Sonlu elemanlar yöntemi matematik ve uzaysal eylemsizlik momenti. Mathcad'de sonlu elemanlar yöntemi

boyut: piksel

Sayfadan göstermeye başlayın:

Transcript

1 Rusya Federasyonu Devletinin Eğitim ve Bilim Bakanlığı Eğitim kurumu yüksek mesleki eğitim "Pasifik Devlet Üniversitesi»İKİ BOYUTLU ISI İLETKENLİK PROBLEMİNİN MAHCAD'DE SONLU ELEMENTLER YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ Metodik talimatlar ve sulh hakimliğine kayıtlı öğrenciler için "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" dersinde laboratuvar çalışması için kontrol görevleri Habarovsk Yayınevi PNU

2 UDC9. /. 7. MAHCAD'de sonlu elemanlar yöntemiyle iki boyutlu termal iletkenlik probleminin çözümü: yüksek lisans / comp'e kayıtlı öğrenciler için "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" dersinde laboratuvar çalışması için kılavuzlar ve kontrol görevleri . L.M. Ivannikov. Habarovsk: Pasifik Yayınevi. durum un-bu,. 8. "Deforme olabilen bir katının mekaniği" bölümünde metodik talimatlar hazırlandı. Laboratuar çalışmasının içeriğini ve uygulanması için gerekli olan "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" dersinin bölümlerini incelemek için önerileri, önerilen literatür ve laboratuvar çalışmaları için görevlerin bir listesini içerir. ve Mimarlık. Pasifik Devlet Üniversitesi,

3 GENEL HÜKÜMLER Laboratuar çalışmasının amacı, sonlu elemanlar yöntemiyle iki boyutlu ısı iletimi problemlerini hesaplama algoritmasına hakim olmaktır. nerede ISI AKTARIM DENKLİMİ Isı iletimi düzlem probleminin denklemi K, K, K, K şeklindedir, eksenler doğrultusunda ısı iletkenlik katsayılarıdır, sıcaklığın istenen fonksiyonu;, kW.,>, eğer vücuda ısı verilir. m Sınır koşulları iki tiptedir: kW m K vücut içindeki ısı kaynağı ,. Г, Г sınırının bir kısmında sıcaklık biliniyorsa, burada Г Г, sınır Г üzerindeki s yüzeyinin noktalarının koordinatlarına bağlı olarak, sınırın noktalarında bilinen bir sıcaklıktır ;, Г ,. K l K mhq, Г yüzeyinin h değeri ile karakterize edilen bir kısmında konvektif ısı değişimi meydana gelirse veya Г yüzeyinin bir kısmında bir ısı akısı q verilirse ve Г Г Г, sınır, K; bilinen ortam sıcaklığı, K; l, m yönlü kosinüsler; q, bilinen ısı akısı, kW, vücut tarafından ısı kaybedilirse pozitif olarak kabul edilir. Aynı alandaki ısı akısı ve taşınımla ısı transferi aynı anda hareket edemez. Isıl olarak yalıtılmış bir sınır varsa, o zaman ısı akısı sıfırdır ve taşınımla ısı transferi yoksa, sınır koşulu aşağıdaki gibi yazılacaktır: burada n, dikkate alınan bölgenin sınırının dış normalidir. nm,;

4 ISI İLETKENLİĞİ SORUNUNUN ÇÖZÜMÜNÜN FONKSİYONU Denklemi s tanım kümesinde ve Г üzerinde sınır koşulları ile çözmek, Г h q s K K Ф Г s , fonksiyonelinin minimumunu bulmaya eşdeğerdir. FEM problemini çözerken, bölge s sonlu elemanların n alt alanına bölünür, bunlar genellikle Şekil 3'te üçgen şeklinde alınır. Ayrıca, üçgen FE için tüm formüller verilir. Fonksiyonel, alandaki tüm sonlu elemanların katkılarının toplamı olarak yazılır. Daha sonra n Г Г s s Г Г q s s g D g Ф şeklini alır, burada g; K K D termal iletkenlik katsayıları matrisi. Veya, Ф Ф n. FE içindeki sıcaklık değişimini, FE içindeki sıcaklık dağılımını hesaba katarak, FE şeklinin matrisinin çalıştığı düğüm değerleri aracılığıyla temsil edelim. Sonra g veya B g, burada B, FE form fonksiyonlarının gradyan matrisidir. Her bir FE için, her bir FE'nin katkısını fonksiyonel ifadesine yazmak artık mümkündür:

5. Г h Г h Г h Г qs BDB Ф Г Г Г Г ss е ve dış etki vektörü Г h Г qs F Г s G olacaktır. İncelenen tüm alan için, n F k Ф veya FK elde ederiz, burada nk K, n F F. Denklem, ısı iletimi problemini sonlu elemanlar yöntemiyle çözmek için temel denklemdir. İKİ BOYUTLU SIMPLEX ELEMAN Isı iletiminin düzlem problemini çözmek için, kenarları düz olan üçgen bir FE kullanılır, bkz. Şekil. Düğümler, bir birim ile gösterilen belirli bir düğümden başlayarak saat yönünün tersine numaralandırılır. FE taraflarının numaralandırılması Şekil 2'de gösterilmektedir.

6 Y X, Y Tarafı X, Y tarafı Yan X, Y Yönü numaralandırma X Şekil .. Üçgen sonlu eleman Sıcaklık düğüm değerleri , ile gösterilir. Koordinatlarla FE noktasındaki sıcaklık formülle belirlenir. Aşağıdakiler, bu FE için kullanılan form işlevleridir. a XY, A a XYA a XYA FE alanı, iyi bilinen XYAX Y formülüne göre hesaplanır. XY Form fonksiyonlarında yer alan katsayılar, düğümlerin koordinatlarına bağlıdır, aşağıda verilmiştir: a XYXY, a XYXY , . a X Y X Y, Y Y, X X, Y Y, Y Y, X X. X X

7 7 Gridin OLUŞTURULMASI İÇİN DÖRT KÖŞE FE UYGULAMASI Alanı bölgelere ayırarak büyük hücreli bir ızgaranın ön çizimi için, Şekil 4'teki dörtgen karesel elemanlar kullanılır.FE'nin her iki tarafında üç düğüm yer alır. . Yan 7 8 Yan Yan Yan Şekil Dörtgen ikinci dereceden FE Şek. düğümün ξ, koordinatlarına sahip olduğu yerel göreli koordinat eksenleri gösterilir; düğüm ξ,; düğüm ξ,; düğüm 7 ξ ,. Böyle bir FE'nin düğümlerinin numaralandırılması, düğümden başlayarak saat yönünün tersine gerçekleştirilir. Düğümler, 8, gelecekte yakın nokta efektlerinde daha yoğun bir ağ oluşturmanıza olanak tanıyan, karşılık gelen tarafta keyfi bir noktaya yerleştirilebilir. Gelecekte, böyle bir FE'nin her bir tarafı belirli sayıda bölüme ayrılmıştır. Düğümler şu şekilde numaralandırılır: koordinatlarla düğümden dikey olarak, eksen boyunca aşağı ve eksen boyunca soldan sağa. Böylece, büyük elemanlar daha küçük olanlara bölünür, bu da daha küçük bir köşegenle üçgen FE'ye bölünür. Bölgenin üçgen kesitleri ayrıca Şekil 7'de dörtgen ikinci dereceden elemanlar olarak temsil edilmektedir. 7 Kenar 8 η Kenar Kenar ξ Kenar Şekil. Bir üçgen alanın ikinci dereceden bir ikinci dereceden eleman şeklinde temsili

8 8 ISI İLETKENLİK MATRİSİ Üçgen bir FE için, termal iletkenlik matrisi, L h L h L h A k A k k şeklindedir; burada, L L L, FE'nin karşılık gelen kenarlarının uzunluklarıdır. Son üç terim, FE'nin her iki tarafındaki konvektif ısı transferini hesaba katar. FE, incelenen bölgenin ayrılmaz bir parçası olduğu için, taşınımla ısı transferi genellikle FE'nin bir veya iki tarafı boyunca meydana gelir. CE ÜZERİNDEKİ DIŞ ETKİLERİN VEKTÖRÜ Bilinen dış etkiler şunlardır: FE içindeki ısı kaynağı sabit yoğunlukta .. Isı akısı q nedeniyle ısı girişi .. FE'nin ısı transfer katsayısı h ile en fazla iki tarafında konvektif ısı değişimi .. Nokta ısı kaynağı, * Y X, FE'nin içinde bulunur. FE üzerindeki dış etkilerin vektörü şu şekildedir., * Y Y X X L L L h q F SICAKLIK DEĞİŞİMLERİ VE FE'YE GÖRE ORTALAMA SICAKLIK FE'ye göre sıcaklık gradyanları ve ortalama sıcaklık aşağıdaki formüllerle hesaplanır: A Gray Gra,

9 9. cf kk MAHCAD'DE ISI İLETKENLİK PROBLEMİNİ ÇÖZME PROSEDÜRÜ HAZIRLANAN ALAN ÜZERİNE DÜĞÜM IZGARASI UYGULAMASI Problemin çözüm alanı, X, Y küresel koordinatları sistemine yerleştirilir. İncelenen alan düğümlerden oluşan bir ızgara ile kaplanmalıdır. Izgara hücresi ne kadar küçük olursa, sorunun çözümü o kadar doğru olacaktır. Aşamaya göre mesh uygulaması yapılır. Aşama I. Söz konusu alan, bir dizi dikdörtgen ve üçgen bölgeye, dörtgen karesel elemanlara bölünmüştür. Bölgeler rastgele sırayla numaralandırılmıştır. Bu tür her bölge için, köşe noktaları dahil olmak üzere her bir tarafta üç tane olmak üzere 8 bağlantı noktası ayarlanır. Üçgen bir bölge için kenarlardan biri noktalı dikdörtgenin iki kenarına karşılık gelir. Böylece, bölgelere bölme, ikinci dereceden ikinci dereceden elemanlar kullanır. Aşağıdaki ilk veri tabloları derlenmiştir: a Sekme. bölgelerin hangi taraflarının birbiriyle temas halinde olduğunu belirleyen bölge bağlantıları. Dikkate alınan alandaki bölgelerin bağlantısı. Tablo. Bölge numarası Taraf Taraf Taraf bölgenin yalnızca birinci kenar boyunca bölgeyle temas ettiği, bölgenin birinci kenar boyunca bölgeyle ve dördüncü kenar boyunca bölgeyle temas ettiği gösterilmiştir. Bölge sadece şeklin ikinci tarafındaki bölge ile temas halindedir Kenarların numaralandırılması, şekilde koyu sayılarla gösterilen göreli koordinatlarda yerel eksenlerin yönüne bağlıdır. İncirde. H ilk düğümünden itibaren bölge düğümlerinin numaralandırılmasının yönünü gösterir.

10 Bölge H Bölge H Bölge Şekil Bölge bağlantı tablosunun oluşturulması b. Sekme. kabul edilen küresel koordinat sisteminde bölgelerin sınırlarına çizilen düğümlerin koordinatları. Bölgelerin sınırlarındaki düğümlerin koordinatları Tablo. H Sayısı Bir düğümün koordinatı X, cm Y, cm ... c. Daha küçük hücrelere sahip bir ızgara elde etmek için her bölgenin bölündüğü dikey ve yatay şeritlerin sayısını gösteren bir tablo. Daha küçük hücreli bir ızgara oluşturma Tablosu. Bölge numarası Yükseklikteki şerit sayısı Genişlikteki şerit sayısı Bölge, yükseklikte beş şeride ve genişlikte altı şeride bölünmüştür. d. Her bölge için önceden çizilen düğümlerin gösterildiği tablo.

11 Her bölge için ön ızgaranın düğüm sayısı Tablo. Bölge numarası Dörtgen FE düğümlerinin sayısı ikinci bölgenin sekiz düğümünün, söz konusu bölgeyi saat yönünün tersine atlarken bu tür sayılara sahip olduğu belirtilir. Aşama II. Daha sonra Matha, her bölgenin çok daha küçük dikdörtgenlere bölünmesine izin veren, her bölge için şerit sayısını yükseklik ve genişlik olarak ayarlayan gri programını uygular. Daha sonra, daha küçük köşegenli bu küçük dikdörtgenlerin her biri iki üçgene bölünür ve söz konusu alanın tamamı üçgen hücreli bir ızgara ile kaplanır. Bu programın bir sonucu olarak, aşağıdaki veriler çıktılanır: a. Üçgen FE Kol_Elm sayısı. b Aşağıdaki tablolar, 7. Bölgelerin kenarları boyunca ızgara düğümlerinin numaralandırılması Tablo Uzl_Zon 9 Tablo, yükseklikteki bölge şeritlerinin sayısı ve her biri için genişlikteki bölge şeritlerinin sayısı ile bir matris şeklinde verilir. ızgara yapımını basitleştiren bölge. Verilen matris, yandaki bölgede düğümler olduğunu göstermektedir; yanda düğümler var; düğümlerin yanında; düğümlerin yanında, 9 ,. Bölgeyi saat yönünün tersine atlayarak. Bu numaralandırma aşağıdaki örnekte gösterilmiştir. FE konumu ve FE düğümlerinin üçgen ağa aitliği Tablo Bölge numarası FE numarası FE düğümü FE düğümü FE düğümü

12 FE düğümlerinin koordinatları Tablo 7 Düğüm numarası Koordinat X Koordinat Y Bölge numarası, FE numarası ve FE düğümlerinin koordinatlarını bağlayan tablolar da görüntülenebilir. FE ve düğümlerinin numaralandırılmasına sahip bir ızgara, söz konusu alanın şemasına manuel olarak uygulanır. DIŞ ETKİ VEKTÖRÜNÜN OLUŞUMU İncelenen alan için oluşturulmuş ızgara temelinde aşağıdakiler not edilir: a Konvektif ısı değişiminin gerçekleştiği kenarların numaraları. b Sıcaklığın ayarlandığı düğüm sayısı. konsantre ısı kaynaklarının yanlarında, düğümlerinde veya içlerinde bulunduğu FE sayılarında. Aşağıdaki tablolar derlenmiştir. 8, 9 ,. Alanın taşınımla ısı transferinin olduğu taraflar Tablo 8 FE numarası Kenar numarası Kenar numarası Konvektif ısı transferinin üç FE tarafından sadece ikisinde mümkün olduğu varsayılmaktadır. Sıcaklık Ayarı Düğümler Tablo 9 Düğüm Numarası Sıcaklık

13 Nokta ısı kaynakları tablosu Tablo Değeri, W Eleman numarası Kaynak koordinatları, cm, cm Problemin çözülmesi sonucunda aşağıdakiler görüntülenir: FE düğümlerindeki sıcaklık değerleri tablosu. Sırasıyla X ve Y eksenleri boyunca Gra, Gra sıcaklık gradyanları tablosu. Her FE için ortalama sıcaklık Тsr tablosu. İzotermlerin değerlerinin gösterilmesi ile sıcaklıkların dikkate alınan alan üzerindeki dağılımı. LABORATUVAR ÇALIŞMASININ PERFORMANS ÖRNEĞİ Isı ileten bir ortamda, kablolar Şekilde gösterildiği gibi geçer. Ortamın termal iletkenlik katsayıları vardır. Ortamın yüzeyindeki ısı katsayısı cm K değişimi h K W cm K K W. Yanlarda, söz konusu ortam kalın bir yalıtım tabakası ile sınırlandırılmıştır. Ortamın yüzeyindeki hava sıcaklığı C. Ortamın alt tabakasının sıcaklığı C. Her kablonun ısı radyasyonunun gücü W'dir. Gerekli: Belirli bir alandaki sıcaklık dağılımını belirleyin.. Alan üzerindeki sıcaklık gradyanlarını ve ortalama sıcaklığı belirleyin.. Elde edilen değerlerdeki değişim grafiklerini oluşturun. TALİMATLAR: ve laboratuvar çalışması yaparken, alanın simetrisini ve sıcaklık etkisinin simetrisini dikkate alın; b alanın hesaplanan kısmını üç veya dört bölgeye ayırın; alana ızgara uygulamasını basitleştirmek için her bölgeye yükseklik ve genişlikte üç ila beş şerit ayırın.

14 = C cm cm cm cm = C cm cm 8 cm cm cm Şekil .. Isı ileten bir ortamdaki kablolar SORUNUN ÇÖZÜMÜ İncelenen bölgenin simetrisini göz önünde bulundurarak, hesaplamada bu bölgenin sadece yarısını dikkate alacağız. Şekil .. = C = W = W Simetri ekseni cm cm cm = C cm cm cm Şekil Hesaplamada dikkate alınan alan İncelenen alanı X ve Y küresel eksenleri sistemine yerleştirir ve üç bölgeye böleriz, bölgeleri dörtgen ikinci dereceden elemanlar olarak varsayarak, kenarlarına düğümler koyduğumuz. 7. Alanı saat yönünün tersine çevirerek bölgeleri ve düğümleri numaralandıralım. Bölgelerin kenar sayılarını belirlemek için her bölge için bir yerel eksenler sistemi kurulur.

15 Y cm cm cm X, cm Şek. 7. Alanın bölgelere ön bölünmesi Sorunun daha doğru bir şekilde çözülmesi için, bölgelerin sınırındaki düğümleri nokta ısı kaynaklarına daha yakın yerleştirmek gerekir. İlk veriler, tablonun belirlenmiş bölgeleri ve düğümleri için derlenir.,. Hesaplama programı, sonraki hesaplamada kullanılan alan üzerinde çizilen üçgen ağ hakkında tam bilgileri temsil eden tablo 7'yi üretir. Bu tablolara göre, levha üzerine bir ızgara oluşturulur. 8. Y X Şek. 8. Alan üzerine çizilen üçgen ızgara Ortaya çıkan ızgaraya göre dış sıcaklık etkisi dikkate alınır ve tablolar derlenir. 8, 9 ,. Ardından, tablo biçiminde çıktılar-

16 sorunu çözmenin sonuçları ve bunların grafiksel temsil incirde. 9 ve. Her bölge Satır Cols Tablo için veri BAĞLANTI Rowol bölgesi Tablosunun cm K TABLO B Solution İÇİN Problem Zon Uzl BÖLGESİ NUMARASI h Origi W Chislo_Zon KK cm K cm K Koor T O, CXY BASKI işlev bozuklukları l y k d t n s RE Z U L T, T-Y Y E D S, N I P O, O ve S'yi; D, D, A, N, Y S E, T K I, K E U ile Z L S S S T K I P O G RA N Cı-A T Z, O, N Uzl_Zon Uzl_Zon 7 8 o i z

17 7 Uzl_Zon 9 Kol_Elm T A B L I C A K E "Bölgeler" "FE" "FE Düğümü" "FE Düğümü" "FE Düğümü" al_ke

18 8 C O R D I N A T Y U G L O V K E XY deposu F O R M I R O V A N E V E K T O R A V N E Sh N I X V O Z D E J S T V I Y T a l c a s t o n K E c o n ve c t i n e te p l o "s" Store

19 _uzl 9 UZL TABLOSU "Düğüm"ün verilen sıcaklığı ile Sıcaklık sıcaklığı doğru ısı kaynağı "Değer" Elemanı a "" "" ". REZU L T A T Y R E S H E N I Z G A D A C H I T emp er a r a t ur v u l e m e n t ov

20 DEĞİŞİM SICAKLIKLAR ORTA SICAKLIKLAR Gra Gra sr

21, 7.8.78 Y 9.7.8.9.9, + + +, 88 7.7 9.7, + 9.87 7.98.9 X Şekil. 9. Izgara çizgileri boyunca sıcaklık dağılımı diyagramı Y XY X Şekil Alan üzerindeki sıcaklık dağılımı

22 LABORATUVAR İŞLERİ İÇİN SEÇENEKLER Isı ileten bir ortamda şemada görüldüğü gibi ısı yayan kablolar vardır. Ortamın ısıl iletkenlik katsayıları K ve K vardır. Ortamın yüzeyindeki ısı transfer katsayısı h'dir. Bazı bölgelerde, söz konusu ortam kalın bir yalıtım tabakası ile sınırlıdır. Konvektif ısı alışverişinin gerçekleştiği ortamın belirli bölgelerindeki hava sıcaklığı, T. Ortamın bazı bölgelerinde sıcaklık T olarak ayarlanır. Her bir kablonun ısı yayma gücüdür. Versiyonu için ilk verileri ve tabloyu ayarlama şemasını kullanmak gerekir, Şek. :. Belirli bir alandaki sıcaklık dağılımını belirleyin.. Alan üzerindeki sıcaklık gradyanlarını ve ortalama sıcaklığı belirleyin.. Elde edilen değerlerdeki değişim grafiklerini oluşturun. İLK VERİLER İlk veriler laboratuvar işi seçeneklere göre Tablo Seçenek numarası a, cm, cm, cm, cm, cm, kW, C, C K, W cm K K, W cm K h, W cm K

23 a a a a a a a a a a Şekil .. Laboratuvar çalışması için varyant şemaları

24 7 8 a a a a 9 a a a a a a a Şekil .. Devamı

25 a a a a a a a 7 8 a a a Şekil .. Son

26 KONTROL SORULARI. İki boyutlu bir problem için ısı iletimi denklemini yazın .. İki boyutlu bir ısı iletimi probleminin sınır koşullarını yazın .. Isı iletimi problemini çözmenin tam fonksiyonunu yazın .. Ana denklemi türetin iki boyutlu bir ısı iletimi problemini sonlu elemanlar yöntemiyle çözme .. İki boyutlu bir ısı iletimi problemini çözmek için hangi sonlu elemanlar kullanılır? İki boyutlu bir tek yönlü eleman için şekil fonksiyonları nasıl tanımlanır? 7. Dörtgen ikinci dereceden elemanlar ne amaçla kullanılır? 8. Yerel koordinat sistemi nasıl seçilir ve ikinci dereceden ikinci dereceden elemanın kenarlarının numaralandırılması nasıl yapılır? 9. Üçgen bir FE için ısıl iletkenlik matrisini yazın.. Ele alınan alan için ısıl iletkenlik matrisi nasıl oluşturulur? FE için dış termal etkilerin vektörü nasıl oluşur? İncelenen alan için dış etkilerin vektörü nasıl oluşur? Sıcaklık gradyanları ve ortalama FE sıcaklığı nasıl belirlenir? Ele alınan alana mesh nasıl uygulanır? Izgaraya hazırlanmak için hangi ilk verilere ihtiyacınız var? Mesh oluşturmak için hangi çıktı kullanılır ve alana nasıl uygulanır? 7. Dış termal etkilerin vektörünü oluşturmak için hangi verilerin girilmesi gerekiyor? 8. Bir nokta ısı kaynağının büyüklüğünün işareti nasıl dikkate alınır? Isı girişi? 9. Isı iletim probleminin çözülmesi sonucunda elde edilen çıktı verileri nelerdir? Bibliyografik liste. Zenkevich O. Teknolojide sonlu elemanlar yöntemi / O. Zenkevich. M.: Mir, 97. s. Segerlind L. Sonlu elemanlar yönteminin uygulanması / L. Segerlind. M.: Mir, s.

27 7 İÇİNDEKİLER GENEL HÜKÜMLER. Isı transferi denklemi. Termal iletkenlik problemini çözmek için işlevsel ... İki boyutlu tek yönlü eleman ..... Ağ üretimi için dörtgen FE uygulaması .... FE için termal iletkenlik matrisi .... 8 FE üzerindeki dış etkilerin vektörü .. .. 8 Sıcaklık gradyanları ve ortalama sıcaklık FE ile 8 Matha'da ısı iletimi problemini çözme prosedürü ... 9 LABORATUVAR ÇALIŞMASININ PERFORMANS ÖRNEĞİ ... SORUNUN ÇÖZÜMÜ. Sorunun çözümünün çıktısı ... LABORATUVAR ÇALIŞMASI İÇİN GÖREV SEÇENEKLERİ ... Test soruları. bibliyografik liste

28 8 MAHCAD'DE SONLU ELEMENTLER YÖNTEMİYLE İKİ BOYUTLU ISI İLETKENLİK PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ Magistracy'de okuyan öğrenciler için "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" dersinde laboratuvar çalışması için metodik talimatlar ve test görevleri. Ivannikov Leonid Matveyevich Genel Yayın Yönetmeni A. A. Suevalova Editör T. F. Sheikina Bilgisayar düzeni operatörü L. M. Ivannikov Baskı için imzalandı Format 8. Yazı kağıdı. Times kulaklığı. Dijital baskı. DÖNŞ. Yazdır ben. kopyaların dolaşımı Pacific State University Press'i sipariş edin. 8, Habarovsk, st. Pasifik ,. Pacific State University Press'in Operasyonel Baskı Departmanı. 8, Habarovsk, st. Pasifik ,.

Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi" SON ELEMANLARIN YÖNTEMİ Uygulama için görevler için metodik talimatlar ve seçenekler

Özel

DÜZ ÇİFTLİKLERİN ÇUBUKLARININ REFERANSLARININ VE ÇABALARININ HESAPLANMASI Habarovsk 00 Federal Eğitim Ajansı Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Pasifik Devleti

Sonlu elemanlar yöntemi 1. FEM'in uygulama alanı. 2. FEM'in temel konsepti. 3. FEM'in Avantajları. 4. Hesaplama alanını sonlu elemanlara bölme. 5. İstenen fonksiyona sonlu bir şekilde yaklaşmak için bir yöntem

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Nizhny Novgorod Devlet Mimari ve İnşaatı

ÖĞRENCİLERİN BİLGİ KALİTESİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ "Malzeme Direnci" kursunu incelemeden önce giriş kontrolünün yapılması için metodik talimatlar Habarovsk 006 Rusya Federasyonu Federal Eğitim Ajansı

Federal Eğitim Ajansı Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu Pasifik Eyalet Üniversitesi İçten yanmalı motor parçalarının termal gerilimi Metodik

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi"

KAZAN DEVLET ÜNİVERSİTESİ MAKİNE VE MATEMATİK FAKÜLTESİ TEORİK MEKANİK BÖLÜMÜ Berezhnoy D.V. Tazyukov B.F. DÜZLEM ISI İLETKENLİK PROBLEMİNİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ Çalışma Rehberi

İçten yanmalı motor parçalarının termal stresinin hesaplanmasında sonlu elemanlar yöntemi ve sonlu farklar yönteminin kullanılması Federal Eğitim Ajansı Devlet Yüksek Eğitim Kurumu

TEKNOLOJİK MAKİNE SİSTEMLERİ ÇALIŞMALARININ HACİM PLANLAMASI Khabarovs k 2 0 0 9 Federal Eğitim Ajansı Devlet yüksek mesleki eğitim kurumu

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Devlet yüksek mesleki eğitim kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi" MEKANSAL HESAPLAMASI

KARMAŞIK MİMARİ FORMLARIN PERSPEKTİFİ Habarovsk 2008 Federal Eğitim Ajansı Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Pasifik Devleti

Federal Eğitim Ajansı Yüksek Mesleki Eğitim Devlet Eğitim Kurumu "Pasifik Eyalet Üniversitesi" BOBİNİN ENDÜKTANSININ BELİRLENMESİ Metodik

Smirnov V.V., Spiridonov F.F., Nekrasov I.A. Biysk Teknoloji Enstitüsü, Biysk Özet

REFERANSLAR 1. Kozheurov, V. A. Metalurjik cürufların termodinamiği / V. A. Kozheurov. Sverdlovsk: GNTIL, 1955.164 s. 2. D a r k e n, L. S. İkili metalik çözeltilerin termodinamiği /

RUSYA FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK EĞİTİM ENSTİTÜSÜ EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI "NİZHNEGOROD DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ RE ALEKSEEV"

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolları Üniversitesi Bölümü "Deforme olabilen bir katı, temeller ve temeller mekaniği" A. A. Lakhtin DİNAMİK

Kazan Devlet Üniversitesi R.F. Mardanov DÜZLEM ISI İLETKENLİK PROBLEMİNİ ÇÖZMEK İÇİN SAYISAL YÖNTEMLER Ders Kitabı Kazan Devlet Üniversitesi Yayınevi 2007 UDC 517.9

BİR KARE UYARLANABİLİR ŞEBEKE N.G. ÜZERİNDEKİ DOĞRUSAL OLMAYAN ISI İLETKENLİĞİ DENKLEMİNİN ETKİLENEN ÇÖZÜM ŞEMASI A.V. Karlykhanov URAKOVA Rusya Federal Nükleer Merkezi Tüm Rusya Teknik Fizik Araştırma Enstitüsü adını aldı acad.

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Habarovsk Devlet Teknik Üniversitesi Üniversite Profesörü A.I. 2001 ÇATI BİNASI Metodik

Federal Eğitim Ajansı Sibirya Devlet Otomobil ve Otoyol Akademisi (SibADI) bilgi Güvenliği ENTERPOLATION FORMULA LAGRANGE Uygulama için metodik talimatlar

UDC 519.624.1 Sonlu elemanlar yöntemiyle problem çözmede birinci tür sınır koşullarının hesaplanması yöntemleri Giriş Korchagova VN, öğrenci Rusya, 105005, Moskova, MSTU im. N.E. Bauman Bölümü "Uygulamalı Matematik"

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi UDC 39.3 Sonlu farklar yöntemiyle duvar kirişinin hesaplanması: kılavuzlar / Komp. I.Yu. Smolina, D.N.

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolları Üniversitesi "Köprüler ve Ulaştırma Tünelleri" Bölümü A. A. Lakhtin Sonlu yöntemiyle dikdörtgen bir plakanın hesaplanması

3. Yapay viskozite Yapay devre viskozitesinin ortaya çıkış mekanizmasını anlamak için, düşük gaz hızlarında konvektif ısı yayılımının iki boyutlu problemini ele alıyoruz.

Giriş Metodolojik talimatlar, "Düzlemde ve uzayda doğru", "Düzlem", "İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler" konularında bireysel ev ödevleri için 26 seçenek içerir. Bireysel altında

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Devlet yüksek mesleki eğitim kurumu ULYANOVSK DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

MESLEK YÜKSEK EĞİTİM DEVLET ENSTİTÜSÜ "BELARUS-RUSYA ÜNİVERSİTESİ" Bölümü "Kaynak üretim ekipmanı ve teknolojisi" KAYNAK SÜREÇLERİNİN BİLGİSAYAR SİMÜLASYONU

FEDERAL İLETİŞİM AJANSI Federal Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Bütçe Kurumu "SAINT PETERSBURG DEVLET TELEKOMÜNİKASYON ÜNİVERSİTESİ.

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolları ve İletişim Departmanı "Deforme olabilen bir katı, temeller ve temeller mekaniği" A. A. Lakhtin BİNA

bilgi işlem teknolojisi Cilt 1, 1, 1996 MAT FİZİĞİN ÇOK BOYUTLU SORUNLARI İÇİN YÜKSEK DERECELİ SONLU ELEMENT RİJİTİTE MATRİSLERİNİN HESAPLANMASI İÇİN PARALEL ALGORİTMALAR A. D. St.

SERİSİ Khabarovsk 4 4 SAYI SERİSİ Bir sayı dizisi bir ifadedir, burada, sonsuz bir sayı dizisi oluşturan sayılar, dizinin ortak bir terimidir, burada N (N, doğal sayılar kümesidir) Örnek

FEDERAL EĞİTİM KURUMU

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Yaroslavl Devlet Üniversitesi P.G.Demidova Cebir Bölümü ve ikinci dereceden Matematiksel Mantık Eğrileri Bölüm I Metodik talimatlar

UDC 59.6: 5 AÇIK KANALLARDA SUYUN İKİ BOYUTLU KARARSIZLIKLI HAREKETİNİN SİMÜLASYONU SH.KH. Rakhimov I. Begimov SANIIRI Su tesislerinde meydana gelen süreçler çok boyutlu iki boyutlu bir şekilde gerçekleşir.

1. DC ELEKTRİK DEVRELERİ 1.1. Elektrik devresi, elemanları ve parametreleri Ana elektrikli cihazlar, amaçlarına göre elektrik üreten cihazlara bölünmüştür.

Federal Devlet Bütçe Eğitim Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "MOSKOVA DEVLET İLETİŞİM YOLLARI ÜNİVERSİTESİ" BÖLÜMÜ "MATEMATİK" MV ISHKHANYAN, A.I.

Dişli mekanizmalarının kinematik analizi pdffactory Pro tral verson ile oluşturulan PDF www.pdffactory.com FEDERAL EĞİTİM AJANSI Devlet yüksek mesleki eğitim kurumu

TÜREV, GEOMETRİK VE FİZİKSEL ANLAMI = f () fonksiyonunun artışı, f f farkıdır, burada argümanın artışıdır.

UDC 519.642: 539.3: 624.044: 624.15 Uzamsal sınır eleman ağı oluşturmak için etkileşimli yöntemler A. A. Vakhtin Voronezh Devlet Üniversitesi Uzamsal bir yapı oluşturmak için Algoritmalar

MODÜL TERMAL İLETKENLİK Uzmanlık Alanı 300 "Teknik Fizik" Ders Dahili ısı kaynakları olmaksızın düz bir duvarın ısıl iletkenliği Birinci sınır koşulları altında düz bir duvardaki sıcaklık alanı

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Ural Federal Üniversitesi, Rusya'nın ilk Cumhurbaşkanı B. N. Yeltsin'in adını aldı MODELLEME YOLUYLA ELEKTROSTATİK ALAN ARAŞTIRMASI Metodik

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi"

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Bryansk Devlet Teknik Üniversitesi ONAYLI Üniversite Rektörü Fedonin 2014 DÖKÜM FIRINLARI ISI DEĞİŞİMİ PARAMETRELERİNİN HESAPLANMASI

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi" ELEKTROSTATİK ALAN ARAŞTIRMASI Metodolojik

Federal Eğitim Ajansı Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi Toprak işleri kartogramı Metodik talimat Yu.M. Akumyansky Tomsk 2008 3 Kartogram

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi" MANYETİK SELENOİD ALANINDA ARAŞTIRMA

12 Haziran 2017 Konveksiyon ve ısı iletiminin birleşik sürecine konvektif ısı transferi denir. Doğal konveksiyon, eşit olmayan şekilde ısıtılan bir ortamın özgül ağırlığındaki farktan kaynaklanır.

Rusya Federasyonu Federal Eğitim Ajansı Ural Devlet Ormancılık Üniversitesi Malzeme Direnci ve Teorik Mekanik Bölümü V.A.Kalentiev V.M. Kalinin L.T. Raevskaya N.I.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Federal Devlet Bütçe Eğitim Yüksek Öğretim Kurumu "ULYANOVSK DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ" V. K. Manzhosov,

Federal Devlet Bütçe Eğitim Yüksek Öğrenim Kurumu “N.G. Chernyshevsky "Matematik Bölümü

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "ULYANOVSK DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ"

Federal Eğitim Ajansı Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi TOPRAK İŞLERİ HARİTASI Laboratuvar çalışmaları için metodik talimatlar Derleyen Yu.M. Akumyansky Tomsk

DÜZLEMDE CEBİRİK DOĞRULAR .. BİRİNCİ DERECİN DOĞRULARI (DÜZLEMDEKİ DOĞRULAR ... DÜZLEMDEKİ DOĞRUSAL DENKLEM TÜRLERİ Belirli bir doğruya dik olan sıfırdan farklı n vektörüne normal denir

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi" MANUEL ARK KAYNAK MODLARININ TANIMI

Termal iletkenlik. Teori Isıl iletkenlik, birbirine değen cisimler veya aynı cismin farklı sıcaklıklardaki bölümleri arasında ısı yayılımı sürecidir. Termal iletkenliği gerçekleştirmek için,

3 İşin amacı: 4Ts 4S diyot örneğini kullanarak termiyonik emisyon fenomenini incelemek. Görev: tungstenden elektronların iş fonksiyonunun belirlenmesi. Cihazlar ve aksesuarlar: güç kaynağı, voltmetre, kaset

FEDERAL EĞİTİM AJANSI Yüksek mesleki eğitimin devlet bütçeli eğitim kurumu "Pasifik Devlet Üniversitesi" KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ Metodik

Federal Demiryolu Taşımacılığı Ajansı Ural Devlet Demiryolları Üniversitesi Pirogova'daki "Yüksek Matematik" Bölümü Örnekler ve problemlerde analitik geometri Yekaterinburg

YAPI MEKANİĞİ Bölüm Habarovsk 2003 Rusya Federasyonu Genel Eğitim Bakanlığı Habarovsk Devlet Teknik Üniversitesi YAPI MEKANİĞİ Bölüm Metodolojik yönergeler

UDC 5-7: 6697 VN Tkachenko Teknik Bilimler Doktoru AA Ivanova Mühendisi Ukrayna Ulusal Bilimler Akademisi Uygulamalı Matematik ve Mekanik Enstitüsü Uaina Uaina 83 Donetsk caddesi R Lüksemburg 7 tel 6336 E-ail: [e-posta korumalı] Modelleme ve analiz

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu "Sibirya Devlet Sanayi Üniversitesi"

Bilim ve teknolojinin modern sorunları 55 Özetle, önerilen yöntemlerin kullanımının, kendi kendine uyarlama olanlar da dahil olmak üzere ceza işlevleri yönteminin kullanımından daha etkili olduğunu not ediyoruz. ayırma kullanma

TABLO TASARIMI Tablolar, göstergelerin (parametrelerin) daha iyi anlaşılması ve karşılaştırma kolaylığı için kullanılır. Tablonun başlığı (başlığı) içeriğini yansıtmalı, açık ve kısa olmalıdır. içeren tablolar

Bölüm 7. Sonlu elemanlar yöntemi (FEM).

7.1. GÖREV. Elemanın düğümlerine etki eden kuvvetleri hesaplayın (Şekil 7.1).

Pirinç. 7.1. Pivot destekli kiriş C
p - dağıtılmış yanal yük, E1- kirişin elastisite modülü, 1- kirişin sabit kesiti, L- kirişin uzunluğu, x ben, y ben- kirişin düğüm noktalarının koordinatları, u ben, v ben- kirişin düğüm noktalarının yer değiştirmesi, U ben, V ben- kirişin hareketi, içinde- kirişin düğüm noktaları

Mühendislik yapıları, sonlu sayıda düğüm noktasında birbirine bağlanan bir dizi yapısal eleman olarak görülebilir. Her bir eleman için kuvvetler ve yer değiştirmeler arasındaki ilişkiler biliniyorsa, o zaman yapının özelliklerini tanımlamak ve bir bütün olarak yapının davranışını araştırmak mümkündür.

İncirde. Şekil 7.2, 1'den n'ye kadar numaralandırılmış noktalarda birbirine bağlanan ayrı parçalardan oluşan iki boyutlu bir yapıyı göstermektedir. Düğümlerdeki eklemlerin menteşeli olduğu varsayılır.

Pirinç. 7.2. Bireysel elemanlardan oluşan tipik yapı
İlk olarak, her bir elemanın özelliklerinin hesaplama sonucunda veya deneysel verilere dayanarak güvenilir bir şekilde bilindiğini varsayalım. 1 - 3 eleman düğümlerinde ortaya çıkan kuvvetler a, bu düğümlerin yer değiştirmeleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir, elemana etki eden yayılı yük P ve ilk deformasyonu. İlk deformasyon, termal etkiler, büzülme veya montaj kusurlarından kaynaklanabilir. Kuvvetler ve bunlara karşılık gelen yer değiştirmeler, bileşenler tarafından belirlenir. U, V ve sen, v herhangi bir koordinat sisteminde

Hepsine etki eden kuvvetleri yazarak (düşünülen durum için üçte, a öğesinin düğümlerini bir matris şeklinde), elde ederiz.

ve düğümlerin karşılık gelen yer değiştirmeleri için

elemanın esnek olduğunu varsayarsak, temel ilişkiler her zaman şu şekilde yazılabilir:

Eleman üzerine etki eden yayılı yükleri dengeleyen kuvvetler nerede, örneğin düğümleri hareket ettirmeden sıcaklık değiştiğinde ortaya çıkabilecek ilk deformasyonlardan dolayı düğümlerdeki kuvvetlerdir. Bu formüldeki ilk terim, düğümlerin yer değiştirmelerinin neden olduğu kuvvetleri temsil eder.

Bir ön hesaplama veya deney, düğüm yer değiştirmeleri yoluyla herhangi bir noktadaki gerilimleri açık bir şekilde belirlemeyi mümkün kılar. Bu gerilmeleri bir matris şeklinde yazarak, şu şekildeki ilişkiyi elde ederiz.

Son iki terimin, yayılı yüklerden kaynaklanan gerilimler ve düğüm yer değiştirmelerinin yokluğunda ilk gerilimler olduğu durumlarda.

Matris [k] bir elemanın sertlik matrisi olarak adlandırılır ve [S] bir- eleman voltaj matrisi.

(7.1) ve (7.2) bağıntıları, her birinde kuvvetin sadece iki bileşeninin hareket ettiği üç düğümü olan bir eleman örneği ile gösterilmiştir. Daha genel bir durumda tüm muhakeme ve tanımların geçerli olduğu açıktır. Bu durumda b elemanı komşu olanlarla sadece iki noktada bağlantılıdır, ancak diğer elemanların bu tür noktaları daha fazla olabilir. Öte yandan, elemanların bağlantıları rijit olarak kabul edilirse, genelleştirilmiş kuvvet ve genelleştirilmiş yer değiştirmenin üç bileşenini dikkate almalı ve dönme momenti ve dönme açısı üçüncü bileşenler olarak alınmalıdır, sırasıyla. 3B yapıda katı bir bağlantı için alt montajdaki bileşenlerin sayısı altıdır. Böylece, genel durumda

nerede ben ve ben aynı sayıda bileşene veya serbestlik derecesine sahiptir.

Bir elemanın rijitlik matrislerinin her zaman formun karesi olacağı açıktır.

nerede k ii vesaire. - ayrıca boyutun kare alt matrisleri lxl, a ben- incelenen düğümlerdeki kuvvet bileşenlerinin sayısı.

Örnek olarak, eksenel olarak desteklenen sabit kesitli bir C kirişinin iki boyutlu problemini ele alalım. A elastisite modülü ile E(şekil 7.1). Kiriş, düzgün dağılmış bir yanal yük ile yüklenir P ve düzgün termal deformasyona tabidir

r 0 = aT

Kirişin uçlarının koordinatları varsa x ben, ben ve x n, y n o zaman uzunluğu şu şekilde hesaplanabilir

Ve yatay eksene olan eğim açısı

Her düğüm noktasında, kuvvet ve yer değiştirmenin yalnızca iki bileşeninin dikkate alınması gerekir.

Açıkça, enine yükten kaynaklanan düğüm kuvvetleri bir matris şeklinde yazılır.

Bu matrisin elemanları, kiriş desteklerinin reaksiyonlarının karşılık gelen bileşenlerine eşittir, yani pL / 2... Termal genleşmeyi telafi etmek için 0 eksenel kuvvet uygulamanız gerekir yemek kimin bileşenleri

Son olarak, elemanın bağlantı noktalarını hareket ettirmek

uzamasına neden (u n -u i) cosa + (v n -v i) sina... Uzama ile çarpılır EA / L, bileşenleri bir önceki ifade yerine bu kuvvetin büyüklüğü yerine getirilerek bulunabilen bir eksenel kuvvet verecektir. standart form

Böylece, en basit durum için temel denklemin (7.1) tüm terimleri belirlenir. (7.2) formunda yazmak kolaydır ve elemanın herhangi bir kesitindeki gerilmeler. Örneğin, kendimizi bir C kirişinin orta kesitini dikkate almakla sınırlandırırsak, bir elemanın eksenel gerilmesi ve eğilmesi sonucu ortaya çıkan gerilmeler şu şekilde yazılabilir:

Nereye NS- bölümün yüksekliğinin yarısı ve ben- eylemsizlik momenti. Bu ifade, formül (7.2)'nin tüm terimlerini içerir.

Daha karmaşık öğeler, daha karmaşık hesaplama teknikleri gerektirir, ancak sonuçlar yine de aynı şekle sahiptir.

Malzemenin elastik davranışına sahip düz bir üçgen eleman için yer değiştirme yöntemini kullanarak FEM problemini çözmek için tipik bir prosedür aşağıdaki aşamalarla temsil edilebilir:

1) Hesaplama alanı, hayali çizgilerle, örneğin üçgenler gibi basit bir şeklin sonlu elemanlarına (FE) bölünür.

2) FE ve düğümler numaralandırılır, FE düğüm noktalarında birbirine bağlanır, düğümlerdeki bilinmeyenler ve düğümlerin serbestlik dereceleri belirlenir; düğümlerin yer değiştirmeleri bilinmeyenler olarak seçilir.

3) Her bir FE'deki, düğüm yer değiştirmeleriyle ifade edilen yaklaşık yer değiştirmelere yaklaşan fonksiyonlar (doğrusal polinomlar) seçilir.

FE inceleniyor eüç düğüme sahip olmak ben, j, m... İncirde. 7.4, düğümleri olan tipik bir üçgen elemanı gösterir ben, j, m, saat yönünün tersine numaralandırılmıştır. Her düğümün yer değiştirmelerinin iki bileşeni vardır.

Ve elemanın yer değiştirmelerinin altı bileşeni bir vektör oluşturur

Eleman içindeki hareketler, bu altı değer tarafından açık bir şekilde belirlenmelidir.

Pirinç. 7.4. Düzlem gerilmeli veya düzlem gerilmeli durumu hesaplamak için sürekli bir ortamın elemanı
En basit temsil lineer polinomlardır.

Altı sabitin değerleri bir ben Düğüm koordinatlarının (7.3) 'de ikame edilmesi ve yer değiştirme değerlerinin düğüm noktalarının karşılık gelen yer değiştirmelerine eşitlenmesi sonucu elde edilen üç denklemden oluşan iki sistemden bulmak kolaydır. Örneğin yazarak,

ifade etmek 1, 2, 3 düğüm yer değiştirmelerinin değerleri aracılığıyla u ben, u j, u m ve sonunda

katsayıların geri kalanı, endekslerin döngüsel permütasyonu ile elde edilir ben, j, m, ve miktar ilişki tarafından belirlenir

Benzer şekilde, hareketi temsil edebilirsiniz. v dikey olarak

Standart formdaki (7.5a) ve (7.6) bağıntıları, elemanın içindeki herhangi bir noktanın yer değiştirmesini belirler.

Nereye ben- 2x2 boyutlu birim matrisi, - form işlevleri olarak adlandırılan koordinat işlevleri

4) Deformasyonlar ve gerilimler düğüm yer değiştirmeleri ile de ifade edilir.

Eleman içindeki herhangi bir noktada toplam deformasyon, iç çalışmaya katkıda bulunan üç bileşen ile karakterize edilebilir:

(7.7) veya (7.5a) ve (7.6) eşitliklerini kullanarak,

hangi açıkça matrisi tanımlar [B].

Matris [B] eleman içindeki bir noktanın koordinatlarına bağlı değildir ve bu nedenle içindeki deformasyonlar sabittir.

elastikiyet matrisi [NS] söz konusu durumda forma sahip olan ilişkide

herhangi bir materyal için açıkça yazılabilir (ekleme terimi (7.11) ilişkisine dahil edilmez). - Gerilmelerden bağımsız olarak ilk deformasyonlar çeşitli nedenlerle ortaya çıkabilir. Genel durumda, ilk deformasyonlar vektör ile karakterize edilir.

İzotropik bir malzemede düzlem gerilme durumu.İzotropik bir malzemenin düzlem gerilmeli durumu için tanım gereği

Bu ilişkilerin gerilmelere göre çözülmesiyle matris elde edilir. [NS] olarak

nerede E- elastikiyet modülü, a v- Poisson oranı. İzotropik bir malzemede düzlemsel deformasyon durumu. Bu durumda, üç gerilme bileşenine ek olarak, normal bir gerilme vardır. Q z... İzotropik termal genleşmenin özel durumu için

ve ek olarak,

Hariç Q z, diğer üç voltaj bileşenini belirleyin. İlk deformasyonun sıfır olduğunu varsayarak ve bunu (7.10) bağıntısıyla karşılaştırarak, matrisi elde ederiz. [NS] olarak

5) Sınır gerilmelerine ve elemana etkiyen yayılı yüklere statik olarak eşdeğer olan kuvvetler sistemi belirlenir. Kuvvetlerin her biri, karşılık gelen düğüm yer değiştirmeleriyle aynı sayıda bileşene sahip olmalı ve karşılık gelen yönde hareket etmelidir. en basit yol Düğüm kuvvetlerini, etki eden sınır gerilmelerine ve dağıtılmış yüklere statik olarak eşdeğer yapmak, keyfi (sanal) bir düğüm yer değiştirmesini ayarlamaktan ve dış ve iç çalışma bu hareket üzerinde çeşitli kuvvetler ve stresler tarafından gerçekleştirilir.

FE e için, çabaların sütun vektörü şu şekildedir:

Bu FE'nin düğümlerinin yer değiştirmelerinin sütun vektörü nerede, endeksler r ve Ö sırasıyla dağıtılmış ve ilk yüklere bakın, FE sertlik matrisidir

Eleman sertlik matrisi ijm genel bağıntı kullanılarak belirlenir

Nereye T elemanın kalınlığıdır ve entegrasyon üçgenin alanı üzerinden gerçekleştirilir. Elemanın kalınlığının sabit olduğunu varsayarsak, ki bu gerçeğe ne kadar yakınsa, elemanın boyutları o kadar küçük olur, o zaman matrislerin hiçbiri matrisi içermez. x veya y, basit bir ifadeye sahip

Üçgenin alanı nerede [ilişki (7.5c) tarafından tanıtıldı]. Bu yazı biçimi, bir bilgisayar kullanarak matrisi hesaplamanıza olanak tanır. matris [B] bağıntı ile tanımlanan (7.9) şeklinde yazılabilir

Bir elemanın rijitlik matrisi şu şekilde yazılabilir:

2x2 alt matrislerin aşağıdaki gibi oluşturulduğu yer:

6) FE topluluğu derlenir ve global sertlik matrisi oluşturulur [K] tüm tasarım şeması

7) Derlenmiş

Ve lineer cebirsel denklemler sistemi çözüldü

İlk deformasyon ve gerilmelerden kaynaklanan düğüm kuvvetlerini sıfır olarak kabul ediyoruz.

Düzlemdeki birim alanın her bir elemanı için bir düzlemin gerilmiş veya deforme olmuş halinin genel durumunda x, y dağıtılmış hacimsel kuvvetler hareketi

İlgili eksenlerin yönlerinde.

Bu kuvvetlerin düğüm kuvvetlerine katkısı ifade ile belirlenir.

veya temel alınarak (7.7)

X ve Y hacimsel kuvvetlerinin sabit olması şartıyla. Çünkü ben sabit değil, entegrasyon yapılmalıdır.

Orijin olarak elemanın ağırlık merkezi seçilirse hesaplamalar basitleştirilir. Bu durumda

(7.8) kullanarak,

veya

Her eleman için

Bu, x ve y yönlerinde hareket eden tüm vücut kuvvetlerinin üç düğüm arasında eşit olarak dağıldığı anlamına gelir.

8) Bulunan değerlere göre her elemandaki yer değiştirmeler deformasyon probleminin formülasyonuna uygun olarak belirlenir ve daha sonra gerilmeler.

Aşağıda, iki FE'lik bir plakayı germe test problemi için düşünülen çözüm prosedürü Mathcad matematiksel paketinde uygulanmaktadır. Düğüm yükleri, düğümdeki FE sayısıyla orantılı olarak tüm düğümlere dağıtılır.

AV Ignatiev, N.A. Mihaylova, T.V. Ereshchenko SONLU ELEMENT YÖNTEMİ VE MATHCAD ORTAMINDA UYGULAMASI "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" disiplini üzerine laboratuvar çalıştayı Volgograd 2010 Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Volgograd Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi Uygulamalı Matematik Bölümü ve Bilgisayar Bilimleri AV Ignatiev, N.A. Mihaylova, T.V. Ereschenko SONLU ELEMENT YÖNTEMİ VE MATHCAD ORTAMINDA UYGULAMASI "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" disiplini üzerine laboratuvar çalıştayı Volgograd 2010 UDC 624.04: 004.92 (076.5) LBC 38.112я73 + 32.973-018 e.2ya ts ens 266 e t s: Teknik Bilimler Adayı M.M. Stepanov, Uygulamalı Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Profesörü, VolgGASU; Teknik Bilimler Doktoru N.G. Bandurin, VolgGASU, Yapısal Mekaniği Bölümü Profesörü. I 266 Sonlu elemanlar yöntemi ve Mathcad ortamında uygulanması: "Matematiksel fiziğin denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" disiplininde laboratuvar uygulaması / A.V. Ignatiev, N.A. Mihaylova, T.V. Ereşçenko; Volgogr. durum Mimar. un-t. Volgograd: VolgGASU, 2010.31 s. ISBN 978-5-98276-372-3 Kısa içerik içerir teorik bilgi "Matematiksel fizik denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" disiplini üzerinde laboratuvar çalışması yapmak, bireysel görevler için seçenekler, laboratuvar ödev örnekleri ve ayrıca çalışılan konuyla ilgili formüle edilmiş kontrol soruları yapmak için gerekli. AD, SM ve V&V tam zamanlı eğitim uzmanlığı için. UDC 624.04: 004.92 (076.5) BBK 38.112я73 + 32.973-018.2я73 ISBN 978-5-98276-372-3 Devlet yüksek mesleki eğitim kurumu "Volgograd Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi", 2010 2 Laboratuvar çalışması. SONLU ELEMENT YÖNTEMİ VE MATHCAD SİSTEMİNDE UYGULAMASI Çalışmanın amacı: Sonlu elemanlar yöntemini incelemek ve Mathcad sisteminde uygulayabilme becerisini kazandırmak. FEM'in temel kavramları ve kavramı Yöntemin temel fikri Yöntemin temel fikri, hesaplanan yapıyı, ayrı noktalarda birbirine bağlı basit bir formun bir dizi öğesi olarak temsil etmektir. Aslında, sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sürekli bir ortamın yerini, sınırlı sayıda serbestlik derecesine sahip bir dizi alt alan alır. Bu yaklaşımla, her bir sonlu eleman (FE) içinde aranan sürekli nicelikler (yer değiştirmeler, gerilmeler, deformasyonlar vb.), bu niceliklerin düğüm değerleri aracılığıyla yaklaşık fonksiyonlar kullanılarak ifade edilir. Dağıtılmış dış yükler, eşdeğer düğüm kuvvetleri ile değiştirilir. Matematiksel olarak, sorun, söz konusu yapıyı tanımlayan diferansiyel denklemleri veya enerji fonksiyonelini, çözümü aranan düğüm bilinmeyenlerinin değerlerini veren bir cebirsel denklem sistemine indirgemektir. Sonlu elemanlar yöntemi, bina, makine yapımı, uçak yapılarının mukavemet, stabilite ve titreşimlerinin hesaplanması pratiğinde çok yaygındır. FEM, geniş bir çubuk sistemleri sınıfını (kafesler, çerçeveler vb.), ince duvarlı mekansal yapıları (zemin levhaları, kaplama kabukları vb.), masif üç boyutlu gövdeleri ve ayrıca aşağıdakilerden oluşan birleşik sistemleri başarıyla analiz etmek için kullanılabilir. tek boyutlu, 2B ve 3B öğelerden oluşur. FEM, geniş bir uygulanabilirlik yelpazesi, yapının geometrisine ve malzemelerin fiziksel özelliklerine göre değişmezlik, yapıların çevre ile etkileşimini (mekanik, termal, aşındırıcı etkiler, sınır koşulları) dikkate almanın göreceli kolaylığı ile ayırt edilir. , vb.), tüm hesaplama aşamalarının otomasyonuna yüksek derecede uyarlanabilirlik ... Yöntem basit bir fiziksel yoruma sahiptir ve yapı mekaniğinde yaygın olarak kullanılan yer değiştirme yöntemiyle yakından ilişkilidir. 3 Sonlu elemanlar yaklaşımı temelinde çok sayıda güçlü yazılım sistemi geliştirilmiştir. Bunlar arasında ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS/M, MSC/NASTRAN, LIRA, SCAD, STARK, STADIO bulunmaktadır. Çoğunun sonlu elemanlardan oluşan kapsamlı bir kütüphanesi vardır ve fiziksel ve geometrik doğrusal olmayanları, malzeme ortotropisini, sıcaklık yüklerini vb. hesaba katarak mukavemet, stabilite ve titreşimler için hesaplamalar yapmayı mümkün kılar. Yukarıdaki liste yazılım ürünleri FEM'in uygulanması tam olmaktan uzaktır ve yalnızca bu alandaki mevcut durumu yansıtır. Kuşkusuz, FEM diğer yaklaşımlara göre önemli avantajlara sahiptir ve büyük ölçüde evrenseldir. Aynı zamanda, tasarımda sayısal araştırma araçlarının geliştirilmesindeki birçok aşamadan biri olarak düşünülmelidir. FEM algoritmasının genel şeması Sonlu elemanlar yöntemi aşağıdaki ana aşamaları sağlar: 1. İdealleştirme fiziksel sistem... İdealleştirme, ilk fiziksel sistemden matematiksel bir modele geçiş süreci olarak anlaşılır. Bu süreç, bir teknik veya mühendislik probleminin çözümünde en önemli adımdır. Bu süreçteki kilit nokta, bir sistemin davranışını modellemek ve tahmin etmek için oluşturulmuş sembolik bir cihaz olarak tanımlanabilecek bir model kavramıdır. Matematiksel modelleme veya idealleştirme, bir mühendisin gerçek bir fiziksel sistemden sistemin matematiksel bir modeline geçtiği süreçtir. Bu süreç Matematiksel modelin fiziksel gerçeklikten soyutlanması gerektiğinden idealizasyon denir. Gerçek bir fiziksel sistem örneği olarak, enine kuvvetlerle yüklü düz bir plaka biçimindeki bir mühendislik yapısını düşünün. Bir mühendisin bir plakadaki gerilmeleri analiz etmek için kullanabileceği bu sistemin matematiksel modelleri aşağıdaki gibi olabilir: 1) membran bükülmesi teorisine dayanan çok ince bir plaka modeli; 4 2) klasik Kirchhoff teorisine dayalı bir ince levha modeli; 3) örneğin Mindlin-Reissner teorisine dayanan, yeterince kalın bir levha modeli; 4) üç boyutlu elastikiyet teorisine dayanan çok kalın bir levha modeli. Açıktır ki mühendis, araştırmak istediği sistemin (yapının) uygun matematiksel modelini doğru seçebilmek için yeterli teorik bilgiye sahip olmalıdır. 2. Dikkate alınan alanın ayrıklaştırılması. Hesaplanan yapı, hayali noktalar, çizgiler veya yüzeylerle sonlu boyutlu elemanlara (sonlu elemanlar) bölünür. Elemanların sınırları üzerinde bulunan düğüm noktalarında birbirine bağlı olduğu varsayılır. Yapı mekaniğinin bazı problemlerinde düğüm yer değiştirmelerine ek olarak kısmi türevleri de bilinmeyen bilinmeyenler olarak alınır. 3. İnterpolasyon fonksiyonlarının oluşturulması. Düğüm noktalarının yer değiştirmeleri yoluyla her sonlu eleman içindeki yer değiştirmeleri benzersiz bir şekilde belirleyen bir işlevler sistemi (çoğunlukla parçalı-polinom) seçilir. Ara değerleme fonksiyonları, eleman sınırları boyunca aranan niceliklerin (yer değiştirmeler ve türevleri) sürekliliğini sağlayacak şekilde seçilir. 4. Temel geometrik ve fiziksel ilişkilerin türetilmesi. Seçilen enterpolasyon fonksiyonları sistemine dayanarak, deformasyonlar ve yer değiştirmeler (geometrik ilişkiler) ve ayrıca gerilimler ve deformasyonlar (fiziksel ilişkiler) arasındaki ilişkiler türetilir. 5. Sonlu elemanlar rijitlik matrisinin inşası. Lagrange ilkesini kullanarak, sonlu bir elemanın rijitlik matrisi, elde edilen geometrik ve fiziksel ilişkiler temelinde oluşturulur. 6. Sonlu elemanlar yönteminin bir denklem sisteminin elde edilmesi. Her bir bireysel sonlu eleman sertlik matrisi, bir eleman-eleman döngüsünde global sertlik matrisine dahil edilir. Böylece, tüm yapı (denge denklemleri) için, Kz = P, 5 biçiminde bir cebirsel denklem sistemi oluşturulur; burada K, sonlu elemanlar sisteminin (topluluğunun) sertlik matrisidir; z, bilinmeyen düğüm yer değiştirmelerinin vektörüdür; Р - düğüm yüklerinin vektörü. Yukarıda denklem sistemi için yazılan K katılık matrisinde sınır koşullarının dikkate alınması gerekir, aksi takdirde bu matris dejenere olacaktır. 7. Bir cebirsel denklem sisteminin çözümü. Bir lineer cebirsel denklem sistemini (SLAE) çözmek için hem tam hem de (sistemin yüksek mertebesinden) yinelemeli yöntemler kullanılır. Bunların temelinde oluşturulan verimli sayısal prosedürler, sistemin rijitlik matrisinin simetrisini ve bant yapısını hesaba katar. 8. Deformasyon ve gerilmelerin belirlenmesi. Geometrik ve fiziksel ilişkilere dayalı olarak bulunan düğüm yer değiştirmeleri kullanılarak yapıdaki deformasyonlar, gerilmeler ve kuvvetler belirlenir. Bu adımlardan bazılarına daha ayrıntılı olarak bakalım. Ele alınan alanın ayrıklaştırılması Bir yapının sonlu elemanlara bölünmesi, FEM ile bir problem çözme prosedüründe çok önemli bir adımdır, çünkü elde edilen çözümün doğruluğu büyük ölçüde buna bağlıdır. Bu aşamadaki başarı, her şeyden önce mevcut mühendislik becerileri ile sağlanır. Bir alanı sonlu elemanlara düzgün bir şekilde bölmemek hatalı sonuçlara yol açabilir. FE ağı atanırken, yapının alt alanlara en uygun şekilde bölünmesi sorunu ortaya çıkar. Elemanların boyutlarının, çözümün kabul edilebilir doğruluğunu sağlamak için yeterince küçük olması gerektiği akılda tutulmalıdır; Öte yandan, yoğun bir ızgara kullanımı, çözümü ile ilişkili olan büyük cebirsel denklem sistemlerine yol açar. önemli miktarda hesaplama çalışması. Bölgeyi sonlu elemanlara bölme işleminde, aranan değerlerin bulunduğu stres konsantrasyon bölgelerinde sonlu elemanların boyutunu azaltmak için hesaplamanın nihai sonuçları hakkında bazı genel fikirleri dikkate almak gerekir. hızla değiştirmek ve gerekli değerlerin yavaş değiştiği yerlerde FE boyutlarını arttırmaktır. FEM problemini çözme sürecinde önemli bir nokta, ızgara düğümlerinin numaralandırılmasıdır, çünkü denklem çözme matrisinin bandının (6) genişliği buna sırasıyla sayma süresi ve kullanılan bilgisayar belleği miktarına bağlıdır. Halihazırda, yapının sonlu elemanlara otomatik olarak ayrılması ve düğümlerin rasyonel numaralandırılması için hizmet programları geliştirilmiştir. FEM enterpolasyon fonksiyonlarının yapısı, yaklaşıklığa dayanmaktadır. sürekli fonksiyon tüm alan üzerinde tanımlanmış, ayrık model alt alanlarda (sonlu elemanlar) tanımlanan parçalı sürekli fonksiyonları kullanarak. Sonlu elemanın keyfi bir noktasının koordinatlarının fonksiyonu olan yer değiştirmeleri, enterpolasyon fonksiyonunu (şekil fonksiyonu veya temel fonksiyon) kullanarak düğüm yer değiştirme vektörünün bileşenleri aracılığıyla yazalım: u = Nz, (1) burada N = [N1 N 2 ... N s] şekil fonksiyonunun matrisidir; z = (z1 z2… zs) sonlu elemanın (FE) düğüm yer değiştirmelerinin vektörüdür; s, FE serbestlik derecesi sayısıdır. Fonksiyonlar (1) eksiksizlik ve uyumluluk kriterlerini karşılamalıdır. Onları düşünelim. 1. Bütünlük kriteri. Enterpolasyon işlevi, elemanın boyutunu küçültürken, dikkate alınan miktarların sabit değerlerini sağlamalıdır. Bu koşulu yerine getirmek için, enterpolasyon fonksiyonu, en az p derecesine sahip tam bir polinom olmalıdır; burada p, fonksiyona dahil edilen türevin en yüksek mertebesidir. T s ∑ Ni = 1 olduğunda tamlık koşulu sağlanır. i = 1 2. Uyumluluk kriteri. Enterpolasyon fonksiyonu, elemanlar arasındaki sınırda (n - 1) inci mertebeye kadar (burada n, enerji fonksiyonelinin integralindeki türevin maksimum mertebesidir) türevleriyle birlikte sürekli olmalıdır. Tamlık ve uyumluluk kriterleri, sonlu elemanlar yönteminin yakınsaması için yeterli koşullardır. Sonlu elemanın boyutu küçültülerek gerçekleştirildiğinde, FEM'in yaklaşık 7 çözümü monoton olarak tam çözüme yakınsar. Yukarıdakiler, bu kriterlerin ihlal edilmesinin güvenilir bir çözüm elde etmenin imkansızlığına yol açtığı anlamına gelmez. Yüksek doğruluk ve hızlı yakınsama sağlayan uyumsuz ve hatta eksik öğeler vardır. Temel geometrik ve fiziksel ilişkilerin türetilmesi B Genel görünüm deformasyonlar ve yer değiştirmeler arasındaki ilişki (geometrik ilişkiler) aşağıdaki gibi yazılır: ε = Bz, (2) burada ε deformasyon vektörüdür; z, düğüm yer değiştirmelerinin vektörüdür; B, düğüm yer değiştirmelerinin vektörünü deformasyon tensörünün bileşenlerini içeren vektörle birleştiren matristir. Böylece, deformasyonlar ve düğüm yer değiştirmeleri arasındaki ilişkinin (2) lineer olduğu varsayılır. Doğrusal bağımlılık, deformasyonlar ve dönme açıları birliğe kıyasla küçük olduğunda ve dönme açılarının kareleri, deformasyonun karşılık gelen bileşenlerine kıyasla küçük olduğunda yapının bu tür çalışma koşullarına karşılık gelir. Gerilimler ve gerinimler arasındaki ilişkiyi belirleyen fiziksel ilişkiler σ = Dε, (3) biçimindedir; burada σ, gerilim tensörünün bileşenlerini içeren bir vektördür; D - esneklik matrisi. Durum denklemleri (3), σ - ε grafiğinin belirli bir bölümünde belirli bir malzeme sınıfı için geçerli olan, gerilimler ve gerinimler arasında doğrudan orantılı bir ilişki kuran genelleştirilmiş Hooke yasasını temsil eder. Sonlu elemanlar rijitlik matrisinin oluşturulması Yapısal analiz problemlerinin çözümü iki ana yaklaşıma dayanmaktadır. İlk durumda, diferansiyel denklemler verilen sınır koşulları ile çözülür. İkinci durumda, sistemin toplam potansiyel enerjisini temsil eden ve gerilimlerin ve uygulanan harici yükün işi ile ilgili integral miktarın durağanlık durumu yazılır. FEM içindeki yapısal analiz için ikinci yaklaşım kullanılır. Bilindiği gibi, bir elastik sistemin toplam potansiyel enerjisi, 8 Π (z) = W (z) - A (z) formülü ile belirlenir, burada W, deformasyonun potansiyel enerjisidir; A, dış kuvvetlerin potansiyelidir. Elastik bir sistemin potansiyel deformasyon enerjisi, W = 1 T ∫ ε σ dV, 2V oranı ile belirlenir; burada V, vücut tarafından işgal edilen hacimdir ve dış yayılı yüklerin potansiyeli, A = ∫ uT p formülü ile belirlenir. dS, S burada p harici dağıtılmış yüklerin vektörüdür; S, yükün uygulandığı alandır. Bu durumda, potansiyel enerji formülüne dahil edilen deformasyonlar ve gerilmeler, düğüm yer değiştirmeleri ile ifade edilir. FEM denklemlerini yer değiştirmelerde elde etmek, mekaniğin temel enerji ilkelerinden birine dayanır - dengedeki bir sistem için toplam potansiyel enerjinin durağan bir değer aldığı Lagrange ilkesi. Bu koşul ∂Π = 0 şeklinde yazılır. ∂z V bölgesinin tamamı için toplam potansiyel enerjinin değerinin tek tek sonlu elemanların enerjilerinin toplamına eşit olduğunu varsayıyoruz: m () m (() ( )) Π (z) = ∑ Π z = ∑ W izi - Ai zi, i = 1 iii = 1 (4) burada m sonlu elemanların sayısıdır. O zaman ∂Π m ⎛ ∂W i (z) ∂Ai (z) ⎞ = ∑⎜ - ⎟ = 0. ∂zi = 1 ⎝ ∂z ∂z ⎠ (5) i indeksini atlayarak ayrı bir sonlu eleman düşünün: 9 1 T 1 T (Bz) T DBz dV - ∫ (Nz) T p dS = ε σ dV - yukarı dS = ∫ ∫ ∫ 2V 2V SS 1 1 = zT (∫ BT DBz dV) z - zT ∫ NT p dS = zT Kz - zT P, (6) 2 2 S Π (z) = burada K = ∫ BT DB dV sonlu elemanın sertlik matrisidir ve (7) VTP = ∫ N p dS düğüm yüklerinin vektörüdür. (8) S Sonlu elemanlar yönteminin bir denklem sisteminin elde edilmesi Toplama işlemini gerçekleştirmek için, tek bir sonlu eleman için düğüm noktası yer değiştirmeleri z (i) ve düğüm yükü P (i) vektörlerini karşılık gelen vektörlere dönüştürmek gerekir. tüm sistem için z ve P, bu, eleman olarak yalnızca sıfırlar ve birler içeren bazı Boole matrisi H (i) kullanılarak yapılabilir: z (i) = H (i) z; P (i) = H (i) P. (9) Sonlu bir elemanın (6) toplam potansiyel enerjisi ifadesinde (9) formüllerinin değiştirilmesi: () () T 1 (i) T (i) (i) H z KH z - H (i) z H (i) P = 2 TT 1 = zT H (i) K (i) H (i) z - zT H (i) H (i) P. 2 Daha sonra formül (5)'e göre z'ye göre türev, denklem sistemine yol açar: Π (i) = m ∑ i = 1 (TT) H (i) K (i) H (i) z - H (i) H (i) P = 0, (10) matris ilişkilerinin türev kuralının kullanıldığı yerde ∂ T z Kz = 2 Kz. ∂z Sistemi (10), () Kz = P, (11) 10 şeklinde yazılabilen, yer değiştirmelerdeki denge denklemleri olan sonlu elemanlar yönteminin lineer cebirsel denklemler sistemidir. Kural olarak, (11) sisteminin çözümü Gauss yöntemi veya iteratif yöntemlerle gerçekleştirilir. (i) T Formül (10)'da görünen tek bir elemanın H K (i) H (i) sertlik matrisi, boyutu global matrisin boyutuna eşit olan genişletilmiş bir matristir. Bu nedenle, FEM'in sayısal uygulaması için formül (10)'daki toplama prosedürünün kullanılması etkisizdir. Pratik hesaplamalarda global rijitlik matrisinin direkt yapımı gerçekleştirilir. Bu durumda, S × S boyutuna sahip olan formül (7) ile bireysel bir sonlu eleman için bir K matrisi oluşturulur. Daha sonra, bu matrisin satırlarına ve sütunlarına, küresel sertlik matrisindeki FE sertlik matrisinin katsayılarının yerini belirlemeyi mümkün kılan küresel serbestlik derecelerinin sayıları atanır. Daha sonra FE rijitlik matrisinin katsayıları, adresleri ile belirlenen yerde önceden sıfırlanmış global matrise girilir. Örneğin sistem, her biri bir bilinmeyene (bir serbestlik derecesi) sahip iki düğüm içeren iki FE'den oluşsun. Sistemdeki toplam düğüm sayısı 3'tür, global matrisin boyutu 3 × 3'tür, elemanlar 2. düğümde birbirine bağlıdır. 1. ve 2. FE'nin katılık matrisleri, karşılık gelen katsayıların numaralandırılması ve global matris, K (1) = 1 ⎡ k11 ⎢ 1 ⎣⎢ k21 1 ⎤ k12 ⎥; 1 k22 ⎦⎥ K (2) = 2 ⎡ k22 ⎢ 2 ⎢⎣ k32 1 1 ⎡ k11 k12 2 ⎤ ⎢ 1 k23 1 2 =; K ⎥ ⎢ k21 k22 + k22 2 k33 ⎥⎦ ⎢ 2 k32 ⎢⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 2 k23 ⎥. 2 ⎥ k33 ⎥⎦ Denklem sisteminin (11) K matrisinde, sınır koşullarını hesaba katmak gerekir, aksi takdirde dejenere olur, yani determinantı sıfıra eşit olur. Sınır koşulları üç farklı şekilde dikkate alınabilir 1. K matrisinden çıkarılır. k. satır ve k. sütun yer değiştirmeye karşılık gelen zk = 0. Bundan sonra, matris 11'in satırları ve sütunları yeniden numaralandırılır. Buna göre, düğüm yer değiştirmelerinin vektörünün boyutu azalır. 2. Sınır koşuluna karşılık gelen zk = 0 denklemi, K matrisinin bir parçası olarak oluşturulur. K matrisinde zk = 0 elde etmek için, k. satır ve k. sütunun yanı sıra dış yüklerin vektöründeki karşılık gelen eleman P, sıfırlarla doldurulur. K matrisindeki rrr köşegen elemanı bir ile değiştirilir. Sonuç olarak, matrisin sırası değişmez ve belirtilen yer değiştirmeler sıfır değerini alır. 3. zk = 0 elde etmek için rrr köşegen elemanı büyük bir sayı ile çarpılır. Bu durumda matrisin sırası değişmez. Deformasyonların ve gerilmelerin belirlenmesi Denklem sisteminin (11) çözülmesinin bir sonucu olarak, tüm yapının düğüm yer değiştirmelerinin vektörü belirlenir. Düğüm yer değiştirmelerinin bulunan değerleri temelinde, FE gerinim vektörü formül (2) ile belirlenir ve stres vektörü formül (3) ile belirlenir. İki boyutlu simpleks eleman Sonlu elemanların sınıflandırılması, polinomların sırasına göre yapılabilir - bu elemanların fonksiyonları. Bu durumda, üç eleman grubu dikkate alınır: 1) tek yönlü elemanlar; 2) karmaşık unsurlar; 3) multipleks elemanlar. Simpleks elemanlar birinci dereceden polinomlara karşılık gelir. Karmaşık elemanlar yüksek dereceli polinomlardır. Bir simpleks elemanında, düğüm sayısı uzayın +1 boyutuna eşittir. Karmaşık bir elemanda düğüm sayısı bu değerden fazladır. Multipleks elemanlar için daha yüksek dereceli polinomlar da kullanılır, ancak elemanların sınırları koordinat eksenlerine paralel olmalıdır. İki boyutlu bir simpleks eleman için bir rijitlik matrisinin oluşumunu düşünün. İki boyutlu bir simpleks elemanı, köşelerinde düğümler bulunan bir üçgendir (Şekil 1). 12 1. İki boyutlu tek yönlü eleman FE düğümleri, keyfi olarak seçilen bazı i-inci düğümden başlayarak saat yönünün tersine numaralandırılır. x ekseni boyunca i-th, j-th ve k-th düğümlerinin koordinatları, y ekseni boyunca - yi, y j, yk ile xi, x j, xk ile gösterilir. Her düğümün iki serbestlik derecesi vardır - x ekseni boyunca yer değiştirme u ve y ekseni boyunca yer değiştirme v. FE'nin keyfi bir noktasının x ve y eksenleri boyunca hareketini belirleyen enterpolasyon fonksiyonları u (x, y) = α 0 + α1 x + α 2 y; (12) v (x, y) = α3 + α 4 x + α5 y. α 0,…, α5 katsayıları sınır koşulları kullanılarak belirlenir: x = xi ve y = yi'de u = ui, v = vi; x = x j ve y = y j için u = u j, v = v j; x = xk ve y = yk için u = uk, v = vk. α 0, α1, α 2 katsayılarını tanımlayalım. Bunun için, fonksiyonun sınır koşullarını ve denklem sistemine götürecek olan ilk ifadede (12) yerine koyarız: ui = α 0 + α1 xi + α 2 yi; uj = α 0 + α1 x j + α 2 yj; uk = α 0 + α1 xk + α 2 yk. 13 ⎡1 xi ⎢ Veya ⎢1 x j ⎢1 x k ⎣ yi ⎤ ⎧α 0 ⎫ ⎧ ui ⎫ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y j ⎥ ⎨ α1 ⎬ = ⎨u j ⎬. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ yk ⎥⎦ ⎩α 2 ⎭ ⎩uk ⎭ (13) Sistemin (13) determinantı, üçgen bir elemanın iki katına çıkmış F alanına eşittir: 1 xi 1 xj yi y j = 2F. 1 xk yk (14) Ardından, Cramer kuralına göre, α0 = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 1 xi 1 xj yi yj 1 xk yk = ui uj xi xj yi yj uk xk yk 2F veya 1 ⎡ ui xj yk xkyj - uj (xi yk - xk yi) - İngiltere xi yj - xj yi ⎤. ⎣ ⎦ 2F α1 ve α 2 katsayıları benzer şekilde belirlenir. α0, α1, α 2 ifadelerini ilk formülde (12) değiştirdikten sonra 1 ⎡ u (x, y) = (ai + bi x + ciy) ui + aj + bj x + cjyuj + 2F ⎣ + elde ederiz. (ak + bk x + cky) uk ⎤⎦, (15) α0 = () (()) burada ai = xj yk - xkyj; bi = y j - yk; ci = xk - x j. (16) (15)'teki kalan katsayılar, formüllerin (16) endekslerin döngüsel permütasyonu ile elde edilir (indeks i, indeks j, indeks j - indeks k, indeks k - indeks i ile değiştirilir). Benzer şekilde: v (x, y) = 1 ⎡ (ai + bi x + c ben y) vi + bir j + bj x + c j y v j + 2F ⎣ + (ak + bk x + c k y) vk ⎤⎦. () 14 (17) Sonra matris formunda ⎡ Ni ⎧u ⎫ u = ⎨ ⎬ = Nz = ⎢ ⎩v ⎭ ⎢⎣ 0 0 Nj 0 Nk Ni 0 Nj 0 ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪⎪ uj ⎪⎪ ⎥ ⎨ ⎬, N k ⎥⎦ ⎪ vj ⎪ ⎪u ⎪ ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 1 1 aj + bj x + cjy; (ai + bi x + c ben y); N j = 2F 2F (18) 1 Nk = (ak + bk x + c k y). 2F Elastisite teorisinin düzlem problemi çerçevesinde deformasyonları ve yer değiştirmeleri birbirine bağlayan geometrik ilişkiler formüller (15), (17) kullanılarak aşağıdaki gibi yazılır: (burada Ni =) ∂u 1 ∂v 1 bi ui + bjuj + bk İngiltere; ε y = ci vi + c j v j + ck vk; = = ∂x 2 F ∂y 2 F ∂u ∂v 1 ci ui + cjuj + ck uk + bi vi + bjvj + bk vk γ xy = + = ∂y ∂x 2 F veya matris biçiminde: εx = () ((⎧ε ⎫ ⎡bi x ⎪ ⎪ 1 ⎢ ε = ⎨ εy ⎬ = ⎢0 ⎪ ⎪ 2F ⎢ γ γ xy ⎭ ⎣ci ⎡bi 1 ⎢ burada B = ⎢0 2F ⎢ ⎣ci)) 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck 0 bj 0 bk ci 0 cj 0 bi cj bj ck ⎧ ui ⎫ ⎪v ⎪ 0 ⎤⎪ ben ⎪ ⎥ ⎪⎪uj ⎪⎪ ck ⎥ ⎨ ⎬ = Bz, ⎥ ⎪vj ⎪ bk ⎦ ⎪ ⎪ u ⎪ k⎪ ⎩⎪ vk ⎭⎪ 0⎤ ⎥ ck ⎥ gradyan matrisidir. ⎥ bk ⎦ 15 (19) Sonlu eleman 2F'nin (19) ifadesindeki iki katına çıkan alanı, formül (14) ile hesaplanır. Elastisite teorisinin düzlem problemindeki gerilmeler ve gerinimler arasındaki ilişkiyi belirleyen fiziksel ilişkiler σ = Dε, ⎡ ⎤ ⎢ 1 ν1 0 ⎥ ⎥ E1 ⎢ şeklinde yazılır, burada D = 1 0 ν 1 ⎥ elastiktir. matris. 2 ⎢ 1 - ν1 ⎢ 1 - ν1 ⎥ ⎢0 0 ⎥ 2 ⎦ ⎣ (20) Düzlem deformasyon durumunda (ε z = 0), E1 = E ν formül (20)'de alınmalıdır; ν =, 1 1 - ν 1 - ν12 (21) ve genelleştirilmiş düzlem stres durumu için (σ z = 0) E1 = E; ν1 = ν. (22) Formüller (21) ve (22) elastik modülü E ve Poisson oranı ν olan izotropik bir malzemeye karşılık gelir. Sertlik özellikleri birbirine dik iki yönde farklı olduğunda, ortotropik bir malzeme için elastik matrisler oluşturmak zor değildir. B ve D matrisleri yalnızca sabitler içerdiğinden, formül (7)'deki bir elemanın sertlik matrisini belirleyen hacim integrali kolayca hesaplanır: K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV V (23) V veya K = BT DB tF. (24) (24) formülünde t, elemanın kalınlığıdır; F, elemanın alanıdır. Genellikle, sertlik matrisi (24) sayısal olarak belirlenir. Bunun için önce B ve D matrislerinin katsayılarının sayısal değerleri bulunur ve ardından (23) veya (24) ifadesine göre çarpma işlemi yapılır. LABORATUVAR ÇALIŞMASININ PERFORMANS ÖRNEĞİ Laboratuar çalışmasını yapmadan önce, FEM yönteminin ana aşamalarını bir kez daha hatırlayalım: 1. Elastik bir cisim elemanlara bölünür. Dörtyüzlüler veya paralel borular halinde katı gövde. Düzlem gövdesi - üçgenler ve dikdörtgenler halinde. 2. Her eleman için şekil fonksiyonu kullanılarak bir sertlik matrisi derlenir. Şekil işlevi, bilinmeyen bir yer değiştirme işlevine yaklaşmanın bir yoludur. 3. Elemanların sertlik matrisleri, tüm gövde için tek bir sertlik matrisinde birleştirilir. 4. Denklem sistemi çözülerek düğüm yer değiştirmeleri bulunur. 5. Elastisite teorisinin denklemleri kullanılarak cismin düğüm noktalarındaki deformasyonlar ve gerilmeler belirlenir. Verilen örnekte, elastisite teorisinin düzlem problemi çözülmüştür. İki kuvvetle (Şekil 2, c) yüklü bir halkanın iki simetri ekseni vardır, bu nedenle hesaplama doğruluğunu iyileştirmek için halkanın dörtte birini ele alacağız (Şekil 3). Simetri eksenlerinde, simetri eksenlerine dik yer değiştirmelerin sıfıra eşitlik sınır koşulları sağlanmalıdır. Halkanın dikkate alınan çeyreğini üçgen sonlu elemanlara böldük (bkz. Şekil 2, b). Üçgen eleman 6 serbestlik derecesine sahiptir (bağımsız düğüm yer değiştirmeleri). Bir elemandaki düğüm yer değiştirmelerinin numaralandırılması, üçgenin sol alt düğümünden başlar ve saat yönünün tersine devam eder. Yatay yer değiştirmeler tek, dikey yer değiştirmeler çifttir. Tüm gövdenin ve sonlu elemanların düğümlerinin numaralandırılması, yukarıdan aşağıya, soldan sağa sütunlardadır. Elemanların boyutları farklı olabilir (eleman ne kadar küçükse, hesaplamaların doğruluğu o kadar yüksek olur). Örneğimizde toplamda 66 düğüm ve 100 sonlu eleman bulunmaktadır. Hesaplanan düğümlerin konumu Şekil 2'de gösterilmektedir. 3, b. Düğümlerin koordinatlarının hesaplanması Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. Düğümlerin koordinatlarını girmek özenli bir iştir ve çok sayıda düğümle bu işi otomatikleştirmek daha iyidir. 17 a b c Şek. 2. Yükleme şeması ve üçgen sonlu eleman a b Şekil. 3. Tasarım şeması ve düğümlerin koordinatları Şek. Şekil 4, düğümlerin kutupsal koordinatlarının hesaplanmasını ve bunların dikdörtgen (Kartezyen) koordinatlara dönüşümünü gösterir. Burada r1 ve r2 halkanın dış ve iç yarıçaplarıdır; t halkanın kalınlığıdır; φ1 ve φ2 - açısal koordinatın ilk ve son değerleri; X0 ve Y0 - Kutbun kartezyen koordinatları (kutupsal koordinatların kökeni); nr ve nφ, bir sütundaki (yarıçap boyunca) ve bir satırdaki (vücudun dikkate alınan kısmının kapsama açısına göre) düğüm sayısıdır. Düğümlerin koordinatlarının hesaplanmasının sonuçları grafikte gösterilmiştir (Şekil 5). 18 4. Elemanların düğümlerinin koordinatlarının hesaplanması Şek. 5. Düğümler ızgarası 19 Endeks matrisini oluşturma görevi de özenli ve zahmetlidir. İncirde. Şekil 6, endeks matrisini oluşturmak için örnekte kullanılan programı göstermektedir. Ayrıca, sınır koşullarının ve düğüm sayısına bağlı olarak simetri eksenlerindeki yer değiştirmenin sıfıra eşit olduğu yer değiştirmelerin sayısının otomatik olarak hesaplanmasını sağlar. Düğümlerin koordinatlarının, indeks matrisinin ve sınır koşullarının hesaplanmasının otomasyonu, belirli bir şemanın düğüm sayısını değiştirmesine izin verir (Şekil 7). Pirinç. 6. İndeks matrisini hesaplama programı 20 Şek. 7. İndeks matrisi, düğüm koordinatları, sayılar ve belirtilen yer değiştirmeler Düğüm koordinatları, indeks matrisi ve sınır koşulları yazılabilir. ayrı dosyalar Şekilde gösterildiği gibi. 8. Bu dosyalar daha sonra READPRN işlevi kullanılarak okunabilir ve başka bir belgede kullanılabilir. 21 8. Dış dosyalara koordinat, indeks matrisi ve sınır koşullarının yazılması Bu hesaplama boyutlar dikkate alınarak yapılmıştır (Şekil 4). Boyutları hesaba katmak, özellikle boyutsal büyüklüklerin matrislerini girerken, oldukça karmaşık bir hesaplamada ek zorluklar getirir (Şekil 9). Pirinç. 9. Kuvvet vektörü ve yer değiştirme indeksi matrisi 22 Her üçgen elemanın 3 düğüm noktası ve 6 düğüm noktası yer değiştirmesi vardır. Yer değiştirme indeksi matrisi (cismin düğüm yer değiştirmelerinin global sayıları ile elemanların düğüm yer değiştirmelerinin yerel sayıları arasındaki ilişkinin matrisi) MIU matrisinin iki katına çıkarılmasıyla elde edilir. Bir elemanın sertlik matrisi K = ∫ BT DB dV = BT DB ∫ dV formülüyle hesaplanır. V (23) V Burada B = ∂T N, burada D, E malzemesinin elastik sabitlerini içeren iç sertlik matrisidir, ν; ∂ - matris diferansiyel operatörü, farklılaşma işaretinin belirli bir atama dizisi anlamına gelir; N, şekil fonksiyonlarının matrisidir. Üçgen bir eleman için şekil fonksiyonu, ifadeler (18) tarafından tanımlanan düzlem denklemidir. Yukarıda gösterildiği gibi (bkz. ifade (19)), B = ∂T N matrisi yalnızca düğümlerin koordinatlarına bağlı olan sabitleri içerir. Eleman sertlik matrisinin oluşumu için katsayıların hesaplanmasını (Şekil 10) ve elemanların alanının hesaplanmasını (Şekil 11) verelim. Pirinç. 10. Elemanın sertlik matrisinin oluşumu için katsayıların hesaplanması 23 Şek. 11. Eleman alanının hesaplanması İç sertlik D matrisi aşağıda gösterilmiştir (Şekil 12) ve koşullu bir operatör şeklinde yazılmıştır: düzlem stresli NDS = 0 ve düzlem deforme durumu NDS = 1 için farklı matrisler . İncir. 12. İç rijitlik matrisinin oluşumu Üçgen bir eleman için, hacim üzerindeki integral, integralin ve hacmin çarpımına eşittir. Bir elemanın rijitlik matrisini hesaplamak için formül (23) yukarıda gösterilmiştir. Sistemin rijitlik matrisi, indeks matrisi kullanılarak oluşturulur. 24 Sınır koşulları dikkate alındığında, sistem rijitlik matrisinin ve kuvvet vektörünün yeniden yapılandırılması eşlik eder (Şekil 13). Pirinç. 13. Sistemin rijitlik matrisinin oluşturulması ve sınır koşulları dikkate alınarak, rijitlik matrisinin ters çevrilmesi ile düğüm yer değiştirmeleri belirlenir. Pirinç. 14. Elemanın merkezindeki düğümlerin yer değiştirmelerinin, deformasyonların ve gerilmelerin belirlenmesi Elastikiyet teorisinin denklemlerine göre ε = ∂T u, burada u yer değiştirme vektörüdür. Düğüm yer değiştirmelerinin ∆ ve keyfi bir noktanın u yer değiştirmelerinin u bağlantı denklemlerine göre = N ∆. 25 () Dolayısıyla ε = ∂T N ∆ elemanının deformasyonu. Elastikiyet teorisinin fiziksel denklemlerinden (Hooke yasası) σ = Dε'yi vurgular. Hesaplamanın karmaşıklığı, öğelerin, düğümlerin, sütunların, satırların endekslerinin dikkatli kullanımından, endekslerin matris matrisinden alınan değerlere atanmasından oluşur. Üçgen bir eleman için şekil fonksiyonu lineerdir; bu nedenle şekil, gerinim ve gerilme fonksiyonunun türevleri Şekil 1'de bulunur. 14, elemanın tüm alanı boyunca sabittir. Cismin düğüm noktalarındaki gerilmeler, düğümde yakınsayan tüm elemanlardaki gerilmelerin veya gerinimlerin aritmetik ortalaması olarak tanımlanır. Vücudun düğümlerindeki gerilmelerin ve gerinimlerin hesaplanması Şekil 2'de gösterilmektedir. 15. Şek. 15. Her bir elemanın merkezindeki gövde düğümlerinin, gerilimlerin ve gerinimlerin yer değiştirmelerinin belirlenmesi 26 Şek. Şekil 15, iç sertlik D matrisinde dikkate alınmayan her bir elemandaki deformasyon ve gerilmenin 4. değerinin tanımını gösterir. Mathcad belgesiyle çalışmak, NDS ifadesini atlarsak: = 1 NDS ifadesinin altında: = 0 , o zaman hesaplamanın sonuçlarını artık bir düzlem stres durumunda değil ve bir düzlem deformasyonunda görebiliriz. Hesaplama sonuçları Şekil 2'de gösterilmektedir. 16. Şek. 16. Hesaplama sonuçları 27 Laboratuvar çalışmasına atama Elastisite teorisinin düzlem problemini sonlu elemanlar yöntemi (FEM) ile çözün. İki kuvvetle yüklenen halka (Şekil 3, b), iki simetri eksenine sahiptir, bu nedenle hesaplama doğruluğunu iyileştirmek için halkanın dörtte birini dikkate almak gerekir. Uygun bir ağ kullanılarak üçgen sonlu elemanlar sistemine bölünür. Yarıçap nr boyunca düğüm sayısı ve gövdenin nφ dikkate alınan bölümünün kapsama açısı boyunca düğüm sayısı, seçeneğe göre bireysel görevler tablosundan seçilir. Düzlem gerilmeli durumda ve düzlem deforme durumunda deformasyonları ve gerilmeleri belirleyin. Bireysel görevlerin çeşitleri No. Yarıçap boyunca değişen düğüm sayısı, nr 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 13 7 8 8 9 10 10 11 11 12 12 13 8 14 9 15 10 Açıya göre düğüm sayısı kapsama alanı, nφ 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 4 6 7 8 Seçenek numarası 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Yarıçap boyunca düğüm sayısı, nr 11 12 13 9 10 11 12 13 10 11 12 13 11 12 13 Kapsama açısına göre düğüm sayısı, nφ 9 4 5 6 4 8 9 7 5 6 7 6 4 5 6 Raporun içeriği Öğrencinin çalışma dizininde iki dosya oluşturulmalıdır Mathcad sisteminde bir düzlem stres durumu ve düz bir deforme durum için hesaplamalara karşılık gelen hata ayıklanmış belgeleri içerir. 28 Laboratuvar çalışmasına ilişkin rapor şunları içermelidir: 1) laboratuvar çalışmasının adı; 2) laboratuvar çalışmasının amacı; 3) görev; 4) izleme ekranından hata ayıklanmış iş yürütme belgelerinden kopyalanır. Test soruları 1. Sonlu elemanlar yöntemi ne işe yarar? 2. Kurşun genel şema sonlu elemanlar yöntemiyle hesaplama. 3. İdealleştirilmiş tasarım nedir? 4. Düğümlerin yer değiştirmeleri hangi lineer cebirsel denklem sisteminden belirlenir? 5. Yaklaşan polinomun formu nasıl belirlenir? 6. Hangi işlevlere temel işlevler denir? 7. Formun işlevleri nasıl belirlenir? 8. Hareket fonksiyonları nasıl belirlenir? 9. Deformasyon fonksiyonları nasıl belirlenir? 10. Gerilmeler nasıl belirlenir? 11. Genelleştirilmiş kuvvetleri tanımlamak için hangi ilke kullanılır? 12. Bir elemanın rijitlik matrisi nasıl belirlenir? 13. Sistem katılık matrisi nasıl derlenir? 14. Elde edilen kanonik denklemler sisteminin serbest terimlerinin ne gibi etkileri olduğunu dikkate alarak? 15. Ön deformasyonlara ne sebep olabilir? 16. Ön strese ne sebep olabilir? 17. Bireysel etkilerden kaynaklanan reaktif kuvvetler nasıl belirlenir? 18. Mathcad sistemi grid düğümlerinin koordinatlarını nasıl hesaplar? 29 Bibliyografik liste 1. Darkov V.A. Yapı mekaniği: ders kitabı. yapılar için. uzman. üniversiteler / V.A. Darkov, N.N. Şapoşnikov. Ed. 8, devir. ve Ekle. M.: Daha yüksek. shk., 1986. 607 s. 2. Makarov E.G. Mathcad 14'te Mühendislik Hesaplamaları: Bir Eğitim Kursu. SPb. : Peter, 2007.592 s. 3. Trushin S.I. Sonlu elemanlar yöntemi. Teori ve hedefler: öğretici... Moskova: ASV Yayınevi, 2008.256 s. 4. Khechumov R.A. Sonlu elemanlar yönteminin yapıların tasarımına uygulanması / R.A. Khechumov, H. Keppler, V.I. Prokopiev. M.: Yayınevi ASV, 1994.353 s. 30 Eğitim yayını Ignatiev Alexander Vladimirovich, Mikhailova Natalia Anatolyevna, Ereschenko Tatyana Vladimirovna SONLU ELEMENT YÖNTEMİ VE MATHCAD ORTAMINDA UYGULAMASI "Matematiksel fiziğin denklemlerini çözmek için analitik ve sayısal yöntemler" disiplini üzerine laboratuvar çalıştayı. RIO O.E. Goryacheva Başkanı. Düzenleyen M.L. Sandy Editör O.A. Shipunova Bilgisayar düzenlemesi ve düzeni N.A. Derina 30.06.10 tarihinde basılmak üzere imzalanmıştır. 60x84 / 16'yı biçimlendirin. Ofset kağıt. Ekran görüntüsü. Times kulaklık. DÖNŞ. Yazdır ben. 1.9. Uch.-ed. ben. 1.7. Dolaşım 100 kopya. Sipariş No. 70 Devlet yüksek mesleki eğitim eğitim kurumu "Volgograd Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi" Editör ve Yayın Bölümü Operatif Baskı Sektörü CIT 400074, Volgograd, st. Akademiçeskaya, 1 31

Mathcad'i hesaplamalarımda uzun süredir, muhtemelen 15 yıldır, hatta daha fazla kullanıyorum. Da çalıştı farklı versiyonlar Mathcad (2, 5, 6, 7, 8 ... 15), yani hemen hemen tüm sürümlerinde. İlk başta ustalaşması zordu, daha sonra hesaplamalarda (eğitim ve araştırma) hayranlıkla kullanıldı.

Yedi yıl önce Mathsoft'ta beta testçisi oldu (Mathcad'in yeni sürümlerinin test edilmesinde yer aldı). Mathcad paketini geliştirmek, onu güçlü bir programlama aracına dönüştürmek ve karmaşık hesaplama problemlerini çözmek için defalarca önerilerde bulundu. Mathsoft'tan alınan teşekkürler ve Nous gibi standart cevaplar bu sorular üzerinde pek düşünmedi (bu sorular üzerinde çok düşünüyoruz).

Mathsoft, Mathcad'in matematiksel aygıtını geliştirmek için en azından bir şeyler yapıyordu. Birkaç yıl önce Mathsoft, ana ürünü ProEngeneer paketi ProMechanica olan PTC tarafından satın alındı. Onlar için Mathcad bir yan üründür. Mathcad'i geliştiren uzmanlar gitti. Bana göre strateji değişti. Mathcad Prime'ın RTS (bir sürüm değil, temelde yeni bir paket) tarafından geliştirilen yeni sürümü, temelde farklı bir arayüze sahip güçlü bir hesap makinesine benzer ve bence, çalışmak uygun değil (nispeten karmaşık sorunları çözerken). büyük program). Ayrıca Mathcad Prime hala eski sürümlerle uyumsuz (mathcad 15 ile bile) Kullanıcıların isteği üzerine RTS (bir süreliğine) eski yöne döndü ve matematiksel olarak Mathcad 14'ün %100 kopyası olan Mathcad 15'i yayınladı. Bu kadar. Vardı.

Mathcad sahipleri ne durumda terk edildi?

Ortalama karmaşıklıktaki problemleri çözmek için mükemmel bir matematiksel paket ve sonlu elemanlar yöntemi gibi karmaşık problemleri çözmek için pratik olarak uygun değil.

Karmaşık evrensel programları çözmenin önündeki ana engel, hesaplama seçeneklerinin olmamasıdır. ... Mathcad'de gereksizleri atlamak çok zordur. bu seçenek hesaplama operatörü En azından programcılar tarafından hor görülen ancak hesap makineleri için gerekli olan etikete geçişe izin verdiler. (ON ERROR deyimi ile tek bir deyimi atlayabilirsiniz.)

Sonlu elemanlar yöntemine gelince, RTS'ye tamamen katılıyorum. Sorunları sonlu elemanlar yöntemiyle çözmek için Mathcad'i kullanmak, üzgünüm, "schizo". Bunun için birçok farklı bilgi işlem sistemi vardır, örneğin ANSYS veya aynı ProEngeneer. Mathcad'i FEM problemleri için sadece FEM algoritmasını öğrenmek için kullanıyorum. Aslında, indirilmek üzere gönderilen kurs çalışması, bilgi işlem kompleksinin kesitsel bir modelidir. Kurs çalışmasında, FEM algoritması açıkça görülebilir (çalışma formülleri şeklinde). Bu algoritmanın çalışılması ve ezberlenmesi, FEM üzerine dönem ödevinin amacıdır. ve hiç güvenilir hesaplama sonuçlarına yakın elde değil.

Mathcad'in matematiksel çekirdeği kusurlu (ve hiç düzelmez).
Sonuç olarak, dönem ödevi hesaplanırken, örneğin, enine kesitlerin boyutları ayarlanırken, boyutlardan biri değiştiğinde, denklem sistemi aniden çözülmeyi bırakır (sıfıra bölme) veya ilk doğal frekans aniden ortaya çıkar. karmaşık sayı olsun. Aynı boyutta küçük ayar ve çözüm tekrar görünür . Denklem sistemlerini çözerken, ilk yaklaşımların değerleri değiştiğinde veya başka bir hesaplama yöntemi seçildiğinde (bağlam menüsünde) hesaplama sonucu bazen önemli ölçüde değişir. Bazen Araçlar'ı seçerek hesaplamanın doğruluğunu artırabilirsiniz ( Araçlar) -Seçenekler (Çalışma Sayfası Seçenekleri) TOL = TOL yerine 10 -8 = 10 -3, ancak bu her zaman sorunu doğru bir şekilde çözmeye yardımcı olmuyor

Tonlarca FEM sayma programı var. Yöntemin neden bu kadar iyi ve yaygın olarak uygulanabilir olduğunun detaylarına girmeden, hesaplama sürecine içeriden bir göz atalım. Görünüşe göre her şey basit, neden bisikletinizi monte etmeye çalışmıyorsunuz, yani. programınızı yapın. İlk aşamada MathCAD'de hata ayıklayabilir, test edebilir ve hesaplamayı özelleştirebilirsiniz. Daha sonra, veri girişi ve sonuçların analizi kolaylığı için zaten debug edilmiş hesaplama algoritması, bazı grafikler eklenerek C#'da yeniden yazılabilir.

Nereden başlamalı? Global görevim zemin modellemesi olduğundan, hesaplamalara elastisite teorisinin problemleriyle başlayacağım.


İşte parçalara ayrılması gereken bir bulmaca örneği. Elastik üçgen protozoa FE. Şema FEMmodels 2.0 programında çizilmiş ve çözülmüştür. Bunu MathCAD'de tekrarlayalım.

1. Alanın ayrıklaştırılması,
yani, bu alanı parçalara bölerek "düğüm" noktalarını tanımlar. Sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip bir sistemden, sonlu sayıda düğüme ve buna bağlı olarak serbestlik derecelerine sahip bir sistem oluştururuz.

2. Bir eleman için yaklaşık fonksiyonların belirlenmesi.
Düğümler arasında, aranan fonksiyonların değerleri (bizim durumumuzda, X ve Y'nin yer değiştirmeleri) belirlediğimiz yasalara göre, fonksiyonlara yaklaşarak değişir.

3. Tüm sistemi açıklayan denklemler hazırlamak.
Düğümlerdeki fonksiyonların bilinmeyen değerleri olarak (bizim durumumuzda sistemi elde ederiz. lineer denklemler SLAE).

4. Denklemleri Çözme
ve düğüm değerlerinin ve diğer bilinmeyenlerin belirlenmesi.

Biraz alanın bölünmesiyle değil, ikinci nokta ile başlayacağım - sonlu bir eleman için fonksiyonlar. Elastisite teorisinin düzlem problemini hesaplamak için en basit sonlu eleman, doğrusal bir yaklaşım fonksiyonuna sahip bir üçgendir:

Pirinç. 1. Fonksiyonun yaklaşıklanması ve katsayılarının elde edilmesi.
Her düğümde (X ve Y) iki serbestlik derecesine sahip olduğumuz için, buna benzer başka bir fonksiyon eklenir.
Tüm manipülasyonların özü, bir elemanın düğümlerinin yer değiştirmeleri ile içinde ortaya çıkan deformasyonlar arasında bir ilişki elde etmektir. 6 deplasman bileşenimiz ve 3 deformasyonumuz olduğu için bağlantı bir matris üzerinden gerçekleştirilir. B boyut 3x6 (form fonksiyonlarının türevlerinin matrisi). Bu, öğeyi oluşturan ilk matristir.
Deformasyonlar ve gerilmeler arasındaki ilişkiyi ifade eden bir matrise de ihtiyaç vardır (matris D). Elastik bir cisim için bu bağımlılık genelleştirilmiş Hooke yasasıdır.

Konudan bir başka küçük sapma, farklı türden bir düzlem stres durumu için matris D. Örneğin, bir demiryolu hattının altındaki bir setin tabanını veya uzatılmış bir binanın tabanını hesaplamak gerektiğinde, dolgu veya bina boyunca deformasyonlar alınabileceğinden, düz bir problem olarak düşünmek mümkündür. sıfır. D e e z = 0 elde etmek için. Kuvvetlerin sadece duvar düzleminde etki ettiği bir binanın duvarını ele alırsak, düz bir problem de düşünebiliriz, sadece kesit düzleminden deformasyonlar olacak, ancak gerilmeler yok, sigma z = olduğunu düşünüyoruz. 0.

K e elemanının genel matrisi: = B T D B V

Bu sonucun matematiksel temellerini tekrar anlatmayacağım, size kısa bir fiziksel anlam anlatacağım.
Bir K e matrisi örneği:

Satır ve sütun sayısı, serbestlik derecesi sayısına karşılık gelir. Ki, j = j serbestlik derecesi yönünde tek bir hareketin uygulanmasından i serbestlik derecesi yönündeki kuvvet. Ardından, örneğin, öğemiz için, bir kontrol olarak, öğemizin anlamına göre herhangi bir satır veya sütun boyunca çift / tek öğeler ekleyebilirsiniz, bunlar sırasıyla X veya Y boyunca sabitlemelerdeki reaksiyonlar olacaktır ve bunların toplamı doğal olarak sıfıra eşittir. Matris, fiziksel olarak dejeneredir. bu, gevşek bir elemanın düğümlerde tanımsız kuvvetleri/tepkileri olduğu anlamına gelir.

Daha da kolaydır. Bireysel elemanlardan sistemin global bir matrisini birleştirmek gerekir. Sistemin tüm serbestlik dereceleri için (K matrisinin satırları ve sütunları), tek tek elemanlardan karşılık gelen reaksiyonları yazarız. Bu dönüşümle en uzun süre uğraştım ve sonuç olarak, 5 iç içe döngülü çok basit bir algoritma:

Daha da kolay, tüm güvenli olmayan serbestlik dereceleri için kuvvet vektörlerini topluyoruz P, itibaren İLE sabit serbestlik dereceli satırları ve sütunları silin ve bir lineer denklem sistemi elde edin: K * u = P; u = K -1 P'yi bu yöntemin verimsizliği hakkında çok fazla düşünmeden çözüyoruz. işlem gücü, çünkü görev küçük.

Çözümün matcade'deki en tatsız anı, ilk verileri girme ve sonuçları analiz etme zorluğuydu. Bununla birlikte, tüm prosedürler algoritmikleştirilmiştir ve örneğin, tüm çapaları yerleştirme işlevi 8 satır alır ve n x n x 2 öğeden oluşan bir liste 11 satırda derlenir (örnekte 242 öğe).

Sonraki iki görevim: daha karmaşık yaklaşıma sahip, eleman sayısını azaltmaya ve çözümü iyileştirmeye izin veren elemanlar ve ana, doğrusal olmayan elemanlar. Bu durumda, K matrisi yer değiştirmeye bağımlı olacak ve çözüm çok daha karmaşık hale gelecektir. K (u) * u = P (u). Genel durumda, dış kuvvetlerin vektörü aynı zamanda u yer değiştirmelerine de bağlıdır.

Bilgi kaynakları:
1. Dersler 2008 Genel Bölümü ve PGUPS Fakültesi. Shashkin K.G.
2. Segerlind "Sonlu elemanlar yönteminin uygulanması" (1979)
3. A.L. Rozin