores cero. 3. Para obtener zk = 0, el elemento diagonal rrr se multiplica por un número grande. En este caso, el orden de la matriz no cambia. Determinación de deformaciones y tensiones Como resultado de la resolución del sistema de ecuaciones (11), se determina el vector de desplazamientos nodales de toda la estructura. Sobre la base de los valores encontrados de los desplazamientos nodales, el vector de deformación FE se determina mediante la fórmula (2) y el vector de tensión se determina mediante la fórmula (3). Elemento simplex bidimensional La clasificación de elementos finitos se puede llevar a cabo de acuerdo con el orden de los polinomios: funciones de estos elementos. En este caso, se consideran tres grupos de elementos: 1) elementos simplex; 2) elementos complejos; 3) elementos múltiplex. Los elementos simplex corresponden a polinomios de primer grado. Los elementos complejos son polinomios de orden superior. En un elemento simplex, el número de nodos es igual a la dimensión del espacio +1. En un elemento complejo, el número de nodos es mayor que este valor. Para elementos múltiplex, también se utilizan polinomios de orden superior, pero los límites de los elementos deben ser paralelos a los ejes de coordenadas. Considere la formación de una matriz de rigidez para un elemento simplex bidimensional. Un elemento simplex bidimensional es un triángulo con nodos ubicados en sus vértices (Fig. 1). Figura 12 1. Los nodos FE de elemento simplex bidimensionales se numeran en sentido antihorario, comenzando por algún i-ésimo nodo elegido arbitrariamente. Las coordenadas de los nodos i-ésimo, j-ésimo y k-ésimo a lo largo del eje x se indican mediante xi, x j, xk, a lo largo del eje y, por yi, y j, yk. Cada nodo tiene dos grados de libertad: desplazamiento u a lo largo del eje x y desplazamiento v a lo largo del eje y. Las funciones de interpolación que determinan el movimiento de un punto arbitrario de la FE a lo largo de los ejes xey se toman en la forma u (x, y) = α 0 + α1 x + α 2 y; (12) v (x, y) = α3 + α 4 x + α5 y. Los coeficientes α 0,…, α5 se determinan utilizando las condiciones de contorno: u = ui, v = vi en x = xi e y = yi; u = u j, v = v j para x = x j y y = y j; u = uk, v = vk para x = xk e y = yk. Definamos los coeficientes α 0, α1, α 2. Para ello, sustituimos las condiciones de contorno por la función y en la primera expresión (12), que conducirá al sistema de ecuaciones: ui = α 0 + α1 xi + α 2 yi; u j = α 0 + α1 x j + α 2 y j; reino unido = α 0 + α1 xk + α 2 yk. 13 ⎡1 xi ⎢ O ⎢1 x j ⎢1 x k ⎣ yi ⎤ ⎧α 0 ⎫ ⎧ ui ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y j ⎥ ⎨ α1 ⎬ = ⎨u j ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk ⎥⎦ ⎩α 2 ⎭ ⎩uk ⎭ (13) El determinante del sistema (13) es igual al área duplicada F del elemento triangular: 1 xi 1 xj yi y j = 2F. 1 xk yk (14) Entonces, por la regla de Cramer, α0 = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 1 xi 1 xj yi yj 1 xk yk = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 2F o 1 ⎡ ui xj yk - xkyj - uj (xi yk - xk yi) - reino unido xi yj - xj yi ⎤. ⎣ ⎦ 2F Los coeficientes α1 y α 2 se determinan de manera similar. Después de sustituir las expresiones para α0, α1, α 2 en la primera fórmula (12), tenemos 1 ⎡ u (x, y) = (ai + bi x + ciy) ui + aj + bj x + cjyuj + 2F ⎣ + (ak + bk x + cky) uk ⎤⎦, (15) α0 = () (()) donde ai = xj yk - xkyj; bi = y j - yk; ci = xk - x j. (16) Los coeficientes restantes en (15) se obtienen mediante las fórmulas (16) por permutación cíclica de índices (el índice i se reemplaza por el índice j, el índice j - por el índice k, el índice k - por el índice i). De manera similar: v (x, y) = 1 ⎡ (ai + bi x + c i y) vi + a j + bj x + c j y v j + 2F ⎣ + (ak + bk x + c k y) vk ⎤⎦. () 14 (17) Entonces en forma de matriz ⎡ Ni ⎧u ⎫ u = ⎨ ⎬ = Nz = ⎢ ⎩v ⎭ ⎢⎣ 0 0 Nj 0 Nk Ni 0 Nj 0 ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪⎪ uj ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬, N k ⎥⎦ ⎪ vj ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 1 1 aj + bj x + cjy; (ai + bi x + c i y); Norte j = 2F 2F (18) 1 Nk = (ak + segundo x + c k y). 2F Las relaciones geométricas que conectan deformaciones y desplazamientos en el marco del problema plano de la teoría de la elasticidad se escriben usando las fórmulas (15), (17) de la siguiente manera: (donde Ni =) ∂u 1 ∂v 1 bi ui + bjuj + bk Reino Unido; ε y = ci vi + c j v j + ck vk; = = ∂x 2 F ∂y 2 F ∂u ∂v 1 ci ui + cjuj + ck uk + bi vi + bjvj + bk vk γ xy = + = ∂y ∂x 2 F o en forma de matriz: εx = () ((⎧ε ⎫ ⎡bi x ⎪ ⎪ 1 ⎢ ε = ⎨ εy ⎬ = ⎢0 ⎪ ⎪ 2F ⎢ ⎩ γ xy ⎭ ⎣ci ⎡bi 1 ⎢ donde B = ⎢0 2F ⎢ ⎣ci)) 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ 0 ⎤⎪ i ⎪ ⎥ ⎪⎪uj ⎪⎪ ck ⎥ ⎨ ⎬ = Bz, ⎥ ⎪vj ⎪ bk ⎦ ⎪ ⎪ u ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 0⎤ ⎥ ck ⎥ es la matriz de gradiente. ⎥ bk ⎦ 15 (19) El área duplicada del elemento finito 2F en la expresión (19) se calcula mediante la fórmula (14). Las relaciones físicas que determinan la relación entre tensiones y deformaciones en el problema plano de la teoría de la elasticidad se escriben en la forma σ = Dε, ⎡ ⎤ ⎢ 1 ν1 0 ⎥ ⎥ E1 ⎢ donde D = 1 0 ν 1 ⎥ es el elástico matriz. 2 ⎢ 1 - ν1 ⎢ 1 - ν1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ 2 ⎦ ⎣ (20) En el caso de deformación plana (ε z = 0), E1 = E ν debe tomarse en la fórmula (20); ν =, 1 1 - ν 1 - ν12 (21) y para el estado de tensión plano generalizado (σ z = 0) E1 = E; ν1 = ν. (22) Las fórmulas (21) y (22) corresponden a un material isotrópico con un módulo de elasticidad E y una relación de Poisson ν. No es difícil construir matrices elásticas para un material ortotrópico, cuando las características de rigidez son diferentes en dos direcciones mutuamente perpendiculares. Dado que las matrices B y D contienen solo constantes, la integral de volumen que determina la matriz de rigidez de un elemento en la fórmula (7) se calcula fácilmente: K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV V (23) V o K = BT DB tF. (24) En la fórmula (24) t es el espesor del elemento; F es el área del elemento. Normalmente, la matriz de rigidez (24) se determina numéricamente. Para ello, primero se encuentran los valores numéricos de los coeficientes de las matrices B y D, y luego se realiza la multiplicación de acuerdo con la expresión (23) o (24). EJEMPLO DE REALIZACIÓN DEL TRABAJO DE LABORATORIO Antes de realizar el trabajo de laboratorio, recordemos una vez más las principales etapas del método FEM: 1. Un cuerpo elástico se divide en elementos. Cuerpo sólido en tetraedros o paralelepípedos. Cuerpo plano: en triángulos y rectángulos. 2. Para cada elemento, se compila una matriz de rigidez utilizando la función de forma. Una función de forma es una forma de aproximar una función de desplazamiento desconocida. 3. Las matrices de rigidez de los elementos se combinan en una única matriz de rigidez para todo el cuerpo. 4. Al resolver el sistema de ecuaciones, se encuentran los desplazamientos nodales. 5. Utilizando las ecuaciones de la teoría de la elasticidad, se determinan las deformaciones y tensiones en los puntos nodales del cuerpo. En el ejemplo dado, se resuelve el problema plano de la teoría de la elasticidad. Un anillo cargado con dos fuerzas (Fig. 2, c) tiene dos ejes de simetría, por lo tanto, para mejorar la precisión del cálculo, consideraremos una cuarta parte del anillo (Fig. 3). En los ejes de simetría, se deben cumplir las condiciones de frontera de igualdad a cero de los desplazamientos perpendiculares a los ejes de simetría. Dividimos el cuarto considerado del anillo en elementos finitos triangulares (ver Fig. 2, b). El elemento triangular tiene 6 grados de libertad (desplazamientos nodales independientes). La numeración de los desplazamientos nodales en un elemento comienza en el nodo inferior izquierdo del triángulo y continúa en sentido antihorario. Los desplazamientos horizontales son impares, los desplazamientos verticales son pares. La numeración de los nodos de todo el cuerpo y elementos finitos es en columnas de arriba a abajo, de izquierda a derecha. Las dimensiones de los elementos pueden ser diferentes (cuanto más pequeño es el elemento, mayor es la precisión de los cálculos). En nuestro ejemplo, hay 66 nodos y 100 elementos finitos en total. La posición de los nodos calculados se muestra en la Fig. 3, b. El cálculo de las coordenadas de los nodos se muestra en la Fig. 4. Introducir las coordenadas de los nodos es un trabajo minucioso y, con una gran cantidad de nodos, es mejor automatizar este trabajo. 17 a b c Fig. 2. Esquema de carga y elemento finito triangular a b Fig. 3. Esquema de diseño y coordenadas de los nodos En la fig. 4 muestra el cálculo de las coordenadas polares de los nodos y su transformación en coordenadas rectangulares (cartesianas). Aquí r1 y r2 son los radios exterior e interior del anillo; t es el grosor del anillo; φ1 y φ2 - valores inicial y final de la coordenada angular; X0 e Y0 - Coordenadas cartesianas del polo (origen de las coordenadas polares); nr y nφ son el número de nodos en una columna (a lo largo del radio) y en una fila (según el ángulo de cobertura de la parte considerada del cuerpo). Los resultados del cálculo de las coordenadas de los nodos se muestran en el gráfico (Fig. 5). Figura 18 4. Cálculo de las coordenadas de los nodos de los elementos Fig. 5. Cuadrícula de nodos 19 La tarea de componer la matriz de índices también es minuciosa y laboriosa. En la Fig. 6 muestra el programa utilizado en el ejemplo para componer la matriz de índices. También proporciona un cálculo automático de las condiciones de contorno y, dependiendo del número de nodos, el número de desplazamientos, en los que el desplazamiento en los ejes de simetría es igual a cero. La automatización de los cálculos de las coordenadas de los nodos, la matriz de índices y las condiciones de contorno permiten que un esquema dado cambie el número de nodos (Fig. 7). Arroz. 6. Programa de cálculo de la matriz de índices 20 Fig. 7. Matriz de índice, coordenadas de nodo, números y desplazamientos especificados Las coordenadas de nodo, la matriz de índice y las condiciones de contorno se pueden escribir en archivos separados como se muestra en la fig. 8. Estos archivos se pueden leer usando la función READPRN y usarse en otro documento. Figura 21 8. Escritura de coordenadas, matriz de índices y condiciones de contorno en archivos externos Este cálculo se realizó teniendo en cuenta las dimensiones (Fig. 4). Tener en cuenta las dimensiones introduce dificultades adicionales en un cálculo bastante complejo, especialmente cuando se ingresan matrices de cantidades dimensionales (Fig. 9). Arroz. 9. Vector de fuerza y ​​matriz de índice de desplazamiento 22 Cada elemento triangular tiene 3 nodos y 6 desplazamientos nodales. La matriz del índice de desplazamiento (la matriz de la relación entre los números globales de los desplazamientos nodales del cuerpo con los números locales de los desplazamientos nodales de los elementos) se obtiene duplicando la matriz MIU. La matriz de rigidez de un miembro se calcula mediante la fórmula K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV. V (23) V Aquí B = ∂T N, donde D es la matriz de rigidez interna que contiene las constantes elásticas del material E, ν; ∂ - operador diferencial matricial, es decir, una determinada secuencia de asignación del signo de diferenciación; N es la matriz de funciones de forma. Para un elemento triangular, la función de forma es la ecuación plana definida por las expresiones (18). Como se muestra arriba (ver expresión (19)), la matriz B = ∂T N contiene constantes que dependen solo de las coordenadas de los nodos. Démosle el cálculo de los coeficientes para la formación de la matriz de rigidez del elemento (Fig. 10) y el cálculo del área de los elementos (Fig. 11). Arroz. 10. Cálculo de los coeficientes para la formación de la matriz de rigidez del elemento 23 Fig. 11. Cálculo del área de elementos La matriz de rigidez interna D se muestra a continuación (Fig. 12) y se escribe en forma de operador condicional: diferentes matrices para el plano tensado NDS = 0 y plano deformado estado NDS = 1 . Higo. 12. Formación de la matriz de rigidez interna Para un elemento triangular, la integral sobre el volumen es igual al producto del integrando por el volumen. La fórmula (23) para calcular la matriz de rigidez de un elemento se muestra arriba. La matriz de rigidez del sistema se forma utilizando la matriz de índices. 24 La consideración de las condiciones de contorno se acompaña de una reestructuración de la matriz de rigidez del sistema y el vector de fuerza (Fig. 13). Arroz. 13. Formación de la matriz de rigidez del sistema y teniendo en cuenta las condiciones de contorno Los desplazamientos nodales se determinan invirtiendo la matriz de rigidez. Arroz. 14. Determinación de desplazamientos de nodos, deformaciones y tensiones en el centro del elemento Según las ecuaciones de la teoría de la elasticidad ε = ∂T u, donde u es el vector de desplazamiento. Según las ecuaciones de conexión de los desplazamientos nodales ∆ y los desplazamientos u de un punto arbitrario u = N ∆. 25 () De ahí la deformación del elemento ε = ∂T N ∆. A partir de las ecuaciones físicas de la teoría de la elasticidad (ley de Hooke) se destaca σ = Dε. La complejidad del cálculo consiste en el uso cuidadoso de los índices de elementos, nodos, columnas, filas, asignando los índices a valores tomados de la matriz de índices. Para un elemento triangular, la función de forma es lineal; por lo tanto, las derivadas de la función de forma, deformación y tensión que se encuentran en la Fig. 14 son constantes en toda el área del elemento. Las tensiones en los nodos del cuerpo se definen como la media aritmética de las tensiones o deformaciones en todos los elementos que convergen en el nodo. El cálculo de tensiones y deformaciones en los nodos del cuerpo se muestra en la Fig. 15. Fig. 15. Determinación de los desplazamientos de los nodos corporales, tensiones y deformaciones en el centro de cada elemento 26 En la fig. 15 muestra la definición del 4o valor de deformación y tensión en cada elemento, no tomado en cuenta en la matriz de rigidez interna D. Trabajando con el documento de Mathcad, si omitimos la expresión NDS: = 1 debajo de la expresión NDS: = 0 , entonces podemos ver los resultados del cálculo ya no en un estado de tensión plana y en una deformación plana. Los resultados del cálculo se muestran en la Fig. 16. Fig. 16. Resultados del cálculo 27 Asignación a trabajo de laboratorio Resolver el problema plano de la teoría de la elasticidad por el método de los elementos finitos (FEM). El anillo, cargado con dos fuerzas (Fig. 3, b), tiene dos ejes de simetría, por lo tanto, para mejorar la precisión del cálculo, es necesario considerar una cuarta parte del anillo. Utilizando una malla adecuada, se subdivide en un sistema triangular de elementos finitos. El número de nodos a lo largo del radio nr y el número de nodos a lo largo del ángulo de cobertura de la parte considerada del cuerpo nφ se seleccionan de la tabla de tareas individuales de acuerdo con la opción. Determine deformaciones y tensiones en un estado plano de tensión y en un estado plano deformado. Variantes de tareas individuales No. Número de nodos variados a lo largo del radio, no 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 8 14 9 15 10 Número de nodos por ángulo de cobertura, nφ 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 4 6 7 8 Opción n. ° 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Número de nodos a lo largo del radio, nr 11 12 13 9 10 11 12 13 10 11 12 13 11 12 13 El número de nodos por el ángulo de cobertura, nφ 9 4 5 6 4 8 9 7 5 6 7 6 4 5 6 Contenido del informe En el directorio de trabajo del estudiante, se deben crear dos archivos que contiene documentos depurados en el sistema Mathcad correspondientes a cálculos para un estado de tensión plano y en un estado deformado plano. 28 El informe sobre el trabajo de laboratorio debe contener: 1) el nombre del trabajo de laboratorio; 2) el propósito del trabajo de laboratorio; 3) tarea; 4) documentos de ejecución de tareas depurados copiados de la pantalla del monitor. Preguntas de prueba 1. ¿Para qué sirve el método de elementos finitos? 2. Plomo esquema general cálculo por el método de elementos finitos. 3. ¿Qué es un diseño idealizado? 4. ¿A partir de qué sistema de ecuaciones algebraicas lineales se determinan los desplazamientos de los nodos? 5. ¿Cómo se determina la forma del polinomio aproximado? 6. ¿Qué funciones se llaman funciones básicas? 7. ¿Cómo se determinan las funciones de la forma? 8. ¿Cómo se determinan las funciones de movimiento? 9. ¿Cómo se determinan las funciones de deformación? 10. ¿Cómo se determinan las tensiones? 11. ¿Qué principio se utiliza para definir fuerzas generalizadas? 12. ¿Cómo se determina la matriz de rigidez de un elemento? 13. ¿Cómo se compila la matriz de rigidez del sistema? 14. ¿Teniendo en cuenta que influencias se obtienen los términos libres del sistema de ecuaciones canónicas? 15. ¿Qué puede causar deformaciones preliminares? 16. ¿Qué puede causar estrés previo? 17. ¿Cómo se determinan las fuerzas reactivas debidas a influencias individuales? 18. ¿Cómo calcula el sistema Mathcad las coordenadas de los nodos de la cuadrícula? 29 Lista bibliográfica 1. Darkov V.А. Mecánica estructural: libro de texto. para construcciones. especialista. universidades / V.A. Darkov, N.N. Shaposhnikov. Ed. Octavo, rev. y añadir. M .: Más alto. shk., 1986. 607 s. 2. Makarov E.G. Cálculos de ingeniería en Mathcad 14: un curso de formación. SPb. : Peter, 2007 592 p. 3. Trushin S.I. Método de elementos finitos. Teoría y objetivos: tutorial... Moscú: Editorial ASV, 2008, 266 p. 4. Khechumov R.A. Aplicación del método de los elementos finitos al diseño de estructuras / R.A. Khechumov, H. Keppler, V.I. Prokopiev. M .: Editorial ASV, 1994, 353 p. 30 Publicación educativa Ignatiev Alexander Vladimirovich, Mikhailova Natalia Anatolyevna, Ereschenko Tatyana Vladimirovna MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Y SU IMPLEMENTACIÓN EN EL ENTORNO MATHCAD Taller de laboratorio sobre la disciplina "Métodos analíticos y numéricos para la resolución de ecuaciones de física matemática" Jefe. RIO O.E. Cabeza de Goryacheva. editado por M.L. Sandy Editor O.A. Shipunova Edición y maquetación por computadora por N.А. Derina Firmado para imprimir el 30.06.10. Formato 60x84 / 16. Papel offset. Impresión de pantalla. Times auricular. CONV. impresión l. 1.9. Uch.-ed. l. 1.7. Circulación 100 copias. Orden No. 70 Institución educativa estatal de educación profesional superior "Universidad Estatal de Arquitectura e Ingeniería Civil de Volgogrado" Departamento editorial y editorial Sector de impresión operativa CIT 400074, Volgogrado, st. Akademicheskaya, 1 31

He estado usando Mathcad en mis cálculos durante mucho tiempo, probablemente durante 15 años, si no más. Trabajé en diferentes versiones Mathcad (2, 5, 6, 7, 8 ... 15), es decir, en casi todas las versiones. Al principio fue difícil de dominar, luego se utilizó con admiración en los cálculos (educativos y de investigación).

Hace siete años se convirtió en tester beta en Mathsoft (participó en la prueba de nuevas versiones de Mathcad). En repetidas ocasiones ha realizado propuestas para mejorar el paquete Mathcad, convertirlo en una poderosa herramienta de programación y resolver problemas computacionales complejos. Recibí agradecimientos de Mathsoft y respuestas estándar como Nous apenas pensó en esas preguntas (estamos pensando mucho en estas preguntas).

Mathsoft estaba haciendo al menos algo para mejorar el aparato matemático de Mathcad. Hace varios años, Mathsoft fue adquirida por PTC, cuyo producto principal es el paquete ProEngeneer, ProMechanica. Para ellos, Mathcad es un subproducto. Los especialistas que desarrollaron Mathcad ya no están. En mi opinión, la estrategia ha cambiado. La nueva versión desarrollada por RTS (no una versión, sino un paquete fundamentalmente nuevo) de Mathcad Prime es similar a una poderosa calculadora con una interfaz fundamentalmente diferente y, en mi opinión, incómoda para trabajar (cuando se resuelven problemas bastante complejos con una interfaz relativamente diferente). programa grande). Además, Mathcad Prime sigue siendo incompatible con versiones antiguas (incluso con mathcad 15) A petición de los usuarios, RTS volvió (durante un tiempo) a la dirección anterior y lanzó Mathcad 15, que matemáticamente es una copia al 100% de Mathcad 14. Eso es todo. Ha llegado.

¿En qué estado quedó abandonado por los propietarios de Mathcad?

Un excelente paquete matemático para la resolución de problemas de complejidad media y prácticamente no apto para la resolución de problemas complejos, como el método de los elementos finitos.

El principal obstáculo en el camino para resolver programas universales complejos es la falta de opciones de cálculo. ... En Mathcad, es muy difícil omitir innecesarios en esta opción operador de cálculo. Bueno, al menos permitieron la transición a la etiqueta, despreciada por los programadores, pero necesaria para las calculadoras. (Puede omitir una sola instrucción con la instrucción ON ERROR).

En cuanto al método de elementos finitos, estoy completamente de acuerdo con RTS. Usar Mathcad para resolver problemas mediante el método de elementos finitos es, lo siento, "esquizo". Para ello, existen muchos sistemas informáticos diferentes, por ejemplo, ANSYS o el mismo ProEngeneer. Utilizo Mathcad para problemas FEM solo para aprender el algoritmo FEM. De hecho, el trabajo del curso publicado para descargar es un modelo transversal del complejo informático. En el trabajo del curso, el algoritmo FEM es claramente visible (en forma de fórmulas de trabajo). El estudio y la memorización de este algoritmo es el propósito del trabajo final sobre FEM, y en absoluto obtener resultados de cálculo cercanos a fiables.

El núcleo matemático de Mathcad es imperfecto (y no mejora en absoluto).
Como resultado, al calcular un trabajo final, por ejemplo, al ajustar las dimensiones de las secciones transversales, cuando una de las dimensiones cambia, el sistema de ecuaciones deja de resolverse repentinamente (división por cero) o la primera frecuencia natural resulta repentinamente ser un número complejo. Pequeño ajuste del mismo tamaño y la solución vuelve a aparecer . Al resolver sistemas de ecuaciones, el resultado del cálculo a veces cambia drásticamente cuando cambian los valores de las aproximaciones iniciales o cuando se selecciona otro método de cálculo (en el menú contextual). A veces, puede mejorar la precisión del cálculo eligiendo Herramientas ( Herramientas) -Opciones (Opciones de hoja de trabajo) TOL = 10-8 en lugar de TOL = 10-3, pero esto no siempre ayuda a resolver el problema correctamente

Hay toneladas de programas de conteo FEM. Sin entrar en detalles de por qué el método es tan bueno y ampliamente aplicable, echemos un vistazo al proceso de cálculo desde adentro. Parecería que todo es simple, ¿por qué no intentar montar su bicicleta, es decir, haz tu programa. En la primera etapa, puede depurar, probar y personalizar el cálculo en MathCAD. Posteriormente, el algoritmo de cálculo ya depurado para la conveniencia de la entrada de datos y el análisis de los resultados se puede reescribir en C # adjuntando algunos gráficos.

Donde empezar. Dado que mi tarea global es el modelado de suelos, comenzaré los cálculos con los problemas de la teoría de la elasticidad.


Aquí hay un ejemplo de un rompecabezas que debe desmontarse. Protozoos triangulares elásticos FE. El esquema fue elaborado y resuelto en el programa FEMmodels 2.0. Repitamos esto en MathCAD.

1. Discretización del área,
es decir, dividiendo esta área en partes, definiendo puntos "nodales". A partir de un sistema con un número infinito de grados de libertad, componimos un sistema con un número finito de nodos y, en consecuencia, grados de libertad.

2. Determinación de funciones de aproximación para un elemento.
Entre los nodos, los valores de las funciones buscadas (en nuestro caso, los desplazamientos de X e Y) cambian según las leyes que hemos establecido, aproximándose a las funciones.

3. Elaboración de ecuaciones que describan todo el sistema.
Como los valores desconocidos de las funciones en los nodos (en nuestro caso, obtenemos el sistema ecuaciones lineales SLAE).

4. Resolver ecuaciones
y determinación de valores nodales y otras incógnitas.

Comenzaré un poco no con una división del área, sino con el segundo punto: definir funciones para un elemento finito. El elemento finito más simple para calcular el problema plano de la teoría de la elasticidad es un triángulo con una función de aproximación lineal:

Arroz. 1. Aproximación de la función y obtención de coeficientes para la misma.
Como tenemos dos grados de libertad en cada nodo (X e Y), se agrega otra función similar.
La esencia de toda manipulación es obtener una relación entre los desplazamientos de los nodos de un elemento y las deformaciones que surgen en él. Como tenemos 6 componentes de desplazamiento y 3 deformaciones, la conexión se realiza a través de alguna matriz B dimensión 3x6 (matriz de derivadas de funciones de forma). Esta es la primera matriz para construir el artículo.
También se necesita una matriz que exprese la relación entre deformaciones y tensiones (matriz D). Para un cuerpo elástico, esta dependencia es la ley de Hooke generalizada.

Otra pequeña desviación del tema, la matriz D para el caso de un estado de tensión plano de un tipo diferente. Cuando es necesario calcular, por ejemplo, la base de un terraplén debajo de una vía férrea o la base de un edificio extendido, entonces es posible considerar un problema plano, ya que las deformaciones a lo largo del terraplén o edificio pueden tomarse como cero. Para obtener D igualar e z = 0. Si consideramos el muro de un edificio, sobre el cual actúan fuerzas solo en el plano del muro, también podemos considerar un problema plano, solo habrá deformaciones desde el plano de sección, pero no hay tensiones, consideramos sigma z = 0.

Matriz general del elemento K e: = B T D B V

No volveré a contar los fundamentos matemáticos de esta conclusión, les diré un breve significado físico.
Un ejemplo de matriz K e:

El número de filas y columnas corresponde al número de grados de libertad. K i, j = fuerza en la dirección del grado de libertad j de la aplicación de un solo movimiento en la dirección del grado de libertad i. Entonces, por ejemplo, para nuestro elemento, a modo de verificación, puede agregar elementos pares / impares a lo largo de cualquier fila o columna, según el significado de nuestro elemento, estos serán reacciones en fijaciones a lo largo de X o Y, respectivamente, y su suma es naturalmente igual a cero. La matriz está degenerada, según físico. lo que significa que esto significa que un elemento suelto tiene fuerzas / reacciones indefinidas en los nodos.

Es más fácil aún más. Es necesario ensamblar una matriz global del sistema a partir de elementos individuales. Para todos los grados de libertad del sistema (filas y columnas de la matriz K), escribimos las reacciones correspondientes de los elementos individuales. Jugué con esta transformación durante más tiempo y, como resultado, aquí hay un algoritmo tan simple con 5 bucles anidados:

Es aún más fácil aún más, recopilamos los vectores de fuerza para todos los grados de libertad no asegurados PAG, de PARA elimine filas y columnas con grados de libertad fijos y obtenga un sistema de ecuaciones lineales: K * u = P; resolvemos u = K -1 P sin siquiera pensar demasiado en la ineficiencia de este método en términos de poder computacional, porque la tarea es pequeña.

El momento más desagradable de la solución en el matcade fue el inconveniente de ingresar los datos iniciales y analizar los resultados. Sin embargo, todos los procedimientos están algorítmicos y, por ejemplo, la función de colocar todos los anclajes toma 8 líneas, y una lista de n x n x 2 elementos se compila en 11 líneas (242 elementos en el ejemplo).

Mis dos próximas tareas: elementos con aproximación más compleja, que permitan reducir el número de elementos y afinar la solución, y los elementos principales, no lineales. En este caso, la matriz K dependerá del desplazamiento y la solución se vuelve mucho más complicada. K (u) * u = P (u). En el caso general, el vector de fuerzas externas también depende de los desplazamientos u.

Fuentes de conocimiento:
1. Conferencias 2008 en el Departamento de General y Facultad de PGUPS. Shashkin K.G.
2. Segerlind "Aplicación del método de los elementos finitos" (1979)
3. A. L. Rozin