Imagen discreta. Muestreo de imágenes

Se puede realizar la sustitución de una imagen continua por una discreta diferentes caminos... Es posible, por ejemplo, elegir cualquier sistema de funciones ortogonales y, habiendo calculado los coeficientes de la representación de la imagen según este sistema (según esta base), sustituir la imagen por ellos. La variedad de bases permite formar varias representaciones discretas de una imagen continua. Sin embargo, el más común es el muestreo periódico, en particular, como se mencionó anteriormente, el muestreo con un ráster rectangular. Dicho método de muestreo puede considerarse como una de las opciones para utilizar una base ortogonal que utilice funciones desplazadas como elementos. Además, a continuación, en general, consideraremos en detalle las principales características del muestreo rectangular.

Sea una imagen continua, y sea la imagen discreta correspondiente obtenida de una continua por muestreo rectangular. Esto significa que la relación entre ellos está determinada por la expresión:

donde están los pasos verticales y horizontales o los intervalos de muestreo, respectivamente. La figura 1.1 ilustra la ubicación de las muestras en un plano para muestreo rectangular.

La pregunta principal que surge cuando se reemplaza una imagen continua con una discreta es determinar las condiciones bajo las cuales se completa dicho reemplazo, es decir, no acompañado de la pérdida de información contenida en la señal continua. No hay pérdidas si, habiendo señal discreta, puede restaurar de forma continua. Desde un punto de vista matemático, la cuestión, por tanto, es restaurar señal continua en intervalos bidimensionales entre nodos, en los que se conocen sus valores o, en otras palabras, en la implementación de la interpolación bidimensional. Esta pregunta se puede responder analizando las propiedades espectrales de imágenes continuas y discretas.

El espectro de frecuencia continuo bidimensional de la señal continua está determinado por la transformada de Fourier directa bidimensional:

que corresponde a la transformada de Fourier continua inversa bidimensional:

La última relación es verdadera para cualquier valor, incluso en los nodos de una celosía rectangular. ... Por lo tanto, para los valores de la señal en los nodos, teniendo en cuenta (1.1), la relación (1.3) se puede escribir en la forma:

Por brevedad, denotamos por una sección rectangular en el dominio de frecuencia bidimensional. El cálculo de la integral en (1.4) en todo el dominio de frecuencia se puede reemplazar integrando secciones individuales y sumando los resultados:

Cambiando las variables de acuerdo con la regla, logramos la independencia de la región de integración de los números y:

Aquí se tiene en cuenta que para cualquier valor entero y. Esta expresión tiene una forma muy cercana a la transformada de Fourier inversa. La única diferencia es la forma incorrecta del factor exponencial. Para darle la forma requerida, introducimos las frecuencias normalizadas y cambiamos las variables en consecuencia. Como resultado, obtenemos:

Ahora la expresión (1.5) tiene la forma de la transformada de Fourier inversa; por lo tanto, la función bajo el signo integral

(1.6)

es un espectro bidimensional de una imagen discreta. En el plano de frecuencias no normalizadas, la expresión (1.6) tiene la forma:

(1.7)

De (1.7) se deduce que el espectro bidimensional de una imagen discreta es periódico rectangular con períodos ya lo largo de los ejes de frecuencia y, respectivamente. El espectro de una imagen discreta se forma como resultado de la suma de un número infinito de espectros de una imagen continua que difieren entre sí en cambios de frecuencia y. La Figura 1.2 muestra cualitativamente la relación entre los espectros bidimensionales de imágenes continuas (Figura 1.2.a) y discretas (Figura 1.2.b).

Arroz. 1.2. Espectros de frecuencia de imágenes continuas y discretas

El resultado mismo de la suma depende esencialmente de los valores de estos cambios de frecuencia o, en otras palabras, de la elección de los intervalos de muestreo. Supongamos que el espectro de una imagen continua es distinto de cero en alguna región bidimensional en la vecindad de la frecuencia cero, es decir, se describe mediante una función finita bidimensional. Si, en este caso, los intervalos de muestreo se eligen de manera que pues ,, entonces no se producirá la superposición de ramas separadas durante la formación de la suma (1.7). Por lo tanto, dentro de cada sección rectangular, solo un término diferirá de cero. En particular, porque tenemos:

a , . (1,8)

Así, dentro del dominio de la frecuencia, los espectros de imágenes continuas y discretas coinciden hasta un factor constante. En este caso, el espectro de la imagen discreta en este dominio de frecuencia contiene información completa sobre el espectro de una imagen continua. Enfatizamos que esta coincidencia ocurre solo bajo las condiciones estipuladas determinadas por una buena elección de intervalos de muestreo. Tenga en cuenta que el cumplimiento de estas condiciones, de acuerdo con (1.8), se logra a valores suficientemente pequeños de los intervalos de muestreo, que deben satisfacer los requisitos:

donde están las frecuencias de corte del espectro bidimensional.

La relación (1.8) define un método para obtener una imagen continua a partir de una discreta. Para ello, basta con realizar un filtrado bidimensional de una imagen discreta con un filtro de paso bajo con respuesta frecuente

El espectro de la imagen en su salida contiene componentes distintos de cero solo en el dominio de la frecuencia y es igual, según (1.8), al espectro de una imagen continua. Esto significa que la imagen a la salida de un filtro de paso bajo ideal es la misma que.

Por tanto, se realiza una reconstrucción de interpolación ideal de una imagen continua utilizando un filtro bidimensional con una respuesta de frecuencia rectangular (1.10). No es difícil escribir explícitamente el algoritmo para restaurar una imagen continua. La respuesta de impulso bidimensional del filtro de reconstrucción, que se puede obtener fácilmente utilizando la transformada de Fourier inversa de (1.10), tiene la forma:

.

El producto del filtro se puede determinar usando una convolución 2D de la imagen de entrada y una respuesta de impulso dada. Representando la imagen de entrada como una secuencia bidimensional de funciones

después de hacer la convolución, encontramos:

La relación resultante indica un método para la reconstrucción por interpolación precisa de una imagen continua a partir de una secuencia conocida de sus muestras bidimensionales. De acuerdo con esta expresión, para una reconstrucción precisa en el papel de funciones de interpolación, deben usarse funciones bidimensionales de la forma. La relación (1.11) es una versión bidimensional del teorema de Kotelnikov-Nyquist.

Destaquemos nuevamente que estos resultados son válidos si el espectro bidimensional de la señal es finito y los intervalos de muestreo son lo suficientemente pequeños. La validez de las conclusiones extraídas se viola si no se cumple al menos una de estas condiciones. Las imágenes reales rara vez tienen espectros con frecuencias de corte pronunciadas. Una de las razones que conducen a la falta de límites del espectro es el tamaño limitado de la imagen. Debido a esto, al sumar en (1.7), la acción de los términos de las bandas espectrales vecinas se manifiesta en cada una de las bandas. En este caso, la reconstrucción precisa de una imagen continua se vuelve generalmente imposible. En particular, el uso de un filtro rectangular no conduce a una reconstrucción precisa.

Una característica de la reconstrucción de imagen óptima en los intervalos entre muestras es el uso de todas las muestras de una imagen discreta, según lo prescrito por el procedimiento (1.11). Esto no siempre es conveniente; a menudo se requiere restaurar la señal en el área local, confiando en una pequeña cantidad de valores discretos disponibles. En estos casos, es aconsejable aplicar una recuperación cuasi óptima utilizando varias funciones de interpolación. Este tipo de problema surge, por ejemplo, al resolver el problema de vincular dos imágenes, cuando, debido al desajuste geométrico de estas imágenes, las lecturas disponibles de una de ellas pueden corresponder a algunos puntos ubicados en los intervalos entre los nodos de la otro. La solución a este problema se analiza con más detalle en las secciones siguientes de este manual.

Arroz. 1.3. Efecto del intervalo de muestreo en la reconstrucción de imágenes "Huella dactilar"

Arroz. 1.3 ilustra el efecto de los intervalos de muestreo en la reconstrucción de imágenes. La imagen original, que es una huella dactilar, se muestra en la Fig. 1.3, ay una de las secciones de su espectro normalizado se muestra en la Fig. 1.3, b. Esta imagen es discreta y el valor se utiliza como frecuencia de corte. Como se desprende de la Fig. 1.3, b, el valor del espectro a esta frecuencia es insignificante, lo que garantiza una reconstrucción de alta calidad. De hecho, observado en la Fig. 1.3 Una imagen es el resultado de restaurar una imagen continua, y el papel de un filtro restaurador lo desempeña un dispositivo de visualización, un monitor o una impresora. En este sentido, la imagen de la Fig. 1.3.a puede considerarse continuo.

Arroz. 1.3, c, d muestran las consecuencias de la elección incorrecta de los intervalos de muestreo. Cuando se obtuvieron, se realizó la discretización de la imagen “continua” en la Fig. 1.3.а diluyendo sus muestras. Arroz. 1.3, c corresponde a un aumento en el paso de muestreo para cada coordenada en tres, y la Fig. 1.3, d - cuatro veces. Esto sería aceptable si los valores de las frecuencias de corte fueran menores en el mismo número de veces. De hecho, como puede verse en la Fig. 1.3, b, hay una violación de los requisitos (1.9), especialmente grave con una reducción de las muestras cuatro veces mayor. Por tanto, las imágenes reconstruidas mediante el algoritmo (1.11) no solo se desenfocan, sino que también distorsionan fuertemente la textura de la impresión.

Arroz. 1.4. Efecto del intervalo de muestreo en la restauración de la imagen "Retrato"

En la Fig. 1.4 muestra una serie similar de resultados obtenidos para una imagen del tipo "retrato". Las consecuencias de un diezmado más fuerte (cuatro veces en la figura 1.4.cy seis veces en la figura 1.4.d) se manifiestan principalmente en la pérdida de definición. Subjetivamente, la pérdida de calidad parece ser menos significativa que en la Fig. 1.3. Esto se explica por el ancho del espectro significativamente menor que la imagen de la huella dactilar. El muestreo de la imagen original corresponde a la frecuencia de corte. Como puede verse en la Fig. 1.4.b, este valor es mucho más alto que el valor real. Por lo tanto, un aumento en el intervalo de muestreo, ilustrado en la Fig. 1.3, c, d, aunque empeora el panorama, todavía no conduce a consecuencias tan destructivas como en el ejemplo anterior.

Las señales llegan al sistema de procesamiento de información, por regla general, de forma continua. Para el procesamiento informático de señales continuas, es necesario, en primer lugar, convertirlas en digitales. Para ello se realizan las operaciones de muestreo y cuantificación.

Muestreo de imágenes

Muestreo Es la transformación de una señal continua en una secuencia de números (muestras), es decir, la representación de esta señal en una base de dimensión finita. Esta vista consiste en proyectar una señal sobre una base determinada.

Lo más conveniente desde el punto de vista de la organización del procesamiento y la forma natural de muestreo es la presentación de señales en forma de una muestra de sus valores (muestras) en puntos separados y regularmente espaciados. Este método se llama rasterización, y la secuencia de nodos en los que se toman las muestras es raster... El intervalo a través del cual se toman los valores de la señal continua se llama paso de muestreo... El valor inverso al paso se llama tasa de muestreo,

Una cuestión fundamental que surge en el transcurso del muestreo: ¿con qué frecuencia tomar muestras de la señal para poder restaurarla a partir de estas muestras? Obviamente, si las muestras se toman con muy poca frecuencia, entonces no contendrán información sobre una señal que cambia rápidamente. La tasa de cambio de una señal se caracteriza por la frecuencia superior de su espectro. Por lo tanto, el intervalo de muestreo mínimo permitido está relacionado con la frecuencia más alta del espectro de la señal (inversamente proporcional a ella).

Para el caso de muestreo uniforme, es cierto Teorema de Kotelnikov, publicado en 1933 en la obra “On banda anchaéter y alambre en telecomunicaciones ”. Dice: si una señal continua tiene un espectro de frecuencia limitada, entonces puede reconstruirse completa e inequívocamente a partir de sus muestras discretas tomadas con un período, es decir, con frecuencia.

La recuperación de la señal se lleva a cabo mediante la función ... Kotelnikov demostró que una señal continua que cumple con los criterios anteriores se puede representar como una serie:

.

Este teorema también se denomina teorema de muestreo. La función también se llama función de conteo o Kotelnikov, aunque Whitaker estudió una serie de interpolaciones de este tipo en 1915. La función de conteo tiene una extensión infinita en el tiempo y alcanza su valor máximo, igual a uno, en el punto relativo al cual es simétrica.

Cada una de estas funciones puede verse como una respuesta a un ideal filtro de paso bajo(LPF) en el pulso delta que llega en el momento del tiempo. Por lo tanto, para restaurar una señal continua de sus muestras discretas, deben pasar a través del filtro de paso bajo correspondiente. Cabe señalar que dicho filtro no es causal y físicamente irrealizable.

La relación dada significa la posibilidad de una reconstrucción precisa de señales con un espectro limitado a partir de la secuencia de sus muestras. Señales de espectro limitado- estas son señales, cuyo espectro de Fourier es distinto de cero solo dentro de una porción limitada del dominio de definición. Se les pueden atribuir señales ópticas, porque el espectro de Fourier de imágenes obtenidas en sistemas ópticos es limitado debido al tamaño limitado de sus elementos. La frecuencia se llama Frecuencia de Nyquist... Esta es la frecuencia de corte por encima de la cual no debería haber componentes espectrales en la señal de entrada.

Cuantizar imágenes

En el procesamiento de imágenes digitales, el rango dinámico continuo de valores de luminancia se divide en varios niveles discretos. Este procedimiento se llama cuantificación... Su esencia radica en la transformación de una variable continua en una variable discreta que asume un conjunto finito de valores. Estos valores se llaman niveles de cuantificación... En el caso general, la transformación se expresa mediante una función escalonada (Fig. 1). Si la intensidad de la muestra de imagen pertenece al intervalo (es decir, cuando ), la muestra original se reemplaza por el nivel de cuantificación, donde – umbrales de cuantificación... Se supone que el rango dinámico de valores de brillo es limitado e igual.

Arroz. 1. Función que describe la cuantificación

La tarea principal en este caso es determinar los valores de los umbrales y los niveles de cuantificación. La forma mas sencilla la solución a este problema consiste en dividir gama dinámica a intervalos iguales. Sin embargo, esta no es la mejor solución. Si los valores de intensidad de la mayoría de las muestras de imágenes se agrupan, por ejemplo, en la región "oscura" y el número de niveles es limitado, entonces es aconsejable cuantificar de manera desigual. En la región "oscura", se debería cuantificar con más frecuencia y con menos frecuencia en la región "clara". Esto reducirá el error de cuantificación.

En sistemas procesamiento digital las imágenes tienden a reducir el número de niveles y umbrales de cuantificación, ya que la cantidad de información necesaria para codificar una imagen depende de su número. Sin embargo, con un número relativamente pequeño de niveles en una imagen cuantificada, pueden aparecer contornos falsos. Surgen como resultado de un cambio brusco en el brillo de la imagen cuantificada y son especialmente notables en las áreas poco profundas de su cambio. Los contornos falsos degradan significativamente la calidad visual de la imagen, ya que la visión humana es especialmente sensible a los contornos. Con una cuantificación uniforme, las imágenes típicas requieren al menos 64 niveles.

Presentación analógica y discreta de imágenes y sonido.

Una persona es capaz de percibir y almacenar información en forma de imágenes (visuales, sonoras, táctiles, gustativas y olfativas). Las imágenes visuales se pueden guardar en forma de imágenes (dibujos, fotografías, etc.) y las imágenes de sonido se pueden grabar en registros, cintas magnéticas, discos láser, etc.

La información, incluidos los gráficos y el sonido, se puede presentar en cosa análoga o discreto formulario. Con una representación analógica, una cantidad física adquiere un conjunto infinito de valores y sus valores cambian continuamente. En una representación discreta, una cantidad física adquiere un conjunto finito de valores y su valor cambia abruptamente.

Demos un ejemplo de representación de información analógica y discreta. La posición del cuerpo en un plano inclinado y en una escalera se establece mediante los valores de las coordenadas X e Y. Cuando un cuerpo se mueve a lo largo de un plano inclinado, sus coordenadas pueden tomar un conjunto infinito de valores continuamente cambiantes. a partir de un cierto rango, y al moverse por una escalera, solo un cierto conjunto de valores, y cambiando abruptamente (Fig. 1.6).

Un ejemplo de una representación analógica de información gráfica puede ser, por ejemplo, un lienzo de pintura, cuyo color cambia continuamente y es discreto: una imagen impresa con impresora de chorro de tinta y consta de puntos separados de diferentes colores. Un ejemplo de almacenamiento analógico información de audio es un disco de vinilo(la banda sonora cambia de forma continuamente), y la discreta es un CD de audio (cuya banda sonora contiene secciones con diferente reflectividad).

La conversión de información gráfica y sonora de forma analógica a discreta se realiza mediante muestreo, es decir, dividiendo una imagen gráfica continua y una continua (analógica) señal de sonido sobre el elementos individuales... En el proceso de muestreo se realiza la codificación, es decir, la asignación a cada elemento de un valor específico en forma de código.

Muestreo es la transformación de imágenes y sonidos continuos en un conjunto de valores discretos en forma de códigos.

Preguntas para pensar

1. Dé ejemplos de formas analógicas y discretas de presentar información gráfica y sonora.

2. ¿Cuál es la esencia del proceso de muestreo?

Analógico y imagen discreta. Información gráfica se puede presentar en forma analógica o discreta. Un ejemplo imagen analógica Puede servir como un lienzo de pintura, cuyo color cambia continuamente, y un ejemplo de una imagen discreta, impresa con una impresora de inyección de tinta, un dibujo que consta de puntos separados de diferentes colores. Analógico (pintura al óleo). Discreto.

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Informática grado 9

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